一元二次方程应用题经典题型汇总

一、增长率问题

例 1 　恒利商厦九月份的销售额为 200 万元，十月份的销售额下降了 20% ，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了 193.6 万元，求这两个月的平均增长率 。

解　设这两个月的平均增长率是 x，则根据题意，得 200(1 － 20%)(1+ x ) 2 ＝ 193.6 ，

即 (1+ x ) 2 ＝ 1.21 ，解这个方程，得 x 1 ＝ 0.1 ， x 2 ＝－ 2.1 （舍去）。

答　这两个月的平均增长率是 10%.

说明　这是一道正增长率问题，对于正的增长率问题，在弄清楚增长的次数和问题中每一个数据的意义，即可利用公式 m (1+ x ) 2 ＝ n 求解，其中 m ＜ n . 对于负的增长率问题，若经过两次相等下降后，则有公式 m (1 － x ) 2 ＝ n 即可求解，其中 m ＞ n .

二、商品定价

例 2 　益群精品店以每件 21 元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价 a 元，则可卖出（ 350 － 10 a ）件，但物价局限定每件商品的利润不得超过 20% ，商店计划要盈利 400 元，需要进货多少件？每件商品应定价多少？

解　根据题意，得 ( a － 21)(350 － 10 a ) ＝ 400 ，整理，得 a 2 － 56 a +775 ＝ 0 ，

解这个方程，得 a 1 ＝ 25 ， a 2 ＝ 31.

因为 21 × (1+20%) ＝ 25.2 ，所以 a 2 =31 不合题意，舍去 .

所以 350 － 10 a ＝ 350 － 10 × 25 ＝ 100 （件） .

答　需要进货 100 件，每件商品应定价 25 元 .

说明　商品的定价问题是商品交易中的重要问题，也是各种考试的热点 .

三、储蓄问题

例 3 　王红梅同学将 1000 元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入 “ 少儿银行 ” ，到期后将本金和利息取出，并将其中的 500 元捐给 “ 希望工程 ” ，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的 90% ，这样到期后，可得本金和利息共 530 元，求第一次存款时的年利率 . （假设不计利息税）

解　设第一次存款时的年利率为 x .

则根据题意，得 [1000(1+ x ) － 500](1+0.9 x ) ＝ 530. 整理，得 90 x 2 +145 x － 3 ＝ 0.

解这个方程，得 x 1 ≈ 0.0204 ＝ 2.04% ， x 2 ≈ － 1.63. 由于存款利率不能为负数，所以将 x 2 ≈ － 1.63 舍去 .

答　第一次存款的年利率约是 2.04%.

说明　这里是按教育储蓄求解的，应注意不计利息税 .

四、趣味问题

例 4 　一个醉汉拿着一根竹竿进城，横着怎么也拿不进去，量竹竿长比城门宽 4 米，旁边一个醉汉嘲笑他，你没看城门高吗，竖着拿就可以进去啦，结果竖着比城门高 2 米，二人没办法，只好请教聪明人，聪明人教他们二人沿着门的对角斜着拿，二人一试，不多不少刚好进城，你知道竹竿有多长吗？

解　设渠道的深度为 x m ，那么渠底宽为 ( x +0.1)m ，上口宽为 ( x +0.1+1.4)m.

则根据题意，得 1/2( x +0.1+ x +1.4+0.1) · x ＝ 1.8 ，整理，得 x 2 +0.8 x － 1.8 ＝ 0.

解这个方程，得 x 1 ＝－ 1.8 （舍去）， x 2 ＝ 1.

所以 x +1.4+0.1 ＝ 1+1.4+0.1 ＝ 2.5.

答　渠道的上口宽 2.5m ，渠深 1m.

说明　求解本题开始时好象无从下笔，但只要能仔细地阅读和口味，就能从中找到等量关系，列出方程求解 .

五、古诗问题

例 5 　读诗词解题：（通过列方程式，算出周瑜去世时的年龄） .

大江东去浪淘尽，千古风流数人物；

而立之年督东吴，早逝英年两位数；

十位恰小个位三，个位平方与寿符；

哪位学子算得快，多少年华属周瑜？

解　设周瑜逝世时的年龄的个位数字为 x ，则十位数字为 x － 3.

则根据题意，得 x 2 ＝ 10( x － 3)+ x ，即 x 2 -11x+30 ＝ 0 ，解这个方程，得 x ＝ 5 或 x ＝ 6.

当 x ＝ 5 时，周瑜的年龄 25 岁，非而立之年，不合题意，舍去；

当 x ＝ 6 时，周瑜年龄为 36 岁，完全符合题意 .

答　周瑜去世的年龄为 36 岁 .

