2013年中考数学专题复习第十七讲 三角形与全等三角形
【基础知识回顾】 一、三角形的概念：
1、由 直线上的三条线段 组成的图形叫三角形
2、三角形的基本元素：三角形有 条边 个顶点 个内角 二、三角形的分类：
按边可分为 三角形和 三角形，按角可分为 三角形 三角形 三角形
【名师提醒：等边三角形属于特殊的 三角形，锐角三角形和钝角三角形有时称为 三角形】 三、三角形的性质：
1、三角形的内角和是 ，三角形的任意一个外角 和它不相得两个内角的和，三角形的一个外角 任意一个和它不相邻的内角
2、三角形任意两边之和 第三边，任意两边之差 第三边 3、三角形具有 性
【名师提醒：1、三角形的外角是指三角形一边和另一边的 组成的角，三角形有 个外角，三角形的外角和是 ，是其中 各外角的和
2、三角形三边关系定理是确定三条线段否构成三角形和判断限度间不等关
系的主要依据】
四、三角形中的主要线段：
1、角平分线：三角形的三条角平分线都在三角形 部 且交于一点，这些是三角形的 心 它到 得距离相等
2、中线：三角形的三条中线都在三角形 部，且交于一点
3、高线：不同三角 形 的 三 条高线位置不同，锐角三角形三条高都连三角形 直角三角形有一条高线在 部，另两条河 重合，钝角三角形有一条高线在三角形 部，两条在三角形 部
4、中位线：连接三角形任意两边 的线段叫做三角形的中位线。 定理：三角形的中位线 第三边且等于第三边的
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【名师提醒：三角形的平分线、中线、高线、中位线都是 且都有 条】 五、全等三角形的概念和性质：
1、 的两个三角形叫做全等三角形
2、性质：全等三角形的 、 分别相等，全等三角形的对应线段（角平分线、中线、高线）周长、面积分别对应
【名师提醒：全等三角形的性质是证明线段、角等之间数量关系的最主要依据】 六、全等三角形的判定：
1、一般三角形的全等判定方法：①边角边，简记为 ②角边角：简记为 ③角角边：简记为 ④边边边：简记为
2、直角三角形的全等判定除可用一般三角形全等判定的所有方法以外，还可以用 来判定
【名师提醒：1、判定全等三角形的条件中，必须至少有一组 对应相等，用SAS判定全等，切记角为两边的
2、判定全等三角形的有关条件要特别注意对应两个字】
【重点考点例析】
考点一：三角形内角、外角的应用
例1 （2012•南通）如图，△ABC中，∠C=70°，若沿图中虚线截去∠C，则∠1+∠2=（ ） A．360° B．250° C．180° D．140°
思路分析：先利用三角形内角与外角的关系，得出∠1+∠2=∠C+（∠C+∠3+∠4），再根据三角形内角和定理即可得出结果． 解：∵∠1、∠2是△CDE的外角， ∴∠1=∠4+∠C，∠2=∠3+∠C，
即∠1+∠2=∠C+（∠C+∠3+∠4）=70°+180°=250°． 故选B．
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点评：此题主要考查了三角形内角和定理及外角的性质，三角形内角和是180°；三角形的任一外角等于和它不相邻的两个内角之和． 对应训练
1．（2012•泉州）如图，在△ABC中，∠A=60°，∠B=40°，点D、E分别在BC、AC的延长线上，则∠1= °．
分析：先根据三角形内角和定理求出∠ACB的度数，再根据对顶角相等求出∠1的度数即可． 解：∵△ABC中，∠A=60°，∠B=40°，
∴∠ACB=180°－∠A－∠B=180°－60°－40°=80°， ∴∠1=∠ACB=80°． 故答案为：80．
点评：本题考查的是三角形的内角和定理，即三角形内角和是180°．
考点二：三角形三边关系
例2 （2012•泸州）已知三角形两边的长分别是3和6，第三边的长是方程x2－6x+8=0的根，则这个三角形的周长等于（ ）
A．13 B．11 C．11 或13 D．12或15
分析：首先从方程x2－6x+8=0中，确定第三边的边长为2或4；其次考查2，3，6或4，3，6能否构成三角形，从而求出三角形的周长． 解：由方程x2－6x+8=0，得： 解得x1=2或x2=4，
当第三边是2时，2+3＜6，不能构成三角形，应舍去； 当第三边是4时，三角形的周长为4+3+6=13．
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故选A．
点评：考查了三角形三边关系，求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否成三角形的好习惯，不符合题意的应弃之． 对应训练
1．（2012•义乌市）如果三角形的两边长分别为3和5，第三边长是偶数，则第三边长可以是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．8
思路分析：根据三角形三边关系，可令第三边为X，则5－3＜X＜5+3，即2＜X＜8，又因为第三边长为偶数，所以第三边长是4，6．问题可求． 解：由题意，令第三边为X，则5－3＜X＜5+3，即2＜X＜8， ∵第三边长为偶数，∴第三边长是4或6． ∴三角形的三边长可以为3、5、4． 故选：C．
点评：此题主要考查了三角形三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解决此类问题的关键．
考点三：三角形全等的判定
例3 （2012•乐山）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，D是AB的中点，点E、F分别在AC、BC边上运动（点E不与点A、C重合），且保持AE=CF，连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，有下列结论： ①△DFE是等腰直角三角形； ②四边形CEDF不可能为正方形；
③四边形CEDF的面积随点E位置的改变而发生变化； ④点C到线段EF的最大距离为2． 其中正确结论的个数是（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
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思路分析：①作常规辅助线连接CD，由SAS定理可证△CDF和△ADE全等，从而可证∠EDF=90°，DE=DF．所以△DFE是等腰直角三角形； ②当E为AC中点，F为BC中点时，四边形CEDF为正方形； ③由割补法可知四边形CDFE的面积保持不变； ④△DEF是等腰直角三角形DE=
