任保平宏观经济学习题详解第3章经济增长理论及其基准模型

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任保平《宏观经济学》
第二篇宏观经济学的长期模型
第三章经济增长理论及其基准模型
课后习题详解

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1•哈罗德模型与多马模型的相似性和差异性是什么？

答：（1）哈罗德和多马经济增长模型是英国经济学家哈罗德和美国经济学家多马于 1948年分别提出的关于经济增长的分析模型的统称。该模型主要研究在保持充分就业的条件下，储蓄和投资的增长与收入增长之间的关系。

（2）哈罗德模型和多马模型的相似性罗德模型与多马模型拥有相同的假设前提:

收入丫的函数，即S=sY（ s代表这个社会的储蓄比例,

①全社会只生产一种产品。②储蓄S是国民即储蓄在国民收入中所占有的份额）

③生产过程中只使用两种生产要素，即劳动L和资本K。④不存在技术进步，也不存在资

本折旧问题。⑤劳动力按照一个固定不变的比率增长。单位产品所需要的资本和劳动的数量都是固定不变的。

⑥生产规模报酬不变，即生产任何一⑦不存在货币部门，且价格水平不变。

哈罗德模型和多马模型都以凯恩斯理论中关于储蓄一投资
分析的理论为基础，即经济增长的均衡能否实现，取决于储蓄率和资本一产出系数的高低，并且要求社会上每一时期的储蓄额必须等于并且全部转化为投资。这样，为实现一定的经济增长率可以采取不同的方法。例如，既可以提高或降低资本一产量比率，也可以提高储蓄率与增加投资等等。

（3）哈罗德模型和多马模型的区别

哈罗德模型的基本方程为：

G=—=-,式中G表示国民收入增长率厶丫/丫（即经济增 Yv

长率），s表示储蓄率S/Y , v表示边际资本—产量比率：K/：Y （假定边际资本一产量比率等于资本一产量比率 K/Y ）,且v=l / AY。它表明，要实现均衡的经济增长，国民收入增长率就必须等于社会储蓄倾向与资本产量比二者之比。

多马模型的基本方程为： G = J / I =S「，式中I /I为投资增长率，实际即为哈罗德模型中的经济增长率；、:表示资本生产率厶Y/I，即哈罗德模型中v的倒数。

多马模型与哈罗德模型的区别在于多马是用资本生产率表示资本示投资增长率。

2 •哈罗德模型是如何分析经济长期均衡条件的？

-产量的比率，且G表

答：（1）哈罗德经济增长模型的基本假定：①社会只生产一种产品；②社会生产只使用资本K与劳动L两种生产要素；③在经济增长过程中资本一劳动比率保持不变，从而资本一产出比也保持不变；④不存在技术进步，规模报酬不变；⑤资本存量没有折旧。

（2）哈罗德经济增长理论的基本方程

根据凯恩斯的收入决定论，只有当投资（

I）与储蓄（S）相等时，经济活动才能达到

均衡状态，则有：I=s。

由于假定资本存量不存在折旧，则资本存量的增量

AK =1，从而有：

K = S。

两边同除以产出增量厶丫，可得：

KS
TY=7丫

因为V二兰，且S=sY，则进一步有：
ZY

sY
V二
.Y

AY
令G二〒，可得哈罗德模型的基本方程为：

该模型的基本经济含义是，储蓄率s与资本一产出比V之比。

（3）有保证的增长路径

要实现均衡的经济增长，国民收入增长率 G就必须等于社会

实现完全的经济均衡，工业与商业投资决策所必须始终遵守的必要的均衡增长路径，它

要求全部净储蓄（国民收入的百分比为理，即厂商为追加一单位产出将需要

s）能够连续地被投资所吸收。哈罗德利用加速器原Vr单位的追加投资，得出产出的有保证的增长率，有

sf
Vr

的企业家认为是理想的边际资本一产出比。
其中，G，为有保证的增长率；Sf为意愿的充分就业下的储蓄率； Vr为追求利润极大化

①经济必须在每一年使投资等于充分就业的储蓄，（4）经济长期均衡增长的条件

的增长率。如果投资份额低于充分就业时的储蓄率 Sf，那么有效需求相对于充分就业必然

是不足的。因此，经济长期均衡增长的第一个必需的条件是:

GA 二GM	Sf	Sf，和实际的资本一
其中，GA为实际发生的增长率，即事后增长率，它由实际储蓄率

产出比Vr，所决定。这一条件的含义是，均衡增长将使充分就业的储蓄连续地被投资。

②为保持连续充分就业，经济增长率必须等于实际劳动力增长率加上劳动生产率的增长率，即自然增长率。因此，经济长期均衡增长第二个必需的条件就是：
GA =GN = n ■ a

