福建省厦门市同安实验中学2020-2021学年高一上学期期中考试数学试卷及解析

试数学试卷

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

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评卷人 得分 一、选择题

1.已知命题p:“xR，exx20”，则p的否定为（ ） A.xR，exx20 C.xR，exx20 2.下列各组函数表示同一函数的是 A.fxB.xR，exx20 D.xR，exx20

x2，gx(x)2

0

B.f（x）=x，g（x）=3x3 C.f（x）=1，g（x）=x

0.20.33.已知alog20.2,b2,c0.2，则

x21 D.fxx1，gxx1A. abc

B. acb C. cab

D. bca

4.已知不等式x2axb0的解集是x1x2，则ab( ) A. 3

5.已知函数f(x)A.(0,4]

xB. 1

C. 1

则f(x)值域为（ ）

D. 3

12x2-2x3B.[4,)

C.0,

41D.,

141x6.函数2的图象的大致形状是（ ）

y|x|A. B.

C. D.

7.函数f(x)log1x2x3的单调递减区间是（ ）

22A.(,1) C.(,1)

B.(1,) D.(3,)

x2(4a3)x3a,x0(a0且a1)在R上单调递减，且关于x8.已知函数f(x)loga(x1)1,x0的方程|f(x)|2A.0,

3x恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（ ） 3B.,

34223C.,

3312D.,12 33第II卷（非选择题）

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评卷人 得分 二、填空题

9.已知UR，Axx3，B0,1,2,3,4,5，则图中阴影部分所表示的集合为______.



10.函数ylogax14的图象恒过定点P，点P在幂函数fx的图象上，则f3________.

11.已知集合Ax|()13x2x61，B＝{x|log3(x＋a)1}，若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________．

ax1,x0f(x)12.已知函数，给出下列三个结论： lnx,x0①当a2时，函数f(x)的单调递减区间为(,1)； ②若函数f(x)无最小值，则a的取值范围为(0,)；

③若a1且a0，则bR，使得函数yf(x)b.恰有3个零点x1，x2，x3，且

x1x2x3-1．

其中，所有正确结论的序号是______． 评卷人 得分 三、解答题

13.计算： （1）21(2020)0271.52

1223448（2）log32271g251g47log7log23log34. 3∣x5x140，B{x∣ax3a-2}. 14.已知集合Ax（1）若a4，求A（2）若A2B，RAB；

BB，求实数a的取值范围.

x的定义域为(1,1)， x2115.已知函数f(x)（1）利用函数的单调性定义探讨f(x)在(1,1)上单调性； （2）解不等式f(t-1)f(t)0.

16.已知函数fx是定义在R上的偶函数，且当x0时，fxx2x，

2（1）求函数fxxR的解析式；

（2）若函数gxfx2ax1x1,2，求函数gx的最小值ha.

17.南宁地铁项目正在如火如茶地进行中，全部通车后将给市民带来很大的便利.已知地铁2号线通车后，列车的发车时间间隔t (单位：分钟)满足2t20，经市场调研测算，地铁的载客量与发车的时间间隔t相关，当10t20时，地铁为满载状态，载客量为500人；

2当2t10时，载量会减少，减少的人数与(10t)成正比，且发车时间间隔为2分钟时

的载客量为372人，记地铁的载客量为s(t).

（1）求s(t)的表达式，并求发车时间间隔为5分钟时列车的载客量； （2）若该线路每分钟的净收益为Q少时，该线路每分钟的净收益最大？ 18.已知函数𝑓(𝑥)

8s(t)265660(元)问：当列车发车时间间隔为多

t=2𝑥(𝑥∈𝑅).

>16−9×2𝑥；

=𝑔(𝑥)+ℎ(𝑥),其中𝑔(𝑥)为奇函数,ℎ(𝑥)为偶函数,若不等式

（1）解不等式𝑓(𝑥)−𝑓(2𝑥)（2）若函数𝑓(𝑥)

2𝑎𝑔(𝑥)+ℎ(2𝑥)≥0对任意𝑥∈[1,2]恒成立,求实数𝑎的取值范围.

