您好,欢迎来到意榕旅游网。
搜索
您的当前位置:首页泊松过程的随机模拟及参数估计

泊松过程的随机模拟及参数估计

来源:意榕旅游网
第28卷第1期 齐齐哈尔大学学报 Vo1.28.No.1 2012年1月 Journal of Qiqihar University Jan.,201 2 泊松过程的随机模拟及参数估计 王丙参 ,李艳颖 ,魏艳华 (1.天水师范学院数学与统计学院,甘肃天水741001;2.宝鸡文理学院数学系,陕西宝鸡721013) 摘要:研究了泊松过程的随机模拟,给出泊松过程的最大后验密度可信区间,借助Matlab软件对此展开探讨并给 出了模拟程序。 关键词:泊松过程;随机模拟;参数估计;贝叶斯区间估计 中图分类号:O211.6 文献标志码:A 文章编号:1007—984X(2012)01—0079—03 泊松过程(P.P)在物理学、地质学、生物学、金融和可靠性理论等领域都有广泛的应用,如经典风险 模型中,索赔过程常用一个复合P.P来描述,因此对P.P的模拟及参数估计意义非凡”川。签于此,本文研 究了P.P的随机模拟,给出p.p的最大后验密度可信区间,借助Matlab语言对此展开探讨并给出了模拟程 序。 1泊松过程的随机模拟 令 >1)表示第,z一1次事件与第胛个事件到达时间的问隔,则{ , l}称为到达时间间隔序列。 由于P.P具有增量,所以某一时刻事件到达的情况与这一时刻以前的情况。由于过程有平稳增量, 知其分布也与先前那段时问的过程是一样的,具有无记忆性,但从初等概率论中知道,具有无记}乙性的连 续分布只有指数分布,这正是本命题的结论。 定理 计数过程{Ⅳ(f),f 0)是强度为 的泊松过程§{ ,力≥1}i.i.d于exp(2)。 用 表示第门个事件出现的时刻,即 = +…+ ,称 为直到第,2个事件出现的等待时间,也 称到达时间。指数分布是r分布的一种特殊情形( =1),由r分布的可加性易得定理2。 定理2…设{Ⅳ(f),f≥0)是参数为 的P.P, , ≥1为其第,2次到达时刻,则对v[o,+oo)上的可积函数 厂,有g、一 a,3:1厂( ))= f(t)dt,s~F(n, )。 因为P.P有平稳增量,事件在[0,f]的任何相同长度的子区间内发生的概率都是相等的,所以在已 知【0,f]内发生了 次事件的前提下,各次事件发生的时刻S 一, (不排序)可看做相互的u[o,t]。 定理3【 在N(t)=n的条件下n个事件的到达时间 一,s 的联合密度等于 个的u[o,t】随机变 量(r.v)的顺序统计量的密度函数(pdf o 方法1 由定理可知强度为 的P.P的点间间距 ,Ft=l,2,…,i.i.d于exp(2),即对Vt 0, P(X。。≤f)=l—e , =1,2,…,基于这一事实,有 (1)令 =0和to=0。 (2)对于 =1,2,…,生成均匀随机数 ,令f =一log寻,则知f,为exp(A)随机数。令Si= 一l+ , 则{ ,, 1,2,…)就是要模拟P.P的一个实现;从而由序列 一,“ 可实现对N(t)过程的模拟, N(t)=max{nl∑ ;1t t)=max{nl∑ :lIn“ ≤一 f>=max{n{U】… exp(-A,t)}。 方法2由于 个点发生的开寸问 ,…,S 与,2个同分布u(o,T】的次序统计量有相同分布,于是有 (1)给定T>0,生成P(2T)随机数 。 收稿El期:201l—lO—lO 基金项目:甘肃省『1然科学研究基金计; ̄tI(096RjZE106);天水师范学院科研基金(TSA0931) 作者简介:王丙参(1983一),男,河南南阳人,讲师,硕士,主要从事随机过程和金融数学等方而的研究,wangbingcan201M@163.corn。 齐齐哈尔大学学报 2012年 (2)假定x:力,生成n个均匀随机数 一, ,由小到大次序排列得0<“;<…< : ,令 :, ,f:l,…,玎,则 -t。-2,…)就是要模拟泊松过程的一个实现。 f=l,例 1 某城市火警中心白天8:O0 16:oo接收报警电话可视为p.P,假如平均每小时有3次报警电话, 试模拟该过程。 解Matlah程序为 c-1]; k--inpllt(输入泊松过程记录次数 。); d=input(・输入远大于期望次数的数字d=’); t=linspace(0.01,8,k); fori=1:kn:0;6=1;forj=l:db=b rand(1); ifb>=exp(-3 t(i))n=n+1; end end c=fc,nl; end Dlot(t,c,’ ’,‘MarkerSize’,5)。 当k=32,d=lO0时,模拟结果如图1。当k=48,d=lO0时,模拟结果如图2。 鬓 洳 滔 巅 辩 嘿 通过上述模拟,可对报警点的报警电话情况有一个了解:在白天的8h内,报警电话数8h内总数一般 不超过30个。 2泊松过程的参数估计 由于强度为 的p.p的点问间距 ,,z=1,2,…,i.i.d ZJZ exp( ),故对p.P的参数估计就可转化为exp(2) 的参数估计。设  ̄e.., 是来自指数分布的样本, ~p(xl )=1).-ax,x>。,样本观测值为 l’.一, , 。x≤。:2 27__显然 的矩估计及最大似然估计为 X。Fl1于y=2 。~ (2 ),对于给定置信度 l一  可得 的置信区间为f , 1,由 蛳f是偏枞眦上述按概 称求得韵 信 区问不是最短的,即不是最优的 。令尸(c<】,< )=1一 ,此H寸 的置信区问为( , d j,区间长度 为蒙。令 篆 (c)小叫, 求偏导并等于。可得号一卜 ’ ,景:l+ 厂( ):o,从而有厂(c,:厂( )。求得 可信水平为1一 的最优区间估计为【壶, d J,其中 八 贝叶斯统计推断利用了先验知识计推断利 了先验知识,往往收到较好的效果,尤其对于小样本。