学而思之答禄夫天创作
时间：二O二一年七月二十九日
第十五讲鸡兔同笼进阶
我国古代数学名著《孙子算经》中有这样的一道应用题：今有雉兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问雉兔各有几何?意思是说:鸡和兔同关在一个笼子里,已知鸡与兔共有35只,鸡脚与兔脚共有94只,问鸡、兔各有几多只?
这就是著名的鸡兔同笼问题.怎样解决这个问题呢?我们通常把题中相当于“鸡”和“兔”的两种量,全部假设看作“鸡”或“兔”,然后找出与实际数量的差,由此求出“鸡”或“兔”,这种解决问题的方法就是假设法.鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题,就是把假设错的那部份置出来.解鸡兔同笼问题的基本关系式是： 解法1：鸡的只数=（每只兔脚数× 兔总数－实际脚数）÷（每只兔子脚数－每只鸡的脚数） 兔的只数=总只数－鸡的只数
解法2：兔的只数=（ 总脚数－鸡的脚数×总只数）÷（兔的脚数－鸡的脚数） 鸡的只数=总只数－兔的只数
例1 、鸡兔同笼,头共46,足共128,鸡兔各几只？ 解：假设 46只都是兔.
共应有： 4×46=184（只）
比128只脚多：184128=56（只）
如果用一只鸡来置换一只兔,就要减少：42=2（只）
鸡的只数：56÷2=28（只） 兔的只数：46－28=18（只）
例2、小梅数她家的鸡与兔,数头有16个,数脚有44只.问：小梅家的鸡与兔各有几多只？
解：假设16只都是鸡. 共应有：2×16＝32（只）
比44只脚少：4432＝12（只）
如果用一只兔来置换一只鸡,就要增加：42=2（只）
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兔的只数：12÷2=6（只）
鸡的只数：16－6=10（只）
1、鸡兔同笼,共有头100个,足316只,那么鸡有几多只？兔有几多只？
2、、 鸡兔同笼,共有30个头,88只脚.笼子中鸡、兔各有几多只？
3、鸡与兔共40只,鸡的脚数与兔的脚数共有90只.问鸡、兔各几多只？
4、现在有年夜小油桶50个,每个年夜桶可装油4千克,每个小桶可装油2千克,年夜桶比小桶共多装油20千克,问年夜、小油桶各几多个?
5、某人领得工资240元,有2元,5元,10元三种人民币共50张,其中2元和5元的张数一样多,那么10元的有几多张？
6、四（6）班42个同学向北京奥运会捐款.其中12人每人捐2元,其余同学每人捐5元或10元,一共捐了229元.求捐5元和10元的同学各有几多人？
例3、乐乐百货商店委托搬运站运送500只花瓶,双方商定每只运费0.24元,但如果发生损坏,那么每打破一只不单不给运费,而且还要赔偿1.26元,结果搬运站共得运费115.5元.问：搬运过程中共打破了几只花瓶？
分析：假设500只花瓶在搬运过程中一只也没有打破,那么应得运费0.24×500=120（元）.实际上只获得115.5元,少得15.5=4.5（元）.搬运站每打破一只花瓶要损失0.24＋1.26＝1.5（元）.
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因此共打破花瓶4.5÷1.5＝3（只）.
解：（0.24×500－115.5）÷（0.24＋1.26）＝3（只）.
1、有一辆货车运输2000只玻璃瓶,运费按达到时完好的瓶子数目计算,每只2角,如有破损,破损瓶子不给运费,还要每只赔偿1元.结果获得运费379.6元,问这次搬运中玻璃瓶破损了几只？ 2、运输队为商店运送花瓶500箱,每箱6个花瓶,已知每10个花瓶的运费5.5元,损坏一个花瓶要赔偿本钱11.5元（这个花瓶的运费固然也得不到了）.结果这个运输队共获得运费1553.6元.问共损坏了几多个花瓶？
3、工人运青瓷花瓶250个,规定完整运一个到目的地给运费20元,损坏一个倒赔100元,运完这批花瓶后,工人共得4400元,则损坏了几多只？
4、运输衬衫400箱,规定每箱运费30元,若损失一箱,不单不给运费,并要赔偿100元.运后运费为8880元,损失了几箱？
例4、某学校举行数学竞赛,每做对一题得9分,做错一题倒扣3分.共有12道题,王刚得了84分.王刚做错了几题？
分析：假设全做对,应得9×12=108分,现在少了108－84=24分.而做错一题,不单得不到9分,反而需要倒扣3分,相差了12分,所以错了24÷12=2题.
