二面角求解方法

二面角的作与求

求角是每年高考必考内容之一，可以做为选择题，也可作为填空题，时常作为解答题形式出现，重点把握好二面角，它一般出现在解答题中。下面就对求二面角的方法总结如下：

1、定义法：在棱上任取一点，过这点在两个面内分别引棱的垂线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角。

2、三垂线定理及逆定理法：自二面角的一个面上的一点向另一个面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点。斜足与面上一点连线，和斜足与垂足连线所夹的角即为二面角的平面角。

3、作棱的垂面法:自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角的两条射线所成的角就是二面角的平面角。

4、投影法：利用s投影面=s被投影面cos这个公式对于斜面三角形，任意多边形都成立，是求二面角的好方法。尤其对无棱问题

5异面直线距离法： EF2=m2+n2+d2－2mncos

例1：若p是ABC所在平面外一点，而PBC和ABC都是边长为2的正三角形，P

PA=6,求二面角P-BC-A的大小。

分析：由于这两个三角形是全等的三角形， 故采用定义法

解：取BC的中点E，连接AE、PE

AC=AB，PB=PC AE BC，PE BC

PEA为二面角P-BC-A的平面角

A B C E

在PAE中AE=PE=3，PA=6

- -可修编.

- .

PEA=900

二面角P-BC-A的平面角为900。

例2：已知ABC是正三角形，PA平面ABC且PA=AB=a,求二面角A-PC-B的大小。

[思维]二面角的大小是由二面角的平面角 来度量的，本题可利用三垂线定理（逆）来作 平面角，还可以用射影面积公式或异面直线上两点 间距离公式求二面角的平面角。

解1：（三垂线定理法）

取AC的中点E，连接BE，过E做EFPC,连接BF

PA平面ABC，PA平面PAC

平面PAC平面ABC, 平面PAC平面ABC=AC BE平面PAC

P A

E F C

由三垂线定理知BFPC

BFE为二面角A-PC-B的平面角

图1

B 设PA=1,E为AC的中点，BE=

tanBFE=

BE6 EF32,EF= 24BFE=arctan6

解2：（三垂线定理法）

取BC的中点E，连接AE，PE过A做AFPE, FMPC,连接FM

P AB=AC,PB=PC AEBC,PEBC

BC平面PAE,BC平面PBC

平面PAE平面PBC,平面PAE平面PBC=PE

- -可修编.

F A

图2

M

C E B - .

由三垂线定理知AMPC

FMA为二面角A-PC-B的平面角

设PA=1，AM=

sinFMA=

2AP.AE21,AF= 2PE7AF42 AM742 7FMA=argsin

P 解3：（投影法）

过B作BEAC于E,连结PE

PA平面ABC，PA平面PAC

平面PAC平面ABC, 平面PAC平面ABC=AC BE平面PAC

PEC是PBC在平面PAC上的射影

A

B E

图3

C

设PA=1,则PB=PC=2,AB=1

SPEC17,SPBC44

由射影面积公式得，COS解4：（异面直线距离法）

SPEC77, ,argcosSPBC77P

D

E

过A作ADPC,BEPC交PC分别于D、E 设PA=1,则AD=

BE=

2,PB=PC=2 2A C

SPBC1422=,CE=,DE= 1444PC2由异面直线两点间距离公式得

AB2=AD2+BE2+DE2-2ADBECOS,COS=

图4

77,argcos 77B - -可修编.

- .

[点评]本题给出了求平面角的几种方法，应很好掌握。

例3：二面角EF的大小为120，A是它内部的一点，AB，AC,B、C为垂足。

（1） 求证：平面ABC,平面ABC

（2） 当AB=4cm,AC=6cm时求BC的长及A到EF的距离。 分析：本题采用作棱的垂面法找二面角的平面角

解：（1）设过 ABC的平面交平面于BD,交平面于CD

AB,AB平面ABC

平面ABC,同理平面ABC

A

B

D C

（2）AB

ABEF

同理ACEF

EF平面ABDC BDEF, CD EF BDC=120

BAC60

BC=4262246COS6027cm

有正弦定理得点A到EF的距离为：d=



BC421cm 3sin60

《二面角的求法》

一、复习引入：

- -可修编.

- .

1、什么是二面角及其平面角？X围是什么？

①从一条直线出发的两个半平面所成的图形叫做二面角，记作：二面角α—l—β。

②以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。 ③X围： [0,]

2、二面角出现的状态形式有哪些？

竖立式 横卧式

2、二面角的类型及基本方法 （1）四种常规几何作求法

定义法垂面法；

三垂线法； 射影面积法cos=S射影多边形/S多边形

- -可修编.

