编讲：王杰通3SS23SS21.两次相遇公式：单岸型S=1两岸型S=122例题：两艘渡轮在同一时刻垂直驶离H河的甲、乙两岸相向而行，一艘从甲岸驶向乙岸，另一艘从乙岸开往甲岸，它们在距离较近的甲岸720米处相遇。到达预定地点后，每艘船都要停留10分钟，以便让乘客上船下船，然后返航。这两艘船在距离乙岸400米处又重新相遇。问：该河的宽度是多少？A.1120米B.1280米C.1520米D.1760米
典型两次相遇问题，这题属于两岸型（距离较近的甲岸720米处相遇、距离乙岸400米处又重新相遇）代入公式3*720-400=1760选D
如果第一次相遇距离甲岸X米，第二次相遇距离甲岸Y米，这就属于单岸型了，也就是说属于哪类型取决于参照的是一边岸还是两边岸2.漂流瓶公式：T=
2t逆t顺t逆-t顺例题：AB两城由一条河流相连，轮船匀速前进，A――B，从A城到B城需行3天时间，而从B城到A城需行4天，从A城放一个无动力的木筏，它漂到B城需多少天？
A、3天B、21天C、24天D、木筏无法自己漂到B城解：公式代入直接求得24
3.沿途数车问题公式：发车时间间隔T=
2t1t2车速/人速=(t1+t2)/(t2-t1)t1t2例题：小红沿某路公共汽车路线以不变速度骑车去学校，该路公共汽车也以不变速度不停地运行，没隔6分钟就有辆公共汽车从后面超过她，每隔10分钟就遇到迎面开来的一辆公共汽车，公共汽车的速度是小红骑车速度的（）倍？A.3B.4C.5D.6
解：车速/人速=（10+6）/（10-6）=4选B4.往返运动问题公式：V均=(2v1*v2)/(v1+v2)
例题：一辆汽车从A地到B地的速度为每小时30千米，返回时速度为每小时20千米，则它的平均速度为多少千米/小时？（）A.24B.24.5C.25D.25.5
解：代入公式得2*30*20/(30+20)=24选A5.电梯问题：能看到级数=（人速+电梯速度）
能看到级数=（人速-电梯速度）
顺行运动所需时间（顺）
逆行运动所需时间（逆）
6.什锦糖问题公式：均价A=n/｛（1/a1）+(1/a2)+(1/a3)+(1/an)｝
例题：商店购进甲、乙、丙三种不同的糖，所有费用相等，已知甲、乙、丙三种糖
每千克费用分别为4.4元，6元，6.6元，如果把这三种糖混在一起成为什锦
参考文献《全国硕士研究生考试管理类联考数学考试题典》王杰通编著/南京大学出版社糖，那么这种什锦糖每千克成本多少元？A．4.8元B．5元C．5.3元D．5.5元
Arb7.十字交叉法：Bar例：某班男生比女生人数多80%，一次考试后，全班平均成级为75分，而女生的平均分比男生的平均分高20%，则此班女生的平均分是：析：男生平均分X，女生1.2X1.2X75-X1
75=X1.2X-751.8得X=70女生为848.传球问题
这道传球问题是一道非常复杂麻烦的排列组合问题。
不免投机取巧，但最有效果(根据对称性很容易判断结果应该是3的倍数，如果答案只有一个3的倍数，便能快速得到答案)，也给了一个启发----传球问题核心公式
M
N个人传M次球，记传球方式：X=(N-1)/N，则与X最接近的整数为传给“非自己的某人”的方法数，与X第二接近的整数便是传给自己的方法数。大家牢记一条公式，可以解决此类至少三人传球的所有问题。
4人进行篮球传接球练习，要求每人接球后再传给别人。开始由甲发球，并作为第一次传球，若第5次传球后，球又回到甲手中，则共有传球方式：
A.60种B.65种C.70种D.75种
5
x=(4-1)/4，x=60
9.一根绳连续对折N次，从中剪M刀，则被剪成（2的N次方*M+1）段
10.方阵问题：方阵人数=（最外层人数/4+1）的2次方N排N列最外层有4N-4人
例：某校的学生刚好排成一个方阵，最外层的人数是96人，问这个学校共有学生？
