三角函数辅助角公式化简

1．已知函数fxsin2xcos2x3， xR （1）求fx的对称中心；

（2）讨论fx在区间3,4上的单调性.

2．已知函数fx4sinxcosx33. （1）将fx化简为fxAsinx的形式，并求fx最小正周期；（2）求fx在区间4,6上的最大值和最小值及取得最值时x的值.3．已知函数fx4tanxsin2xcosx33．

（1）求fx的最小正周期；

（2）求fx在区间4,4上的单调递增区间及最大值与最小值．

4．设函数fx3cos2xsinxcosx32. （1）求函数fx的最小正周期T及最大值；

（2）求函数fx的单调递增区间.

5．已知函数fxcos2xπ2sinxπsinπ34x4

（Ⅰ）求函数fx的最小正周期和图象的对称轴方程；

（Ⅱ）求函数fx在区间ππ12,2上的值域. 6．已知函数fx3sinxcosxcos2x12. (Ⅰ)求函数fx的对称中心； (Ⅱ)求fx在0,上的单调区间.

7．已知函数fx4cosxsinx61，求 （1）求fx的最小正周期； （2）求函数fx的单调递增区间

（3）求fx在区间6,4上的最大值和最小值.

sinx3cosx?cos8．设函数fx2xtanx.

（1）求fx的最小正周期；

（2）讨论fx在区间0,2上的单调性.

9．已知函数fx23sinxcosx2cos2x1，

（I）求fx的最大值和对称中心坐标； (Ⅱ)讨论fx在0,上的单调性。

10．已知函数.

(1)求 的最小正周期；

(2)若关于 的方程在上有两个不同的实根，求实数 的取值范围.

11．设fxsinxcosxcos2x4. (1)求fx的单调递增区间；

(2)锐角ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若fA20， a1， bc3，求bc的

值.

12．已知函数.

（1）求函数的单调增区间；

（2）的内角，，所对的边分别是，，，若，，且的面积为，求的

值.

13．设函数.

（1）求的最大值，并写出使取最大值时的集合；

（2）已知中,角的边分别为，若，求的最小值.

14．已知fx3sinxcosxcosx12，其中0，若fx的最小正周期为4. （1）求函数fx的单调递增区间；

（2）锐角三角形ABC中， 2accosBbcosC，求fA的取值范围.

15．已知ar=（sinx，cosx），br=（cosφ，sinφ）（|φ|＜）．函数

f（x）=ar?br 且f（3－x）=f（x）．

（Ⅰ）求f（x）的解析式及单调递增区间；

（Ⅱ）将f（x）的图象向右平移3单位得g（x）的图象，若g（x）+1≤ax+cosx在x∈[0，

4]上恒成立，求实数a的取值范围． 16．已知向量av=（2cos

xv2， 3sinx2），b=（cos

x2，2cos

x2），（ω＞0），设函数

f（x）=av?bv，且f（x）的最小正周期为π．

（1）求函数f（x）的表达式； （2）求f（x）的单调递增区间．

17．已知函数fxAsinx(A0,0,2)的部分图象如图所示.

（1） 求函数fx的解析式；

（2） 如何由函数y2sinx的通过适当图象的变换得到函数fx的图象， 写出变换过程;（3） 若f142，求sin6的值.

18．已知函数

（1）求函数

在

上的单调递增区间；

（2）若且，求的值。

19．已知fx2cosxsinx63sinxcosxsin2x， （1）求函数yfx的单调递增区间；

（2）设△ABC的内角A满足fA2，而uABuuvuACuuv3，求边BC的最小值．

20．已知函数fxcos2x3cosxcosx （1）求fx的最小正周期和最大值；

（2）讨论fx在34,4上的单调性．

21．已知fx23cos2xsin2x31 xR，求： （1）fx的单调增区间；

（2）当x4,4时，求fx的值域.

