初三数学中考压轴题训练

1、（14分）如图10，扇形OAB的半径OA=3，圆心角∠AOB=90°，点C是AB上异于A、B的动点，过点C作CD⊥OA于点D，作CE⊥OB于点E，连结DE，点G、H在线段DE上，且DG=GH=HE

（1）求证：四边形OGCH是平行四边形

（2）当点C在AB上运动时，在CD、CG、DG中，是否存在长度不变的线段？若存在，请求出该线段的长度 （3）求证：CD3CH是定值

2．（本题满分9分）正方形边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直， （1）证明：Rt△ABM∽Rt△MCN；

22（2）设BMx，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式；当M点运动到什么位置时，四边形ABCN面积最大，并求出最大面积；

（3）当M点运动到什么位置时Rt△ABM∽Rt△AMN，求x的值．

A

B

M

第22题图

D

N C

1

3.（本题满分9分）将两块大小一样含30°角的直角三角板，叠放在一起，使得它们的斜边

AB重合，直角边不重合，已知AB=8，BC=AD=4，AC与BD相交于点E，连结CD． (1)填空：如图9，AC= ，BD= ；四边形ABCD是 梯形. (2)请写出图9中所有的相似三角形（不含全等三角形）.

(3)如图10，若以AB所在直线为x轴，过点A垂直于AB的直线为y轴建立如图10

的平面直角坐标系，保持ΔABD不动，将ΔABC向x轴的正方向平移到ΔFGH的位置，FH与BD相交于点P，设AF=t，ΔFBP面积为S，求S与t之间的函数关系式，并写出t的取值值范围.

A 4

（14分）如图11，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC=2cm，BC=4cm，在等腰△PQR中，∠QPR=120°，底边QR=6cm，点B、C、Q、R在同一直线l上，且C、Q两点重合，如果等腰△PQR以1cm/秒的速度沿直线l箭头所示方向匀速运动，t秒时梯形ABCD与等腰△PQR重合部分的面积记为S平方厘米 （1）当t=4时，求S的值

（2）当4t，求S与t的函数关系式，并求出S的最大值

图9

B A F 图10

y D E C

D C E P B G x H

2

图11

5、如图1，已知抛物线的顶点为A(O，1)，矩形CDEF的顶点C、F在抛物线上，D、E在x轴上，CF交y轴于点B(0，2)，且其面积为8． (1)求此抛物线的解析式；

(2)如图2，若P点为抛物线上不同于A的一点，连结PB并延长交抛物线于点Q，过点P、Q分别作x轴的垂线，垂足分别为S、R． ①求证：PB＝PS； ②判断△SBR的形状；

6、如图22所示，在平面直角坐标系中，四边形OABC

是等腰梯形，BC∥OA，OA7，AB4，∠COA60，点P为x轴上的一个动点，点P不与点O、点A重合．连结CP，过点P作PD交AB于点D． （1）求点B的坐标；

（2）当点P运动什么位置时，△OCP为等腰三角形，求这时点P的坐标；

5 （3）当点P运动什么位置时使得∠CPD＝∠OAB，且BD＝y求这时点P的坐标．8AB C B

D O P A x

3

7、已知：如图①，在Rt△ACB中，∠C＝90º， AC＝4cm，BC＝3cm，点P由B出发沿

BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s；点 Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s；连接PQ．若设运动的时间为t (s)（0＜t＜2），解答下列问题： （1）当t为何值时，PQ∥BC ? （2）设△AQP的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；

（3）是否存在某一时刻t，使线段PQ恰好把Rt△ACB的周长和面积同时平分？若存在，

求出此时t的值；若不存在，说明理由；

（4）如图②，连接PC，并把△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP ′C，那么是否存在某一

时刻t，使四边形PQP ′C为菱形?若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由． B

B P P

C A Q C A Q

图①

图②

P ′

8、如图12，直角梯形ABCD中，AB∥CD，A90°，AB6，AD4，DC3，动点P从点A出发，沿ADCB方向移动，动点Q从点A出发，在AB边上移动．设点P移动的路程为x，点Q移动的路程为y，线段PQ平分梯形ABCD的周长． （1）求y与x的函数关系式，并求出x，y的取值范围； （2）当PQ∥AC时，求x，y的值；