评卷人 得分 四、新添加的题型

19.已知集合M{2，3x23x4，x2x4}，若2M，则满足条件的实数x可能为（ ） A.2

B.2

C.3

D.1

20.记函数f(x)x22ax3在区间(-,3]上单调递减时实数a的取值集合为A，不等式

x1a(x2)恒成立时实数a的取值集合为B，则（ ）

x2B.BA

D.\"xB\"是\"xA\"的必要不充分条件

∣a3} A.A{a∣a4} C.B{a21.已知0ab,ab1,则下列不等式中,正确的是( ) A.log2a0 C.

B.2ab1 22baab4

12D.log2alog2b2

22.下列几个说法，其中正确的有（ ）

xA.已知函数f(x)的定义域是,8，则f2的定义域是(1,3]

B.若函数f(x)22b有两个零点，则实数b的取值范围是0b2 C.函数y2x与yxx2的图象交点个数是2个

2D.若函数f(x)4xln1x11在区间,上的最大值与最小值分别为M和m，则1x22Mm8

参考答案

1.C

【解析】1.

特称命题的否定为全称命题，从而得到结果. ∵特称命题的否定为全称命题，

∴命题 p:“xR，exx20”，的否定p:xR,exx20. 故选:C. 2.B

【解析】2.

通过求函数的定义域可以判断出A，C ，D中的函数都不是同一函数，而对于B显然为同一函数． A. fx一函数；

B．f（x）=x和g（x）=3x3的定义域和对应法则都相同，为同一函数, C．f（x）=1的定义域为R，g（x）=x0的定义域为{x|x0}，不是同一函数；

x的定义域为R,gx2），定义域不同，不是同x的定义域为[0，2x21D．fxx1定义域为R，gx的定义域为{x|x1}，定义域不同，不是同

x1一函数． 故选B ． 3.B

【解析】3.

运用中间量0比较a,c，运用中间量1比较b,c

alog20.2log210,b20.2201,00.20.30.201,则0c1,acb．故

选B． 4.A

【解析】4.

x2axb=0的两个解为-1和2.

1ab=0a1ab3 42ab0b25.C

【解析】5.

1先求tx2x3的范围，再求y的值域. 22t11，

令tx2-2x3，则t(x-1)2[2,)，则y0,242t故选：C 6.D

【解析】6.

将函数化为分段函数后，根据指数函数的单调性可得结果.

1xx,x01x2因为在(0,)上递减，在(,0)上递增， 所以只有D选2xy1|x|,x02项正确. 故选：D 7.D

【解析】7.

先求函数定义域，再分析内层函数g(x)x2x3的单调性，结合调性，根据同增异减的原则可得解.

令g(x)x2x3，由g(x)x2x30，可得x1或x3， 所以g(x)x2x3在(,1)单调递减，在(3,)单调递增， 又

2222f(x)log1x的单

2f(x)log1x单调递减.

2由复合函数“同增异减”可得：f(x)log1x2x3在(,1)单调递增，在(3,)22单调递减， 故选：D. 8.D

【解析】8.

根据f(x)是R上的单调递减函数，可得象有两个交点可得a13xa，根据函数y|f(x)|和y2的图

334122a. ，综合可得

333f(x)是R上的单调递减函数，

yx2(4a3)x3a在(-,0)上单调递减，yloga(x1)1在(0,)上单调递

减，且f(x)在(-,0)上的最小值大于或等于f(0).

34a02130a1，解得. a343a1作出函数y|f(x)|和y2x的草图如图所示： 3

x|f(x)|2恰有两个不相等的实数解，

33a2，即a综上，

2， 312a. 33故选：D. 9.{4,5}

【解析】9.

由韦恩图知阴影部分为CUAB，根据已知集合，应用集合的交补运算求集合即可. 由图知：阴影部分为CUAB，而CUA{x|x3}，

∴CUAB{4,5}， 故答案为：{4,5}. 10.9

【解析】10.

令真数为1,可得定点P的坐标,用待定系数法设出幂函数解析式,代入P的坐标,可得幂函数解析式,从而可得f(3).

令x11,得x2此时y4,故P(2,4),

设幂函数解析式f(x)x,

依题意有f(2)4,即24,解得2,

2所以f(x)x,

所以f(3)39. 故答案为:9 11.(－∞，0]

【解析】11.

由集合A、B得到元素的范围，根据“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件知Ba的范围 由Ax|()A，即可求得

213x2x61 ，得x2－x－6 ≥ 0 即x ≤－2或x ≥ 3 ∴ A＝{x|x ≤－2或x ≥ 3}

由log3(x＋a)1，得x＋a ≥ 3，即x ≥ 3－a， 则B＝{x|x ≥ 3－a} 由题意知：BA

∴ 3－a ≥ 3，得a ≤ 0. 故答案为：(－∞，0] 12.②③

【解析】12.