22．已知函数为偶函数，且函数图象的两相邻对称轴间的

距离为.

（1）求

的值；

（2）函数

的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4

倍，纵坐标不变，得到函数

的图象，求

的单调递减区间.

23．已知函数fxcos4xsin2xsin4x. （1）求函数fx的递减区间；

（2）当x0,2时，求函数fx的最小值以及取最小值时x的值.

24．已知函数fx23sinxcosx2sin2x1. （1）求函数fx的对称中心和单调递减区间；

（2）若将函数fx图象上每一点的横坐标都缩短到原来的（纵坐标不变），然后把所得图

象向左平移个单位长度，得到函数gx的图象，求函数gx的表达式.

612参

k,0， kZ；（2）增区间为,，减区

2121．（1）对称中心为间为,.

36【解析】试题分析：利用降幂公式和辅助角公式将已知函数解析式转化为正弦型函数，根据正弦函数的性质来求对称中心,其对称中心能使函数值为0，从而角的终边在x轴上；（2）首先求出函数的单调区间，再根据自变量的取值范围来求落在给定范围上的的单调区间． 试

题

解

析

：

1

）

由

已

知

21cos2x1cos2x3113fxsin2xcos2xsin2x

224426令2x6k，得xkk,0， kZ. ,kZ，对称中心为212212（2）令2k622x62k2， kZ

得kxk3， kZ,增区间为k,k,kZ

63令2k22x62k3， kZ 2得k3xk55， kZ,增区间为k,k,kZ

366,,上的增区间为，减区间为,. 34362．（1）fx 2sin2xx3， T；（2）x4时， fxmin1，

12时， fxmax2.

【解析】试题分析：（1）由三角函数的公式化简可得fx2sin2x由周期公式可得答案；（2）由x的范围可得62x，332的范围，可3得f（x）的范围，结合三角函数在该区间的单调性，可得最值及对应的x值． 试题解析：

3（1）fx4sinxcosxcos2. 2sinxsin232sinxcosx23sinx3 3所以T（2）因为124x6，所以62x32 3所以sin2x31，所以1fx2， 3当2x当2x6，即x124时， fxmin1，

32，即x时， fxmin2.

3．(1)  (2) fx最大值为-2，最小值为1．

【解析】试题分析：（1）化简函数的解析式得fx2sin2xT，根据32求周期；（2）先求出函数fx的单调递增区间，再求其与区间2,,上的最的交集即可；根据的取值范围确定函数在2x44344大值与最小值。 试题解析：

（1）fx4tanxcosxcosx3 4sinxcosx3

33sin2x31cos2x3 sin2x3cos2x2sin2x．

3所以fx的最小正周期T32． 2（2）令z2xkZ．

，函数y2sinz的单调递增区间是2k,2k，

22由22k2x322k，得12kx5k， kZ． 125k,kZ}12设

A,44，

B{x|12kx，易知

AB,．

124所以，当x,时， fx在区间,上单调递增。

44124∵∴4x4，

5， 66122x3∴sin2x1， 3∴12sin2x2

3∴fx最大值为2，最小值为-1．

点睛：解题的关键是将函数化成f(x)＝Asin(ωx＋φ)的形式后，把ωx＋φ看成一个整体去处理，特别是在求单调区间的时候，要注意复合函数单调性规律“同增异减”， 如果ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．

5k,kkZ

12124．（1）T，最大值为1（2）【解析】试题分析：（1）先根据二倍角公式以及辅助角公式将函数化为基本三角函数形式，再根据正弦函数性质求最小正周期T及最大值；（2）根据正弦函数性质列不等式fx的单调递增区间.

