第２８卷第１期 齐齐哈尔大学学报 Ｖｏ１．２８．Ｎｏ．１ ２０１２年１月 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｑｉｑｉｈａｒ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ Ｊａｎ．，２０１ ２ 泊松过程的随机模拟及参数估计 王丙参 ，李艳颖 ，魏艳华 （１．天水师范学院数学与统计学院，甘肃天水７４１００１；２．宝鸡文理学院数学系，陕西宝鸡７２１０１３） 摘要：研究了泊松过程的随机模拟，给出泊松过程的最大后验密度可信区间，借助Ｍａｔｌａｂ软件对此展开探讨并给 出了模拟程序。 关键词：泊松过程；随机模拟；参数估计；贝叶斯区间估计 中图分类号：Ｏ２１１．６ 文献标志码：Ａ 文章编号：１００７—９８４Ｘ（２０１２）０１—００７９—０３ 泊松过程（Ｐ．Ｐ）在物理学、地质学、生物学、金融和可靠性理论等领域都有广泛的应用，如经典风险 模型中，索赔过程常用一个复合Ｐ．Ｐ来描述，因此对Ｐ．Ｐ的模拟及参数估计意义非凡”川。签于此，本文研 究了Ｐ．Ｐ的随机模拟，给出ｐ．ｐ的最大后验密度可信区间，借助Ｍａｔｌａｂ语言对此展开探讨并给出了模拟程 序。 １泊松过程的随机模拟 令 ＞１）表示第，ｚ一１次事件与第胛个事件到达时间的问隔，则｛ ， ｌ｝称为到达时间间隔序列。 由于Ｐ．Ｐ具有增量，所以某一时刻事件到达的情况与这一时刻以前的情况。由于过程有平稳增量， 知其分布也与先前那段时问的过程是一样的，具有无记忆性，但从初等概率论中知道，具有无记｝乙性的连 续分布只有指数分布，这正是本命题的结论。 定理 计数过程｛Ⅳ（ｆ），ｆ ０）是强度为 的泊松过程§｛ ，力≥１｝ｉ．ｉ．ｄ于ｅｘｐ（２）。 用 表示第门个事件出现的时刻，即 ＝ ＋…＋ ，称 为直到第，２个事件出现的等待时间，也 称到达时间。指数分布是ｒ分布的一种特殊情形（ ＝１），由ｒ分布的可加性易得定理２。 定理２…设｛Ⅳ（ｆ），ｆ≥０）是参数为 的Ｐ．Ｐ， ， ≥１为其第，２次到达时刻，则对ｖ［ｏ，＋ｏｏ）上的可积函数 厂，有ｇ、一 ａ，３：１厂（ ））＝ ｆ（ｔ）ｄｔ，ｓ～Ｆ（ｎ， ）。 因为Ｐ．Ｐ有平稳增量，事件在［０，ｆ］的任何相同长度的子区间内发生的概率都是相等的，所以在已 知【０，ｆ］内发生了 次事件的前提下，各次事件发生的时刻Ｓ 一， （不排序）可看做相互的ｕ［ｏ，ｔ］。 定理３【 在Ｎ（ｔ）＝ｎ的条件下ｎ个事件的到达时间 一，ｓ 的联合密度等于 个的ｕ［ｏ，ｔ】随机变 量（ｒ．ｖ）的顺序统计量的密度函数（ｐｄｆ ｏ 方法１ 由定理可知强度为 的Ｐ．Ｐ的点间间距 ，Ｆｔ＝ｌ，２，…，ｉ．ｉ．ｄ于ｅｘｐ（２），即对Ｖｔ ０， Ｐ（Ｘ。。≤ｆ）＝ｌ—ｅ ， ＝１，２，…，基于这一事实，有 （１）令 ＝０和ｔｏ＝０。 （２）对于 ＝１，２，…，生成均匀随机数 ，令ｆ ＝一ｌｏｇ寻，则知ｆ，为ｅｘｐ（Ａ）随机数。令Ｓｉ＝ 一ｌ＋ ， 则｛ ，， １，２，…）就是要模拟Ｐ．