2020年湖北省武汉市中考数学模拟试卷解析版

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个正确，请在答题卡上将正确答案的字母代号涂黑. 1．（3分）比﹣1小2的数是（ ） A．3

2．（3分）若代数式A．x＞3

B．1

C．﹣2

D．﹣3

在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（ ） B．x＝3

C．x≠0

D．x≠3

3．（3分）某校有25名同学参加某比赛，预赛成绩各不相同，取前13名参加决赛，其中一名同学已经知道自己的成绩，能否进入决赛，只需要再知道这25名同学成绩的（ ） A．最高分

B．中位数

C．方差

D．平均数

4．（3分）将点P（﹣5，4）先向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度后的坐标是（ ） A．（﹣1，6）

B．（﹣9，6）

C．（﹣1，2）

D．（﹣9，2）

5．（3分）图中三视图对应的正三棱柱是（ ）

A． B．

C． D．

6．（3分）已知不透明的袋中只装有黑、白两种球，这些球除颜色外都相同，其中白球有30个，黑球有n个．随机地从袋中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，再从中摸出一个球，经过如此大量重复试验，发现摸出的黑球的频率稳定在0.4附近，则n的值约为（ ） A．20

B．30

C．40

D．50

7．（3分）已知关于x的不等式3x﹣m+1＞0的最小整数解为2，则实数m的取值范围是（ ） A．4≤m＜7

B．4＜m＜7

C．4≤m≤7

D．4＜m≤7

8．（3分）如图，从汉口驾车到武昌不同的线（每条线路只能单次过汉江或长江）走法有（ ）

A．10种

B．12种

C．15种

D．24种

9．（3分）一辆汽车刹车后行驶的距离s（单位：米）关于行驶时间t（单位：秒）的函数解析式是s＝15t﹣6t2，那么距离s与行驶时间t的函数图象大致是（ ）

A． B．

C． D．

10．（3分）如图，正方形ABCD和等边△AEF都内接于圆O，EF与BC、CD别相交于点G、H．若AE＝6，则EG的长为（ ）

A．

B．3﹣

C．

D．2

﹣3

二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）

11．（3分）计算：的结果是 ．

12．（3分）不透明的袋子中装有红色小球1个、绿色小球2个，除颜色外无其他差别．随机摸出一个小球后，放回后摇匀再随机摸出一个小球，则摸出两个绿球的概率为 ． 13．（3分）计算：

的结果是 ．

14．（3分）一根长40cm的金属棒，欲将其截成x根7cm长的小段和y根9cm长的小段，剩余部分作废料处理．若使废料最少，则正整数x应为 ．

15．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，2AB＝2BC＝CD＝10，tanB＝，则AD＝ ．

16．（3分）如图，△DEF的三个顶点分别在反比例函数

与

（x＞0，m＞n＞0）的

图象上，DB⊥x轴于B，FE⊥x轴于C，点B为OC中点，△DEF的面积为2，则m与n满足的数量关系是

三、解答题（共8小题，共72分） 17．（8分）计算：（﹣2x2）3+2x2•x4

18．（8分）如图，∠1+∠2＝180°，∠3＝∠C．求证：DE∥BC．

19．（8分）“大美武汉•诗意江城”，某校数学兴趣小组就“最想去的武汉市旅游景点”随机调查了本校3000名学生中的部分学生，提供四个景点选择：A、黄鹤楼；B、东湖海洋世

界；C、极地海洋世界；D、欢乐谷．要求每位同学选择且只能选择一个最想去的景点，下面是根据调查结果进行数据整理后绘制出的不完整的统计图：

请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）一共调查了学生 人；

（2）扇形统计图中表示“最想去的景点D”的扇形圆心角为 度；

（3）如果A、B、C、D四个景点提供给学生优惠门票价格分别为20元、30元、40元、60元，根据以上的统计估计全校学生到对应的景点所需要门票总价格是多少元？ 20．（8分）已知矩形ABCD，其中AD＞AB，依题意先画出图形，然后解答问题． （1）F为DC边上一点，把△ADF沿AF折叠，使点D恰好落在BC上的点E处．在图1中先画出点E，再画出点F，若AB＝8，AD＝10，直接写出EF的长为 ； （2）把△ADC沿对角线AC折叠，点D落在点E处，在图2先画出点E，AE交CB于点F，连接BE．求证：△BEF是等腰三角形．