析：最外层每边的人数是96/4+1＝25，则共有学生25*25=625
11.过河问题：M个人过河，船能载N个人。需要A个人划船，共需过河（M-A）/(N-A)次
例题有37名红军战士渡河，现在只有一条小船，每次只能载5人，需要几次才能渡完？（）A.7B.8C.9D.10解：（37-1）/（5-1）=9
12.星期日期问题：闰年（被4整除）的2月有29日，平年（不能被4整除）的2月有28
日，记口诀：一年就是1，润日再加1；一月就是2，多少再补算例：2002年9月1号是星期日2008年9月1号是星期几？
因为从2002到2008一共有6年，其中有4个平年，2个闰年，求星期，则：4X1+2X2=8，此即在星期日的基础上加8，即加1，第二天。
例：2004年2月28日是星期六,那么2008年2月28日是星期几？4+1＝5，即是过5天，为星期四。（08年2月29日没到）13.复利计算公式：本息=本金
参考文献《全国硕士研究生考试管理类联考数学考试题典》王杰通编著/南京大学出版社｛（1+利率）的N次方｝，N为相差年数
例题：某人将10万远存入银行，银行利息2%/年，2年后他从银行取钱，需缴纳利息税，税率为20%,则税后他能实际提取出的本金合计约为多少万元？（）A.10.32B.10.44C.10.50D10.61
两年利息为（1+2%）的平方*10-10=0.404税后的利息为0.404*（1-20%）约等于0.323，则提取出的本金合计约为10.32万元14.牛吃草问题：草场原有草量=（牛数-每天长草量）
天数
例题：有一水池，池底有泉水不断涌出，要想把水池的水抽干，10台抽水机需抽8小时，8台抽水机需抽12小时，如果用6台抽水机，那么需抽多少小时？A、16B、20C、24D、28解：（10-X）*8=（8-X）*12求得X=4（10-4）*8=（6-4）*Y求得答案Y=24公式熟练以后可以不设方程直接求出来
15.植树问题：线型棵数=总长/间隔+1环型棵数=总长/间隔楼间棵数=总长/间隔-1
例题：一块三角地带，在每个边上植树，三个边分别长156M186M234M，树与树之间距离为6M，三个角上必须栽一棵树，共需多少树？
A93B95C96D99
16：比赛场次问题：淘汰赛仅需决冠亚军比赛场次=N-1淘汰赛需决前四名场次=N
单循环赛场次为组合N人中取2双循环赛场次为排列N人中排2比赛赛制比赛场次单循环赛参赛选手数×（参赛选手数－1）/2循环赛双循环赛参赛选手数×（参赛选手数－1）只决出冠（亚）军参赛选手数－1淘汰赛要求决出前三（四）名参赛选手数17.握手问题N个人彼此握手，则总握手数S：
S=(n-1){a1+a(n-1)}/2=(n-1){1+1+(n-2)}/2
2
=(N-N)/2
=N×(N-1)/2，即：N和N-1个人握手（除去自己之外还有N-1个人，同时握手是互相的都重复多计算一次，所以再除以2）
例题：某个班的同学体育课上玩游戏，大家围成一个圈，每个人都不能跟相邻的2个人握手，整个游戏一共握手152次，请问这个班的同学有()人
A、16B、17C、18D、19
【解析】每个人需要握x-3次手（自己加相邻的2个人共3次）。每个人都是这样。则总共握了x×(x-3)次手。但是没2个人之间的握手都重复计算了1次。则实际的握手次数是x×(x-3)÷2=152计算的x=19人18.时钟成角度的问题
求夹角公式：设夹角为A，X时Y分时：A=︱30X-5.5Y︱或者=360-︱30X-5.5Y︱（钝角）
钟面分12大格60小格每一大格为360除以12等于30度，分针每过一分钟分针走6度，时针走0.5度，能追5.5度。19.钟表重合公式钟表几分重合，公式为：x/5=(x+a)/60a时钟前面的格数
参考文献《全国硕士研究生考试管理类联考数学考试题典》王杰通编著/南京大学出版社20.青蛙跳井问题
