2019-2020学年天津市河东区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）． 1．（3分）若一元二次方程ax+bx+c＝0的一个根为﹣1，则（ ） A．a+b+c＝0
B．a﹣b+c＝0
C．﹣a﹣b+c＝0
D．﹣a+b+c＝0
2
2．（3分）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）不透明袋子中有除颜色外完全相同的4个黑球和2个白球，从袋子中随机摸出3个球，下列事件是必然事件的是（ ） A．3个都是黑球 C．2个白球1个黑球
B．2个黑球1个白球 D．至少有1个黑球
4．（3分）如图，已知OB为⊙O的半径，且OB＝10cm，弦CD⊥OB于M，若OM：MB＝4：1，则CD长为（ ）
A．3cm
B．6cm
C．12cm
D．24cm
5．（3分）如图，四边形ABCD是边长为5的正方形，E是DC上一点，DE＝1，将△ADE绕着点A顺时针旋转到与△ABF重合，则EF＝（ ）
A．
2
B． C．5 D．2
6．（3分）方程x﹣2x﹣4＝0的根的情况（ ） A．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 7．（3分）反比例函数y＝
B．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
（k＞0），当x＜0时，图象在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．（3分）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，E是BC延长线上的一点，已知∠BOD＝130°，则∠DCE的度数为（ ）
A．45°
B．50°
C．65°
D．75°
9．（3分）如图，点P为⊙O外一点，PA为⊙O的切线，A为切点，PO交⊙O于点B，∠P＝30°，OB＝3，则线段BP的长为（ ）
A．3
B．3
2
C．6 D．9
10．（3分）若二次函数y＝ax+bx+c的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示，则一次函数y＝ax+b与反比例函数y＝
在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
11．（3分）某中学有一块长30cm，宽20cm的矩形空地，该中学计划在这块空地上划出三分之二的区域种花，设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为xm，则可列方程为（ ）
A．（30﹣x）（20﹣x）＝B．（30﹣2x）（20﹣x）＝C．30x+2×20x＝
×20×30 ×20×30
×20×30
D．（30﹣2x）（20﹣x）＝
2
×20×30
2
12．（3分）二次函数y＝ax+bx+c的部分图象如图所示，有以下结论：①3a﹣b＝0；②b﹣4ac＞0；③5a﹣2b+c＞0；④4b+3c＞0，其中错误结论的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 13．（3分）如图，在反比例函数
的图象上任取一点P，过P点分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别
为M，N，那么四边形PMON的面积为 ．
14．（3分）若一个正六边形的周长为24，则该六边形的面积为 ．
15．（3分）一个质地均匀的小正方体，六个面分别标有数字“1”“1”“2”“4”“5”“5”，随机掷一次小正方体，朝上一面的数字是奇数的概率是 ．
16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝α，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转后得到△EDC，若点D在AB上，则此时旋转角的大小为 （用含α的式子表示）．
17．（3分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax﹣2ax+
2
（a＞0）与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线
交抛物线于点M．P为抛物线的顶点．若直线OP交直线AM于点B，且M为线段AB的中点，则a的值为 ．
18．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝10cm，点D为△ABC内一点，∠BAD＝15°，AD＝6cm，连接BD，将△ABD绕点A按逆时针方向旋转，使AB与AC重合，点D的对应点为点E，连接DE，DE交AC于点F，则CF的长为 cm．