31cos2x222k2x322kkZ，解得函数

试题解析：解：

fx13sin2x 2213sin2xcos2xsin2x 223（1）T 当2x即x322k

12kkZ时

fx取最大值为1

（2）令22k2x322kkZ

∴fx的单调增区间为5k,kkZ

12123,1. 25．(1)答案见解析；(2) 【解析】试题分析：

(1)整理函数的解析式可得fxsin2x，则函数的最小正周期为

6T；对称轴方程为xk3kZ；

(2)结合函数的定义域和(1)中整理的函数的解析式可得函数的值域为

3,1. 2试题解析：

（1）Qfxcos2x2sinxsinx

344由2x6k2kZ,得xkkZ 23函数图象的对称轴方程为 xk3kZ

（2）Qx5,,2x,

636122因为fxsin2x在区间,上单调递增，在区间,上单调

123326递减， 所以 当x3时， fx取最大值 1

331又 Qf f，当x时， fx取最小值21221222所以 函数 fx在区间3,上的值域为,1 12226．(1) k5,1,kZ (2) 0,, 21236【解析】试题分析：(1) fx3sinxcosxcos2xsin2x2x121，令66k解得x即可(Ⅱ) 求fx在0,上的单调区间，则令22x2k62k2解得x,对k赋值得结果.

试题解析：

31cos2x1sin2xsin2x1 2226(Ⅰ) fx令2x6k，得xk， 212故所求对称中心为2k,1,kZ 212(Ⅱ)令2k2x62k2，解得k6xk3,kZ

5又由于x0,，所以x0,,

365故所求单调区间为0,,.

36点睛：三角函数的大题关键是对f(x)的化简，主要是三角恒等变换的考查，化简成yAsinwx 类型，把wx+  看成整体进行分析.

7．（1）T；（2）单调递增区间为k,k,kZ；（3）

36fxmin1， fxmiax2.

【解析】试题分析：（1）由和差角公式及二倍角公式化简得：

fx 2sin2x，进而得最小正周期；

6（2）由2k2x（3）由6x62k2,kZ可得增区间；

4得62x62，根据正弦函数的图象可得最值. 3试题解析： (1)

312Qfx4cosxsinx14cosxsinxcosx123sinxcosx2cosx1622

3sin2xcos2x 2sin2x.

6fx的最小正周期T.

（2）由2k2x解得k362k2,kZ

xk6,kZ

函数fx的单调递增区间为k,k,kZ

36(3) Q6x4

当2x66时， x， fxmin1

6当2x62时， x6， fxmiax2.

点睛：三角函数式的化简要遵循“三看”原则

（1）一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的区别和联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；

（2）而看“函数名称”看函数名称之间的差异，从而确定使用公式，常见的有“切化弦”；

（3）三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式通分”等.

上单调递增，在区间,上单调121228．（1）T（2）fx在区间0,递减.

【解析】试题分析：（1）先根据诱导公式、二倍角公式以及辅助角公式将函数化为基本三角函数，再根据正弦函数性质得fx的最小正周期；

（2）根据正弦函数性质求0,)上单调区间，即得fx在区间0,上的

22单调性.

试题解析：（1）fxsinx3cosx?cosxsinxcosx3cos2x （2）令22k2x322k，解得5kxk（kZ） 1212∵x0,，∴ fx在区间0,上单调递增，在区间,上单调

212122递减.

k,0kZ；(Ⅱ) 递增区2129．(Ⅰ) 最大值为2，对称中心为： 55间： 0,和,；递减区间： ,.

3636【解析】试题分析：（1）由正弦的倍角公式和降幂公式，f(x)可化简为

fx2sin2x，可知最大值为2，对称中心由2xk，解得x可

66求。（2）先求得f(x)最大增区间与减区间，再与0,做交，即可求得单调性。

6试题解析：(Ⅰ) fx2sin2x解得x=

，所以最大值为2，由2x6k，

kk,r所以对称中心为： ,0kZ； 2,12212(Ⅱ)先求f(x)的单调增区间，由22k2x622k,kZ，解得

5k,k,kZ0,和,。 ，在上的增区间有0,36365同理可求得f(x)的单调减区间k,k,kZ，，在0,上的减

365速区间有,.