21．（8分）如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的圆O交BC于点D，交AC于点E，过点D作DF⊥AC于点F，交AB的延长线于点G． （1）求证：DF是⊙O的切线； （2）已知BD＝

，CF＝2，求DF和BG的长．

22．（10分）某公司根据市场需求销售A、B两种型号的净水器，每台A型净水器比每台B型净水器进价多200元，用5万元购进A型净水器与用4.5万元购进B型净水器的数量相等．

（1）求每台A型、B型净水器的进价各是多少元？

（2）该公司计划用不超过9.8万元购进A，B两种型号的净水器共50台，其中A型、B型净水器每台售价分别为2500元、2180元，设A型净水器为x台． ①求x的取值范围．

②若公司决定从销售A型净水器的利润中每台捐献a（100＜a＜150）元给贫困村饮水改造爱心工程，求售完这50台净水器后获得的最大利润．

23．（10分）在△ACB和△DCE中，AB＝AC，DE＝DC，点E在AB上 （1）如图1，若∠ACB＝∠DCE＝60°，求证：∠DAC＝∠EBC； （2）如图2，设AC与DE交于点P． ①若∠ACB＝∠DCE＝45°，求证：AD∥CB；

②在①的条件下，设AC与DE交于点P，当tan∠ADE＝时，直接写出

的值．

24．（12分）（1）抛物线y＝ax2﹣2x+2经过点E（2，2），其顶点为C点． ①求抛物线的解析式，并直接写出C点坐标；

②将直线y＝x沿y轴向上平移b（b＞0）个单位长度交抛物线于A、B两点，若∠ACB＝90°，求b的值．

（2）是否存在点D（1，m），使抛物线y＝x2﹣x+上任意一点P到x轴的距离等于P点到点D的距离，若存在，请求点D的坐标，若不存在，请说明理由．

参与试题解析

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个正确，请在答题卡上将正确答案的字母代号涂黑. 1．（3分）比﹣1小2的数是（ ） A．3

B．1

C．﹣2

D．﹣3

【分析】根据题意可得算式，再计算即可． 【解答】解：﹣1﹣2＝﹣3， 故选：D． 2．（3分）若代数式A．x＞3

在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（ ） B．x＝3

C．x≠0

D．x≠3

【分析】分式的分母不等于零． 【解答】解：依题意得：3﹣x≠0． 解得x≠3． 故选：D．

3．（3分）某校有25名同学参加某比赛，预赛成绩各不相同，取前13名参加决赛，其中一名同学已经知道自己的成绩，能否进入决赛，只需要再知道这25名同学成绩的（ ） A．最高分

B．中位数

C．方差

D．平均数

【分析】根据中位数的意义分析．

【解答】解：某校有25名同学参加某比赛，预赛成绩各不相同，取前13名参加决赛，其中一名同学已经知道自己的成绩，能否进入决赛，只需要再知道这25名同学成绩的中位数． 故选：B．

4．（3分）将点P（﹣5，4）先向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度后的坐标是（ ） A．（﹣1，6）

B．（﹣9，6）

C．（﹣1，2）

D．（﹣9，2）

【分析】直接利用平移中点的变化规律求解即可．

【解答】解：将点P（﹣5，4）先向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度后的坐标是（﹣5+4，4﹣2），即（﹣1，2），

故选：C．

5．（3分）图中三视图对应的正三棱柱是（ ）

A． B．

C． D．

【分析】利用俯视图可淘汰C、D选项，根据主视图的侧棱为实线可淘汰B，从而判断A选项正确．

【解答】解：由俯视图得到正三棱柱两个底面在竖直方向，由主视图得到有一条侧棱在正前方，于是可判定A选项正确． 故选：A．

6．（3分）已知不透明的袋中只装有黑、白两种球，这些球除颜色外都相同，其中白球有30个，黑球有n个．随机地从袋中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，再从中摸出一个球，经过如此大量重复试验，发现摸出的黑球的频率稳定在0.4附近，则n的值约为（ ） A．20

