2021届高三5月模拟考试数学试题卷

数 学

注意事项：

1.本卷满分150分，考试时间120分钟。

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.设集合A{0,2,4}，B{x|xmxn0}，若A2B{0,1,2,3,4}，则mn的值是

A.1 B.3 C.5 D.7

2.有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8.在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率是

A．0.72 B．0.8 C．0.86 D．0.9 3.设a，b，m为实数，给出下列三个条件：①a3b3；②am2bm2；③

11.则使ab成立的ab充分不必要条件是

A. ① B. ② C. ③ D. ①②③

4.算盘是中国传统的计算工具，是中国人在长期使用算筹的基础上发明的，是中国古代一项伟大的、重要的发明，在阿拉伯数字出现前是全世界广为使用的计算工具.“珠算”一词最早见于东汉徐岳所撰的《数术记遗》，其中有云：“珠算控带四时，经纬三才.”北周甄鸾为此作注，大意是：把木板刻为3部分，上、下两部分是停游珠用的，中间一部分是作定位用的.下图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别是个位、十位、百位、

，上面一粒珠（简称上珠）代表5，下面一粒珠（简称下珠）是1，即五粒下珠的大小

等于同组一粒上珠的大小.现在从个位、十位和百位这三组中随机选择往下拨1粒上珠，且往上拨2粒下珠，则算盘表示的数的个数为

A．9 B．18 C．27 D．36

x2y21的左、右焦点，过F1的直线分别交该双曲线的左、右两支于A、B5. F1、F2分别是双曲线24两点，若AF2BF2，|AF2||BF2|，则|AF2|

A.2 B.22 C.4 D.42

6.已知a=1，b=2，m=a+tb，设函数f(t)|m|，当t=向上的投影为

A．3 B. -3 C. 7.已知(1x)7a0a1(x1)1a2(x1)2133时，f(t)取得最小值，则a在b方433 D. - 22a7(x1)7，则a0a3

A.688 B.161 C.129 D.22

1x33A．当ab时，ca B．当bc时，ac C．当ac时，ba D．当c0时，ab

8.已知ax,b(),clog1x，则下列说法正确的是

二、选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分） 9. 已知函数f(x)11，下列关于函数f(x)的结论正确的为 xx1A．函数f(x)在定义域上单调递减 B．函数f(x)的值域为R 1C．函数f(x)在定义域内有两个零点 D．函数f(x)是奇函数

210.设复数z1，z2满足z1z20，则

A.z1z2 B.|z1||z2|

C.若z1(2i)3i，则z1z22i D. 若|z1(13i)|1，则1|z2|3

x11. 已知函数fxeacosx，f(x)是f(x)的导函数，则下列说法正确的是

A．当a1时，fx在上单调递增 （0，）B．当a1时，fx在0,f0处的切线为x轴 C．当a1时，f'x在[0,)上无零点

3π,存在唯一极小值点x0 212. 如图，在直四棱柱中，四边形ABCD为菱形，且AB2，

A AA11，BAD，则下列结论正确的是

D．当a1时，fx在B D B1 D1

1023A. 直线AC1平面A1BD

C

B. 直线DB1与平面C1CDD1所成角的正切值为

62A1

C1

C.过A1D作与AC1平行的平面A1DG，则平面A1DG截直四棱柱的截面面积为

D.点E为棱B1C1上任意一点，直线AA1与直线BE所成角的正切值的范围是[0,2] 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共40分） 13.已知圆锥的侧面展开图是半径为4的半圆，则该圆锥的体积为

1，则sin2a+cos2a=_____.

8315.已知函数f(x)lnx，数列{an}是公差为2的等差数列，且anf(xn)，若x1x2x314.已知sin()x10e，

则ln(x11x12x13x20)___________.