3655递增区间： 0,和,；递减区间： ,.

363610．（1） ；（2） 的取值范围为

【解析】试题分析：

(1)由题意结合诱导公式和同角三角函数基本关系整理函数的解析式为：

f(x)＝2sin，结合三角函数的周期公式可知T＝π.

，结合函数的图象可得

.

或

，

(2)原问题等价于

求解不等式可得a的取值范围为

试题解析：

(1)f(x)＝2cosxcos(x－ )－ sinx＋sinxcosx ＝ cos2x＋sinxcosx－ sin2x＋sinxcosx ＝ cos2x＋sin2x

2

＝2sin∴T＝π.

，

(2)

画出函数在x∈的图像，由图可知

.

或

故a的取值范围为

11．（1）k,kkZ（2）bc31

4412【解析】试题分析：（1）由三角恒等变换化简得fxsin2x，由

22k2xA2k,kZ可解得增区间(2) 由f0得sinA， 22cosA，由余弦定理得3bcb2c21，即bc

32bc = bc 1即得

2试题解析：

1cos2xsin2xsin2x1sin2x12（1）由题意知fx sin2x， 22222由22k2x22k,kZ 可得4kx4k,kZ

所以函数fx 的单调递增区间是k,kkZ

443（2）由f0得sinA，又A为锐角，所以cosA.

2223b2c2a2由余弦定理得： cosA，即3bcb2c21， 22bcA1即

32bc = bc 1，而bc3，所以bc31

212．(1) 函数的单调增区间为 ；(2) .

【解析】试题分析：（1）由化一公式得，

，得结果；

（2）化简可得：

，∴，再由余弦定理得.

.

（1）由，.

得：.

∴函数的单调增区间为，.

（2）∵，即.

∴.

可得∵

，

，.

∴.

由∴

，且.

的面积为，即.

由余弦定理可得：∴

.

.

13．(1), (2)a最小值为1.

【解析】试题分析：（1）利用二倍角公式和两角和差公式将原式子化一；

（2）由得

到，；由余弦定理得 最小为1；

（1）

=

的最大值为2．

要使取最大值 ,

故的集合为 .

（2） ,

化简得 ,

，只有

在 中，由余弦定理， ,

由 当 时等号成立， 最小为1.

点睛：（1）要求三角函数的最值，就要化成，一次一角一函数的形式； （2）巧妙利用三角函数值求得角A，再利余弦定理得边的关系，得到最值；

26242fA,4k,kZ（2） 243314．（1）4k【解析】试题分析：（1）先根据二倍角公式以及辅助角公式将函数化为基本三角函数： fxsin2x，再根据正弦函数周期性质求，并6根据单调性性质求单调增区间（2）先根据正弦定理将边化为角，由诱导公式及两角和正弦公式化简得cosB，即得B123，根据锐角三角形得A

取值范围，根据正弦函数性质求fA的取值范围.

31sin2xcos2xsin2x，最小正周期为226试题解析：（1）fx4，

∴

4k1fxsinx62，令2k21x2k262，即

42x4k,kZ， 33∴fx的单调递增区间为4k42,4k,kZ. 33（2）∵2accosBbcosC，∴2sinAsinCcosBsinBcosC， 整理得： 2sinAcosBsinA， cosB∴0A21， B，∵锐角三角形ABC，23且02A， 32∴

6A2，∴

426215fA，∴. A2426125415．（Ⅰ）f（x）=sin（x+），2k,2k,kZ；（Ⅱ） a.