B．30

C．40

D．50

【分析】根据黑球的频率稳定在0.4附近得到黑球的概率约为0.4，根据概率公式列出方程求解可得．

【解答】解：根据题意得解得：n＝20， 故选：A．

7．（3分）已知关于x的不等式3x﹣m+1＞0的最小整数解为2，则实数m的取值范围是（ ） A．4≤m＜7

B．4＜m＜7

C．4≤m≤7

D．4＜m≤7

＝0.4，

【分析】先解出不等式，然后根据最小整数解为2得出关于m的不等式组，解之即可求得m的取值范围．

【解答】解：解不等式3x﹣m+1＞0，得：x＞∵不等式有最小整数解2， ∴1≤

＜2，

，

解得：4≤m＜7， 故选：A．

8．（3分）如图，从汉口驾车到武昌不同的线（每条线路只能单次过汉江或长江）走法有（ ）

A．10种

B．12种

C．15种

D．24种

【分析】结合图形知从汉口只过一座桥梁的有3种可能，需要过两座桥梁的有4×3＝12种可能，据此可得答案．

【解答】解：由图知，从汉口只过一座桥梁的有3种可能，需要过两座桥梁的有4×3＝12种可能，

所以依据右图，从汉口驾车到武昌不同的线路（每条线路只能单次过汉江或长江）走法有15种， 故选：C．

9．（3分）一辆汽车刹车后行驶的距离s（单位：米）关于行驶时间t（单位：秒）的函数解析式是s＝15t﹣6t2，那么距离s与行驶时间t的函数图象大致是（ ）

A． B．

C． D．

【分析】利用配方法求二次函数最值的方法解答即可． 【解答】解：∵s＝15t﹣6t2＝﹣6（t﹣1.25）2+9.375， ∴汽车刹车后1.25秒，行驶的距离是9.375米后停下来， ∴图象上1.25秒达到行驶距离的最大值是9.375米， 故选：D．

10．（3分）如图，正方形ABCD和等边△AEF都内接于圆O，EF与BC、CD别相交于点G、H．若AE＝6，则EG的长为（ ）

A．

B．3﹣

C．

D．2

﹣3

【分析】连接AC、BD、OF，AC与EF交于P点，则它们的交点为O点，如图，利用正方形和等边三角形的性质得到∠COF＝60°，AC⊥BD，∠BCA＝45°，利用含30度的直角三角形三边的关系得到OP＝OF＝OC，OP＝＝

，然后利用△PCG为等腰直角三角形得到PG＝PC＝

PF＝

，从而得到PC＝OP

，从而得到EG的长．

【解答】解：连接AC、BD、OF，AC与EF交于P点，则它们的交点为O点，如图， ∵正方形ABCD和等边△AEF都内接于圆O， ∴∠COF＝60°，AC⊥BD，∠BCA＝45°， ∵EF∥BD， ∴AC⊥EF，

