二次函数与特殊的三角形(含答案)

(2021山东临沂，26，13分)〔5〕

如图，在平面直角坐标系中，直线y=－2x+10与x轴，y轴相交于A，B两点．点C的坐标是(8，4)，连接AC，BC．

(1)求过O，A，C三点的抛物线的解析式，并判断△ABC的形状；

(2)动点P从点O出发，沿OB以每秒2个单位长度的速度向点B运动；同时，动点Q从点B出发，沿BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t秒，当t为何值时，PA=QA？

(3)在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使以A，B，M为顶点的三角形是等腰三角形？假设存在，求出点M的坐标；假设不存在，请说明理由．

(2021建设兵团，23，13分〕如图，抛物线yax2bx3(a0)的顶点为E，该抛物1线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且BO=OC=3AO，直线yx1与y轴交于

3点D．〔12〕

〔1〕求抛物线的解析式；

〔2〕在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PBC是等腰三角形？假设存在，请直接写出符合条件的P点坐标，假设不存在，请说明理由．

(2021重庆A，26，12分)如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y1223xx3与x33轴交于A．B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，抛物线的顶点为点E.

(1)判断△ABC的形状，并说明理由； (2)经过B．C两点的直线交抛物线的对称轴于点D，点P为直线BC上方抛物线上的一动点，当△PCD的面积最大时，点Q从点P出发，先沿适当的路径运动到抛物线的对称轴上点M处，再沿垂直于抛物线对称轴的方向运动到y轴上的点N处，最后沿适当的路径运动到点A处停止. 当点Q的运动路径最短时，求点N的坐标及点Q经过的最短路径的长； (3)如图2，平移抛物线，使抛物线的顶点E在射线AE上移动，点E平移后的对应点为点E′，点A的对应点为点A′. 将△AOC绕点O顺时针旋转至△AOC11的位置，点A．C的对应点分别为点A1，C1，且点A1恰好落在AC上，连接C1A'，C1E'. △A'C1E'是否能为等腰三角形？假设能，请求出所有符合条件的点E′的坐标；假设不能，请说明理由.

第二组 直角三角形

10. 〔 2021山东省枣庄市，25，10分〕如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝－1，且经过A(1，0)，C(0，3)两点，与x轴的另一个交点为B． ⑴假设直接y＝mx＋n经过B，C 两点，求抛物线和直线BC 的解析式；