663【解析】试题分析：（1）利用向量的坐标运算得到（，再由fx）sin（x）f（-x）=f（x）可知函数f（x）的图象关于直线x=对称，所以+φ=+kπ，

进而得到φ=，利用三角函数的性质求解单调区间即可；

（2）将f（x）的图象向右平移单位得g（x）= sinx，即sinx+1≤ax+cosx3在x∈[0，]上恒成立，利用数形结合分别研究h（x）=sinx-cosx和φ（x）= ax—1即可. 试题解析：

（Ⅰ）∵f（x）=?=sinxcosφ+cosxsinφ=sin（x+φ），

再由f（-x）=f（x）可知函数f（x）的图象关于直线x=对称，

∴+φ=+kπ，k∈Z，又|φ|＜，∴φ=

∴f（x）=sin（x+），

3由2kπ-≤ x+≤2kπ+可得2kπ-≤x≤ 2kπ+，

∴函数的递增区间为[2kπ-，2kπ+]，k∈Z；

（Ⅱ）由图象平移易知g（x）=sinx，即sinx+1≤ax+cosx在x∈[0，]上恒成立．

也即sinx-cosx≤ax-1在x∈[0，]上恒成立.

令h（x）=sinx-cosx=φ（x）= ax-1

sin（x-），x∈[0，]；

如下图：h（x）的图象在φ（x）图象的下方，

则： a ≥kAB==，故a4.

16．（1）f（x）=2sin（2x+）+1；（2）单调递增区间为[﹣ +kπ，

π +kπ]，k∈Z． 6π6π3【解析】试题分析：（1）先根据向量数量积得函数关系式，再根据二倍角公式以及配角公式将函数化为基本三角函数，最后根据正弦函数性质求 （2）根据正弦函数性质列不等式： 2kπ2x解不等式可得增区间

π2ππ2kπ ，再62试题解析：解：（1）向量=（2cos2cos则

=?=2cos2+1，

∵f（x）的最小正周期为π，

），（ω＞0），

函

+2

sin

数

?cos

f

，sin），=（cos，

（x

sinωx=2sin（ωx+

））

=cosωx+1+

∴π=．解得ω=2，

）+1；

≤

+2kπ，k∈Z，

∴f（x）=2sin（2x+（2）令﹣即﹣

+2kπ≤2x+

+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，

+kπ，

+kπ]，k∈Z．

∴f（x）的单调递增区间为[﹣

17．（1）fx2sin2x6（2）见解析（3）

78【解析】试题分析：（1）直接由函数图象求得A和周期，再由周期公式求得ω，由五点作图的第三点求；

（2）由先平移后改变周期和先改变周期后平移两种方法给出答案；

11（3）由f求出sin，然后把sin转化为余弦利用

426264倍角公式得答案． 试题解析:

解：（1）fx2sin2x. 6 （2）法1：先将y2sinx的图象向左平移个单位，再将所得图象纵坐

6标不变，横坐标压缩为原来的倍，所得图象即为fx2sin2x图象.

12的6 法2：先将y2sinx的图象纵坐标不变，横坐标压缩为原来的倍，再将所得图象向左平移图象.

1（3）由f2sin22sin,

446262个单位，，所得图象即为fx2sin2x的

612得： sin1， 264而sin17cos12sin21.

388626点睛：图象变换 (1)

振

幅

变

换

(2)周期变

换

(3)相位变

换

(4)复合变

换

18．(1)和。(2).

【解析】试题分析：

整理函数的解析式为.

(1)利用正弦函数的单调性可得函数在上的单调递增区间是和

。

(2)由题意可得试题解析：

，则.

.