- .

（2）向量法：

①设m和n分别为平面,的法向量，二面角l的大小为，向量

m、n的夹角为，如图：

结论①：设m和n分别为平面,的法向量，二面角l的大小为，向量 m、n的夹角为，则有αθlβnωnαθlnωβn或 

结论②：一般地，若设n,m分别是平面,的法向量，则平面与平面所成的二面角的计算公式是：arccosnmnmnmnm或arccos(当二面角为锐角、直角时），其中(当二面角为钝角时）锐角、钝角根据图形确定。

二、例题讲解：

以锥体为载体，对求角的问题进行研究

例1、如图,在底面是一直角梯形的四棱锥S-ABCD中， AD∥BC,∠ABC=90°，SA⊥平面AC，

1SA=AB=BC=1，AD=2 .求面SCD与面SAB所成的角的大小。

解法1：可用射影面积法来求，这里只要求出S△SCD与S△SAB即可， 故所求的二面角θ应满足cos=

=S B C 111212322=6 。 3A

图1 D - -可修编.

- .

点评：（1）若利用射影面积法求二面角的大小，作为解答题，高考中是要扣分的，因为它不是定理.（2）由学生讨论解决，教师根据学生的解答情况进行引导、明确学生的解答。

解法2：（三垂线定理法）

解：延长CD、BA交于点E，连结SE，SE即平面CSD与平面BSA的交线. 又∵DA⊥平面SAB，∴过A点作SE的垂线交于F.如图. ∵AD＝

1BC且AD∥BC 2A C ∴△ADE∽△BCE ∴EA＝AB＝SA

D

又∵SA⊥AE∴△SAE为等腰直角三角形，F为中点，

AF122 又∵DA⊥平面SAE，AF⊥SE SESA222∴由三垂线定理得DF⊥SE ∴∠DFA为二面角的平面角, ∴tanDFA＝

DA2即所求二面角的正切值. FA2评注：常规法求解步骤：一作：作出或找出相应空间角；二证：通过简单的判断或推理得到相应角；三求：通过计算求出相应的角。

点评：是利用三垂线的定理及其逆定理来证明线线垂直，来找到二面角的平面角的方法。这种方法关键是找垂直于二面角的面的垂线。此方法是属于较常用的。总之，在运用三垂线找平面角时，找垂线注意应用已知的条件和有关垂直的判定和性质定理，按三垂线的条件，一垂线垂直二面角的一个面，还有垂直于棱的一条垂线。且两垂线相交，交点在二面角的面内。

解法3：（向量法）

解：如图，建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(0，1，0)，C(-1，1，0)，D(0，1，0)，S(0，

20，1)，易知平面SAB的法向量为m=(0，1，0)；设平面SDC的法向量为n=(x，y，z)，而DC=(-1，

21，0)，DS=(0，1， 1)，∵⊥面SDC，∴⊥DC，⊥DS，n⊥DC. 1nnn22- -可修编.

- .

1xy0n•DC02∴得

1n•DS0yz02S B C 令x1得：y2,z1。即n=(1，2，1) ∵面SAB与面SCD所成角的二面角为锐角θ，

A D cosn,mm•n=1=6

63mn21∴θ=arccos6.

3故面SCD与面SBA所成的角大小为arccos6.

3点评：通过此例可以看出：求二面角大小（空间面面角等于二面角或其补角）的常规方法是构造三角形求解，其关键又是作出二面角的平面角，往往很不简单。利用建立空间直角坐标系，避开了“作、证”两个基本步骤，通过求两个平面法向量的夹角来达到解决问题的目的，解题过程实现了程序化，是一种有效方法。搭建平台，自主交流，数形结合，扫清了学生的思维障碍，更好地突破了教学的重难点，体验数学的简约美，一题多解是训练学生思维的有效形式。

以柱体为载体，对求角的问题进行研究

例2、已知D、E分别是正三棱柱ABC一A1B1C1的侧棱AA1

A1D=2B1E=B1C1.求过D、E、C1的平面与棱柱的下底面所成二面角（几何法）解：在平面M1B1B内延长DE和A1B1交于F，则F是A1B1C1的公共点，C1也是这两个面的公共点，连结C1F，C1F为这所求的二面角就是D-C1F-A1. ∵A1D∥B1E，且A1D=2B1E， ∴E、B1分别为DF和A1F的中点. ∵A1B1=B1F=B1C1，∴FC1⊥A1C1.