2EF，当DF与BC垂直，即DF最小时，FE取最小值
22，此时点C到线段EF的最大距离． 解：①如图，连接CD； ∵△ABC是等腰直角三角形， ∴∠DCB=∠A=45°，CD=AD=DB； ∵AE=CF， ∴△ADE≌△CDF；
∴ED=DF，∠CDF=∠EDA； ∵∠ADE+∠EDC=90°， ∴∠EDC+∠CDF=∠EDF=90°，
∴△DFE是等腰直角三角形．故此选项正确；
②当E、F分别为AC、BC中点时，四边形CDFE是正方形，故此选项错误； ③如图2所示，分别过点D，作DM⊥AC，DN⊥BC，于点M，N，
可以利用割补法可知四边形CDFE的面积等于正方形CMDN面积，故面积保持不变；故此选项错误；
④△DEF是等腰直角三角形DE=2EF，
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当EF∥AB时，即EF取最小值22，此时点C到线段EF的最大距离为2．故此选项正确；
故正确的有2个， 故选：B．
点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及正方形、等腰三角形、直角三角形性质等知识，根据图形利用割补法可知四边形CDFE的面积等于正方形CMDN面积是解题关键． 例4 （2012•珠海）如图，把正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转45°得到正方形A′B′CD′（此时，点B′落在对角线AC上，点A′落在CD的延长线上），A′B′交AD于点E，连接AA′、CE．
求证：（1）△ADA′≌△CDE；
（2）直线CE是线段AA′的垂直平分线．
思路分析：（1）根据正方形的性质可得AD=CD，∠ADC=90°，∠EA′D=45°，则∠A′DE=90°，再计算出∠A′ED=45°，根据等角对等边可得AD=ED，即可利用SAS证明△AA′D≌△CED； （2）首先由AC=A′C，可得点C在AA′的垂直平分线上；再证明△AEB′≌△A′ED，可得AE=A′E，进而得到点E也在AA′的垂直平分线上，再根据两点确定一条直线可得直线CE是线段AA′的垂直平分线．
证明：（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=CD，∠ADC=90°， ∴∠A′DE=90°，
根据旋转的方法可得：∠EA′D=45°，， ∴∠A′ED=45°， ∴A′D=DE，
在△AA′D和△CED中： AD=CD，∠ADA′=∠EDC，A′D=ED，
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∴△AA′D≌△CED（SAS）； （2）∵AC=A′C，
∴点C在AA′的垂直平分线上， ∵AC是正方形ABCD的对角线， ∴∠CAE=45°， ∵AC=A′C，CD=CB′， ∴AB′=A′D，
在△AEB′和△A′ED中：∠EAB′=∠EA′D，∠AEB′=∠A′ED ，AB′=A′D， ∴△AEB′≌△A′ED， ∴AE=A′E，
∴点E也在AA′的垂直平分线上， ∴直线CE是线段AA′的垂直平分线．
点评：此题主要考查了正方形的性质，以及旋转的性质，关键是熟练掌握正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；找准旋转后相等的线段． 对应训练
3．（2012•鸡西）Rt△ABC中，AB=AC，点D为BC中点．∠MDN=90°，∠MDN绕点D旋转，DM、DN分别与边AB、AC交于E、F两点．下列结论：①（BE+CF）=
2BC；2②S△AEF≤
1S△ABC；③S四边形AEDF=AD•EF；④AD≥EF；⑤AD与EF可能互相平分，其4中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
分析：先由ASA证明△AED≌△CFD，得出AE=CF，再由勾股定理即可得出BE+CF=AB=
2BC，从而判断①； 2- 7 -
设AB=AC=a，AE=CF=x，先由三角形的面积公式得出S△AEF=－
111（x－a）2+a2， 2281111S△ABC=×a2=a2，再根据二次函数的性质即可判断②； 4428由勾股定理得到EF的表达式，利用二次函数性质求得EF最小值为所以EF≥AD，从而④错误； 先得出S四边形AEDF=S△ADC=所以③错误；
如果四边形AEDF为平行四边形，则AD与EF互相平分，此时DF∥AB，DE∥AC，又D为BC中点，所以当E、F分别为AB、AC的中点时，AD与EF互相平分，从而判断⑤． 解：∵Rt△ABC中，AB=AC，点D为BC中点， ∴∠C=∠BAD=45°，AD=BD=CD， ∵∠MDN=90°，
∴∠ADE+∠ADF=∠ADF+∠CDF=90°， ∴∠ADE=∠CDF． 在△AED与△CFD中，
22a，而AD=a，221AD，再由EF≥AD得到AD•EF≥AD2，∴AD•EF＞S四边形AEDF，2 EAD C ， ADCD ADE CDF∴△AED≌△CFD（ASA）， ∴AE=CF，
在Rt△ABD中，BE+CF=BE+AE=AB=故①正确；
设AB=AC=a，AE=CF=x，则AF=a－x．
AD2BD2 2BD 2BC． 211111AE•AF=x（a－x）=－（x－a）2+a2， 2222811∴当x=a时，S△AEF有最大值a2，
281111又∵S△ABC=×a2=a2，
4428∵S△AEF=
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∴S△AEF≤
1S△ABC． 41a）2+1 2 a2， 2故②正确；
EF2=AE2+AF2=x2+（a－x）2=2（x－∴当x=
11a时，EF2取得最小值a2， 2212a（等号当且仅当x= a时成立），
22∴EF≥而AD=2a，∴EF≥AD． 2故④错误；
由①的证明知△AED≌△CFD，
∴S四边形AEDF=S△AED+S△ADF=S△CFD+S△ADF=S△ADC=1 2 AD2， ∵EF≥AD，∴AD•EF≥AD2，∴AD•EF＞S四边形AEDF 故③错误；
当E、F分别为AB、AC的中点时，四边形AEDF为正方形，此时AD与EF互相平分． 故⑤正确．
