空间几何中的向量方法

第一讲：空间几何中的向量方法---------坐标运算与法向量

一、空间向量的坐标运算

1． 若a(a1,a2,a3)，b(b1,b2,b3)，则

（1）ab(a1b1,a2b2,a3b3)； （2）ab(a1b1,a2b2,a3b3)； （3）a(a1,a2,a3),R； （4）aba1b1a2b2a3b3； （5）a//ba1b1,a2b2,a3b3,(b0,R)； （6）aba1b1a2b2a3b30； （7）a（8）cosa,b22aaa12a2a3；

a1b1a2b2a3b3ab. 222222aba1a2a3b1b2b3例1 已知a(2,3,5),b(3,1,4),求ab,ab,8a,ab,的坐标.

2.若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则AB(x2x1,y2y1,z2z1)

练习1: 已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M、N分别是AB,PC的中点，且PA=AD=1，求向量MN的坐标.

二、空间直角坐标系中平面法向量的求法 1、 方程法

利用直线与平面垂直的判定定理构造三元一次方程组，由于有三个未知数，两个方程，要设定一个变量的值才能求解，这是一种基本的方法，容易接受，但运算稍繁，要使法向量简洁，设值可灵活，法向量有无数个，他们是共线向量，取一个就可以。

例1 已知AB(2,2,1),AC(4,5,3),求平面ABC的法向量。

nAB=02x2yz0解：设n(x,y,z)，则由nAB,nAC,得即

4x5y3z=0nAC=01x1不妨设z1，得2， 取n(,1,1)

2y=-1.

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2.矢量积公式

ya(x1,y1,z1),b(x2,y2,z2),ab1y2z1z2,x1x2z1z2x2,x1y1,其中行列式y2y1y2z1z2y1z2y2z1,法向量取与向量ab共线的即可。

a(2,2,1)用这一方法解答例1，先把平面内的两个向量坐标对齐写

b(4,5,3)蒙住第一列，把后两列看成一个二阶行列式，计算23151就是向量ab的

x坐标，蒙住第二列，把前后两列看成一个二阶行列式，计算[2341]2，作

为ab的y坐标，蒙住第三列，把前两列看成一个二阶行列式，计算25422作为z坐标，所以ab(1,2,2)，可以取n(1,2,2)，它与前面方程法求得的

1n(,1,1)是共线向量。

2优点：操作步骤清晰，容易记住，开始觉得不习惯，多练几次后，速度快、结果准。

例2 已知A(3,0,0),B(0,4,0),C(0,0,2)，试求平面ABC的一个法向量.

，0，1)、C(3，2，，0)试求平面的一个法练习：已知平面经过三点A(1,2,3)、B(2向量.

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第二讲：立体几何的向量方法-------平行与垂直

一、平行

设直线l,m的方向向量分别为a,b，平面,的法向量分别为u,v，则 （1） 线线平行：l//m__________________________; （2） 线面平行：l//__________________________; （3） 面面平行：//__________________________;

例1：四棱锥PABCD，底面ABCD是正方形，PD底面ABCD，PDDC，E是PC 的中点，求证：PA//平面EDB.

二、垂直 1、 线线垂直

设直线l的方向向量分别为a=a1,a2,a3，设直线m的方向向量分别为bb1,b2,b3，则lm______________________________________ 2、线面垂直

设直线l的方向向量分别为a=a1,a2,a3，设平面的法向量分别为uu1,u2,u3，则l_________________________ 3、面面垂直

设平面的法向量分别为uu1,u2,u3，设平面的法向量分别为vv1,v2,v3，则

______________________________________

（一）证明线线垂直

例2：已知正三棱柱ABCA1B1C1的各棱长都为1，M 是底面上BC 边上的中点，N是侧棱

CC1上的点，且CN

1CC1，求证：AB1MN. 4变式1：已知正三棱柱ABCA1B1C1的各棱长都为1，若侧棱CC1的中点D，求证：

AB1A1D.

（二）证明线面垂直

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例2：如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为AC与BD 的交点，G为CC1的中点，求证：A1O平面GBD.

E、F分别是BB1，D1B1的中点，变式训练2： 如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中， 求证：EF平面B1AC.

（三）证明面面垂直 例

3

：

在

四

面

体

AB

BEF平面ABC、B C,CD中，

AB平面B,CDB,CCD,分别是AC、AD的中点，求证：平面BEF平面ABC.

变式训练3：在正棱锥P-ABC中，三条側棱两两互相垂直，G是三角形PAB 的重心，E、F分别是BC、PB上的点，且BE：FB=1:2，求证：平面GEF平面PBC.

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第三讲： 立体几何的向量方法---角度

一、空间向量三种角的向量求解方法

1、 异面直线所成的角：设异面直线l1,l2的方向向量分别为a和b，则l1与l2夹角满足

____________，其中的范围是______________.

2、 线面角：设直线l的方向向量为a和平面的法向量为n，则直线l与平面的夹角满

足__________________，其中的范围是______________.

3、 二面角：设平面的法向量为n，设平面的法向量为m，则平面与平面所成二面

角满足__________________，其中的范围是______________.

二、典型例题

例1：在RtABC中，BCA90，现将ABC沿着平面的法向量平移到A1B1C1的位置，已知BCCACC1，取A1B1、A1C1的中点D1、F1，求BD1与AF1所成角的余弦值.

练习1：正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，求B1C1与面AB1C所成角的余弦值.

例3. 在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PD=DC，E 是PC 的中点，作EFPB交PB于F,求二面角C-PB-D 的大小.

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练习2：在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，DAB60,AB2AD,

PD底面ABCD.

(1)证明： PABD.

(2)若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值.

练习3：在四棱锥P-ABCD，底面ABCD为矩形，PA底面ABCD，APAB2，

BC22，E,F分别是AD，PC的中点.

(1)证明：PC平面BEF. (2)求平面BEF与平面BAP的夹角大小.

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第四讲： 立体几何的向量方法---距离

(1) 点面距离的向量公式

平面的法向量为n，点P是平面外的一点，点A为平面内的一点，则点P到平面的距离d等于__________________; (2) 线面、面面距离的向量公式

平面//直线l，平面的方向量为n，点M，Pl，平面与直线l间 的距离d就是MP在向量n方向射影的绝对值，即d__________________; (3) 异面直线的距离向量公式

设向量n与异面直线a、b都垂直，Ma,Pb，则两异面直线a、b间的距离d就是MP在向量n方向射影的绝对值，即d__________________.

例1：正方形ABCD的边长为4，CG平面ABCD,CG=2,E、F分别是AB、AD的中点，

（1） 求点B到平面GEF的距离；

（2） 求直线BD到平面GEF的距离.

例2：直三棱柱ABCA1B1C1的侧棱AA1=4，底面三角形ABC 中，AC=BC=2，

BCA90，E是AB的中点，求异面直线CE与AB1的距离.

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