①青蛙从井底向上爬，井深10米，青蛙每跳上5米，又滑下4米，这样青蛙需跳几次方可出井?(6)解析：（10-5）/5+1=6
②单杠上挂着一条4米长的爬绳，小赵每次向上爬1米又滑下半米来，问小赵几次才能爬上单杠?(7)解析：（4-1）/0.5+1=7
完成任务的次数=(总长-单长)/实际单长+1
例如第二题中，每次下滑半米，要将前面的4米转换成8个半米再计算。21.四个连续自然数
性质一，为两个奇数和两个偶数，它们的和可以被2整除，但是不能被4整除(不包括0)
性质二，他们的积+1是一个奇数的完全平方数
22.关于“多米诺骨牌”的问题（公式是：小于等于总数的2的N次方的最大值就是最后剩下的序号）
有300张多米诺骨牌，从1——300编号，每次抽取奇数牌，问最后剩下的一张牌是多少号？答：第256号
解题技巧：不论题中给出的牌数是多少，小于等于总牌数的2的N次方的最大值就是最后剩下的牌的序号。（例题中小于等于300的2的N次方的最大值是2的8次方，故最后剩下的一张牌是256号）
再举个例子：153张牌按1——153排序，每次抽取奇数牌，最后剩下几号？答：2的7次方等于128，故最后剩下的是128号牌）23，边长求三角形的个数
三边均为整数，且最长边为11的三角形有多少个?解答：
11,11,11;11,11,10;11,11,9;...11,11,1;11,10,10;11,10,9;...11,10,2;11,9,9;...11,9,3;11,8,8;...11,8,4;11,7,7,...11,7,5;11,6,6;
1+3+5+7+9+11=6^2=36如果将11改为n的话，
2
n=2k-1时，为k个三角形;n=2k时，为(k+1)×k个三角形。(n=11:36个；n=10:30个)
24，直线分圆的图形数
设直线的条数为N则总数=N×(1+N)/2+1
将一个圆形纸片用直线划分成大小不限的若干小纸片，如果要分成不少于50个小纸片，至少要画多少条直线?请说明.
〔解〕若希望将纸片划分成尽可能多的块数，应该使新画出的直线与原有的直线都在圆内相交，且交点互不相同.这时增加的块数等于所有直线的条数。
直线条数纸片最多划分成的块数11+1
参考文献《全国硕士研究生考试管理类联考数学考试题典》王杰通编著/南京大学出版社21+1+231+1+2+341+1+2+3+451+1+2+3+4+5
不难看出，表中每行右边的数等于1加上从1到行数的所有整数的和。(为什么?)我们把问题化为：自第几行起右边的数不小于50?我们知道
1+1+2+3+…+10=56，1+1+2+3+…+9=46，可见
9行右边还不到50，而第10行右边已经超过50了。答：至少要画10条直线。25.象棋比赛人数问题
象棋比赛中，每个选手都与其他选手恰好比赛一局，每局胜者记2分，负者记0分，和棋各记1分，四位观众统计了比赛中全部选手得分总数分别是:1979，1980，1984，1985，经核实只有一位观众统计正确，则这次比赛的选手共有多少名?
A.44B.45C.46D.47
解析：(44*43)/2×2=1892，(45*44)/2×2=1980，(46*45)/2×2=2070所以选B
26.频率和单次频度都不同问题
猎犬发现在离它9米远的前方有一只奔跑着的兔子，立刻追赶，猎犬的步子大，它跑5步的路程，兔要跑9步，但兔子动作快，猎犬跑2步的时间，兔子跑3步。猎犬至少跑多少米才能追上兔子?()
A.67B.54C.49D.34答案b
分析：猎犬的步子大，它跑5步的路程，兔要跑9步，但兔子动作快，猎犬跑2步的时间，兔子跑3步.可知猎犬和兔子的速度比是6:5，s/(s-9)=6/5，s=5427.称重量砝码最少的问题
例题：要用天平称出1克、2克、3克……40克这些不同的整数克重量，至少要用多少个砝码?这些砝码的重量分别是多少?