∴PE＝PF＝EF＝3，

在Rt△OPF中，OP＝OF＝OC， ∵OP＝

PF＝

，

，

∴PC＝OP＝

∵△PCG为等腰直角三角形， ∴PG＝PC＝

，

．

∴EG＝PE﹣PG＝3﹣故选：B．

二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11．（3分）计算：

的结果是 ﹣ ．

【分析】根据二次根式的加减法计算即可． 【解答】解：故答案为：

，

＝

，

12．（3分）不透明的袋子中装有红色小球1个、绿色小球2个，除颜色外无其他差别．随机摸出一个小球后，放回后摇匀再随机摸出一个小球，则摸出两个绿球的概率为

．

【分析】依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率．

【解答】解：红色小球用数字1表示，两个绿色小球分别用2和3表示，列表得：

1 2 3

1

2

3

（1，1） （2，1） （3，1） （1，2） （2，2） （3，2） （1，3） （2，3） （3，3）

由上表可知，从袋子总随机摸出两个小球可能会出现9个等可能的结果，其中两球都是绿色的结果有4个，

∴摸出两个绿球的概率为， 故答案为：． 13．（3分）计算：

的结果是

．

【分析】先变形，再根据分式的加法法则求出即可． 【解答】解：＝＝＝＝

，

．

+

故答案为：

14．（3分）一根长40cm的金属棒，欲将其截成x根7cm长的小段和y根9cm长的小段，剩余部分作废料处理．若使废料最少，则正整数x应为 3 ．

【分析】根据金属棒的长度是40cm，则可以得到7x+9y≤40，再根据x，y都是正整数，即可求得所有可能的结果，分别计算出剩料的长度，即可得到答案． 【解答】解：根据题意得： 7x+9y≤40， 则x≤

，

∵40﹣9y≥0且y是正整数， ∴y的值可以是1或2或3或4， 当y＝1时，x当y＝2时，x当y＝3时，x当y＝4时，x

，则x＝4，此时，所剩的废料是：40﹣9﹣4×7＝3cm， ，则x＝3，此时，所剩的废料是：40﹣2×9﹣3×7＝1cm， ，则x＝1，此时，所剩的废料是：40﹣3×9﹣7＝6cm， ，则x＝0（舍去），

最少的是：x＝3，y＝2， 故答案为：3．

15．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，2AB＝2BC＝CD＝10，tanB＝，则AD＝ 3 ．

【分析】过A作AF⊥CD于F，过C作CE⊥AB于E，根据矩形的性质得出AF＝CE，AE＝CF，求出AF和DF长，再根据勾股定理求出即可． 【解答】解：∵2AB＝2BC＝CD＝10，

∴AB＝BC＝5，

过A作AF⊥CD于F，过C作CE⊥AB于E， 则∠AEC＝∠AFD＝∠BEC＝90°，AF∥CE， ∵AB∥CD，

∴四边形AECF是矩形， ∴AE＝CF，AF＝CE， ∵在Rt△BEC中，tanB＝＝又∵BC＝5， CE＝3，BE＝4，

∴AE＝CF＝5﹣4＝1，AF＝CE＝3， ∵CD＝10， ∴DF＝10﹣1＝9，

在Rt△AFD中，由勾股定理得：AD＝故答案为：

．

与

（x＞0，m＞n＞0）的

＝

＝3

，

，

16．（3分）如图，△DEF的三个顶点分别在反比例函数

图象上，DB⊥x轴于B，FE⊥x轴于C，点B为OC中点，△DEF的面积为2，则m与n满足的数量关系是 m﹣n＝8

【分析】设D（a，），则F（2a，

BCED列出等式，整理即可求得．

），E（2a，），根据S△DEF＝S梯形BCFD﹣S梯形

【解答】解：设D（a，），则F（2a，），E（2a，），

∵S△DEF＝S梯形BCFD﹣S梯形BCED，△DEF的面积为2， ∴2＝（+

）•a﹣（+

），

整理得，m﹣n＝8， 故答案为m﹣n＝8．

三、解答题（共8小题，共72分） 17．（8分）计算：（﹣2x2）3+2x2•x4

【分析】根据单项式乘单项式法则，幂的乘方与积的乘方计算法则解答． 【解答】解：原式＝﹣8x6+2x6＝﹣6x6．

18．（8分）如图，∠1+∠2＝180°，∠3＝∠C．求证：DE∥BC．

【分析】欲证明DE∥BC，只要证明∠C＝∠AED即可． 【解答】解：∵∠1+∠DHE＝180°，∠1+∠2＝180°， ∴∠DHE＝∠2， ∴DH∥AC， ∴∠3＝∠AED， 又∵∠3＝∠C， ∴∠C＝∠AED，

∴DE∥BC．

19．（8分）“大美武汉•诗意江城”，某校数学兴趣小组就“最想去的武汉市旅游景点”随机调查了本校3000名学生中的部分学生，提供四个景点选择：A、黄鹤楼；B、东湖海洋世界；C、极地海洋世界；D、欢乐谷．要求每位同学选择且只能选择一个最想去的景点，下面是根据调查结果进行数据整理后绘制出的不完整的统计图：