由题意结合函数单调性的概念举出反例可判断①；画出函数的图象数形结合即可判断②；由题意结合函数图象不妨设x10x21x3，进而可得x1b1bb，x2e，x3e，a令x1b11验证后即可判断③；即可得解. a22对于①，当a2时，由0e21，f(0)1f(e)lne区间(,1)不单调递减，故①错误；

2，所以函数f(x)在

ax1,x0ax1,x0对于②，函数f(x)可转化为f(x)lnx,0x1，

lnx,x0lnx,x1画出函数的图象，如图：

由题意可得若函数f(x)无最小值，则a的取值范围为(0,)，故②正确；

对于③，令yf(x)b0即f(x)b，结合函数图象不妨设x10x21x3， 则ax11lnx2lnx3b， 所以x1令x1b1bbbb，x2e，x3e，所以x2x3ee1， ab11即ba1， a当a0时，ba11，yf(x)b0存在三个零点，且x1x2x3-1，符合题意； 当0a1时，0ba11，yf(x)b0存在三个零点，且x1x2x3-1，符合题意； 故③正确. 故答案为：②③. 13.（1）

231. ；（2）

24【解析】13.

（1）根据指数幂的运算性质计算可得结果； （2）根据对数的运算性质计算可得结果. （1）原式=

39911， 244214（2）原式log3314.（1）A

【解析】14.

lg(254)2log24231222.

44Bx|2x10,RABx|7x10（2）a3

（1）化简集合A，求出

RA，再根据并集的概念求出AB，根据交集的概念求出

RAB；

BB得BA，再按照B和B两种情况讨论可求得结果.

（2）由A∣x5x140x|2x7，（1）Ax2RAx|x2或x7，

Bx|4x10， ABx|2x10，

RABx|x2或x7x|4x10x|7x10.

（2）因为ABB，所以BA，

当B时，a3a2，即a1时，满足 BA；

a1



当B，即a1时，由BA得2a，解得1a3，

73a2

综上所述：a3.

t0t15.（1）答案见解析；（2）∣

【解析】15.

1. 2（1）按照取值、作差、变形、判号、下结论这五个步骤可得解. （2）根据奇偶性将不等式化为f(t1)f(t)，根据单调性可解得结果.

2x1x2x1(x21)x2(x121)2（1）设1x1x21，f(x1)f(x2)2 2x11x21(x121)(x21)(x1x2)(1x1x2)， 2(x121)(x21)22因为1x1x21，所以x1x20，1x1x20，(x11)(x21)0，

所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)， 所以f(x)x在(1,1)上为单调递增函数. x21x的定义域为(1,1)， 2x1（2）f(x)f(x)xxf(x)，所以f(x)为(1,1)上的奇函数， 22(x)1x11)f(t)f(t).

由f(t1)f(t)0得f(tf(x)在(-1,1)上是增函数，

1t1t1，0t1， 2t0t不等式的解集为∣21. 2a02a,x2x,x0216.（1）f(x)2；（2）haa2a,0a1

x2x,x014a,a1

【解析】16.

（1）根据偶函数的性质进行转化求解即可．

（2）求出g(x)的表达式，结合一元二次函数最值性质进行求解即可． 解：（1）

f(x)是偶函数，

若x0，则x0，

则当x0时，f(x)x22xf(x)， 即当x0时，f(x)x2x．

2x22x,x0即f(x)2．

x2x,x0（2）当x1,2时，g(x)f(x)2ax1x22x2ax1x2(22a)x1， 对称轴为x1a，

若1a1，即a0时，g(x)在1,2上为增函数，则g(x)的最小值为hag12a，

若1a2，即a1时，g(x)在1,2上为减函数，则g(x)的最小值为hag114a，

2若11a2，即0a1时，g(x)的最小值为hag1aa2a，

a02a,2即haa2a,0a1．

14a,a15002(10t)2,2t1017.（1）s(t)，发车时间间隔为5分钟时列车的载客量450500,10t20人；（2）当列车发车时间间隔为4分钟时，该线路每分钟的净收益最大为132元.

【解析】17.