总之，砝码重量为1，3，32，33克时，所用砝码最少，称重最大，这也是本题的答案。
28.用比例法解行程问题
在细说之前我们先来了解如下几个关系：路程为S。速度为V时间为TS=VTV=S/TT=S/V
S相同的情况下：V跟T成反比V相同的情况下：S跟T成正比T相同的情况下：S跟V成正比注：比例点数差也是实际差值对应的比例!理解基本概念后，具体题目来分析
例一、甲乙2人分别从相距200千米的AB两地开车同时往对方的方向行驶。到达对方始发点后返回行驶，按照这样的情况，2人第4次相遇时甲比乙多行了280千米已知甲的速度为60千米每小时。则乙的速度为多少?
分析：这个题目算是一个相遇问题的入门级的题目。我们先从基础的方法入手，要多给自己提问求乙的速度即要知道乙的行驶路程S乙，乙所花的时间T乙。这2个变量都没有告诉我们，需要我们去根据条件来求出：
参考文献《全国硕士研究生考试管理类联考数学考试题典》王杰通编著/南京大学出版社乙的行驶路程非常简单可以求出来。因为甲乙共经过4次相遇。希望大家不要嫌我罗嗦。我希望能够更透彻的把这类型的题目通过图形更清晰的展现给大家。
第一次相遇情况A(甲).。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。(甲)C(乙)。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。B(乙)AC即为第一次相遇甲行驶的路程。BC即为乙行驶的路程则看出AC+BC=AB两者行驶路程之和=S第2次相遇的情况A.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。(乙)D(甲)。。。。。。C。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。B
在这个图形中，我们从第一次相遇到第2次相遇来看甲从C点开始行驶的路线是C-B-D，其路程是BC+BD
乙行驶的路线则是C-A-D其行驶的路程是AC+AD
可以看出第2次相遇两者的行驶路程之和是
BC+BD+AC+AD=(BC+AC)+(BD+AD)=2S，同理第3，4次相遇都是这样。
则我们发现整个过程中，除第一次相遇是一个S外。其余3次相遇都是2S。总路程是2×3S+S=7S
根据题目，我们得到了行驶路程之和为7×200=1400
因为甲比乙多行驶了280千米则可以得到乙是(1400-280)÷2=560则甲是560+280=840
好，现在就剩下乙的行驶时间的问题了。因为两个人的行驶时间相同则通过计算甲的时间得到乙的时间即840÷60=14小时。
所以T乙=14小时。那么我就可以求出乙的速度V乙=S乙÷T乙=560÷14=40说道这里我需要强调的是，在行程问题中，可以通过比例来迅速解答题目。比例求解法：
我们假设乙的速度是V则根据时间相同，路程比等于速度比，
S甲：S乙=V甲：V乙衍生出如下比例：(S甲+S乙)：(S甲-S乙)=(V甲+V乙)：(V甲-V乙)
得出1400：280=(60+V)：(60-V)解得V=40
例二、甲车以每小时160千米的速度，乙车以每小时20千米的速度，在长为210千米的环形公路上同时、同地、同向出发。每当甲车追上乙车一次，甲车减速1/3，而乙车则增速1/3。问：在两车的速度刚好相等的时刻，它们共行驶了多少千米?