3•在索洛-斯旺模型中，投资率与人口增长率的变化如何影响稳定状态的产出水平？答：（1）投资率的增加对稳定状态产出水平的影响
如图3-7所示，横轴为人均资本存量，纵轴为人均产出。假定人均产出已经达到稳定状

态值，消费者把投资率从 s提高到s，这使得曲线sf k向上移动到sf k，对应于初始稳

态下的人均资本量 k -，变化后的人均投资量超出了为保持人均资本量不变所必需的数量，

资本一劳动比率增加，这种情况一直持续到 sfk二n• J. k为止，此时所对应的人均资本量

达到一个新的更高的值k…。结合生产函数不难看出，较高的人均资本对应的人均产出也较高，则经济体比

以前更加富裕了。投资率的增加最终导致人均产出的增加。

图3-7投资率增加的影响

（2）人口增长率的变化对稳定状态产出水平的影响

如图3-8所示，横轴代表人均资本存量，纵轴代表人均产出水平。假定经济体已经达到

稳定状态，人口增长率从n增加到n，曲线n亠3jk将绕原点向左旋转至n■亠心k。对应于

初始稳态下的人均资本量 k*，人口增长后的人均投资量低于为保持人均资本量不变所必需

的数量，从而资本-劳动比率开始下降，一直持续到sfk = n •k为止。此时所对应的人

均资本量为k**，低于人口增长前的数量，经济体比以前更加贫困了。人口增长率的增加最

图3-8 人口增长率的上升

4•在索洛-斯旺模型中，什么是资本积累的黄金律？黄金律是如何运作的？答：（1）资本积累的黄金

律

资本积累和产出不是人们追求的最终目标，人们追求经济增长的最终目标是消费水平和福利水平的最

大化。长期消费总水平最高的稳定状态被称为资本积累的“黄金律水平” 。在

经济学意义上黄金律被解释为：	如果对每一当前和未来世代的成员提供相同数量的消费一一
也就是说给予未来世代的并不比给予自己的要少一一则人均消费的最大数量为		Cgold

。

对于一个给定的生产函数与给定的以及、:值，储蓄率s的每个值存在唯-------个稳态值

k*.0。设这种关系可用k“s来表示，且有dk“s /ds .0。人均消费的稳态水平为：

c= 1-sf k*s

c” s = f k ” s “i n亠心jk” s

（2）黄金律的运作

图3-9描述了黄金律的运作。横轴是人均资本存量k，纵轴是人均产出y。考虑三种可能的储蓄率si、

sgoid、s，且有Si:::Sgoid::: S2。相应的人均资本存量分别为 ki*、kgoid、k2，

人均消费分别为ci、Cgold、c2。人均消费量c在每种情况下都等于生产函数 fk和sfk曲

线之间的垂直距离。对于每一s，sfk曲线与n亠,]|k线之间的交点决定了资本的稳态水平k*。稳态人均消费c*

在k*=kg°id时取得最大值，这是因为在该点生产函数 fk的切线平行

于n k线，使得k*二kgoid的储蓄率为sfk曲线与n = k线相交点对应的储蓄率。

当且仅当s二时，k*满足资本积累的黄金法则，此时经济体处于帕累托最优状态。

①考虑一个在图3-9中以储蓄率s所刻画的经济，因为有 s sgoid，所以k2 kgoid，且

c2 :::Cgoid。从稳态出发，储蓄率被永久性地降低到

然后在向新的稳态值cgold转移的过程中单调下降。由于

sgoid。人均消费c最初以离散数量增加，

C2：：：Cgold，在全部转移时期以及新的

稳态中c都超过了 c2。因此，当s -sgoid时，人均消费在所有时间点上都可以通过降低储蓄率而得以增加。也就

是说，人均消费路径在所有时间点都位于另一条可行路径之下，		=sgoid，则有ki*	此时经济
处于过度储蓄状态，这种经济被称为"动态无效率”	。		::： kgoid，且
②考虑一个在图3-9中以储蓄率s所描述的情况，因为s,

ci* ::: cgold。可以通过提高储蓄率来增加人均消费的稳态数量，但储蓄率的上升会立刻且在转

移过程中减少当前的消费。最终结果的好坏取决于家庭在当前消费与未来消费路径之间的权衡。

图3-9 黄金律和动态无效率

5•在索洛模型中，什么因素决定稳定状态下的人均收入增长率？

答：在基本的索洛-斯旺模型中，假定技术水平持续不变，从而得出长时间内所有的人均变量都是不变

的。这个性质明显与现实不相符，而且在缺乏技术进步的情况下，递减报酬

将使得仅通过资本积累维持增长成为不可能。 20世纪50和60年代的新古典经济学家们意

识到这一问题，把基本模型扩展到容许技术持续进步，从而摆脱了报酬递减的约束，使经济

实现长期增长。

将技术进步因素引入到基本的索洛一斯旺模型中，需要在生产函数中增加一个代表技术

进步的变量A t :