Ｐ的一个实现；从而由序列 一，“ 可实现对Ｎ（ｔ）过程的模拟， Ｎ（ｔ）＝ｍａｘ｛ｎｌ∑ ；１ｔ ｔ）＝ｍａｘ｛ｎｌ∑ ：ｌＩｎ“ ≤一 ｆ＞＝ｍａｘ｛ｎ｛Ｕ】… ｅｘｐ（－Ａ，ｔ）｝。 方法２由于 个点发生的开寸问 ，…，Ｓ 与，２个同分布ｕ（ｏ，Ｔ】的次序统计量有相同分布，于是有 （１）给定Ｔ＞０，生成Ｐ（２Ｔ）随机数 。 收稿Ｅｌ期：２０１ｌ—ｌＯ—ｌＯ 基金项目：甘肃省『１然科学研究基金计；￣ｔＩ（０９６ＲｊＺＥ１０６）；天水师范学院科研基金（ＴＳＡ０９３１） 作者简介：王丙参（１９８３一），男，河南南阳人，讲师，硕士，主要从事随机过程和金融数学等方而的研究，ｗａｎｇｂｉｎｇｃａｎ２０１Ｍ＠１６３．ｃｏｒｎ。 齐齐哈尔大学学报 ２０１２年 （２）假定ｘ：力，生成ｎ个均匀随机数 一， ，由小到大次序排列得０＜“；＜…＜ ： ，令 ：， ，ｆ：ｌ，…，玎，则 －ｔ。－２，…）就是要模拟泊松过程的一个实现。 ｆ＝ｌ，例 １ 某城市火警中心白天８：Ｏ０ １６：ｏｏ接收报警电话可视为ｐ．Ｐ，假如平均每小时有３次报警电话， 试模拟该过程。 解Ｍａｔｌａｈ程序为 ｃ－１］； ｋ－－ｉｎｐｌｌｔ（输入泊松过程记录次数 。）； ｄ＝ｉｎｐｕｔ（・输入远大于期望次数的数字ｄ＝’）； ｔ＝ｌｉｎｓｐａｃｅ（０．０１，８，ｋ）； ｆｏｒｉ＝１：ｋｎ：０；６＝１；ｆｏｒｊ＝ｌ：ｄｂ＝ｂ ｒａｎｄ（１）； ｉｆｂ＞＝ｅｘｐ（－３ ｔ（ｉ））ｎ＝ｎ＋１； ｅｎｄ ｅｎｄ ｃ＝ｆｃ，ｎｌ； ｅｎｄ Ｄｌｏｔ（ｔ，ｃ，’ ’，‘ＭａｒｋｅｒＳｉｚｅ’，５）。 当ｋ＝３２，ｄ＝ｌＯ０时，模拟结果如图１。当ｋ＝４８，ｄ＝ｌＯ０时，模拟结果如图２。 鬓 洳 滔 巅 辩 嘿 通过上述模拟，可对报警点的报警电话情况有一个了解：在白天的８ｈ内，报警电话数８ｈ内总数一般 不超过３０个。 ２泊松过程的参数估计 由于强度为 的ｐ．ｐ的点问间距 ，，ｚ＝１，２，…，ｉ．ｉ．ｄ ＺＪＺ ｅｘｐ（ ），故对ｐ．Ｐ的参数估计就可转化为ｅｘｐ（２） 的参数估计。设 ￣ｅ．．， 是来自指数分布的样本， ～ｐ（ｘｌ ）＝１）．－ａｘ，ｘ＞。，样本观测值为 ｌ’．一， ， 。ｘ≤。：２ ２７＿＿显然 的矩估计及最大似然估计为 Ｘ。Ｆｌ１于ｙ＝２ 。～ （２ ），对于给定置信度 ｌ一 可得 的置信区间为ｆ ， １，由 蛳ｆ是偏枞眦上述按概 称求得韵 信 区问不是最短的，即不是最优的 。令尸（ｃ＜】，＜ ）＝１一 ，此Ｈ寸 的置信区问为（ ， ｄ ｊ，区间长度 为蒙。令 篆 （ｃ）小叫， 求偏导并等于。可得号一卜 ’ ，景：ｌ＋ 厂（ ）：ｏ，从而有厂（ｃ，：厂（ ）。求得 可信水平为１一 的最优区间估计为【壶， ｄ Ｊ，其中 八 贝叶斯统计推断利用了先验知识计推断利 了先验知识，往往收到较好的效果，尤其对于小样本。若取 的先验分布为其共 往往收到较好的效果，尤其对于小样本。看取 刚无 Ｊ＂仲刀 轭分布 ），由于万（ ）：而ｂｏ ， ＿Ｉｅ 所以 的后验分布为眦 ’ｂ＋ ）。 