三、解答题（共66分） 19．（8分）解方程
（1）x+4x﹣3＝0（用配方法） （2）3x（2x+3）＝4x+6
20．（8分）已知反比例函数的图象经过点（2，﹣2）． （I）求此反比例函数的解析式； （II）当y≥2时，求x的取值范围．
21．（10分）如图①，在平行四边形OABC中，以O为圆心，OA为半径的圆与BC相切于点B，与OC相交于点D． （1）求∠OAB的度数；
（2）如图②，点E在⊙O上，连接CE与⊙O交于点F，若EF＝AB，求∠COE的度数．
2
22．（10分）为了创建文明城市，增强学生的环保意识．随机抽取8名学生，对他们的垃圾分类投放情况进行调查，这8名学生分别标记为A，B，C，D，E，F，G，H，其中“√”表示投放正确，“×”表示投放错误，统计情况如下表．
学生 垃圾类别 厨余垃圾 可回收垃圾 有害垃圾 其他垃圾 √ √ × × √ × √ √ √ √ × √ √ × √ × √ × √ × √ √ × √ √ √ × √ √ √ √ √ A B C D E F G H （1）求8名学生中至少有三类垃圾投放正确的概率；
（2）为进一步了解垃圾分类投放情况，现从8名学生里“有害垃圾”投放错误的学生中随机抽取两人接受采访，试用标记的字母列举所有可能抽取的结果．
23．（10分）某商场购进一种每件价格为100元的新商品，在商场试销发现：销售单价x（元/件）与每天销售量y（件）之间满足如图所示的关系． （1）求出y与x之间的函数关系式；
（2）如果商场销售这种商品，每天要获得1500元利润，那么每件商品的销售价应定为多少元？
（3）写出每天的利润W与销售单价x之间的函数关系式；若你是商场负责人，会将销售价定为多少，来保证每天获得的利润最大，最大利润是多少？
24．（10分）在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，∠A＜∠ABC，D是AC边上一点，且DA＝DB，O是AB的中点，CE是△BCD的中线．
（1）如图①，连接OC，证明∠OCE＝∠OAC；
（2）如图②，点M是射线EC上的一个动点，将射线OM绕点O逆时针旋转得射线ON，使∠MON＝∠ADB，ON与射线CA交于点N．
①猜想并证明线段OM和线段ON之间的数量关系；
②若∠BAC＝30°，BC＝m，当∠AON＝15°时，请直接写出线段ME的长度（用含m的式子表示）．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax﹣2x+c与直线y＝kx+b都经过A（0，﹣3）、B（3，0）两点，该抛物线的顶点为C． （1）求此抛物线和直线AB的解析式；
（2）设直线AB与该抛物线的对称轴交于点E，在射线EB上是否存在一点M，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，使点M、N、C、E是平行四边形的四个顶点？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由； （3）设点P是直线AB下方抛物线上的一动点，当△PAB面积最大时，求点P的坐标，并求△PAB面积的最大值．
2
2019-2020学年天津市河东区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）． 1．【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax+bx+c＝0（a≠0）的一个根为﹣1， ∴x＝﹣1满足关于x的一元二次方程ax+bx+c＝0（a≠0）， ∴（﹣1）•a﹣b+c＝0，即a﹣b+c＝0． 故选：B．
2．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意； C、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项不合题意． 故选：B．
3．【解答】解：A袋子中装有4个黑球和2个白球，摸出的三个球中可能为两个白球一个黑球，所以A不是必然事件；
B．C．袋子中有4个黑球，有可能摸到的全部是黑球，B、C有可能不发生，所以B、C不是必然事件； D．白球只有两个，如果摸到三个球不可能都是白梂，因此至少有一个是黑球，D正确． 故选：D．
4．【解答】解：∵弦CD⊥OB于M， ∴CM＝DM＝
CD，
2
22
∵OM：MB＝4：1， ∴OM＝∴CM＝
OB＝8cm，
＝
＝6（cm），
∴CD＝2CM＝12cm， 故选：C．