说明　本题虽然是一道古诗问题，但它涉及到数字和年龄问题，通过求解同学们应从中认真口味 .

六、象棋比赛

例 6 　象棋比赛中，每个选手都与其他选手恰好比赛一局，每局赢者记 2 分，输者记 0 分 . 如果平局，两个选手各记 1 分，领司有四个同学统计了中全部选   手的得分总数，分别是 1979 ， 1980 ， 1984 ， 1985. 经核实，有一位同学统计无误 . 试计算这次比赛共有多少个选手参加 .

解　设共有 n 个选手参加比赛，每个选手都要与 ( n － 1) 个选手比赛一局，共计 n ( n － 1) 局，但两个选手的对局从每个选手的角度各自统计了一次，因此实际比赛

总局数应为 1/2n ( n － 1) 局 . 由于每局共计 2 分，所以全部选手得分总共为 n ( n － 1) 分 . 显然 ( n － 1) 与 n 为相邻的自然数，容易验证，相邻两自然数乘积的末位数字只能是 0 ， 2 ， 6 ，故总分不可能是 1979 ， 1984 ， 1985 ，因此总分只能是 1980 ，于是由 n ( n － 1) ＝ 1980 ，得 n 2 － n － 1980 ＝ 0 ，解得 n 1 ＝ 45 ， n 2 ＝－ 44 （舍去） .

答　参加比赛的选手共有 45 人 .

说明　类似于本题中的象棋比赛的其它体育比赛或互赠贺年片等问题，都可以仿照些方法求解 .

七、情景对话

例 7 　春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如图 1 对话中收费标准 .

某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用 27000 元 . 请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？

解　设该单位这次共有 x 名员工去天水湾风景区旅游 . 因为 1000 × 25 ＝ 25000 ＜ 27000 ，所以员工人数一定超过 25 人 .

则根据题意，得 [1000 － 20( x － 25)] x ＝ 27000.

整理，得 x 2 － 75 x +1350 ＝ 0 ，解这个方程，得 x 1 ＝ 45 ， x 2 ＝ 30.

当 x ＝ 45 时， 1000 － 20( x － 25) ＝ 600 ＜ 700 ，故舍去 x 1 ；

当 x 2 ＝ 30 时， 1000 － 20( x － 25) ＝ 900 ＞ 700 ，符合题意 .

答：该单位这次共有 30 名员工去天水湾风景区旅游 .

说明　求解本题要时刻注意对话框中的数量关系，求得的解还要注意分类讨论，从中找出符合题意的结论 .

八、等积变形

例 8 　将一块长 18 米，宽 15 米的矩形荒地修建成一个花园（阴影部分）所占的面积为原来荒地面积的三分之二 . （精确到 0.1m ）

（ 1 ）设计方案 1 （如图 2 ）花园中修两条互相垂直且宽度相等的小路 .

（ 2 ）设计方案 2 （如图 3 ）花园中每个角的扇形都相同 .

以上两种方案是否都能符合条件 ? 若能，请计算出图 2 中的小路的宽和图 3 中扇形的半径；若不能符合条件，请说明理由 .

解　都能 . （ 1 ）设小路宽为 x ，则 18 x +16 x － x 2 ＝ 2/3× 18 × 15 ，即 x 2 － 34 x +180 ＝ 0 ，

解这个方程，得x ≈ 6.6.

（ 2 ）设扇形半径为 r ，则 3.14 r 2 ＝ 2/3× 18 × 15 ，即 r 2 ≈ 57.32 ，所以 r ≈ 7.6.

说明　等积变形一般都是涉及的是常见图形的体积，面积公式；其原则是形变积不变；或形变积也变，但重量不变，等等 .

九、动态几何问题

例 9 　如图 4 所示，在 △ ABC 中， ∠ C ＝ 90?/SPAN> ， AC ＝ 150px ， BC ＝ 200px ，点 P 从点 A 出发沿边 AC 向点 C 以 25px/s 的速度移动，点 Q 从 C 点出发沿 CB 边向点 B 以 50px/s 的速度移动 .

（ 1 ）如果 P 、 Q 同时出发，几秒钟后，可使 △ PCQ 的面积为 8 平方厘米？

（ 2 ）点 P 、 Q 在移动过程中，是否存在某一时刻，使得 △ PCQ 的面积等于 △ ABC 的面积的一半 . 若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由 .

解　因为 ∠ C ＝ 90?/SPAN> ，所以 AB ＝ 10 （ cm ） .

（ 1 ）设 x s 后，可使 △ PCQ 的面积为 200px 2 ，所以   AP ＝ x cm ， PC ＝ (6 － x )cm ， CQ ＝ 2 x cm.