第１期 泊松过程的随机模拟及参数估计 ・８１・ 又２（ｂ＋ｎ２） ２（ ，△ｙ＝２（，ｖ７ ） ） 水平为１一 的可信区间长度为 ，要使可信区间长度最短，即ｄ—ｃ最小，于是，令Ｌ＝ｄ—ｃ＋ ｚ（ｎｘ七Ｄ、 ／．ｔ［Ｆ（ｄ，２ ＋口））一，（ ，２ ＋口））一１＋ 】，对ｃ，ｄ求偏导并等于０，可得 ＝一１一／ａｆ（ｃ，２（ｎ＋口））＝０， ＝ｌ＋ ０ｌｃ ｏａ ／．ｔｆ（ｄ，２（ｎ＋口））＝０，从而有ｆ（ｃ，２（ｎ＋口））＝ｆ（ｄ，２（ｎ十口））。 令厂 （ ，２ ＋口））＝０求得极大值点ｘｏ＝２ ＋口一１），当 ＜Ｘｏ时，ｆ（ｘ，２ ＋口））严格单调递增；当 ＞Ｘ０ 时，ｆ（ｘ，２ ＋口））严格单调递减；又因为Ｉｉｍ ｆ（ｘ，２（ｎ＋口））＝ｌｉｍ厂（ ，２ ＋口））＝０，故对ｆ（ｃ，２ ＋口））＝ ｆ（ｄ，２（ｎ＋口））可唯一解出Ｃ＝ｇ（ｄ）。再由Ｆ（ｄ，２（ｎ＋ ））一Ｆ（ｃ，２（ｎ＋口））＝１一 可得ｄ：ｄ，从而可得Ｃ＝５， ＝ ＾； 求得可信水平为ｌ－ 的最优区间估计为（ ， ａ ）。 ＺＩｍＣ＋Ｄｌ ＺＩｎｘ＋Ｄ） 例２设从早上８：００开始有无穷多人排队等待服务，只有一名服务员且每人接受服务的时问ｉ．ｉ．ｄ于 ｅｘｐ（２）， 的先验分布是均值为０．２，标准差为１．０的伽玛分布，如今对２０位顾客服务进行观测，测得平 均服务时问是３．８ ｍｉｎ，求 在可信度为９５％最短可信区间，到９：００为止平均多少人已经离去，已有８人 接受服务的概率是多少。 解由所设条件可知，离去的人数＜Ⅳ．，ｆ ０｝是强度为 的泊松过程。设 的先验分布为ｒ（ａ，ｂ），Ｆ｝１题 意可知等：０．Ｄ ２， ‘ ＝１．０，即ａ＝０．０４，ｂ＝０．２。又因为 ＝３．８，ｎ：２０，所以 的后验分布为Ｆ（２０．０４，７６．２）， 即Ｙ １５２．４２一 。（４０．０８），故求 在可信度为９５％最短可信区间为 ，可得ｄ＝５７．９３０ ５， ：２３．３８７ ９， ｌＪ ．叶 最短可信区问为（０．１５３４６３６６７ ｌ８９４３５，０．３８０ １２１ ３７２７０７６４１），区间长度为０．２２６６５７７０５５１８２０７。 Ｍａｔｌａｂ程序为 ｆｕｎｃｔｉｏｎｙ＝ｍｙｆｕｎ９９（ｘ）ｙ（１）＝ｃｈｉ２ｐｄｆ（ｘ（１），４０．０８）－ｃｈｉ２ｐｄｆ（ｘ（２），４Ｏ．０８）； ｙ（２）＝ｃｈｉ２ｅｄｆ（ｘ（２），４０．ｏ８）一ｃｈｉ２ｃｄｆ（ｘ（１），４０．０８）一０．９５； ｆｏｒｍａｔ ｌｏｎｇ；ｘ＝［２０，６０１；ｘ＝ｆｓｏｌｖｅ（’ｍｙｆｕｎ９９’ ｘ／１５２．４ｙ＝ｐｏｉｓｓｐｄｆ（８，６０／３．８）。 利用矩估计可得 ：１／３．８＝０．２６３ １５７ ８９４ ７３６ ８４２，设８：００为０时刻，则Ｎ（６０）～Ｐ（１５．７８９ ４７３ ６８４ ２１０ ５２７）， 即到９：ｏ０为止平均１５．７８９４７３６８４２１Ｏ５２７人已经离去，已有８人接受服务的概率是０．０１３３０８８１５７７５９６８。 参考文献 …１魏艳华，王丙参，宋立新．与泊松过程有关的若干分布ｆＪ］．内汀师范学院学报，２０１０，２５（１０）：３１－３５． 『２１王丙参，魏艳华．保费收取次数为负二项随机过程的风险模型ｆＪ】．