综上所述，正确的有：①②⑤，共3个．
故选C．点评：本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，图形的面积，函数的性质等知识，综合性较强，有一定难度．
4．（2012•肇庆）如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC与BD交于O，AC=BD． 求证：（1）BC=AD； （2）△OAB是等腰三角形．
分析：（1）根据AC⊥BC，BD⊥AD，得出△ABC与△BAD是直角三角形，再根据AC=BD，AB=BA，得出△ABC≌△BAD，即可证出BC=AD，
（2）根据△ABC≌△BAD，得出∠CAB=∠DBA，从而证出OA=OB，△OAB是等腰三角形．
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证明：（1）∵AC⊥BC，BD⊥AD， ∴△ABC与△BAD是直角三角形， 在△ABC和△BAD中，
∵ AC=BD， AB=BA， ∠ACB=∠ADB ， ∴△ABC≌△BAD， ∴BC=AD，
（2）∵△ABC≌△BAD， ∴∠CAB=∠DBA， ∴OA=OB，
∴△OAB是等腰三角形．
点评：本题考查了全等三角形的判定及性质；用到的知识点是全等三角形的判定及性质、等腰三角形的判定等，全等三角形的判定是重点，本题是道基础题，是对全等三角形的判定的训练．
考点四：全等三角形开放性问题
例5 （2012•义乌市）如图，在△ABC中，点D是BC的中点，作射线AD，在线段AD及其延长线上分别取点E、F，连接CE、BF．添加一个条件，使得△BDF≌△CDE，并加以证明．你添加的条件是 ．（不添加辅助线）．
思路分析：由已知可证∠ECD﹦∠FBD，又∠EDC﹦∠FDB，因为三角形全等条件中必须是三个元素，并且一定有一组对应边相等．故添加的条件是：DE=DF（或CE∥BF或∠ECD=∠DBF或∠DEC=∠DFB等）；
解：（1）添加的条件是：DE=DF（或CE∥BF或∠ECD=∠DBF或∠DEC=∠DFB等）． （2）证明：在△BDF和△CDE中
BDCD ∵ EDCFDB， DEDF - 10 -
∴△BDF≌△CDE．
点评：三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件． 对应训练
5．（2012•衡阳）如图，AF=DC，BC∥EF，请只补充一个条件，使得△ABC≌△DEF，并说明理由．
分析：首先由AF=DC可得AC=DF，再由BC∥EF根据两直线平行，内错角相等可得∠EFD=∠BCA，再加上条件EF=BC即可利用SAS证明△ABC≌△DEF． 解：补充条件：EF=BC，可使得△ABC≌△DEF．理由如下： ∵AF=DC， ∴AF+FC=DC+FC， 即：AC=DF， ∵BC∥EF， ∴∠EFD=∠BCA，
在△EFD和△BCA中， EF=BC ∠EFD=∠BCA EF=BC ， ∴△EFD≌△BCA（SAS）．
点评：此题主要考查了全等三角形的判定，关键是熟练掌握判定定理：SSS、SAS、ASA、AAS，HL．
【聚焦山东中考】
1.（2012•烟台）一副三角板叠在一起如图放置，最小锐角的顶点D恰好放在等腰直角三角板的斜边AB上，BC与DE交于点M．如果∠ADF=100°，那么∠BMD为 度．
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分析：先根据∠ADF=100°求出∠MDB的度数，再根据三角形内角和定理得出∠BMD的度数即可．解答：解：∵∠ADF=100°，∠EDF=30°，
∴∠MDB=180°－∠ADF－∠EDF=180°－100°－30°=50°，
∴∠BMD=180°－∠B－∠MDB=180°－45°－50°=85°．
故答案为：85．点评：本题考查的是三角形内角和定理，即三角形内角和是180°．
2．（2012•聊城）将一副三角板按如图所示摆放，图中∠α的度数是（ ） A．75° B．90° C．105° D．120°
分析：先根据直角三角形的性质得出∠BAE及∠E的度数，再由三角形内角和定理及对顶角的性质即可得出结论．解答：解：∵图中是一副直角三角板，
∴∠BAE=45°，∠E=30°，
∴∠AFE=180°－∠BAE－∠E=105°，
∴∠α=105°．
故选C．
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点评：本题考查的是三角形内角和定理，即三角形内角和是180°．
3．（2012•德州）不一定在三角形内部的线段是（ ）
A．三角形的角平分线 B．三角形的中线 C．三角形的高 D．三角形的中位线 分析：根据三角形的高、中线、角平分线的性质解答．解答： 解：因为在三角形中，
它的中线、角平分线一定在三角形的内部， 而钝角三角形的高在三角形的外部． 故选C．
点评：本题考查了三角形的高、中线和角平分线，要熟悉它们的性质方可解答．
4．（2012•济宁）用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC=∠BOC的依据是（ ）
A．SSS B．ASA C．AAS D．角平分线上的点到角两边距离相等
分析：连接NC，MC，根据SSS证△ONC≌△OMC，即可推出答案． 解：如图，连接NC，MC，
在△ONC和△OMC中
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ONOM NCMC ， OCOC ∴△ONC≌△OMC（SSS）， ∴∠AOC=∠BOC， 故选A．
点评：本题考查了全等三角形的性质和判定的应，主要考查学生运用性质进行推理的能力，题型较好，难度适中．
5．（2012•滨州）如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=20°，则∠C= ．
分析：先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理可求出∠B的度数，再根据三角形外角的性质可求出∠ADC的度数，再由三角形内角和定理解答即可．
解：∵AB=AD，∠BAD=20°，
∴∠B=
180BAD18020 =80°，
22∵∠ADC是△ABD的外角，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=80°+20°=100°，
∵AD=DC，
∴∠C=
180ADC180100 =40°．
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点评：本题涉及到三角形的内角和定理、三角形外角的性质及等腰三角形的性质，属较简单题目．
6．（2012•潍坊）如图所示，AB=DB，∠ABD=∠CBE，请你添加一个适当的条件 ，使△ABC≌△DBE．（只需添加一个即可）
分析：根据∠ABD=∠CBE可以证明得到∠ABC=∠DBE，然后根据利用的证明方法，“角边角”“边角边”“角角边”分别写出第三个条件即可． 解：∵∠ABD=∠CBE，
∴∠ABD+∠ABE=∠CBE+∠ABE， 即∠ABC=∠DBE， ∵AB=DB，
∴①用“角边角”，需添加∠BDE=∠BAC， ②用“边角边”，需添加BE=BC， ③用“角角边”，需添加∠ACB=∠DEB．
故答案为：∠BDE=∠BAC或BE=BC或∠ACB=∠DEB．（写出一个即可）
点评：本题考查了全等三角形的判定，根据已知条件有一边与一角，根据不同的证明方法可以选择添加不同的条件，需要注意，不能使添加的条件符合“边边角”，这也是本题容易出的地方．
7．（2012•临沂）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2cm，CD⊥AB，在AC上取一点E，使EC=BC，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F，若EF=5cm，则AE= cm．
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分析：根据直角三角形的两锐角互余的性质求出∠ECF=∠B，然后利用“角边角”证明△ABC和△FEC全等，根据全等三角形对应边相等可得AC=EF，再根据AE=AC－CE，代入数据计算即可得解．
解：∵∠ACB=90°，
∴∠ECF+∠BCD=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠BCD+∠B=90°，
∴∠ECF=∠B，
在△ABC和△FEC中， ∠ECF=∠B EC=BC ∠ACB=∠FEC=90° ，
∴△ABC≌△FEC（ASA），
∴AC=EF，
∵AE=AC－CE，BC=2cm，EF=5cm，
∴AE=5－2=3cm．
故答案为：3．点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，根据直角三角形的性质证明得到∠ECF=∠B是解题的关键．
8．（2012•济宁）如图，在等边三角形ABC中，D是BC边上的一点，延长AD至E，使AE=AC，∠BAE的平分线交△ABC的高BF于点O，则tan∠AEO= ．
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分析：根据等边三角形性质和三线合一定理求出∠BAF=30°，推出AB=AE，根据SAS证△BAO≌△EAO，推出∠AEO=∠ABO=30°即可．解答：解：∵△ABC是等边三角形， ∠ABC=60°，AB=BC，
∵BF⊥AC，
∴∠ABF=
1∠ABC=30°， 2∵AB=AC，AE=AC，
∴AB=AE，
∵AO平分∠BAE，
∴∠BAO=∠EAO，
∵在△BAO和△EAO中
∵ AB=AE，∠BAO=∠EAO， AO=AO ，
∴△BAO≌△EAO，
∴∠AEO=∠ABO=30°，
∴tan∠AEO=tan30°=
3， 3故答案为：3．点评：本题考查了等边三角形性质，全等三角形的性质和判定，特殊角的3三角函数值等知识点的应用，关键是证出∠AEO=∠ABO，题目比较典型，难度适中．
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【备考真题过关】
一、选择题
1．（2012•云南）如图，在△ABC中，∠B=67°，∠C=33°，AD是△ABC的角平分线，则∠CAD的度数为（ ）
A．40° B．45° C．50° D．55°
分析：首先利用三角形内角和定理求得∠BAC的度数，然后利用角平分线的性质求得∠CAD的度数即可．
解：∵∠B=67°，∠C=33°，
∴∠BAC=180°－∠B－∠C=180°－67°－33°=80° ∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠CAD=故选A．
点评：本题考查了三角形的内角和定理，属于基础题，比较简单．三角形内角和定理在小学已经接触过．
2．（2012•梅州）如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D、E分别是边AB、AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合，若∠A=75°，则∠1+∠2=（ ） A．150° B．210° C．105° D．75°
11∠BAC=×80°=40° 22
分析：先根据图形翻折变化的性质得出△ADE≌△A′DE，∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，再
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根据三角形内角和定理求出∠AED+∠ADE及∠A′ED+∠A′DE的度数，然后根据平角的性质即可求出答案．
解：∵△A′DE是△ABC翻折变换而成，
∴∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，∠A=∠A′=75°， ∴∠AED+∠ADE=∠A′ED+∠A′DE=180°－75°=105°， ∴∠1+∠2=360°－2×105°=150°． 故选A．
点评：本题考查的是图形翻折变换的性质，即折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
3．（2012•漳州）将一副直角三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是（ ） A．45° B．60° C．75° D．90°
分析：根据直角三角形的两锐角互余求出∠1的度数，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解． 解：如图，∠1=90°－60°=30°， 所以，∠α=45°+30°=75°． 故选C．
点评：本题主要考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，直角三角形两锐角互余的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．
4．（2012•广东）已知三角形两边的长分别是4和10，则此三角形第三边的长可能是（ ） A．5 B．6 C．11 D．16
分析：设此三角形第三边的长为x，根据三角形的三边关系求出x的取值范围，找出符合条件的x的值即可．
解：设此三角形第三边的长为x，则10－4＜x＜10+4，即6＜x＜14，四个选项中只有11符
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合条件． 故选C．
点评：本题考查的是三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
5．（2012•郴州）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ）
A．1cm，2cm，4cm B．4cm，6cm，8cm C．5cm，6cm，12cm D．2cm，3cm，5cm 分析：根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．
解：根据三角形的三边关系，知
A、1+2＜4，不能组成三角形；B、4+6＞8，能够组成三角形； C、5+6＜12，不能组成三角形；D、2+3=5，不能组成三角形． 故选B．
点评：此题考查了三角形的三边关系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．
6．（2012•玉林）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC≠BD，则图中全等三角形有（ ）
A．4对 B．6对 C．8对 D．10对
分析：根据菱形四边形等，对角线互相垂直且平分，结合全等三角形的判定即可得出答案． 解：图中全等三角形有：△ABO≌△ADO、△ABO≌△CDO，△ABO≌△CBO； △AOD≌△COD，△AOD≌△COB； △DOC≌△BOC； △ABD≌△CBD，
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△ABC≌△ADC， 共8对． 故选C．
点评：此题考查了全等三角形的判定及菱形的性质，注意掌握全等三角形的几个判定定理，在查找时要有序的进行，否则很容易出错．
7．（2012•贵阳）如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，AB=DE，BC=EF，要使△ABC≌△DEF，还需要添加一个条件是（ ） A．∠BCA=∠F B．∠B=∠E C．BC∥EF D．∠A=∠EDF
分析：全等三角形的判定方法SAS是指有两边对应相等，且这两边的夹角相等的两三角形全等，已知AB=DE，BC=EF，其两边的夹角是∠B和∠E，只要求出∠B=∠E即可． 解：A、根据AB=DE，BC=EF和∠BCA=∠F不能推出△ABC≌△DEF，故本选项错误； B、∵在△ABC和△DEF中
ABDEBE ， BCEF∴△ABC≌△DEF（SAS），故本选项正确； C、∵BC∥EF，
∴∠F=∠BCA，根据AB=DE，BC=EF和∠F=∠BCA不能推出△ABC≌△DEF，故本选项错误； D、根据AB=DE，BC=EF和∠A=∠EDF不能推出△ABC≌△DEF，故本选项错误． 故选B．
点评：本题考查了对平行线的性质和全等三角形的判定的应用，注意：有两边对应相等，且这两边的夹角相等的两三角形才全等，题目比较典型，但是一道比较容易出错的题目．
三、填空题
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8．（2012•呼和浩特）如图，在△ABC中，∠B=47°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC= ．
分析：根据三角形内角和定理、角平分线的定义以及三角形外角定理求得
11∠DAC+ 22ACF=（∠B+∠B+∠BAC+∠BCA）=得∠AEC的度数．
12227 ；最后在△AEC中利用三角形内角和定理可以求2解：∵三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E， ∴∠EAC=
11∠DAC，∠ECA=∠ACF； 22又∵∠B=47°（已知），∠B+∠BAC+∠BCA=180°（三角形内角和定理）， ∴∠DAC+
121111227 ACF=（∠B+∠ACB）+（∠B+∠BAC）=（∠B+∠B+∠BAC+∠BCA）=22222（外角定理）， ∴∠AEC=180°－（
11∠DAC+ACF）=66.5°； 22故答案是：66.5°．
点评：本题考查了三角形内角和定理、三角形外角性质．解题时注意挖掘出隐含在题干中已知条件“三角形内角和是180°”．
9．（2012•娄底）如图，FE∥ON，OE平分∠MON，∠FEO=28°，则∠MFE= 度．
分析：先根据平行线的性质得出∠NOE=∠FEO，再根据角平分线的性质得出∠NOE=∠EOF，由三角形外角的性质即可得出结论． 解：∵FE∥ON，∠FEO=28°，
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∴∠NOE=∠FEO=28°， ∵OE平分∠MON， ∴∠NOE=∠EOF=28°， ∵∠MFE是△EOF的外角，
∴∠MFE=∠NOE+∠EOF=28°+28°=56°． 故答案为：56．
点评：本题考查的是三角形外角的性质，即三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和．
10．（2012•白银）如图，在△ABC中，AC=BC，△ABC的外角∠ACE=100°，则∠A= 度．
分析：根据等角对等边的性质可得∠A=∠B，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解． 解：∵AC=BC， ∴∠A=∠B， ∵∠A+∠B=∠ACE， ∴∠A=