则根据题意，得(6 － x ) · 2 x ＝8. 整理，得 x 2 － 6 x +8 ＝ 0 ，解这个方程，得 x 1 ＝ 2 ， x 2 ＝ 4.

所以 P 、 Q 同时出发， 2s 或 4s 后可使 △ PCQ 的面积为 200px 2 .

（ 2 ）设点 P 出发 x 秒后， △ PCQ 的面积等于 △ ABC 面积的一半 .

则根据题意，得 1/2(6 － x ) · 2 x ＝ 1/2× 1/2× 6 × 8. 整理，得 x 2 － 6 x +12 ＝ 0.

由于此方程没有实数根，所以不存在使 △ PCQ 的面积等于 ABC 面积一半的时刻 .

说明　本题虽然是一道动态型应用题，但它又要运用到行程的知识，求解时必须依据路程＝速度 × 时间 .

十、梯子问题

例 10 　一个长为 10m 的梯子斜靠在墙上，梯子的底端距墙角 6m.

（ 1 ）若梯子的顶端下滑 1m ，求梯子的底端水平滑动多少米？

（ 2 ）若梯子的底端水平向外滑动 1m ，梯子的顶端滑动多少米？

（ 3 ）如果梯子顶端向下滑动的距离等于底端向外滑动的距离，那么滑动的距离是多少米？

解　依题意，梯子的顶端距墙角8 （ m ） .

（ 1 ）若梯子顶端下滑 1m ，则顶端距地面 7m. 设梯子底端滑动 x m.

则根据勾股定理，列方程 7 2 +(6+ x ) 2 ＝ 10 2 ，整理，得 x 2 +12 x － 15 ＝ 0 ，

解这个方程，得 x 1 ≈ 1.14 ， x 2 ≈ － 13.14 （舍去），

所以梯子顶端下滑 1m ，底端水平滑动约 1.14m.

（ 2 ）当梯子底端水平向外滑动 1m 时，设梯子顶端向下滑动 x m.

则根据勾股定理，列方程 (8 － x ) 2 +(6+1) 2 ＝ 100. 整理，得 x 2 － 16 x +13 ＝ 0.

解这个方程，得 x 1 ≈ 0.86 ， x 2 ≈ 15.14 （舍去） .

所以若梯子底端水平向外滑动 1m ，则顶端下滑约 0.86m.

（ 3 ）设梯子顶端向下滑动 x m 时，底端向外也滑动 x m.

则根据勾股定理，列方程  (8 － x ) 2 +(6+ x ) 2 ＝ 10 2 ，整理，得 2 x 2 － 4 x ＝ 0 ，

解这个方程，得 x 1 ＝ 0 （舍去）， x 2 ＝ 2.

所以梯子顶端向下滑动 2m 时，底端向外也滑动 2m.

说明　求解时应注意无论梯子沿墙如何上下滑动，梯子始终与墙上、地面构成直角三角形 .

十一、航海问题

例 11 　如图 5 所示，我海军基地位于 A 处，在其正南方向 200 海里处有一重要目标 B ，在 B 的正东方向 200 海里处有一重要目标 C ，小岛 D 恰好位于 AC 的中点，岛上有一补给码头；小岛 F 位于 BC 上且恰好处于小岛 D 的正南方向，一艘军舰从 A 出发，经 B 到 C 匀速巡航．一艘补给船同时从 D 出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送往军舰 .

（ 1 ）小岛 D 和小岛 F 相距多少海里？

（ 2 ）已知军舰的速度是补给船的 2 倍，军舰在由 B 到 C 的途中与补给船相遇于 E 处，那么相遇时补给船航行了多少海里？（精确到 0.1 海里）

解（ 1 ） F 位于 D 的正南方向，则 DF ⊥ BC . 因为 AB ⊥ BC ， D 为 AC 的中点，所以 DF ＝ 1/2AB ＝ 100 海里，所以，小岛 D 与小岛 F 相距 100 海里 .

（ 2 ）设相遇时补给船航行了 x 海里，那么 DE ＝ x 海里， AB + BE ＝ 2 x 海里， EF ＝ AB + BC － ( AB + BE ) － CF ＝ (300 － 2 x ) 海里 .

在 Rt △ DEF 中，根据勾股定理可得方程 x 2 ＝ 100 2 +(300 － 2 x ) 2 ，整理，得 3 x 2 － 1200 x +100000 ＝ 0.

解这个方程，得 x 1 ≈ 118.4 ， x 2 （不合题意，舍去） .

所以，相遇时补给船大约航行了 118.4 海里 .