16.函数f(x)的定义域为D，对D内的任意x1、x2，当x1144fx4x恒成立，则f717. （本小题满分10分）

5f的值为________． 8四、解答题（本大题共6小题，共70分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

2n1已知数列an中，其前n项和sn满足Snnn，数列bn满足b11，bn1bn23．

（1）求数列an与数列bn的通项公式；

(1)n(an1)log3(bn1bn)，求数列cn的其前n项和Tn. （2）记cnn(n1)

18.（本小题满分12分）

已知ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且b(asinAcsinCbsinB)3SABC. （1）求cosB的值；

（2）若a、b、c成等比数列，且ABC的面积是

19.（本小题满分12分）

如图，在多面体ABCDEF中，ABCD是正方形，AB=2，DE=BF，BF//DE，M为棱AE的中点. （1）求证：平面BMD//平面EFC.

（2）若ED平面ABCD，BMCF，求二面角EAFB的余弦值.

E

M

D A7，求ABC的周长. 2FCB20.（本小题满分12分）

某地一公司的市场研究人员为了解公司生产的某产品的使用情况，从两个方面进行了调查统计，一是产品的质量参数x，二是产品的使用时间t（单位：千小时），经统计分析，质量参数x服从正态分布

N(0.8,0.0152)，使用时间t与质量参数x之间有如下关系：

0.65 0.70 0.75 0.80 质量参数x 2.60 2.81 3.05 3.10 使用时间t 20件该产品进行校验，求合格产品的件数的数学期望；

0.85 3.25 0.90 3.35 0.95 3.54 （1）该地监管部门对该公司的该产品进行检查，要求质量参数在0.785以上的产品为合格产品. 现抽取（2）该公司研究人员根据最小二乘法的方法求得线性回归方程为t2.92x0.76，请用相关系数说明使用时间t与质量参数x之间的关系是否可用线性回归模型拟合. 附：参考数据：x0.8,t3.1，

277xi12i4.55,ti267.88，0.1140.337.

i1若~N(,)，则P()0.6828，P(22)0.9544.

参考公式：相关系数r(xx)(tii1n2nii1nit)；

i(xx)(ti1nt)2ˆxaˆˆbˆ，其中b回归直线方程为t(xx)(tt)iii1(xx)ii1nˆ. ˆtbx,a2

21.（本小题满分12分）

x2y21，A是椭圆的右顶点，B是椭圆的上顶点，直线l:ykxb(k0)与椭圆交于已知椭圆

169M、N两点且M点位于第一象限.

（1）若b0，证明：直线AM和AN的斜率之积为定值；

3（2）若k，求四边形AMBN的面积的最大值.

4

22.（本小题满分12分） 已知函数f(x)(x1)lnx.

（1）求曲线yf(x)在x1处的切线方程；

ln2ln7（2）求证：16

ln(n22)23(n2,nN). 2n3n22021届高三5月模拟考试数学试题参考答案

1.D 2.A 3.B 4.B 5.C 6.D 7.A 8.C 9.BD 10.BCD 11.ACD 12.BCD 13.

8372 15.21 16.2  14. 932217.解析：（1）当n³2，an=Sn-Sn-1=n+n-(n+1)-(n+1)=2n，a1=2，an2n. ………2分

bn1bn23n1，b1=1,b2=3，

∴\\bn=b1+(b2-b1)+(b3-b2)+(bn-bn-1)

123023123n23n2(n2)，当n1时也满足，bn3n1 .………4分

(1)(2n1)11(1)n(an1)clog3(bn1bn)=)(n1)log32， ………6分 log3(23n1)=(1)n(（2）nn(n1)nn1n(n1)n∴Tn(1)()(1)(121213n11n(n1))nlog32 nn12(1)nn2n= 1nlog32 .………10分

n12b(asinAcsinCbsinB)318. 解析：（1），

22213b(a2+c2-b2)=abc，absinC，由正弦定理得：

223ac3a2+c2-b23=2=； ………5分 即a+c-b=ac，\\cosB=2ac2ac42（2）由（1）知sinB=7，又4a、b、c成等比数列，b2ac，

17，即ac4，acsinB=22b2=a2+c2-2accosB，即得a2+c2=10， ………8分

则：(a+c)2=a2+c2+2ac=10+8=18，ac32，又

b2=ac=4，b2，

∴ABC的周长为32+2 .………12分 19. 解析：(1)证明：如图，连接AC，交BD于点N，

∴N为AC的中点，连接MN，则MN//EC.