11∠ACE=×100°=50°． 22故答案为：50．
点评：本题主要考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，等边对等角的性质，是基础题，熟记性质并准确识图是解题的关键．
11．（2012•绥化）若等腰三角形两边长分别为3和5，则它的周长是 ． 分析：题目给出等腰三角形有两条边长为3和5，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．解答：解：有两种情况：①腰长为3，底边长为5，三边为：3，3，5可构成三角形，周长=3+3+5=11； ②腰长为5，底边长为3，三边为：5，5，3可构成三角形，周长=5+5+3=13．
故答案为：11或13．点评：本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三
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角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
12．（2012•柳州）如图，在△ABC中，BD是∠ABC的角平分线，已知∠ABC=80°，则∠DBC= °．
分析：根据角平分线的性质得出∠ABD=∠DBC进而得出∠DBC的度数．解答：解：∵BD是∠ABC的角平分线，∠ABC=80°， ∴∠DBC=∠ABD=故答案为：40．
点评：此题主要考查了角平分线的性质，根据角平分线性质得出∠ABD=∠DBC是解题关键．
13．（2012•绵阳）如图，BC=EC，∠1=∠2，要使△ABC≌△DEC，则应添加的一个条件 为 ．（答案不唯一，只需填一个）．
11∠ABC=×80°=40°， 22
分析：根据∠1=∠2，求出∠BCA=∠ECD，根据SAS证明亮三角形全等即可．解答：解：添加的条件是AC=CD， 理由是：∵∠1=∠2， ∴∠1+∠ECA=∠2+∠ECA， ∴∠BCA=∠ECD， ∵在△ABC和△DCE中
BCCE BCA ECD， ACCD∴△ABC≌△DCE，
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故答案为：AC=CD．
点评：本题考查了全等三角形的判定的应用，通过做此题培养了学生的发散思维能力，本题题型较好，是一道具有开放性的题目，答案不唯一．
三、解答题
14．（2012•铜仁地区）如图，E、F是四边形ABCD的对角线BD上的两点，AE∥CF，AE=CF，BE=DF．求证：△ADE≌△CBF．
考点：全等三角形的判定．专题：证明题．分析：首先利用平行线的性质得出∠AED=∠CFB，进而得出DE=BF，利用SAS得出即可． 证明：∵AE∥CF ∴∠AED=∠CFB， ∵DF=BE， ∴DF+EF=BE+EF， 即DE=BF， 在△ADE和△CBF中，
AE=CF ∠AED=∠CFB DE=BF， ∴△ADE≌△CBF（SAS）．
点评：此题主要考查了全等三角形的判定，利用两边且夹角对应相等得出三角形全等是解题关键．
15．（2012•赤峰）如图所示，在△ABC中，∠ABC=∠ACB．
（1）尺规作图：过顶点A作△ABC的角平分线AD；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在AD上任取一点E，连接BE、CE．求证：△ABE≌△ACE．
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分析：（1）以A为圆心，以任意长为比较画弧，分别交AB和AC于一点，分别以这两点为圆心，以大于这两点之间的距离为半径画弧，两弧交于一点，过这点和A作射线，交BC于D，则，AD为所求；
（2）推出∠BAE=∠CAE，根据SAS证△BAE和△CAE全等即可．
（1）解：如图所示：
（2）证明：∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠BAD=∠CAD， ∵∠ABC=∠ACB， ∴AB=AC，
∵在△ABE和△ACE中
AB=AC ∠BAE=∠CAE AE=AE ， ∴△ABE≌△ACE（SAS）．
点评：本题考查了等腰三角形的判定，全等三角形的判定，作图－基本作图的应用，主要考查学生的动手操作能力和推理能力．
16．（2012•重庆）已知：如图，AB=AE，∠1=∠2，∠B=∠E．求证：BC=ED．
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分析：由∠1=∠2可得：∠EAD=∠BAC，再有条件AB=AE，∠B=∠E可利用ASA证明△ABC≌△AED，再根据全等三角形对应边相等可得BC=ED． 证明：∵∠1=∠2， ∴∠1+∠BAD=∠2+∠BAD， 即：∠EAD=∠BAC，
在△EAD和△BAC中：∠B=∠E，AB=AE，∠BAC=∠EAD， ∴△ABC≌△AED（ASA）， ∴BC=ED．
点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质，关键是掌握全等三角形的判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．
1．（2012•扬州）如图，在四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠CDA=90°，BE⊥AD，垂足为E．求证：BE=DE．
考点： 全等三角形的判定与性质；矩形的判定与性质。 专题： 证明题。 分析： 作CF⊥BE，垂足为F，得出矩形CFED，求出∠CBF=∠A，根据AAS证△BAE≌△CBF，推出BE=CF即可． 解答： 证明：作CF⊥BE，垂足为F，∵BE⊥AD， ∴∠AEB=90°， - 27 -
∴∠FED=∠D=∠CFE=90°，∠CBE+∠ABE=90°，∠BAE+∠ABE=90°， ∴∠BAE=∠CBF， ∴四边形EFCD为矩形， ∴DE=CF， 在△BAE和△CBF中，有∠CBE=∠BAE，∠BFC=∠BEA=90°，AB=BC， ∴△BAE≌△CBF， ∴BE=CF=DE， 即BE=DE． 点评： 本题考查了全等三角形的性质和判定，矩形的判定和性质的应用，关键是求出△BAE≌△CBF，主要考查学生运用性质进行推理的能力．
2．（2012•镇江）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，连接DE并延长交CB的延长线于点F，点G在边BC上，且∠GDF=∠ADF． （1）求证：△ADE≌△BFE；
（2）连接EG，判断EG与DF的位置关系并说明理由．
考点： 全等三角形的判定与性质。 专题： 证明题。 分析： （1）由AD与BC平行，利用两直线平行内错角相等，得到一对角相等，再由一对对顶角相等及E为AB中点得到一对边相等，利用AAS即可得出△ADE≌△BFE； （2）∠GDF=∠ADE，以及（1）得出的∠ADE=∠BFE，等量代换得到∠GDF=∠BFE，利用等角对等边得到GF=GD，即三角形GDF为等腰三角形，再由（1）得到DE=FE，即GE为底边上的中线，利用三线合一即可得到GE与DF垂直． 解答： （1）证明：∵AD∥BC，∴∠ADE=∠BFE， ∵E为AB的中点，∴AE=BE， - 28 -
在△AED和△BFE中， ， ∴△AED≌△BFE（AAS）； （2）解：EG与DF的位置关系是EG⊥DF， 理由为：连接EG， ∵∠GDF=∠ADE，∠ADE=∠BFE， ∴∠GDF=∠BFE， 由（1）△AED≌△BFR得：DE=EF，即GE为DF上的中线， ∴GE⊥DF． 点评： 此题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，以及等腰三角形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．
3．（2012•佛山）如图，已知AB=DC，DB=AC
（1）求证：∠ABD=∠DCA．注：证明过程要求给出每一步结论成立的依据． （2）在（1）的证明过程中，需要作辅助线，它的意图是什么？
考点： 全等三角形的判定与性质。 分析： （1）连接AD，证明三角形BAD和三角形CAD全等即可得到结论； （2）作辅助线的意图是构造全等的三角形． - 29 -
解答： 证明：（1）连接AD， 在△BAD和△CDA中 ∴△BAD≌△CDA（SSS） ∴∠ABD=∠DCA（全等三角形对应角相等） （2）作辅助线的意图是构造全等的三角形即两个三角形的公共边． 点评： 本题考查了全等三角形的判定与性质，属于基础题，相对比较简单．
4．（2012•滨州）如图1，l1，l2，l3，l4是一组平行线，相邻2条平行线间的距离都是1个单位长度，正方形ABCD的4个顶点A，B，C，D都在这些平行线上．过点A作AF⊥l3于点F，交l2于点H，过点C作CE⊥l2于点E，交l3于点G． （1）求证：△ADF≌△CBE； （2）求正方形ABCD的面积；
（3）如图2，如果四条平行线不等距，相邻的两条平行线间的距离依次为h1，h2，h3，试用h1，h2，h3表示正方形ABCD的面积S．
考点： 全等三角形的判定与性质；平行线之间的距离；正方形的性质。 专题： 几何综合题。 分析： （1）直接根据HL定理得出Rt△AFD≌Rt△CEB； - 30 -
（2）由ASA定理得出△ABH≌△BCE≌△CDG≌△DAF，再根据S正方形ABCD=4S△ABH+SH正方形EGF即可得出结论； （3）由△AFD≌△CEB可得出h1=h3，再根据（2）中△ABH≌△BCE≌△CDG≌△DAF，可知S正方形ABCD=4S△ABH+S正方形HEGF，进而得出结论． 解答： （1）证明：在Rt△AFD和Rt△CEB中， ∵AD=BC，AF=CE， ∴Rt△AFD≌Rt△CEB； （2）解：∵∠ABH+∠CBE=90°，∠ABH+∠BAH=90°， ∴∠CBE=∠BAH 又∵AB=BC，∠AHB=∠CEB=90° ∴△ABH≌△BCE， 同理可得，△ABH≌△BCE≌△CDG≌△DAF， ∴S正方形ABCD=4S△ABH+S正方形HEGF =4××2×1+1×1 =5； （3）解：由（1）知，△AFD≌△CEB，故h1=h3， 由（2）知，△ABH≌△BCE≌△CDG≌△DAF， ∴S正方形ABCD=4S△ABH+S正方形HEGF =4×（h1+h2）•h1+h22=2h12+2h1h2+h22． 点评： 本题考查的是全等三角形的判定与性质，正方形的性质及平行线之间的距离，熟知判定全等三角形的SSS、SAS、ASA及HL定理是解答此题的关键．
5．（2012•长春）感知：如图①，点E在正方形ABCD的边BC上，BF⊥AE于点F，DG⊥AE于点G，可知△ADG≌△BAF．（不要求证明）
拓展：如图②，点B、C分别在∠MAN的边AM、AN上，点E、F在∠MAN内部的射线AD上，∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角．已知AB=AC，∠1=∠2=∠BAC，求证：△ABE≌△CAF．
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应用：如图③，在等腰三角形ABC中，AB=AC，AB＞BC．点D在边BC上，CD=2BD，点E、F在线段AD上，∠1=∠2=∠BAC．若△ABC的面积为9，则△ABE与△CDF的面积之和为 6 ．
考点： 全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；正方形的性质。 分析： 拓展：利用∠1=∠2=∠BAC，利用三角形外角性质得出∠4=∠ABE，进而利用AAS证明△ABE≌△CAF； 应用：首先根据△ABD与△ADC等高，底边比值为：1：2，得出△ABD与△ADC面积比为：1：2，再证明△ABE≌△CAF，即可得出△ABE与△CDF的面积之和为△ADC的面积得出答案即可． 解答： 拓展： 证明：∵∠1=∠2， ∴∠BEA=∠AFC， ∵∠1=∠ABE+∠3，∠3+∠4=∠BAC，∠1=∠BAC， ∴∠BAC=∠ABE+∠3， ∴∠4=∠ABE， ∴， ∴△ABE≌△CAF（AAS）． 应用： 解：∵在等腰三角形ABC中，AB=AC，CD=2BD， ∴△ABD与△ADC等高，底边比值为：1：2， ∴△ABD与△ADC面积比为：1：2， ∵△ABC的面积为9， ∴△ABD与△ADC面积分别为：3，6； - 32 -
∵∠1=∠2， ∴∠BEA=∠AFC， ∵∠1=∠ABE+∠3，∠3+∠4=∠BAC，∠1=∠BAC， ∴∠BAC=∠ABE+∠3， ∴∠4=∠ABE， ∴， ∴△ABE≌△CAF（AAS）， ∴△ABE与△CAF面积相等， ∴△ABE与△CDF的面积之和为△ADC的面积， ∴△ABE与△CDF的面积之和为6， 故答案为：6． 点评： 此题主要考查了三角形全等的判定与性质以及三角形面积求法，根据已知得出∠4=∠ABE，以及△ABD与△ADC面积比为：1：2是解题关键．
6．（2012•阜新）（1）如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°． ①当点D在AC上时，如图1，线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系？直接写出你猜想的结论；
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②将图1中的△ADE绕点A顺时针旋转α角（0°＜α＜90°），如图2，线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由．
（2）当△ABC和△ADE满足下面甲、乙、丙中的哪个条件时，使线段BD、CE在（1）中的位置关系仍然成立？不必说明理由．
甲：AB：AC=AD：AE=1，∠BAC=∠DAE≠90°； 乙：AB：AC=AD：AE≠1，∠BAC=∠DAE=90°； 丙：AB：AC=AD：AE≠1，∠BAC=∠DAE≠90°．
考点： 全等三角形的判定与性质。 专题： 几何综合题。 分析： （1）①BD=CE，BD⊥CE．根据全等三角形的判定定理SAS推知△ABD≌△ACE，然后由全等三角形的对应边相等证得BD=CE、对应角相等∠ABF=∠ECA；然后在△ABD和△CDF中，由三角形内角和定理可以求得∠CFD=90°，即BD⊥CF； ②BD=CE，BD⊥CE．根据全等三角形的判定定理SAS推知△ABD≌△ACE，然后由全等三角形的对应边相等证得BD=CE、对应角相等∠ABF=∠ECA；作辅助线（延长BD交AC于F，交CE于H）BH构建对顶角∠ABF=∠HCF，再根据三角形内角和定理证得∠BHC=90°； （2）根据结论①、②的证明过程知，∠BAC=∠DFC（或∠FHC=90°）时，该结论成立了，所以本条件中的∠BAC=∠DAE≠90°不合适． 解答： 解：（1）①结论：BD=CE，BD⊥CE； ②结论：BD=CE，BD⊥CE…1分 理由如下：∵∠BAC=∠DAE=90° ∴∠BAD﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD=∠CAE…1分 在Rt△ABD与Rt△ACE中， - 34 -
∵ ∴△ABD≌△ACE…2分 ∴BD=CE…1分 延长BD交AC于F，交CE于H． 在△ABF与△HCF中， ∵∠ABF=∠HCF，∠AFB=∠HFC ∴∠CHF=∠BAF=90° ∴BD⊥CE…3分 （2）结论：乙．AB：AC=AD：AE，∠BAC=∠DAE=90°…2分 点评： 本题考查了全等三角形的判定与性质．SSS，SAS，ASA，AAS，HL均可作为判定三角形全等的定理． 注意：在全等的判定中，没有AAA（角角角）和SSA（边边角）（特例：直角三角形为HL，因为勾股定理，只要确定了斜边和一条直角边，另一直角边也确定，属于SSS），因为这两种情况都不能唯一确定三角形的形状；另外三条中线（或高、角平分线）分别对应相等的两个三角形也全等．
7．（2012•内江）已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作菱形ADEF（A、D、E、F按逆时针排列），使∠DAF=60°，连接CF． （1）如图1，当点D在边BC上时，求证：①BD=CF；②AC=CF+CD；
（2）如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CF+CD是否成立？若不成立，请写出AC、CF、CD之间存在的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC、CF、CD之间存在的数量关系．
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考点： 全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；菱形的性质。 专题： 几何综合题。 分析： （1）根据已知得出AF=AD，AB=BC=AC，∠BAC=∠DAF=60°，求出∠BAD=CAF，证△BAD≌△CAF，推出CF=BD即可； （2）求出∠BAD=∠CAF，根据SAS证△BAD≌△CAF，推出BD=CF即可； （3）画出图形后，根据SAS证△BAD≌△CAF，推出CF=BD即可． 解答： （1）证明：∵菱形AFED， ∴AF=AD， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB=AC=BC，∠BAC=60°=∠DAF， ∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAF﹣∠DAC， 即∠BAD=∠CAF， ∵在△BAD和△CAF中 ， ∴△BAD≌△CAF， ∴CF=BD， ∴CF+CD=BD+CD=BC=AC， 即①BD=CF，②AC=CF+CD． （2）解：AC=CF+CD不成立，AC、CF、CD之间存在的数量关系是AC=CF﹣CD， 理由是：由（1）知：AB=AC=BC，AD=AF，∠BAC=∠DAF=60°， ∴∠BAC+∠DAC=∠DAF+∠DAC， 即∠BAD=∠CAF， - 36 -
∵在△BAD和△CAF中 ， ∴△BAD≌△CAF， ∴BD=CF， ∴CF﹣CD=BD﹣CD=BC=AC， 即AC=CF﹣CD． （3）AC=CD﹣CF．理由是： ∵∠BAC=∠DAF=60°， ∴∠DAB=∠CAF， ∵在△BAD和△CAF中 ， ∴△BAD≌△CAF， ∴CF=BD， ∴CD﹣CF=CD﹣BD=BC=AC， 即AC=CD﹣CF． 点评： 本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质，菱形的性质的应用，主要考查学生的推理能力，注意：证明过程类似，题目具有一定的代表性，难度适中．
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