又面AA1C1C⊥面A1B1C1，FC1在面A1B1C1内， ∴FC1⊥面AA1C1C.而DC1在面AA1C1C内， ∴FC1⊥DC1.∴∠DC1A1是二面角D-FC1-A1的平面角.

由已知A1D=B1C=A1C1，∴∠DC1A1=4.故所求二面角的大小为4.

- -可修编.

和BB1上的点，且的大小. 面DEF与面两个面的交线，

- .

法2：（向量法） 解：建立如图的空间直角坐标系Axyz，设B1C12，则B1(3，1，0），E(3,1,1),C1(0,2,0),D(0,0,2),易知平面A1B1C1的法向量为n=(0,0,1),

设平面DEC1的法向量为m=(x，y，z), 而DE=(3,1,-1),=(0,2,-2),由DC13xyz0m•DE02y2z0m•DC10即yz，不妨设x0，得yz1m=（0，1，1）cosn,m角的二面角为锐角θ，

2，∵面A1B1C1与面DEC1所成

24。

点评：无棱的二面角一般是只已知一个共点，但两个面的交线不知道。若要找出二面角的平面角，则需要根据公理2或公理4来找出二面角的棱，化为有棱二面角问题，再按有棱二面角的解法解题。这种主要有两类：一类是分别在两个面内有两条直线不是异面又不是平行的二面角（两条在同一平面内且不平行）。那么延长这两条线有一交点，根据公理2，这点在二面角的棱上，连公共点和这点就是二面角的棱；另一类是分别在两个面内有两条直线是平行的二面角。这由直线和平面平行的判定和性质定理知这直线和面平行，所以直线平行于二面角的两个面的交线。由公理4，可知这两条直线平行于二面角的棱。所以过公共点作一条直线平行于这两直线，那么所作的直线是二面角的棱。

课堂反馈练习：

如图, 直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是梯形，AB∥CD，AD⊥DC，CD=2，DD1=DA=AB=1，P、Q分别是CC1、C1D1的中点，求二面角B-PQ-D的大小。

解：建立如图所示的坐标系D---xyz，，则

1B1,1,0,P(0,2,),Q(0,1,1),A(1,0,0)，

21DA(1,0,0),BP(1,1,),BQ(1,0,1).

2z D1 A1 D A x B Q B1 C1 P C y

因DA⊥面PQD，所以DA是面PDQ 的法向量。设n(x,y,z)为面BPQ的法 向量，则nBP,nBQ，

- -可修编.

- .

1xzxyz0， 取n=(2,1,2)， , 解得2z2yxz0∴cosn,DAnDAnDA2。从图中可知，二面角B-PQ-D为锐角， 32. 3因此二面角B-PQ-D的大小为arccos点评：二面角问题可以综合较多知识点，可以综合有关的平行、垂直的关系。用到的定理几乎是我们所学立几的知识。所以要有较扎实的基础知识才能够对付得了这类问题。在计算方面要用到解三角形的知识，要会在图中有关的三角形中求出所需的边或角，然后通常归结在一个三角形中去求出最后的结果。总的，解这类题，找平面角是关键的一步，要注意运用题中的条件分析图形，然后用有关的方法找出平面角，计算时要分析所要求的量是可由图中的哪些平面图形去逐步去求出。

三、课堂小结：

二面角的类型和求法可用框图：

点评：自主小结的形式将课堂还给学生，既是对一节课的简单回顾与梳理，也是对所学内容的再次巩固。

四、作业：

如图，正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为3，侧棱AA1BDBC。求二面角B1ADB的大小。

33，D是CB延长线上一点，且2解： 取BC的中点O，连AO。由题意 平

zACOBBDA1C1面ABC平面以O为原点，建立如

3B（,0,0），

2BCC1B1，AOBC，∴AO平面BCC1B1，图6所示空间直角坐标系， 则 A（0,0,33），2y1- -可修编.

x

- .

3939333BD（3,3,0）AD（,0,3）D（,0,0）（,3,0）BB（0,3,0），B， ∴， ， ，1112222222（0,由题意 BB1平面ABD， ∴BB133,0）为平面ABD的法向量。设平面AB1D的法向量为 2393x3z02x3yn2ADn2AD02， ∴， ∴，即 。 ∴ 不n2(x,y,z)，则 2n2B1Dn2B1D03x323y0z3x3妨设 n33BBn2(231212,1,2)，由 cosBB1,n2|BB， 得BB1,n260。1||n2|32322二面角B1ADB的大小为60。

- -可修编.

故所求