圆锥曲线单元测试题

圆锥曲线单元测试题

作者：本刊试题研究组

来源：《中学课程辅导高考版·学生版》2012年第12期

一、填空题

1.已知双曲线8kx2-ky2=8的一个焦点是（0，3），则k的值为 .

2.已知椭圆的离心率为53，短轴长为4，则椭圆的标准方程是 .

3.椭圆x23+y2m2=1（m>0）的离心率为12，则m= .

4.圆的方程为：x2+y2+kx+4y+k=0，当圆面积最小时，圆心坐标为 .

5.双曲线x216-y距离为 .

29=1上有一点P到左准线的距离为8，则P点到右焦点的

6.过点P（1，2）引直线l，使A（2，3）和B（4，6）到l的距离相等，则直线l的方程为 .

7.若双曲线x28-y曲线的离心率为 .

2b2=1的一条准线与抛物线y2=8x的准线重合，则双

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8.以椭圆的右焦点F2为圆心作一个圆，使此圆过椭圆的中心，与椭圆的一个交点为M，若直线MF1（F1为椭圆左焦点）是圆F2的切线，则椭圆的离心率为 .

9.已知圆C：（x+1）2+y2=16，B（1，0），设点M是圆C上的动点，线

段MB的垂直平分线与线段MC相交于点P，则点P的轨迹是 .（从“圆”，“椭圆”，“双曲线”，“抛物线”中选填）

10.已知F1、F2为双曲线C：x2-y2=2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|=|2PF2|，则cos∠F1PF2的值为 .

11.在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2-8x+15=0，若直线

y=kx-2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是 .

12.若曲线C：y=1+4-x2与直线l：y=k（x-2）+4有两个不同的公共点，则实数k的取值范围是 .

13.设F1F2是椭圆E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右焦点，P为直线x=3a2上一点，△F2PF1是底角为30°为 .

的等腰三角形，则E的离心率

14.已知双曲线C：x2-y24=1，过点P（1，1）作直线l，使l与C有且只有

一个公共点，则满足上述条件的直线l共有 条.

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二、解答题

15.设足：（1）截y轴所得的弦长为2；（2）被x轴分成两段圆弧，弧长之比为3∶1；（3）圆心到直线x-2y=0的最小距离为55，求圆的方程.

16.已知点P（2，-1），求：

（1）过P点且与原点距离为2的直线的方程；

（2）过P点与原点距离最大的直线的方程；

（3）是否存在过P点与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由.

17.已知点M在椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）上，以M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的右焦点F.

（1）若圆M于y轴相切，求椭圆的离心率

（2）若圆M与y轴相交于A，B两点，且三角形ABM是边长为2的正三角形，求椭圆的方程.

18.如图在直角梯形ABCD中，AD=3，AB=4，BC=3，曲线DE上任一点到A、B两点距离之和为常数.（1）建立适当的坐标系，求曲线DE的方程；（2）过C点作一

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条与曲线DE相交且以C为中点的弦，求出弦所在直线的方程.

19.在平面直角坐标系xOy中，已知圆CC

2：（x-4）2+（y-5）2=4

1：（x+3）2+（y-1）2=4和圆

（1）若直线l过点A（4，0），且被圆C程；

1截得的弦长为23，求直线l的方

（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C

1截得的弦长与直线

l2被圆C2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标.

20.如图，正方形ABCD内接于椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0），且它的

四条边与坐标轴平行，正方形MNPQ的顶点M，N在椭圆上，顶点P，Q在正方形的边AB上，且A，M都在第一象限.

（1）若正方形ABCD的边长为4，且与轴交于E，F两点，正方形MNPQ的边长为2.

①求证：直线AM与△ABE的外接圆相切；

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②求椭圆的标准方程.

（2）设椭圆的离心率为e，直线AM的斜率为k，求证：2e2-k是定值.

参

1. -1 2. x29+y24=1或y29+x24=1 3. 32或2 4. （-1，-2） 5. 18或2

6. 3x-2y+1=0，5x-4y+3=0 7. 2 8. 3-1 9. 椭圆 10. 34 11. 43 12. 512

15.所求圆的方程是：（x-1）2=2.

2+（y-1）2=2，或（x+1）2+（y+1）

16.（1）3x-4y-10=0或x=2

（2）2x-y-5=0

（3）不存在

17.（1）e=5-12

（2）由题意，不妨设圆心坐标M为（3，2），代入原方程，为3a2+4b2=1，c=3，且a2=b2+c2，3个未知数3个方程，解得a2=9，b2=6，所以椭圆方程为x29+y

26=1

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18.解：（1）以直线AB为x轴，线段AB的中点为原点建立直角坐标系，

则A（-2，0），B（2，0），C（2，3），D（-2，3）.

依题意，曲线段DE是以A、B为焦点的椭圆的一部分.

∵a=12（|AD|+|BD|）=4，c=2，b2=12，

∴所求方程为x216+y212=1（-2≤x≤4，0≤y≤23）

（2）方程为y=-32x+23

19.（1） y=0或y=-724（x-4），

（2）P在以C1C2的中垂线上，且与C1、C2等腰直角三角形，利用几

何关系计算可得点P坐标为（-32，132）或（52，-12）.

20.（1）①依题意：A（2，2），M（4，1），E（0，-2）

∴AM=（2，-1），AE=（-2，-4）

∴AM·AE=0 ∴AM⊥AE

∵AE为Rt△ABE外接圆直径

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∴直线AM与△ABE的外接圆相切；

②由4a2+4b2=116a2+1b2=1解得椭圆标准方程为

220+y

25=1.

（2）设正方形ABCD的边长为2s，正方形MNPQ的边长为2t， 则A（s，s），M（s+2t，t），代入椭圆方程x2a2+y2b s2a2+s2b2=1

（s+2t）2a2+t2b2=1

1a2=s-ts2（s+3t）

1b2=4ts2（s+3t） ∴e2=1-b2a2=5t-s4t

2=1得

x