1、 某次数学竞赛共20道题,评分标准是：每做对一题得5分,每做错或不做一题扣1分.小华介入了这次竞赛,得了64分.问：小华做对几道题？
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2、某次数学检验共20题,做对一题得5分,做错一题倒扣1分,不做得0分.小华得了76分,问他做对几题？
3、一次数学竞赛共20道题,每答对一道题得6分,每答错一道题倒扣4分.小明答完了全部的题目却得了零分,那么他一共答错了几多道题？
4、小毛介入数学竞赛,共做20道题,得64分,已知做对一道得5分,不做得0分,错一题扣2分,又知道他做错的题和没做的一样多.问小毛做对几道题 ?
5、一张数学试卷,共有25道选择题,做对一题得4分,做错一题扣1分.如不做,不得分也不扣分.若某同学得了78分,那么,他做对了几多题？做错几多题？不做几多题？
例5、有蜘蛛、蜻蜓、蝉三种植物共18只,共有腿118条,同党20对（蜘蛛8条腿；蜻蜓6条腿,两对同党；蝉6条腿,一对同党）,求蜻蜓有几多只？
分析：这是在鸡兔同笼基础上发展变动的问题.观察数字特点,蜻蜓、蝉都是6条腿,只有蜘蛛8条腿.因此,可先从腿数入手,求出蜘蛛的只数.我们假设三种植物都是6条腿,则总腿数为 6×18=108（条）,所差 118－108=10（条）,肯定是由于少算了蜘蛛的腿数而造成的.所以,应有（118108）÷（86）=5（只）蜘蛛.这样剩下的18－5=13（只）即是蜻蜓和蝉的只数,再从同党数入手,假设13只都是蝉,则总同党数1×13=13（对）,比实际数少 ＝7（对）,这是由于蜻蜓有两对同党,而我们只按一对同党计算所
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差,这样蜻蜓只数可求 7÷（21）=7（只）.
1、蜘蛛有8条腿,蜻蜓有6条腿和2对同党,蝉有6条腿和1对同党.现有三种植物共36只,有236条腿和40对同党.问：每种小虫各有几只？
2、王老师用了117元买了18本书,其中科技书和故事书共17本,字典一本（一本字典17元）.已知科技书每本8元,故事书每本4元.问科技书、故事书各买了几多本？
3、某工厂共有27位师傅带40名徒弟.每位师傅可以带一名徒弟、两名徒弟或三名徒弟.如果带一名徒弟的师傅人数是其他师傅（即带两名和三名徒弟的师傅）人数的两倍,请问带两名徒弟的师傅有几多人？
例6、一批钢材,用小卡车装载要45辆,用年夜卡车装载只要36辆.已知每辆年夜卡车比每辆小卡车多装4吨,那么这批钢材有几多吨？
分析：要算出这批钢材有几多吨,需要知道每辆年夜卡车或小卡车能装几多吨.利用假设法,假设只用36辆小卡车来装载这批钢材,因为每辆年夜卡车比每辆小卡车多装4吨,所以要剩下4×36=144（吨）.根据条件,要装完这144吨钢材还需要4536=9（辆）小卡车.这样每辆小卡车能装144÷9＝16（吨）.由此可求出这批钢材有几多吨.
解：4×36÷（4536）×45＝720（吨）.答：这批钢材有720吨.