通过这样的形式引入技术变量被称为 “劳动增强型技术进步”或“哈罗德中性技术进步”

技术进步与劳动存量的增加所发挥的作用一样提高了产出。假定长，即：
U
A t i='L.A t
资本存量的变化条件为:

At以一个固定比率■增

K =s F K,L A t -、K
两边同除以L，可得k随时间变化的基本方程：
?

k = s F k,A t - n 亠3 k

在该式两边同除以	k，可得增长率为	s F k, A t
	gk =
		k

对于给定的k，因为A t以固定比率■增长，资本的平均产品

Fk,At /k随着时间

持续递增。在图3-10中，横轴为人均资本存量k，纵轴为人均产出y，负斜率的曲线s F・/k

持续右移，因此对应于这条曲线与 n=线之间交点的k也持续右移。

Fk, A t /k

在稳态中也是不变的。由于假定规模报酬不变，则资本的平均产品就等于 F1,A t /k，当

且仅当k与A以同样的比率增长，即gk•二■时，它才为常数。人均产出为：

Y=F k,A t =kF 1,A t /k

正如以上所分析的那样，

k与A以相同的比率•增长，则y的稳态增长率也就等于

■

由于c = 1 —s y，则c的稳态增长率也等于■ o

假定生产函数符合柯布一道格拉斯函数形式：

技术进步增长率为：

A/A= ■

资本积累方程就为：

K/K =s Y/ K 一.：.

人均产出就可表示为：

y=k：A-：

对等式两边先取对数再求导可得：

?? ?

y/y - ：k/k1 -：A/A

由资本积累方程可知，当且仅当Y/K的比值为一个定值时， K的增长率才是一个常数。

如果Y/K为定值，那么y/k也一定，且y和k以相同的比率增长。这种资本、产出、消费和人口都按照一个相同

固定的比率增长的情形就被称为“平衡增长路径” 。把某一变量x沿

平衡增长路径的增长率记为 gx，根据上面的分析可得： g^g^■。说明在索洛一斯旺模

型中，沿着平衡增长路径，人均产出和人均资本的增长率等于外生的技术进步的增长率。因

持续右移，因此对应于这条曲线与 n=线之间交点的k也持续右移。

此技术进步决定稳定状态下的人均收入增长率，是推动经济持续增长的源泉。

6•为什么一个经济决策者会选择黄金规则的资本水平？

答：（1）在选择一种稳定状态时，决策者的目的是使组成社会的个人福利最大化。由于社会福利取

决于消费水平，所以决策者应该选择消费水平最高的稳定状态，稳定状态值K称为资本的黄金规则水平。

使消费最大化的

假设劳动力和技术不变，经济开始时处于某种稳定状态，当资本存量增加一单位时，引起额外的产出是资本的边际产量 MPK。单位资本中所引起的额外折旧量是折旧率 /.，因此，这额外一单位的资本对消费的净影响是 MPK「.，在黄金规则的资本水平时， MPK ，即资本的边际产量等于折旧率。

（2）当经济从高于黄金规则水平开始时，达到黄金规则在所有时点都引起较高的消费。

因此，决策者会选择黄金规则水平，因为这种在每一个时点上都增加了消费。

当经济从低于黄金规则水平开始时，达到黄金规则意味着最初减少消费以增加未来的消费。在这种情况下，决策者必须考虑，现在的消费者和未来的消费者并不总是同样的人。如果决策者对现在这一代人的关

心大于子孙后代人，
的；如果决策者关心所有各代人，

那么他可能决定不实施达到黄金稳定状态那么他将选择达到黄金规则，尽管现在这一代人将少

消费一些，但子孙后代无数的人都将由于向黄金规则变动而受益。

7.在索洛模型中，人口增长如何影响稳定状态的增长率？

答：人口增长对人均收入具有水平效应，

但不影响稳定状态的增长率。

根据索洛增长模

型稳态条件sf k“二n g -k",人口增长率增加，人均资本降低，人均收入水平降低。反之则反是。在没有技术进步的前提下，人口增长率越高，稳定状态的经济总量增长率越高，等于人口增长率 N。在稳定状态下，人均资本量不变，人均产出不变，人均产出的增长率为0。在有技术进步的情况下，经济总量的增长率是人口增长率和技术进步率之和。
如图3-11所示，横轴代表人均资本存量，纵轴代表人均产出水平。假定经济体已经达

