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圆锥曲线单元测试题

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圆锥曲线单元测试题

作者:本刊试题研究组

来源:《中学课程辅导高考版·学生版》2012年第12期

一、填空题

1.已知双曲线8kx2-ky2=8的一个焦点是(0,3),则k的值为 .

2.已知椭圆的离心率为53,短轴长为4,则椭圆的标准方程是 .

3.椭圆x23+y2m2=1(m>0)的离心率为12,则m= .

4.圆的方程为:x2+y2+kx+4y+k=0,当圆面积最小时,圆心坐标为 .

5.双曲线x216-y距离为 .

29=1上有一点P到左准线的距离为8,则P点到右焦点的

6.过点P(1,2)引直线l,使A(2,3)和B(4,6)到l的距离相等,则直线l的方程为 .

7.若双曲线x28-y曲线的离心率为 .

2b2=1的一条准线与抛物线y2=8x的准线重合,则双

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8.以椭圆的右焦点F2为圆心作一个圆,使此圆过椭圆的中心,与椭圆的一个交点为M,若直线MF1(F1为椭圆左焦点)是圆F2的切线,则椭圆的离心率为 .

9.已知圆C:(x+1)2+y2=16,B(1,0),设点M是圆C上的动点,线

段MB的垂直平分线与线段MC相交于点P,则点P的轨迹是 .(从“圆”,“椭圆”,“双曲线”,“抛物线”中选填)

10.已知F1、F2为双曲线C:x2-y2=2的左、右焦点,点P在C上,|PF1|=|2PF2|,则cos∠F1PF2的值为 .

11.在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为x2+y2-8x+15=0,若直线

y=kx-2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,则k的最大值是 .

12.若曲线C:y=1+4-x2与直线l:y=k(x-2)+4有两个不同的公共点,则实数k的取值范围是 .

13.设F1F2是椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,P为直线x=3a2上一点,△F2PF1是底角为30°为 .

的等腰三角形,则E的离心率

14.已知双曲线C:x2-y24=1,过点P(1,1)作直线l,使l与C有且只有

一个公共点,则满足上述条件的直线l共有 条.

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二、解答题

15.设足:(1)截y轴所得的弦长为2;(2)被x轴分成两段圆弧,弧长之比为3∶1;(3)圆心到直线x-2y=0的最小距离为55,求圆的方程.

16.已知点P(2,-1),求:

(1)过P点且与原点距离为2的直线的方程;

(2)过P点与原点距离最大的直线的方程;

(3)是否存在过P点与原点距离为6的直线?若存在,求出方程;若不存在,请说明理由.

17.已知点M在椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上,以M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的右焦点F.

(1)若圆M于y轴相切,求椭圆的离心率

(2)若圆M与y轴相交于A,B两点,且三角形ABM是边长为2的正三角形,求椭圆的方程.

18.如图在直角梯形ABCD中,AD=3,AB=4,BC=3,曲线DE上任一点到A、B两点距离之和为常数.(1)建立适当的坐标系,求曲线DE的方程;(2)过C点作一

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条与曲线DE相交且以C为中点的弦,求出弦所在直线的方程.

19.在平面直角坐标系xOy中,已知圆CC

2:(x-4)2+(y-5)2=4

1:(x+3)2+(y-1)2=4和圆

(1)若直线l过点A(4,0),且被圆C程;

1截得的弦长为23,求直线l的方

(2)设P为平面上的点,满足:存在过点P的无穷多对互相垂的直线l1和l2,它们分别与圆C1和圆C2相交,且直线l1被圆C

1截得的弦长与直线

l2被圆C2截得的弦长相等,试求所有满足条件的点P的坐标.

20.如图,正方形ABCD内接于椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0),且它的

四条边与坐标轴平行,正方形MNPQ的顶点M,N在椭圆上,顶点P,Q在正方形的边AB上,且A,M都在第一象限.

(1)若正方形ABCD的边长为4,且与轴交于E,F两点,正方形MNPQ的边长为2.

①求证:直线AM与△ABE的外接圆相切;

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②求椭圆的标准方程.

(2)设椭圆的离心率为e,直线AM的斜率为k,求证:2e2-k是定值.

1. -1 2. x29+y24=1或y29+x24=1 3. 32或2 4. (-1,-2) 5. 18或2

6. 3x-2y+1=0,5x-4y+3=0 7. 2 8. 3-1 9. 椭圆 10. 34 11. 43 12. 512

15.所求圆的方程是:(x-1)2=2.

2+(y-1)2=2,或(x+1)2+(y+1)

16.(1)3x-4y-10=0或x=2

(2)2x-y-5=0

(3)不存在

17.(1)e=5-12

(2)由题意,不妨设圆心坐标M为(3,2),代入原方程,为3a2+4b2=1,c=3,且a2=b2+c2,3个未知数3个方程,解得a2=9,b2=6,所以椭圆方程为x29+y

26=1

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18.解:(1)以直线AB为x轴,线段AB的中点为原点建立直角坐标系,

则A(-2,0),B(2,0),C(2,3),D(-2,3).

依题意,曲线段DE是以A、B为焦点的椭圆的一部分.

∵a=12(|AD|+|BD|)=4,c=2,b2=12,

∴所求方程为x216+y212=1(-2≤x≤4,0≤y≤23)

(2)方程为y=-32x+23

19.(1) y=0或y=-724(x-4),

(2)P在以C1C2的中垂线上,且与C1、C2等腰直角三角形,利用几

何关系计算可得点P坐标为(-32,132)或(52,-12).

20.(1)①依题意:A(2,2),M(4,1),E(0,-2)

∴AM=(2,-1),AE=(-2,-4)

∴AM·AE=0 ∴AM⊥AE

∵AE为Rt△ABE外接圆直径

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∴直线AM与△ABE的外接圆相切;

②由4a2+4b2=116a2+1b2=1解得椭圆标准方程为

220+y

25=1.

(2)设正方形ABCD的边长为2s,正方形MNPQ的边长为2t, 则A(s,s),M(s+2t,t),代入椭圆方程x2a2+y2b s2a2+s2b2=1

(s+2t)2a2+t2b2=1

1a2=s-ts2(s+3t)

1b2=4ts2(s+3t) ∴e2=1-b2a2=5t-s4t

2=1得

x

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