若取 的先验分布为其共 往往收到较好的效果,尤其对于小样本。看取 刚无 J"仲刀 轭分布 ),由于万( ):而bo , _Ie 所以 的后验分布为眦 ’b+ )。 第1期 泊松过程的随机模拟及参数估计 ・81・ 又2(b+n2) 2( ,△y=2(,v7 ) ) 水平为1一 的可信区间长度为 ,要使可信区间长度最短,即d—c最小,于是,令L=d—c+ z(nx七D、 /.t[F(d,2 +口))一,( ,2 +口))一1+ 】,对c,d求偏导并等于0,可得 =一1一/af(c,2(n+口))=0, =l+ 0lc oa /.tf(d,2(n+口))=0,从而有f(c,2(n+口))=f(d,2(n十口))。 令厂 ( ,2 +口))=0求得极大值点xo=2 +口一1),当 <Xo时,f(x,2 +口))严格单调递增;当 >X0 时,f(x,2 +口))严格单调递减;又因为Iim f(x,2(n+口))=lim厂( ,2 +口))=0,故对f(c,2 +口))= f(d,2(n+口))可唯一解出C=g(d)。再由F(d,2(n+ ))一F(c,2(n+口))=1一 可得d:d,从而可得C=5, = ^; 求得可信水平为l- 的最优区间估计为( , a )。 ZImC+Dl ZInx+D) 例2设从早上8:00开始有无穷多人排队等待服务,只有一名服务员且每人接受服务的时问i.i.d于 exp(2), 的先验分布是均值为0.2,标准差为1.0的伽玛分布,如今对20位顾客服务进行观测,测得平 均服务时问是3.8 min,求 在可信度为95%最短可信区间,到9:00为止平均多少人已经离去,已有8人 接受服务的概率是多少。 解由所设条件可知,离去的人数<Ⅳ.,f 0}是强度为 的泊松过程。设 的先验分布为r(a,b),F}1题 意可知等:0.D 2, ‘ =1.0,即a=0.04,b=0.2。又因为 =3.8,n:20,所以 的后验分布为F(20.04,76.2), 即Y 152.42一 。(40.08),故求 在可信度为95%最短可信区间为 ,可得d=57.930 5, :23.387 9, lJ .叶 最短可信区问为(0.153463667 l89435,0.380 121 372707641),区间长度为0.226657705518207。 Matlab程序为 functiony=myfun99(x)y(1)=chi2pdf(x(1),40.08)-chi2pdf(x(2),4O.08); y(2)=chi2edf(x(2),40.o8)一chi2cdf(x(1),40.08)一0.95; format long;x=[20,601;x=fsolve(’myfun99’ x/152.4y=poisspdf(8,60/3.8)。 利用矩估计可得 :1/3.8=0.263 157 894 736 842,设8:00为0时刻,则N(60)~P(15.789 473 684 210 527), 即到9:o0为止平均15.78947368421O527人已经离去,已有8人接受服务的概率是0.013308815775968。 参考文献 …1魏艳华,王丙参,宋立新.与泊松过程有关的若干分布fJ].内汀师范学院学报,2010,25(10):31-35. 『21王丙参,魏艳华.保费收取次数为负二项随机过程的风险模型fJ】.江西师范大学学报,2010,34(6):604—608. f31魏艳华.王丙参,宋立新.均匀分布的优良特性及其应用fJ】_四川理工学院学报:自然科学版,2010,23(4):385—387 『41赵国喜,王守印.U(O,1)分布随机变量与蒙特卡罗模拟『J].重庆文理学院学报:自然科学版,2007,26(6):35—37. f51张波,张景肖.应用随机过程【M1.北京:清华大学出版社:2004:32—48. 【61夏乐天,郭宝才.指数分布参数置信区间的最短化研究 河海大学学报:自然科学版,2003,31(3):355-357. Stochastic simulation and parameter estimation of poisson process WANG Bing—can ,LI Yan—ying ,WEI Yan—hua (1.School ofMathematics and Statistics,Tianshui Normal University,Gansu Tianshui 741001; 2.Department of Mathematics。Baoji University of Arts and Sciences,Shanxi Baoji 721007) Abstract:It discusses stochastic simulation of Poisson process,gives the maximum posterior density confidence.it is continue to explore simulation process by using matlab software. Key words:Poisson process;stochastic simulation;parameter estimation;Bayesian interval estimation 

因篇幅问题不能全部显示,请点此查看更多更全内容

热门图文

Copyright © 2019-2025 yrrf.cn 版权所有 赣ICP备2024042794号-2

违法及侵权请联系:TEL:199 1889 7713 E-MAIL:2724546146@qq.com

本站由北京市万商天勤律师事务所王兴未律师提供法律服务