到稳定状态，人口增长率从 n增加到n，曲线n = k将绕原点向左旋转至 n「k。对应
于初始稳态下的人均资本量 k*，人口增长后的人均投资量低于为保持人均资本量不变所必需的数量，从而资

本一劳动比率开始下降，一直持续到 sf k = n亠,为止。此时所对应的

人均资本量为k**，低于人口增长前的数量，经济体比以前更加贫困了。人口增长率的增加

图3-11 人口增长率的上升
&经济增长基准模型的困境是什么？
答：经济增长基准模型的困境是：

（1）以索洛-斯旺模型为基准模型的新古典经济增长理论以新古典生产函数为一个基本

的假定前提，这决定了在劳动供给不变时，资本的边际收益递减。

当资本存量增长时，由于

边际收益递减，经济增长将会减缓并最终停止，但这一结论显然并不符合世界各国经济增长

的现实。在过去的100多年时间里，有许多国家都保持了正的人均产出增长率。

（2）索洛-斯旺模型的一个重要结论是趋同性趋势，经济增长率，而发达国家的经济增长率将低于平均水平，

即落后国家会有比平均水平更高的这意味着落后国家和发达国家之间

将最终收敛于经济增长的稳定状态。然而，经验研究的结果显示出国家间的巨大人均收入差

异与索洛模型的收敛性结论存在明显差异。

（3）在索洛-斯旺模型中，技术变化被视为外生给定，在新古典生产函数的性质下得出

外生的技术变化是经济增长的唯一源泉，这样基准模型就不可避免地陷入了困境，增长理论

事实上并没有为增长提供一个理论基础。正如一些批评者所指出的，基准模型是通过假设增

长而解释增长。

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两汉：诸葛亮

先帝创业未半而中道崩殂，今天下三分，益州疲弊，此诚危急存亡之秋也。然侍卫之臣不懈于内，忠

志之士忘身于外者，盖追先帝之殊遇，欲报之于陛下也。诚宜开张圣听，以光先帝遗德，恢弘志士之气，不

宜妄自菲薄，引喻失义，以塞忠谏之路也。

宫中府中，俱为一体；陟罚臧否，不宜异同。若有作奸犯科及为忠善者，宜付有司论其刑赏，以昭陛

下平明之理；不宜偏私，使内外异法也。

侍中、侍郎郭攸之、费祎、董允等，此皆良实，志虑忠纯，是以先帝简拔以遗陛下：愚

以为宫中之事，事无大小，悉以咨之，然后施行，必能裨补阙漏，有所广益。

将军向宠，性行淑均，晓畅军事，试用于昔日，先帝称之曰

能”，是以众议举宠为督：

愚以为营中之事，悉以咨之，必能使行阵和睦，优劣得所。

亲贤臣，远小人，此先汉所以兴隆也；亲小人，远贤臣，此后汉所以倾颓也。先帝在时, 每与臣论此

事，未尝不叹息痛恨于桓、灵也。侍中、尚书、长史、参军，此悉贞良死节之臣，愿陛下亲之、信之，则

汉室之隆，可计日而待也

。

臣本布衣，躬耕于南阳，苟全性命于乱世，不求闻达于诸侯。先帝不以臣卑鄙，猥自枉屈，三顾臣于

草庐之中，咨臣以当世之事，由是感激，遂许先帝以驱驰。后值倾覆，受任于败军之际，奉命于危难之间，

尔来二十有一年矣。

先帝知臣谨慎，故临崩寄臣以大事也。受命以来，夙夜忧叹，恐托付不效，以伤先帝之明；故五月渡

泸，深入不毛。今南方已定，兵甲已足，当奖率三军，北定中原，庶竭驽钝，攘除奸凶，兴复汉室，还于旧

都。此臣所以报先帝而忠陛下之职分也。至于斟酌损益，进尽忠言，则攸之、祎、允之任也。

愿陛下托臣以讨贼兴复之效，不效，则治臣之罪，以告先帝之灵。若无兴德之言，则责攸之、祎、允

等之慢，以彰其咎；陛下亦宜自谋，以咨诹善道，察纳雅言，深追先帝遗诏。臣不胜受恩感激。

今当远离，临表涕零，不知所言。