请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）一共调查了学生 100 人；

（2）扇形统计图中表示“最想去的景点D”的扇形圆心角为 144 度；

（3）如果A、B、C、D四个景点提供给学生优惠门票价格分别为20元、30元、40元、60元，根据以上的统计估计全校学生到对应的景点所需要门票总价格是多少元？ 【分析】（1）由A景点的人数及其所占百分比可得总人数；

（2）先求出C和D的人数，再用360°乘以D人数所占百分比可得答案； （3）先求出样本中人均费用，再乘以总人数即可得． 【解答】解：（1）被调查的总人数为15÷15%＝100（人）， 故答案为：100；

（2）C景点人数为100×26%＝26（人）， 则D景点人数为100﹣（15+19+26）＝40（人）， 所以“最想去的景点D”的扇形圆心角为360°×故答案为：144；

（3）样本中平均每人的费用为

＝43.1（元）

＝144°，

则估计全校学生到对应的景点所需要门票总价格是43.1×3000＝129300元．

20．（8分）已知矩形ABCD，其中AD＞AB，依题意先画出图形，然后解答问题． （1）F为DC边上一点，把△ADF沿AF折叠，使点D恰好落在BC上的点E处．在图1中先画出点E，再画出点F，若AB＝8，AD＝10，直接写出EF的长为 5 ； （2）把△ADC沿对角线AC折叠，点D落在点E处，在图2先画出点E，AE交CB于点F，连接BE．求证：△BEF是等腰三角形．

【分析】（1）在BC上截取AE＝AD得点E，作AF垂直DE交CD于点F（或作∠AED的平分线AF交CD于点F，或作EF垂直AE交CD于点F等等）；

（2）作DH垂直AC于点H，延长DH至点E，使HE＝DH．方法一证明△ABE≌△CEB（SSS）．方法二证明FA＝FC即可解决问题．

【解答】解：（1）如图1，在BC上截取AE＝AD得点E，作AF垂直DE交CD于点F（或作∠AED的平分线AF交CD于点F，或作EF垂直AE交CD于点F等等）， ∵四边形ABCD是矩形，

∴AB＝CD＝8，AD＝BC＝10，∠B＝∠C＝90°， 在Rt△ABE中，BE＝

＝6，

∴EC＝10﹣6＝4，设EF＝DF＝x， 在Rt△EFC中，则有x2＝（8﹣x）2+42， 解得x＝5， ∴EF＝5． 故答案为：5；

（2）证明：如图2，作DH垂直AC于点H，延长DH至点E，使HE＝DH． 方法1：∵△ADC≌△AEC， ∴AD＝AE＝BC，AB＝DC＝EC， 在△ABE与△CEB中，∴△ABE≌△CEB（SSS），

，

∴∠AEB＝∠CBE， ∴BF＝EF，

∴△BEF是等腰三角形． 方法2：∵△ADC≌△AEC， ∴AD＝AE＝BC，∠DAC＝∠EAC， 又∴AD∥BC， ∴∠DAC＝∠ACB， ∴∠EAC＝∠ACB， ∴FA＝FC， ∴FE＝FB，

∴△BEF是等腰三角形．

21．（8分）如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的圆O交BC于点D，交AC于点E，过点D作DF⊥AC于点F，交AB的延长线于点G． （1）求证：DF是⊙O的切线； （2）已知BD＝

，CF＝2，求DF和BG的长．

【分析】（1）连接OD，根据圆周角定理得到AD⊥BC，结合等腰三角形的性质知BD＝CD，再根据OA＝OB知OD∥AC，从而由DF⊥AC可得OD⊥DF，即可得证；

（2）连接BE．BE∥DF，可得DF是△BEC的中位线，设AE＝x，则AC＝AB＝x+4，根据勾股定理列方程可得x的值，证明△GOD∽△GAF，列比例式可得BG的长． 【解答】解：（1）∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， 连接OD，