江西师范大学学报，２０１０，３４（６）：６０４—６０８． ｆ３１魏艳华．王丙参，宋立新．均匀分布的优良特性及其应用ｆＪ】＿四川理工学院学报：自然科学版，２０１０，２３（４）：３８５—３８７ 『４１赵国喜，王守印．Ｕ（Ｏ，１）分布随机变量与蒙特卡罗模拟『Ｊ］．重庆文理学院学报：自然科学版，２００７，２６（６）：３５—３７． ｆ５１张波，张景肖．应用随机过程【Ｍ１．北京：清华大学出版社：２００４：３２—４８． 【６１夏乐天，郭宝才．指数分布参数置信区间的最短化研究 河海大学学报：自然科学版，２００３，３１（３）：３５５－３５７． Ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ ａｎｄ ｐａｒａｍｅｔｅｒ ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ ｏｆ ｐｏｉｓｓｏｎ ｐｒｏｃｅｓｓ ＷＡＮＧ Ｂｉｎｇ—ｃａｎ ，ＬＩ Ｙａｎ—ｙｉｎｇ ，ＷＥＩ Ｙａｎ—ｈｕａ （１．Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ａｎｄ Ｓｔａｔｉｓｔｉｃｓ，Ｔｉａｎｓｈｕｉ Ｎｏｒｍａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｇａｎｓｕ Ｔｉａｎｓｈｕｉ ７４１００１； ２．Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ。Ｂａｏｊｉ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ａｒｔｓ ａｎｄ Ｓｃｉｅｎｃｅｓ，Ｓｈａｎｘｉ Ｂａｏｊｉ ７２１００７） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｔ ｄｉｓｃｕｓｓｅｓ ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ ｏｆ Ｐｏｉｓｓｏｎ ｐｒｏｃｅｓｓ，ｇｉｖｅｓ ｔｈｅ ｍａｘｉｍｕｍ ｐｏｓｔｅｒｉｏｒ ｄｅｎｓｉｔｙ ｃｏｎｆｉｄｅｎｃｅ．ｉｔ ｉｓ ｃｏｎｔｉｎｕｅ ｔｏ ｅｘｐｌｏｒｅ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ ｐｒｏｃｅｓｓ ｂｙ ｕｓｉｎｇ ｍａｔｌａｂ ｓｏｆｔｗａｒｅ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：Ｐｏｉｓｓｏｎ ｐｒｏｃｅｓｓ；ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ；ｐａｒａｍｅｔｅｒ ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ；Ｂａｙｅｓｉａｎ ｉｎｔｅｒｖａｌ ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ