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1、有一批水果,用年夜筐80只可装运完,用小筐120只也可装运完.已知每只年夜筐比每只小筐多装运20千克,那么这批水果有几多千克？
2、某校有100名学生介入数学竞赛,平均分是63分,其中男生平均分是60分,女生平均分是70分,男同学比女同学多几多人? 3、自行车越野赛全程 220千米,全程被分为 20个路段,其中一部份路段长14千米,其余的长9千米．问：长9千米的路段有几多个？
例7、鸡、兔共100只,鸡脚比兔脚多20只.问：鸡、兔各几多只？
分析：假设100只都是鸡,没有兔,那么就有鸡脚200只,而兔的脚数为零.这样鸡脚比兔脚多200只,而实际上只多20只,这说明假设的鸡脚比兔脚多的数比实际上多200－20=180（只）.现在以兔换鸡,每换一只,鸡脚减少2只,兔脚增加4只,即鸡脚比兔脚多的脚数中就会减少4＋2＝6（只）,而180÷6＝30,因此有兔子30只,鸡100－30＝70（只）.
解：有兔（2×100－20）÷（2＋4）＝30（只）,有鸡100－30=70（只）.
1、鸡与兔共有100只,鸡的脚比兔的脚多80只,问鸡与兔各几多只？
2、鸡与兔共有100只,鸡的脚比兔的脚多80只,问鸡与兔各几多只？
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3、鸡兔共200只,鸡的脚比兔的脚少56只,则鸡有几只,兔有几只? 4、鸡与兔共100只,鸡的脚数比兔的脚数少28只.问鸡与兔各几只？
例8、鸡、兔共有脚100只,若将鸡换成兔,兔换成鸡,则共有脚92只.问：鸡、兔各几只？
分析：一只鸡换成一只兔子,增加两只脚,一只兔子换成一只鸡,减少两只脚,中间有抵消,最后少了10092=8只脚,证明兔子比鸡多8÷2=4只,去失落这4只兔子,也就是924×2=84只脚.剩下的兔子和鸡一样多,有84只脚,所以鸡有84÷(4+2)=14只,兔子有14+4=18只.或：鸡兔一共有：（100+92）÷（4+2）=32只,如果这32只都是兔,有脚：32×4=128只,多了：128100=28只,每只鸡比兔的脚少:42=2只,鸡有：28÷2=14只,兔有：3214=18只. 1、鸡兔共有110只脚,若鸡数和兔数互换,则有脚100只,鸡和兔各有几多只？
2、鸡、兔共有脚100只,若将鸡换成兔,兔换成鸡,则共有脚86只．问：鸡、兔各有几只？
3、鸡和兔共有脚190只,若将鸡的数量和兔的数量互换,则共有脚140只.问：原来鸡和兔各有几多只？
例9、学校买来8张办公桌和6把椅子,共花去1650元.每张办公桌的价钱是每把椅子的2倍,每张办公桌和每把椅子各几多元？ 分析：假设学校买的全部是办公桌,根据“每张办公桌的价钱是每把椅子的2倍”,则买6把椅子的价钱只能买6÷2=3张办公桌,那
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么1650元就相当于8＋3=11张办公桌的价钱.所以,每张办公桌：1650÷11=150元,每把椅子：150÷2=75元.
1、一件工程,甲独自做12天完成,乙独自做18天完成,现在甲做了若干天后,再由乙接着独自做完余下的部份,这样前后共用了16天.甲先做了几多天？
2、一份稿件,甲独自打字需6小时完成,乙独自打字需10小时完成,现在甲独自打若干小时后,因有事由乙接着打完,共用了7小时.甲打字用了几多小时？ 专项练习：
鸡兔同笼类练习题一
1、有鸡兔共20只,脚44只,鸡兔各几只？
2、鸡兔共笼,兔比鸡多5只,共有脚46只,鸡、兔各几多只？ 3、鸡、兔共笼,鸡比兔多26只,足数共274只,问鸡、兔各几只？ 4、有一群鸡和兔,腿的总数比头的总数的2倍多18只,兔有几只？
5、鸡、兔共100只,鸡的脚比兔的脚少70只,问鸡、兔各有几多只？
6、鸡与兔共有100只,鸡的脚比兔的脚多80只,问鸡与兔各几多只？
7、鸡兔共有脚68只,若将鸡兔只数互换,则脚有112只,鸡兔原来各有几只?