（1）根据s(2)372求出k2，则可得s(t)的表达式； （2）分两段求出最大值，比较两段的最大值可得结果. （1）当10t20时，s(t)500.

2当2t10时，s(t)500k(10t)，2解得k2，s(t)5002(10t).

s(2)372，372500k(102)2

5002(10t)2,2t10s(t)，

500,10t20s(5)500-252450人.

（2）当10t20时，s(t)500.

Q8500265613446060可得Qtt13446074.4，所以Qmax74.4. 102当2t10时，s(t)5002(10t)，

16400016(10t)22656Q6016t260

tt162t16260132，当且仅当t4时，Qmax132. t1712

答：当列车发车时间间隔为4分钟时，该线路每分钟的净收益最大为132元. 18.（1）（1，3）；（2）𝑎

【解析】18.

2x，转化不等式为二次不等式，求解即可； （1）设t＝2x，利用f（x）＞16﹣9×

（2）利用函数的奇偶性以及函数恒成立，结合对勾函数的图象与性质求解函数的最值，推

≥− . 出结果．

2x得：t﹣t2＞16﹣9t， 解：（1）设t=2x，由f（x）＞16﹣9×即t2﹣10t+16＜0

∴2＜t＜8，即2＜2x＜8，∴1＜x＜3 ∴不等式的解集为（1，3）． （2） 由题意得

解得.

2ag（x）+h（2x）≥0，即又x∈[1，2]时，令

，

，对任意x∈[1，2]恒成立，

在当所以19.AC

【解析】19.

时，

.

上单调递增，

有最大值

，

根据集合元素的互异性2M必有23x23x4或2x2x4，解出后根据元素的互异性进行验证即可．

解：由题意得，23x23x4或2x2x4， 若23x23x4，即x2x20，

x2或x1，

检验：当x2时，x2x42，与元素互异性矛盾，舍去； 当x1时，x2x42，与元素互异性矛盾，舍去． 若2x2x4，即x2x60，

x2或x3，

经验证x2或x3为满足条件的实数x． 故选：AC． 20.ACD

【解析】20.

∣a3}，根据不等式恒成立求出集合B{a∣a4}，根根据二次函数的单调性求出A{a据AB可得答案.

因为函数f(x)x22ax3在区间(,3]上单调递减， 所以2a2∣a3}. 3，解得a3，即A{a11a(x2)， a(x2)恒成立等价于xx2minx2不等式x当x2时，x20，所以x111x222(x2)24，当x2x2x2且仅当x211，即x3时等号成立，所以x4，所以a4，即

x-2minx2B{a∣a4}.

因为AB，所以“xB\"是\"xA\"的必要不充分条件. 故选：ACD. 21.AD

【解析】21.

根据不等式性质可求得0ab1，1ab0，利用基本不等式可求得

ba2，ab0ab1，结合对数函数和指数函数的单调性可依次判断出各个选项. 41，B错误； 20ab且ab1 0ab1，1ab0

log2a0，A正确；2ab21bababa22（当且仅当，即ab时取等号），又0ab

abababbaba2 ab2224，C错误； abab1（当且仅当

ab时取等号），又0ab ab2420ab11 log2alog2blog2ablog22，D正确. 44故选：AD 22.ABD

【解析】22. 对于A，由

12x8解得1x3，可知A正确； 2x对于B，根据y|22|与yb的图象可得0b2，故B正确；

对于C，根据函数y2与y对于D，令g(x)xln2xx2的图象可知C不正确；

1x1111，x,，可知g(x)为,上的奇函数，由1x2222g(x)maxg(x)min0可得Mm8，故D正确.

x对于A，因为函数f(x)的定义域是,8，所以x8，由f2有意义得

221

112x8，解得1x3，即f2x的定义域是(1,3]，故A正确； 2x对于B，因为函数f(x)22b有两个零点，|22|b有两个实根，所以函数

xy|2x2|与yb的图象有两个交点，

由图可知0b2，故B正确； 对于C，函数y2与yxx2的图象如图：

由图可知函数y2与y2xx2的图象有3个交点，故C不正确；

1x1x112x,g(x)(x)ln对于D，令g(x)xln，，则1x1x221111x2g(x)g(x)，所以为,上的奇函数，所以xln221xg(x)maxg(x)min0，所以Mm4g(x)max4g(x)min8，故D正确.

故选：ABD