说明　求解本题时，一定要认真地分析题意，及时发现题目中的等量关系，并能从图形中寻找直角三角形，以便正确运用勾股定理布列一元二次方程 .

十二、图表信息

例 12 　如图 6 所示，正方形 ABCD 的边长为 12 ，划分成 12 × 12 个小正方形格，将边长为 n （ n 为整数，且 2 ≤ n ≤ 11 ）的黑白两色正方形纸片按图中的方式，黑白相间地摆放，第一张 n × n 的纸片正好盖住正方形 ABCD 左上角的 n × n 个小正方形格，第二张纸片盖住第一张纸片的部分恰好为 ( n － 1) × ( n － 1) 个小正方形 . 如此摆放下去，直到纸片盖住正方形 ABCD 的右下角为止 .

请你认真观察思考后回答下列问题：

（ 1 ）由于正方形纸片边长 n 的取值不同，  完成摆放时所使用正方形纸片的张数也不同，请填写下表：

（ 2 ）设正方形 ABCD 被纸片盖住的面积（重合部分只计一次）为 S 1 ，未被盖住的面积为 S 2 .

① 当 n ＝ 2 时，求 S 1 ∶ S 2 的值；

② 是否存在使得 S 1 ＝ S 2 的 n 值？若存在，请求出来；若不存在，请说明理由 .

解（ 1 ）依题意可依次填表为： 11 、 10 、 9 、 8 、 7.

（ 2 ） S 1 ＝ n 2 +(12 － n )[ n 2 － ( n － 1) 2 ] ＝－ n 2 +25 n － 12.

① 当 n ＝ 2 时， S 1 ＝－ 2 2 +25 × 2 － 12 ＝ 34 ， S 2 ＝ 12 × 12 － 34 ＝ 110.

所以 S 1 ∶ S 2 ＝ 34 ∶ 110 ＝ 17 ∶ 55.

② 若 S 1 ＝ S 2 ，则有－ n 2 +25 n － 12 ＝ 1/2× 12 2 ，即 n 2 － 25 n +84 ＝ 0 ，

解这个方程，得 n 1 ＝ 4 ， n 2 ＝ 21 （舍去） .

所以当 n ＝ 4 时， S 1 ＝ S 2 . 所以这样的 n 值是存在的 .

说明　求解本题时要通过阅读题设条件及提供的图表，及时挖掘其中的隐含条件，对于求解第（ 3 ）小题，可以先假定问题的存在，进而构造一元二次方程，看得到的一元二次方程是否有实数根来加以判断 .

十三、探索在在问题

例 13 　将一条长为 500px 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形 .

（ 1 ）要使这两个正方形的面积之和等于 425px 2 ，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少 ?

（ 2 ）两个正方形的面积之和可能等于 300px 2 吗 ?  若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由 .

解（ 1 ）设剪成两段后其中一段为 x cm ，则另一段为（ 20 － x ） cm.

解得 x 1 ＝ 16 ， x 2 ＝ 4 ，

当 x ＝ 16 时， 20 － x ＝ 4 ，当 x ＝ 4 时， 20 － x ＝ 16 ，

答　这段铁丝剪成两段后的长度分别是 100px 和 400px.

（ 2 ）不能 . 理由是：不妨设剪成两段后其中一段为 y cm ，则另一段为（ 20 － y ） cm. 则由题意得 y 2 － 20 y +104 ＝ 0 ，移项并配方，得 ( y － 10) 2 ＝－ 4 ＜ 0 ，所以此方程无解，即不能剪成两段使得面积和为 300px 2 .

说明　本题的第（ 2 ）小问也可以运用求根公式中的 b 2 － 4 ac 来判定 . 若 b 2 － 4 ac ≥ 0 ，方程有两个实数根，若 b 2 － 4 ac ＜ 0 ，方程没有实数根，本题中的 b 2 － 4 ac ＝－ 16 ＜ 0 即无解 .

十四、平分几何图形的周长与面积问题

例 14 　如图 7 ，在等腰梯形 ABCD 中， AB ＝ DC ＝ 5 ， AD ＝ 4 ， BC ＝ 10. 点 E 在下底边 BC 上，点 F 在腰 AB 上 .

（ 1 ）若 EF 平分等腰梯形 ABCD 的周长，设 BE 长为 x ，试用含 x 的代数式表示 △ BEF 的面积；

（ 2 ）是否存在线段 EF 将等腰梯形 ABCD 的周长和面积同时平分？若存在，求出此时 BE 的长；若不存在，请说明理由；

（ 3 ）是否存在线段 EF 将等腰梯形 ABCD 的周长和面积同时分成 1 ∶ 2 的两部分？若存在，求此时 BE 的长；若不存在，请说明理由 。