5．【解答】解：由旋转变换的性质可知，△ADE≌△ABF， 根据题意得：BC＝5，BF＝DE＝1， ∴FC＝6，CE＝4，
∴EF＝故选：D．
＝＝2．
6．【解答】解：∵在方程x﹣2x﹣4＝0中，△＝（﹣2）﹣4×1×（﹣4）＝20＞0， ∴方程x﹣2x﹣4＝0有两个不相等的实数根． 故选：B．
7．【解答】解：∵反比例函数y＝∴图象分布在第一、三象限， ∵x＜0，
∴图象在第三象限． 故选：C．
8．【解答】解：∵∠BOD＝130°， ∴∠A＝
∠BOD＝65°，
（k＞0），
2
22
∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形， ∴∠DCE＝∠A＝65°， 故选：C．
9．【解答】解：连接OA， ∵PA为⊙O的切线， ∴∠OAP＝90°， ∵∠P＝30°，OB＝3， ∴AO＝3，则OP＝6， 故BP＝6﹣3＝3． 故选：A．
10．【解答】解：∵二次函数图象开口方向向下， ∴a＜0，
∵对称轴为直线x＝﹣∴b＞0，
∵与y轴的正半轴相交， ∴c＞0，
＞0，
∴y＝ax+b的图象经过第一、二、四象限， 反比例函数y＝
图象在第一三象限，
只有C选项图象符合． 故选：C．
11．【解答】解：设花带的宽度为xm，则可列方程为（30﹣2x）（20﹣x）＝故选：D．
12．【解答】解：由图象可知a＜0，c＞0，对称轴为x＝﹣∴x＝﹣
＝﹣
，
，
×20×30，
∴b＝3a， ①正确；
∵函数图象与x轴有两个不同的交点， ∴△＝b﹣4ac＞0， ②正确；
当x＝﹣1时，a﹣b+c＞0， 当x＝﹣3时，9a﹣3b+c＞0， ∴10a﹣4b+2c＞0， ∴5a﹣2b+c＞0， ③正确；
由对称性可知x＝1时对应的y值与x＝﹣4时对应的y值相等， ∴当x＝1时a+b+c＜0， ∵b＝3a，
∴4b+3c＝3b+b+3c＝3b+3a+3c＝3（a+b+c）＜0， ∴4b+3c＜0，
2
④错误； 故选：A．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 13．【解答】解：设点P的坐标为（x，y）， ∵点P的反比例函数解析式上， ∴xy＝﹣6，
易得四边形PMON为矩形， ∴四边形PMON的面积为|xy|＝6， 故答案为6．
14．【解答】解：如图，连接OB，OC，过O作OM⊥BC于M， ∴∠BOC＝∵OB＝OC，
∴△OBC是等边三角形，
∵正六边形ABCDEF的周长为24， ∴BC＝24÷6＝4， ∴OB＝BC＝4， ∴BM＝∴OM＝∴S△OBC＝
BC＝2，
＝2
×BC×OM＝
， ×4×2×6＝24
＝4．
，
×360°＝60°，
∴该六边形的面积为：4故答案为：24
．
15．【解答】解：∵一个质地均匀的小正方体，六个面分别标有数字“1”“1”“2”“4”“5”“5”， ∴随机掷一次小正方体，朝上一面的数字是奇数的概率是：
＝
．
故答案为：．
16．【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝α， ∴∠B＝90°﹣α，
由旋转的性质得：CD＝CB， ∴∠CDB＝∠B＝90°﹣α，
∴∠BCD＝180°﹣∠B﹣∠CDB＝180°﹣2（90°﹣α）＝2α； 故答案为：2α．
17．【解答】解：∵抛物线y＝ax﹣2ax+∴A（0，
），抛物线的对称轴为x＝1
﹣a），点M坐标为（2，
）
2
（a＞0）与y轴交于点A，
∴顶点P坐标为（1，
∵点M为线段AB的中点， ∴点B坐标为（4，
）
设直线OP解析式为y＝kx（k为常数，且k≠0） 将点P（1，∴y＝（将点B（4，解得a＝2 故答案为：2．
18．【解答】解：过点A作AG⊥DE于点G，
由旋转知：AD＝AE，∠DAE＝90°，∠CAE＝∠BAD＝15°， ∴∠AED＝∠ADG＝45°，
在△AEF中，∠AFD＝∠AED+∠CAE＝60°， 在Rt△ADG中，AG＝DG＝在Rt△AFG中，GF＝∴CF＝AC﹣AF＝（10﹣2
＝
＝3
cm，
cm，
）x ）代入得
＝（
）×4
）代入得
＝k
cm，AF＝2FG＝2）cm，
故答案为：（10﹣2）cm．
三、解答题（共66分）
19．【解答】解：（1）方程整理得：x+4x＝3， 配方得：x+4x+4＝7，即（x+2）＝7， 开方得：x+2＝±解得：x1＝﹣2+
， ，x2＝﹣2﹣
；
2
22
（2）方程整理得：3x（2x+3）﹣2（2x+3）＝0， 分解因式得：（3x﹣2）（2x+3）＝0， 可得3x﹣2＝0或2x+3＝0， 解得：x1＝
，x2＝﹣
．
，
20．【解答】解：（I）设解析式为y＝把点（2，﹣2）代入解析式得， ﹣2＝
，
解得：k＝﹣4
∴反比例函数的解析式y＝﹣