（3）当P不在BC边上时，线段PQ能否平分梯形ABCD的面积？若能，求出此时x的值；

若不能，说明理由．

D P

C

A 图12

4

Q

B

1．（1）连结OC交DE于M，由矩形得OM＝CG，EM＝DM 因为DG=HE所以EM－EH＝DM－DG得HM＝DG

（2）DG不变，在矩形ODCE中，DE＝OC＝3，所以DG＝1

x9x2（3）设CD＝x,则CE＝9x，由DECGCDEC得CG＝

32x26x2x9x22x2)所以HG＝3－1－ 所以DGx(

3333 所以3CH2＝

26x22x9x223(()())12x2

33222所以CD3CHx12x12

2．解：（1）在正方形ABCD中，ABBCCD4，BC90°， AMMN，

A AMN90°，

CMNAMB90°．

在Rt△ABM中，MABAMB90°， CMNMAB，

·········································· 2分 Rt△ABM∽Rt△MCN． ·

（2）Rt△ABM∽Rt△MCN，

D

N C

ABBM4x， ，MCCN4xCNB

x24xCN， ···························································································· 4分

4M

答案22题图

yS梯形ABCN1x24x1144x22x8(x2)210， 2422当x2时，y取最大值，最大值为10． ································································· 6分 （3）

BAMN90°，

AMAB， ··················································· 7分 MNBM要使△ABM∽△AMN，必须有

由（1）知

AMAB， MNMCBMMC，

当点M运动到BC的中点时，△ABM∽△AMN，此时x2．····························· 9分

（其它正确的解法，参照评分建议按步给分）

5

3.解：（1）43，43，…………………………1分

等腰；…………………………2分

（2）共有9对相似三角形.（写对3－5对得1分，写对6－8对得2分，写对9对得3分）

①△DCE、△ABE与△ACD或△BDC两两相似，分别是：△DCE∽△ABE，△DCE∽△ACD，△DCE∽△BDC，△ABE∽△ACD，△ABE∽△BDC；(有5对)

②△ABD∽△EAD，△ABD∽△EBC；(有2对) ③△BAC∽△EAD，△BAC∽△EBC；(有2对)

所以，一共有9对相似三角形.…………………………………………5分

（3）由题意知，FP∥AE， ∴ ∠1＝∠PFB，

又∵ ∠1＝∠2＝30°，

DCH ∴ ∠PFB＝∠2＝30°,

∴ FP＝BP.…………………………6分 y过点P作PK⊥FB于点K，则FKBK∵ AF＝t，AB＝8，

1FB. 21AFEP21∴ FB＝8－t，BK(8t).

2在Rt△BPK中，PKBKtan2K 图10BGx13(8t)tan30(8t). ……………………7分 26∴ △FBP的面积S113FBPK(8t)(8t)， 226∴ S与t之间的函数关系式为： S332416(t8)2，或Stt3. …………………………………8分 121233t的取值范围为：0t8. …………………………………………………………9分

4．（1）t＝4时,Q与B重合，P与D重合， 重合部分是BDC＝

122323 2 6

5．⑴解：∵B点坐标为(0．2)，

∴OB＝2，∵矩形CDEF面积为8，∴CF=4. ∴C点坐标为(一2，2)．F点坐标为(2，2)。 设抛物线的解析式为yax2bxc． 其过三点A(0，1)，C(-2．2)，F(2，2)。

c得1x 24a2bc 24a2bc解这个方程组，得

a14,b0,c1

∴此抛物线的解析式为 y14x21 ………… (3分) (2)解：

①过点B作BNBS，垂足为N． ∵P点在抛物线y=14x2十l上．可设P点坐标为(a,14a21)． ∴PS＝

14a21，OB＝NS＝2，BN＝a。

7

∴PN=PS—NS=

12a1 ………………………… (5分) 42 在Rt△PNB中．

PB2＝PNBN(a1)a(a1) ∴PB＝PS＝

214222142212a1………………………… (6分) 4②根据①同理可知BQ＝QR。 ∴12， 又∵ 13， ∴23，

同理SBP＝5………………………… (7分) ∴2523180 ∴5390 ∴SBR90.