A.1250B.940C.760D.1310
【解析】我们先来看需要多少次相遇才能速度相等
160×(2/3)的N次方=20×(4/3)的N次方N代表了次数解得N=3说明第三次相遇即达到速度相等
第一次相遇前：开始时速度是160：20=8：1用时都一样，则路程之比=速度之比
我们设乙行驶了a千米则(a+210)：a=8：1解得a=30
第二次相遇前：速度比是甲：乙=4：1用时都一样，则路程之比=速度之比
我们设乙从第1次相遇到第2次相遇行驶了b千米则(b+210)：b=4：1解得a=70
参考文献《全国硕士研究生考试管理类联考数学考试题典》王杰通编著/南京大学出版社第三次相遇前：速度比是甲：乙=2：1用时都一样，则路程之比=速度之比
我们设乙从第2次相遇到第3次相遇行驶了c千米则(c+210)：c=2：1解得c=210
则三次乙行驶了210+70+30=310千米
而甲比乙多出3圈则甲是210×3+310=940则两人总和是940+310=1250例三、一辆汽车以每小时40千米的速度从甲城开往乙城，返回时它用原速度走了全程的4分之3多5米，再改用每小时30千米的速度走完余下的路程，因此，返回甲城的时间比前往乙城的时间多用了10分钟，甲、乙两城相距多远?
【解析】我们知道多出来的10分钟即1/6小时是在最后1/4差5千米的路程里产生的，则根据路程相同
速度比等于时间比的反比即T30：T40=40：30=4：3
所以30千米行驶的最后部分是用了1/6×(4-3)×4=2/3小时即路程是30×2/3=20千米总路程是(20+5)÷1/4=100
例四、甲乙两人各坐一游艇在湖中划行,甲摇浆10次时乙摇浆8次,而乙摇浆70次,所走的路程等于甲摇浆90次所走的路程,现甲先摇浆4次,则乙摇浆多少次才能追上?
A.14B.16C.112D.124
【解析】甲摇浆10次时乙摇浆8次知道甲乙速度之比=5：4
而乙摇浆70次,所走的路程等于甲摇浆90次所走的路程则可以得到每浆得距离之比是甲：乙=7：9
所以，我们来看相同时间内甲乙得距离之比，5×7：4×9=35：36说明，乙比甲多出1个比例单位
现在甲先划桨4次，每浆距离是7个单位，乙每浆就是9个单位，所以甲领先乙是4×7=28个单位，事实上乙每4浆才能追上36-35=1个单位，
说明28个单位需要28×4=112浆次追上!选C例五、甲乙两个工程队共100人,如果抽调甲队人的1/4至乙队,则乙队比甲队多了2/9,问甲队原来多少人?
这个题目其实也很简单，下面我说一个简单方法
【解析】根据条件乙队比甲队多了2/9我们假设甲队是单位1，则乙队就是1+2/9=11/9，100人的总数不变
可见甲乙总数是1+11/9=20/9(分母不看)
则100人被分成20分即甲是100÷20×9=45乙是55
因为从甲队掉走1/4则剩下的是3/4算出原来甲队是45÷3/4=6029.坏钟表行走时间判定问题
一个钟表出现了故障，分针比标准时间每分钟快6秒，时针却是正常的。上午某一时刻将钟表调整至标准时间。经过一段时间发现钟表的时刻为晚上9：00请问钟表在何时被调整为标准时间?
A、10：30B、11：00C、12：00D、1：30
【解析】此题也是比较简单的题目。我们看因为每分钟快6秒则1个小时快60×6=360秒即6分钟。当9：00的时候说明分针指在12点上。看选项。其时针正常，
参考文献《全国硕士研究生考试管理类联考数学考试题典》王杰通编著/南京大学出版社那么相差的小时数是正常的，A选项差10.5个小时即分针快了10.5×6=63分钟。则分针应该在33分上。错误!同理看B选项相差10个小时即10×6=60分钟，刚好一圈，即原在12上，现在还在12上选B，其它雷同分析。30.分配对象问题
(盈+亏)/分配差=分配对象数
有一堆螺丝和螺母，若一个螺丝配2个螺母，则多10个螺母;若1个螺丝配3个螺母，则少6个螺母。共有多少个螺丝?()A.16B.22C.42D.48
解析：A，(10+6)/(3-2)=16
若干同学去划船，他们租了一些船，若每船4人则多5人，若每船5人则船上空4个坐位，共有()位同学A.17B.19C.26D.41
解析：D，(5+4)/(5-4)=9，4*9+5=41
参考文献《全国硕士研究生考试管理类联考数学考试题典》王杰通编著/南京大学出版社
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