⑵在抛物线的对称轴x＝－1上找一点M，使点M到点A的距离与点C的距离之和最小，求点M的坐标；

⑶设点P为抛物线的对称轴x＝－1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．

y C B O A

x

答案：1、(1)解：令y=0，那么－2x+10=0，x=5，∴A(5，0)． 把x=0代入y=－2x+10，得y=10，∴B(0，10)．

2

设过O，A，C三点的抛物线的解析式为y=ax+bx+c，可得

c0 25a5bc0，a8bc4，1，6解得5

b，6c0a∴抛物线的解析式为y=

125x－x．……………………………………………3分 66△ABC是直角三角形，理由如下：

∵B(0，10)，A(5，0)，

∴OA=5，OB=10，∴AB=125，AB=55．

2

∵C(8，4)，A(5，0)，∴AC=25，AC=5．

2

∵B(0，10)，C(8，4)，∴BC=100，BC=10．

222

∴AC+BC=AB，∴△ABC是直角三角形，且∠C=90°．…………………………………5分

(2)∵PA=QA，

222222

又∵PA=(2t)+5，QA=(10－t)+5，

2222

∴(2t)+5=(10－t)+5，

2

解得t=

10． 310秒时，PA=QA．…………………………………8分 3故当运动时间为(3)存在． 抛物线y=

12555x－x过O，A两点，那么对称轴是x=，设M的坐标为(，m)， 6622①当AM=BM时，M是AB的垂直平分线与抛物线的交点，

设抛物线的对称轴与x轴交于点P，与AB交于点Q， 由题意可知PQ∥y轴，P是OA的中点， ∴Q是AB的中点，

∴AB的垂直平分线与抛物线的对称轴的交点就是Q，此时不能形成三角形．

20519205195222

)+(10－m)=AB=125，解得m1=，m2=，

222520519520519∴M1(，)，M2(，)．…………………………………10分

22225195195222

③当AB=AM时，(5－)+m=AB=125，解得m3=，m4=－，

22251955195∴M3(，)，M4(，－)．

2222520519520519综上所述，存在点M，共有4个点，分别是M1(，)，M2(，)，

2222②当AB=BM时，(

M3(

51955195，)，M4(，－)．…………………………………12分

2222解：〔1〕由抛物线yax2bx3(a0)，令x=0，得y=－3 ∴C〔0，－3〕，

∴OC=3

∵BO=OC=3AO， ∴OB=3，AO=1． ∴A〔－1，0〕，B〔3，0〕 代入yax2bx3(a0)，得： ab30, 9a3b30a1,解得：

b2∴抛物线的解析式为yx22x3．

〔2〕P1〔1，－1〕，P2〔1，317〕，P3〔1，317〕，P4〔1，14〕，P5〔1，14〕 设点P的坐标为〔1，m〕

分三种情况讨论：

①假设PC=PB，那么PC2=PB2 即(31)2m212(m3)2 解得：m=－1， ∴P1〔1，－1〕．

②假设PC=BC，那么PC2=BC2 即12(m3)2(32)2

解得：m1317，m2317 ∴P2〔1，317〕，P3〔1，317〕 ③假设PB=BC，那么PB2=BC2 即(31)2m2(32)2 解得：m114，m214 ∴P4〔1，14〕，P5〔1，14〕

综上所述，可知满足条件的点P的坐标共有5个，分别是P1〔1，－1〕，P2〔1，317〕，

P3〔1，317〕，P4〔1，14〕，P5〔1，14〕 3、(1)△ABC为直角三角形，理由如下：

1223xx30，解这个方程，得x13,x233. 33∴点A(3，0)，B(33，0).

当y=0时，即∴OA=3，OB=33.

当x=0时，y=3，∴点C(0，3)，∴OC=3. 在Rt△AOC中，ACOAOC在Rt△BOC中，BCOBOC2222222312. 33336.

32222又∵AB33348，12+36=48，∴AC2BC2AB2.

∴△ABC为直角三角形.

(2)如图1，∵点B(33，0)，C(0，3)，∴直线BC的解析式为y过点P作PG//y轴交直线BC于点G.

23x3. 3233a3)，那么点G(a，a3)， 33122331a3)－(a3)=a23a. ∴PG=(a3333设点D的横坐标为xD，点C的横坐标为xC.

设点P(a，a213SPCD33393111axDxCPG3a23a. 628223333315时，△PCD的面积最大，此时点P(，). 2242∵0a33，∴当a

如图1，将点P向左平移3个单位至点P′，连接AP′交y轴于点N，过点N作NM⊥抛物线对称轴于点M，连接PM. 点Q沿PMNA运动，所走的路程最短，即最短路径的长为PM+MN+NA的长. ∵点P(3315315，)，∴点P′(，). 2244又∵点A(－3，0)，∴直线AP′的解析式为y当x=0时，y=

535x. 6255，∴点N(0，). 223333715，P′H=，AP′=. 24433733743∴点Q运动的最短路径的长为PM+MN+AN=+3=.

44OC33，∴∠OAC=60°(3)如图2，在Rt△AOC中，∵tan∠OAC=. OA3∵OA=OA1，∴△OAA1为等边三角形，∠AOA1=60°，∴∠BOC1=30°.

过点P′作P′H⊥x轴于点H，那么有HA=

3332,2. ∵点A(－3，0)，E(3，4)，∴AE=27. ∴A'E'AE27. 又由OC1OC3，得点C1∵直线AE的解析式为y设点E′(a，

223x2， 32323aa2)，那么点A′(a23，2). 33∴C1Ea3323372353a2aa49. 3223372737353aa7a2a49. 33332222假设C1A'C1E'，那么有C1A'C1E'，即

解这个方程，得a3333，∴点E′(，5). 2272353aa4928， 3353395339解这个方程，得a1，a2.

2253395339∴点E′(，713)或(，713).

22727322a728， 假设E'A'E'C1，那么有E'A'E'C1，即a33339339解这个方程，得a1，a2.

22339∴点E′(，313).

23353395339综上所述，符合条件的点E′的坐标为(，5)或(，713)或(，

222339713)或(，313). 222假设C1A'A'E'，那么有C1A'A'E'，即