∵∠ADB＝90°，即AD⊥BC， ∵AB＝AC， ∴BD＝CD， 又∵OA＝OB， ∴OD∥AC， ∵DF⊥AC， ∴OD⊥DF，

∴DF是圆O的切线；

（3）连接BE．

∵CD＝BD＝2∵CF＝2， ∴DF＝∵AB是直径，

∴∠AEB＝∠CEB＝90°，

＝

＝4，

，

∴BE⊥AC， ∵DF⊥AC， ∴DF∥BE， ∴EF＝FC＝2， ∴BE＝2DF＝8，

设AE＝x，则AC＝AB＝x+4 由勾股定理得：AB2＝AE2+BE2， （x+4）2＝82+x2， x＝6，

∴AE＝6，AB＝4+6＝10， ∵OD∥AF， ∴△GOD∽△GAF， ∴

＝

， ， ．

∴＝∴BG＝

22．（10分）某公司根据市场需求销售A、B两种型号的净水器，每台A型净水器比每台B型净水器进价多200元，用5万元购进A型净水器与用4.5万元购进B型净水器的数量相等．

（1）求每台A型、B型净水器的进价各是多少元？

（2）该公司计划用不超过9.8万元购进A，B两种型号的净水器共50台，其中A型、B型净水器每台售价分别为2500元、2180元，设A型净水器为x台． ①求x的取值范围．

②若公司决定从销售A型净水器的利润中每台捐献a（100＜a＜150）元给贫困村饮水改造爱心工程，求售完这50台净水器后获得的最大利润．

【分析】（1）根据题意可以列出相应的分式方程，从而可以解答本题；

（2）①根据购买资金＝A型净水器的进价×购进数量+B型净水器的进价×购进数量结合购买资金不超过9.8万元，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围；

②由总利润＝每台A型净水器的利润×购进数量+每台B型净水器的利润×购进数量﹣a

×购进A型净水器的数量，即可得出w关于x的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．

【解答】解：（1）设A型净水器每台的进价为m元，则B型净水器每台的进价为（m﹣200）元， 根据题意得：解得：m＝2000，

经检验，m＝2000是分式方程的解，∴m﹣200＝1800．

答：A型净水器每台的进价为2000元，B型净水器每台的进价为1800元；

（2）①根据题意得：2000x+1800（50﹣x）≤98000，解得：x≤40 ∴x的取值范围为：0≤x≤40且为x整数；

②总利润w＝（2500﹣2000）x+（2180﹣1800）（50﹣x）﹣ax＝（120﹣a）x+19000， ∵100＜a＜150，

∴i）．当100＜a＜120时，120﹣a＞0，w随x增大而增大，

∴当x＝40时，w取最大值，最大值为（120﹣a）×40+19000＝23800﹣40a， ii）．当a＝120时，w为一个定值w＝0+19000＝19000， iii）当120＜a＜150时，120﹣a＜0，w随x的增大而减小，

∴当x＝0时，w取最大值，其最大值为：（120﹣a）×0+19000＝19000， 综上，当100＜a＜120时，19000＜23800﹣40a＜19800， ∴售完这50台净水器后获得的最大利润为23800﹣40a．

23．（10分）在△ACB和△DCE中，AB＝AC，DE＝DC，点E在AB上 （1）如图1，若∠ACB＝∠DCE＝60°，求证：∠DAC＝∠EBC； （2）如图2，设AC与DE交于点P． ①若∠ACB＝∠DCE＝45°，求证：AD∥CB；

②在①的条件下，设AC与DE交于点P，当tan∠ADE＝时，直接写出

的值．

，

【分析】（1）由等腰三角形的底角等于60°得出△ACB和△DCE都是等边三角形，再由“SAS”证得△DCA≌△ECB即可得出结论；

（2）①由等腰三角形的底角等于45°得出△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，由cos∠ACB＝cos∠DCE得出