（II）当y＝2时，x＝﹣2， 如图，
；
所以当y≥2时，﹣2≤x＜0．
21．【解答】解：（1）如图①，连接OB， ∵BC是圆的切线，∴OB⊥BC， ∵四边形OABC是平行四边形， ∴OA∥BC，∴OB⊥OA， ∴△AOB是等腰直角三角形， ∴∠OAB＝45°；
（2）如图②，过点O作OH⊥EC于点H，设EH＝t， ∵OH⊥EC， ∴EF＝2HE＝2t，
∵四边形OABC是平行四边形， ∴AB＝CO＝EF＝2t， ∵△AOB是等腰直角三角形， ∴OA＝则HO＝∵OC＝2OH， ∴∠OCE＝30°，
∴∠COE＝180°﹣45°﹣30°＝105°．
t，
＝
＝t，
22．【解答】解：（1）8名学生中至少有三类垃圾投放正确的概率为
（2）列表如下：
A C F G A AC AF AG C CA CF CG F FA FC FG G GA GC GF ；
23．【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0）， 由所给函数图象可知：解得：
．
，
故y与x的函数关系式为y＝﹣x+180；
（2）根据题意，得：（x﹣100）（﹣x+180）＝1500，
整理，得：x2﹣280x+19500＝0， 解得：x＝130或x＝150，
答：每件商品的销售价应定为130元或150元；
（3）∵y＝﹣x+180，
∴W＝（x﹣100）y＝（x﹣100）（﹣x+180） ＝﹣x+280x﹣18000 ＝﹣（x﹣140）+1600， ∴当x＝140时，W最大＝1600，
∴售价定为140元/件时，每天最大利润W＝1600元． 24．【解答】解：（1）证明：如图①中，连接OE．
2
2
∵∠BCD＝90°，BE＝ED，BO＝OA， ∵CE＝ED＝EB＝∴∠OCA＝∠A， ∵BE＝ED，BO＝OA， ∴OE∥AD，OE＝∴CE＝EO．
∴∠EOC＝∠OCA＝∠ECO， ∴∠ECO＝∠OAC． 故答案为：∠OCE＝∠OAC．
（2）如图②中， ∵OC＝OA，DA＝DB，
AD，
BD，CO＝OA＝OB，
∴∠A＝∠OCA＝∠ABD， ∴∠COA＝∠ADB， ∵∠MON＝∠ADB， ∴∠AOC＝∠MON， ∴∠COM＝∠AON， ∵∠ECO＝∠OAC， ∴∠MCO＝∠NAO， ∵OC＝OA，
∴△COM≌△AON（ASA）， ∴OM＝ON．
②如图②中，当点N在CA的延长线上时，
∵∠CAB＝30°＝∠OAN+∠ANO，∠AON＝15°， ∴∠AON＝∠ANO＝15°， ∴OA＝AN＝m， ∵△OCM≌△OAN， ∴CM＝AN＝m，
在Rt△BCD中，∵BC＝m，∠CDB＝60°， ∴BD＝∵BE＝ED， ∴CE＝
BD＝
m，
m．
m，
∴EM＝CM+CE＝m+
如备用图中，当点N在线段AC上时，作OH⊥AC于H．
∵∠AON＝15°，∠CAB＝30°， ∴∠ONH＝15°+30°＝45°， ∴OH＝HN＝∵AH＝
m，
m，
m﹣
m，
∴CM＝AN＝∵EC＝
m，
∴EM＝EC﹣CM＝m﹣（m﹣m）＝m或
m﹣m﹣
m， m．
综上所述，满足条件的EM的值为m+
2
25．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax﹣2x+c经过A（0，﹣3）、B（3，0）两点， ∴∴
，
2
，
∴抛物线的解析式为y＝x﹣2x﹣3，
∵直线y＝kx+b经过A（0，﹣3）、B（3，0）两点， ∴
，解得：
，
∴直线AB的解析式为y＝x﹣3， （2）∵y＝x﹣2x﹣3＝（x﹣1）﹣4， ∴抛物线的顶点C的坐标为（1，﹣4）， ∵CE∥y轴， ∴E（1，﹣2）， ∴CE＝2，
①如图，若点M在x轴下方，四边形CEMN为平行四边形，则CE＝MN，
2
2
设M（a，a﹣3），则N（a，a﹣2a﹣3），
2
∴MN＝a﹣3﹣（a﹣2a﹣3）＝﹣a+3a，∴﹣a+3a＝2，
解得：a＝2，a＝1（舍去）， ∴M（2，﹣1），
2
22
②如图，若点M在x轴上方，四边形CENM为平行四边形，则CE＝MN，设M（a，a﹣3），则N（a，a﹣2a﹣3）， ∴MN＝a﹣2a﹣3﹣（a﹣3）＝a﹣3a， ∴a﹣3a＝2， 解得：a＝∴M（
，
，a＝
），
）．
（舍去），
2
2
22
综合可得M点的坐标为（2，﹣1）或（（3）如图，作PG∥y轴交直线AB于点G，
设P（m，m﹣2m﹣3），则G（m，m﹣3），
2
∴PG＝m﹣3﹣（m﹣2m﹣3）＝﹣m+3m， ∴S△PAB＝S△PGA+S△PGB＝∴当m＝
时，△PAB面积的最大值是
＝
，此时P点坐标为（
＝﹣）．
，
22
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