8、鸡兔同笼,鸡和兔的数量相同,两种植物的腿只数加起来共84
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只.鸡兔各几多只？
9、有一些鸡和兔,共有脚44只,若将鸡数与兔数互换,则共有脚52只.鸡兔各是几多只？
10、鸡兔共有脚100只,若将鸡换成兔,兔换成鸡,则共有脚92只,则鸡几多只？兔几多只？
鸡兔同笼类练习题二
1、学校买回4个篮球和5个排球一共用185元,一个篮球比一个排球贵8元,篮球的单价是几多元？
2、全班46人去划船,共乘12只船,其中年夜船每只坐5人,小船每只坐3人,求年夜船和小船各有几多只？
3、星星幼儿园买来14套小桌椅,共花1162元.已知每张桌子比每把椅子贵7元.桌子和椅子每张几多钱?
4、幼儿园买来20张小桌和30张小凳共用去1860元,已知每张小桌比小凳贵8元,问小桌、小凳的价格各几多？
5、现有年夜小油桶50个,每个年夜桶可装油4千克,每个小桶可装油2千克,年夜桶比小桶共多装油20千克,问年夜小桶各几多个？
6、某校有100名学生介入数学竞赛,平均分是63分,其中男生平均分是60分,女生平均分是70分,男同学比女同学多几多人？ 7、六年二班全体同学,植树节那天共栽树180棵．平均每个男生栽5棵、每个女生栽3棵；又知女生比男生多4人,该班男生和女生各几多人？
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8、某化工厂甲、乙两车间共110人,现在要求甲车间每8人选出一名代表,乙车间每6人选出一名代表.两车间一共选出了16名代表.则甲车间有几多名工人,乙车间有几多名工人？
鸡兔同笼类练习题三
1、某次数学检验共20题,做对一题得5分,做错一题倒扣1分,不做得0分．小华得了76分,问他做对几题？
2、某学校举行数学京赛,每做对一题得9分,做错一题倒扣3分,共有12题,王刚得了84分,王刚做错了几题？
3、某小学举行英语京赛,每做对一题得10分,做错一题倒扣4分,共有15题,王刚得了108分,王刚做错了几题？
4、关东小学有3名同学去介入数学竞赛,一份试卷共10道题,答对一题得10分,答错一道不单不得分,还要扣去3分,这3名同学都回答了所有的题目,小明得74分,小华得22分,小红得87分,他们三人共答对几多题？
5、运输花瓶100个,规定每个运费为4元若打坏1个花瓶,则要赔偿 10元,这列后共得运费344元,有几个花瓶打坏了？
6、运输衬衫40箱,规定每箱运费10元,若损失一箱,不单不给运费,并要赔偿100元,运后运费为180元,损失了几箱？
7、松鼠妈妈采松子,晴天每天采20个,雨天每天可采12个,它一连采了112个,平均每天采14个,这几天中有几多天是雨天.
鸡兔同笼类练习题四
1、螃蟹有10条腿,螳螂有6条腿和1对同党,蜻蜓有6条腿和2
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对同党.现在这三种植物37只,共有250条腿和52对同党.每种植物各有几多只？
2、有蜘蛛、蜻蜓、蝉三种植物共18只,共有腿118条,同党20对(蜘蛛8条腿,蜻蜓6条腿,2对同党;蝉6条腿,1对同党),三种植物各几只?
3、蜘蛛有8条腿,蝴蝶有6条腿和2对同党,蝉有6条腿和一对同党,现有这三种植物共21只,共140条腿和 23对同党,问蜘蛛、蝴蝶、蝉各有几只？
4、小东妈妈从单元领回奖金380元,其中有2元、5元、10元人民币共80张,且5元和10元的张数相等,试问,这三种人民币各有几多张？
5、学校组织新年晚会,买了奖品铅笔,圆珠笔和钢笔共232支,共花300元.其中铅笔的支数是圆珠笔支数的4倍.已知铅笔每支6角钱,圆珠笔每支2元7角,钢笔每支6元3角.问：三种笔各有几多支？
6、甲,乙,丙三种练习本每本价钱分别为7角,3角,2角.三种练习本一共卖了47本,付了21元2角,买的乙种练习本的本数是丙种练习本本数的2倍.就三种练习本各买了几多本？
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