即

，证得△ECB∽△DCA得出∠B＝∠DAC＝

45°，求出∠DAC＝∠ACB＝45°即可得出结论； ②作EH∥AD交AC于点H，则

，由△ECB∽△DCA得

，求得∠

ADE＝∠ACE，tan∠ACE＝tan∠ADE＝，可设AE＝2m，则AC＝4m，即BE＝2m， 可得AD＝

，EH＝

，即可得出结果．

【解答】（1）证明：∵AB＝AC，DE＝DC，∠ACB＝∠DCE＝60°， ∴△ACB和△DCE都是等边三角形， ∴BC＝AC，EC＝DC，∠DCA＝∠ECB， 在△DCA和△ECB中，∴△DCA≌△ECB（SAS）， ∴∠DAC＝∠EBC；

（2）①证明：∵AB＝AC，DE＝DC，∠ACB＝∠DCE＝45°，

∴△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠CAB＝∠CDE＝90°，∠ECB＝∠DCA， ∴cos∠ACB＝cos∠DCE， ∴

即

，

，

又∵∠ECB＝∠DCA， ∴△ECB∽△DCA， ∴∠B＝∠DAC＝45°， ∴∠DAC＝∠ACB＝45°， ∴AD∥CB；

②解：作EH∥AD交AC于点H，如图2所示： 则：

，

，

由①中的△ECB∽△DCA得：∵∠DAC＝∠B═45°＝∠DEC， ∴∠ADE＝∠ACE，

∴tan∠ACE＝tan∠ADE＝， 设AE＝2m， ∴tan∠ACE＝∴AC＝4m，

∴BE＝AB﹣AE＝AC﹣AE＝4m﹣2m＝2m， ∴AE＝BE， ∴BC＝

AC＝4

m， ＝，

∵EH∥AD，AD∥CB， ∴EH∥CB，

∴EH是△ABC的中位线， ∴EH＝BC＝×4AD＝∴

＝＝

＝

m＝2m， ＝．

m，

24．（12分）（1）抛物线y＝ax2﹣2x+2经过点E（2，2），其顶点为C点． ①求抛物线的解析式，并直接写出C点坐标；

②将直线y＝x沿y轴向上平移b（b＞0）个单位长度交抛物线于A、B两点，若∠ACB＝90°，求b的值．

（2）是否存在点D（1，m），使抛物线y＝x2﹣x+上任意一点P到x轴的距离等于

P点到点D的距离，若存在，请求点D的坐标，若不存在，请说明理由．

【分析】（1）将点E坐标代入解析式可求解；

（2）如图1，过点C作MN⊥y轴，过点A作AF⊥MN，过点B作BH⊥MN，设平移后直线解析式为：y＝x+b，由根与系数关系可得xA+xB＝3，xA•xB＝2﹣b，通过证明△ACF∽△CBH，可得

，可求b的值；

（3）设设P（a，b），由题意可得b＝PD，由两点距离公式可求解． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣2x+2经过点E（2，2）， ∴2＝4a﹣4+2， ∴a＝1，

∴抛物线解析式为：y＝x2﹣2x+2， ∵y＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1， ∴顶点坐标为（1，1）；

（2）如图1，过点C作MN⊥y轴，过点A作AF⊥MN，过点B作BH⊥MN，

设平移后直线解析式为：y＝x+b， ∴

，

∴x2﹣3x+2﹣b＝0，

设A（xA，yA），B（xB，yB），则xA+xB＝3，xA•xB＝2﹣b， ∵∠ACB＝90°，

∴∠BCH+∠ACF＝90°，且∠BCH+∠HBC＝90°， ∴∠HBC＝∠ACF，且∠BHC＝∠AFC＝90°， ∴△ACF∽△CBH， ∴

，

∴，

∴yA•yB+xA•xB+2＝yA+yB+xA+xB，

∴（xA+b）（xB+b）+2﹣b+2＝xA+b+xB+b+3， ∴b2﹣b＝0，

∴b＝1，b＝0（舍去）

（3）设P（a，b），则b＝a2﹣a+， 由题可知，b＝PD，

∴b2＝（a﹣1）2+（m﹣b）2， ∴（4﹣2m）b+m2﹣4＝0， ∵任意一点P， ∴4﹣2m＝0， ∴m＝2， ∴D（1，2）．