∵MN面EFC，EC面EFC，∴MN//平面EFC. ∵BF//DE，BF=DE，∴四边形BDEF为平行四边形， ∴BD//EF. 又BD平面EFC，EF平面EFC， ∴BD//平面EFC，又MN∩BD=N，

∴平面BMD//平面EFC. ………5分 （2）∵ED平面ABCD，ABCD是正方形

∴分别以DA、DC、DE为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系,设ED=2a， ………6分 则B(2,2,0),M(1,0,a),C(0,2,0),F(2,2,2a),E(0,0,2a)A(2,0,0)BM(1,2,a),CF(2,0,2a)

BMCF12a2a0a1

设平面EAF的法向量为m(x,y,z)，

………8分

BF//DE,DE平面ABCD,BF平面ABCDBFDA,又DAAB

DA平面AFB,平面AFB的法向量为DA(2,0,0). ………9分

，∴

. ………12分

20. 解：（1）一件产品的质量参数在0.785以上的概率p110.68280.8414，…2分 2设抽取20件该产品中为合格产品的件数为，则~B(20,0.8414)， ……4分 则

. ……5分

（2）

(xx)x2ii1i1nn2i2xxinxx2xnxnxxi2nx2，

22i2i1i1i1nnn同理，

(ti1init)ti2nt2， ……7分

2i1nˆb(xx)(ti1nii1nit)2(xx)niˆ(xx)2， ， (xix)(tit)bii1i1nnr(xx)(ti1n2ii1it)iˆ(xx)2bii1n(xx)(txti1i1nn2it)2(xx)(t2ii1nˆb(xx)ii1nn2it)2(ti1

it)2ˆbnx2nt22i4.5570.820.072.922.922.920.1142.920.3370.98 …11分 267.8873.10.61所以使用时间t与质量参数x之间具有较强的线性相关关系，可用线性回归模型拟合…12分

21.解析：（1）证明：设M(x1,y1)，则N(x1,y1)， ∵A(4,0)，B(0,3)，∴kAM∵M(x1,y1)在椭圆上，∴y1∴kAMkAN2y1y1，kAN， ………2分 x144x19(16x12) 16y12916x12922为定值. ………4分 x11616x116163xb，依题意：k0，M点在第一象限，∴ 3b3. 4（2）设l:y3yxb4联立：2得：9x212bx8b2720， 2xy1169∴x1x24b82，x1x2b8， ………6分 39设A到l的距离为d1，B到l的距离为d2，

|124b|44|124b|44|3b|(3b)，d2|b3|(3b)， 55555524. ………8分 ∴d1d25∴d1又∵|MN|195516|x1x2|(x1x2)24x1x2b23252（当b0时取等16449号）， ………10分 ∴SAMBN1124|MN|(d1d2)52122. 225∴四边形AMBN的面积的最大值为122 ………12分 22. 解析：（1）函数fx的定义域为0,，fxlnxx1， ………1分 x又f12，f10，所以该切线方程为y2x1． ………4分

（2）设Fxx1lnx2x2x1，则Fxlnx1， 令gxFx，则gx11x12， ………5分 xx2x1x当x1时，gx0，所以gxFx在1,上单调递增，又g10，所以gxFx0，即Fx在1,上单调递增，所以FxF10，故x1时，x1lnx2x1. ………8分

2令xn21n2,nN，

则n1lnn22n3，所以

222lnn22n322211， ………10分 n1n1n1n1n12所以k2nlnk22k32111111111111...， 3243546n2nn1n1化简可得nlnk2211132，得证. k2k2312nn12n

………12分