（1）令

得

所以函数在上的单调递增区间为和。

（2）因为，所以

因为所以

，所以

=

19．（1）k,kkz;（2）amin42331

36

【解析】试题分析：利用和差角及二倍角公式对函数化简可得

fx2sin2x

6（1）令

fA2sin2A

6，解不等式可得答案；（2）由

及0＜A＜π可得理

可

得

，利用向量数量积的定义可得，bc=2，利用余弦定

可

得

又

△ABC，从而可求

中

试题解析：（1）

=

由

故所求单调递增区间为（2）由∵

，即

得

，∴bc=2， 得

．

， ，

又△ABC=

中，

，

∴

20．(1)π， 1－(2)在[，]上单调递增；在[，]上单调递减．

【解析】试题分析：

3(1)整理函数的解析式fxsin，则函数的最小正周期为2x32，最大值为13； 25(2)结合(1)中函数的解析式和三角函数的性质可得函数在,上单调

412递增；在53,上单调递减． 124试题解析：

(1)f(x)＝cosxsinx－cos2x

＝cosxsinx－＝sin2x－

(1＋cos2x) cos2x－

，

＝sin(2x－)－

因此f(x)的最小正周期为π，最大值为 1－ (2)当x∈[，]时，≤2x－≤.

易知当≤2x－≤，即≤x≤时，f(x)单调递增， 当≤2x－≤，即≤x≤时，f(x)单调递减．

所以f(x)在[，]上单调递增；在[，]上单调递减．

5,k,121221．（1）kkZ（2）[0,3]

【解析】试题分析：（1）根据二倍角公式及配角公式将函数化为基本三角函数,再根据正弦函数性质求单调增区间；（2）根据自变量范围求2x范围,再根据正弦函数性质求值域

试题解析： fx sin2x32cos2x11 sin2x3cos2x1 （1）由2k22x332k2，得2k52x2k， 665函数fx的单调增区间为k,k,1212kZ.

5（2）因为x,，  2x,，

366441 sin2x,1，  fx0,3.

3222．（1）（2）

【解析】试题分析：（1）由两相邻对称轴间的距离为可得半个周期为.

进而求出，由偶函数可得，由三角函数恒等变形可得.

代入自变量即得的值；（2）先根据图像变换得到的解析式

.再根据余弦函数性质求的单调递减区间.

试题解析： 解：（1）∵为偶函数，

∴对恒成立，∴.

即：

又∵，故.

∴

由题意得，所以

故，∴

（2）将的图象向右平移个单位后，得到的图象，再将所得图象横的图象.

坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到

∴.

当，

即时，单调递减，

因此的单调递减区间为.

点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母而言. 函数

是奇函数

；函数是偶函数；函数

是奇函数

数

.

；函数是偶函

3323．(1) fx的递减区间为k,k,kZ;(2)当x时,

888fx取最小值为2.

【解析】试题分析：

(1)整理函数的解析式fx2cos2x，据此可得fx的递减区间为

43k,k88,kZ; (2)结合(1)中函数的解析式讨论函数的单调性，然后结合三角函数的性质可得当x3时, fx取最小值为2. 8试题解析：

（1）fxcos4xsin2xsin4xcos2xsin2x 要求函数fx的递减区间，只需x满足

2k2x42k，即k8xk3， 83所以， fx的递减区间为k,k,kZ

88（区间开闭均可，不写kZ扣1分，不写成区间扣2分）

（2）由（1）知fx 2cos2x ，

4而0x当

42，所以，

442x45， 42x时， fx单调递减， 5时， fx单调递增， 4当2x4所以，当2x4，即x3时， 8fx取最小值为2.

24．（1）k3,k5kZ；（2）gx2cos4x. 6【解析】试题分析：（1）将函数fx化为fx2sin2x，求出对称6中心和单调递减区间；（2）由函数图象的伸缩变换和平移变换变换得到函数gx的图象。

试题解析;（1）fx23sinxcosx2sin2x1 2sin2x， 令

6k2sin2x0得， 2xkkZ，所以xkZ，即fx66212的对称中心为2k,0kZ 212由2k2x62k35得， kZkxkkZ，

236所以函数fx的单调递减区间为k3,k5kZ. 6(2) 由（1），fx2sin2x，将函数fx图象上每一点的横坐标都61缩短到原来的（纵坐标不变），得到y2sin4x，将其向左平移个

626单位长度，得到函数

gx的图象，则

gx2sin4x2sin4x2cos4x，即gx2cos4x.

662