∴ △SBR为直角三角形．………………………… (8分)

错误!未找到引用源。 若以P、S、M为顶点的三角形与以Q、M、R为顶点的三角形相似，

∵PSMMRQ90，

∴有PSM∽MRQ和PSM∽△QRM两种情况。

当PSM∽MRQ时．SPM＝RMQ，SMP＝RQM． 由直角三角形两锐角互余性质．知PMS+QMR＝90。 ∴PMQ90。………………………… (9分) 取PQ中点为N．连结MN．则MN＝∴MN为直角梯形SRQP的中位线,

∴点M为SR的中点 …………………… (11分) 当△PSM∽△QRM时，

M

11PQ=(QRPS)．…………………… (10分) 22RMQRQB MSPSBP

8

又

RMMSROOS，即M点与O点重合。 ∴点M为原点O。

综上所述，当点M为SR的中点时，PSM∽△MRQ； 当点M为原点时，PSM∽△QRM …………(12分)

6、解：

（1）过B点作BEOA，垂足是点E， 四边形OABC是等腰梯形，

OCAB，∠BAO∠COA60， 在Rt△BAE中，

BEABsin60，AEABcos60，AB4， BE43223，AE4122． OEOAAE725，B点的坐标(5，23)．

（2）∠COA=60°，△OCP为等腰三角形，

△OCP为等边三角形． OCOPPC4， y C P点是在xB 轴上，

D P点的坐标(4，0)或(4，0)． （3）

O P E A x

∵∠CPD＝∠OAB＝∠COP＝60° ∴∠OPC＋∠DPA＝120° 又∵∠PDA＋∠DPA＝120° ∴∠OPC＝∠PDA ∵∠OCP＝∠A＝60° ∴△COP∽△PAD

∴

OPADOCAP∵BD5AB8，AB＝4

∴BD＝52∴AD＝32即 OP437OP∴7OPOP26 2得OP＝1或6 ∴P点坐标为（1，0）或（6，0）

7、(1)∵BC=3 AC=4 ∠C=900，∴AB=5，∵BP=t，∴AP=5-t……………1’若PQ∥BC，则有△APQ∽△ABC，∴

APAQABAC

9

5t2t……………………………………………2’ 541010 得t，∴当t时，PQ∥BC…………………………………3’

∵AQ=2t，∴

77(2)过点P做PE⊥AC于点E，∴PE∥BC，∴△APE∽△ABC

∴

APPEABBC………………………………………………4’ ∴PE=355t ………………………………………………5’

∴y12AQPE122t355t35t23t…………6’

(3)答：不存在…………………………………………………7’

∵S△ACB=12346，∴当y12S△ACB=3时

有35t23t3…………………………………………………8’

解得：t1552 t5522﹥2(不合题意舍去)………9’ ∴AQ2t55PBt552 ∴AP+AQ=5551525552 ∵△ACB周长=3+4+5=12，∴△ACB周长的126 ∵AP+AQ=

15526………………………………………………10’∴不存在t，使线段PQ恰好白Rt△ACB的周长合面积同时平分 (4)答：存在………………………………………11’ 过点P作PG⊥AC垂足为G ∴PG∥BC ∴△APG∽△ABC

∴

APAGABAC ∴AG45(5t)…………………………………12’

∴GC=AC-AG=445(5t)45t

10

当QG=GC时, △PQG≌△PCG,有PQ=PC,四边形PQP′C为菱形，此时有

410144tt,得t…………………………………13’

955当t50510时，菱形边长为…………………………………14’

998．本题满分11分．

解：（1）过C作CE⊥AB于E，则CDAE3，CE4，可得BC5， 所以梯形ABCD的周长为18． ··································································· 1分 PQ平分ABCD的周长，所以xy9， ···················································· 2分 因为0≤y≤6，所以3≤x≤9，

所求关系式为：yx9，···········3分 3≤x≤9． · （2）依题意，P只能在BC边上，7≤x≤9． PB12x，BQ6y，

因为PQ∥AC，所以△BPQ∽△BCA，所以

A

Q

B

D C P

BPBQ，得 ······················· 4分 BCBA12x6y，即6x5y42， 56 解方程组xy9，8712 得x··········································· 6分 ，y． ·

11116x5y42 （3）梯形ABCD的面积为18． ·································································· 7分

当P不在BC边上，则3≤x≤7，

（a）当3≤x4时，P在AD边上，S△APQ 如果线段PQ能平分梯形ABCD的面积，则有

1xy． 21·································· 8分 xy9 ·

2xy9，x3， 可得：解得（x6，y3舍去）． ···································· 9分

xy18.y6； （b）当4≤x≤7时，点P在DC边上，此时SADPQ 如果线段PQ能平分梯形ABCD的面积，则有

14(x4y)． 214(x4y)9， 2xy9， 可得此方程组无解．

2x2y17. 所以当x3时，线段PQ能平分梯形ABCD的面积． ·································· 11分

11