正交最小二乘曲线拟合法

测绘科学

ScienceofSurveyingandMapping

Vol132No13

May1

正交最小二乘曲线拟合法

丁克良,欧吉坤,赵春梅

①

②

③

(①北京建筑工程学院测绘和城市信息学院测绘工程系,北京　100044;②中国科学院测量与地球物理研究所,

武汉　430077;③中国测绘科学研究院大地测量与地球动力学研究所,北京　100039)

【摘　要】在最小二乘曲线拟合中,自变量的误差常常被略而不计,提出采用正交最小二乘法拟合曲线。该方法

以正交距离残差平方和极小为准则,同时顾及了因变量和自变量的误差;基于间接平差原理详细推导了相关模型和算法。实际计算表明,采用正交最小二乘法拟合曲线,拟合效果整体上优于普通最小二乘法。【关键词】最小二乘;曲线拟合;正交最小二乘;精度评定【中图分类号】P22　　　　【文献标识码】A　　　　【文章编号】1009Ο2307(2007)03Ο0018Ο03

1　引言

曲线拟合问题是诸多试验和工程实际中广泛应用的数据处理方法。测量工作中,通常根据测定的一系列坐标点,选取一定的数学模型拟合直线、二次曲线或者其他高次曲线。拟合的目的是根据测量点寻求曲线的特征,求解曲线的相关参数,为工程建设管理提供必要的基础信息。如在既有铁路工程、又有公路工程测量中,常常根据一系列的测量点和线路工程的特点求解线路工程的线形特征,为线路工程维修养护、二线工程建设、行车安全分析等提供必要的基础信息[1Ο4]。在GIS数据获取中,通常根据一系列的实际测量点或者是地图数字化点拟合道路、水系、等高线等曲线[5,6]。这类问题的做法通常是根据线形的特点选取一定的数学模型,以待求的线形参数作为未知参数,以测点的纵坐标或者横坐标为观测值,采用最小二乘法处理。在曲线拟合中一般都是以y为因变量,以x为自变量应用最小二乘法处理。这里有一个前提,即自变量必须是精确值。显然许多情况下,这和实际不符合,自变量的误差常常被忽略。当自变量的误差较大时,在曲线拟合中应该加以考虑。基于此,本文提出采用正交最小二乘法拟合曲线,并基于间接平差原理详细推导了相关模型和公式,实例计算结果表明,采用正交最小二乘法,曲线拟合效果总体上优于普通最小二乘法。

求是拟合残差总体上尽可能的小,通常的做法有以下几种:

1≤i≤mm

maxyi-φ(xi)

=min(1)=min(2)

2

∑i=1

yi-φ(xi)

∑‖i=1

m

yi-φ(xi)‖

=min

(3)

其中,第一种情况比较复杂,第图1　最小二乘曲线二种情况不可导,求解比较困拟合法难,目前采用较多的方法是第三种方法,这种方法称为最小二乘法。

对于给定平面上的点(xi,yi),(i=1,2,…,m),在不知其准确的模型时,一般采用多项式函数

n

(4)y=f(a,x)=a0+a1x+…anxn

　　按最小二乘法拟合。

实际求解时,以y为观测值,待求参数为未知数,则观测值个数为m,未知数个数为n+1,按间接平差方法处理,观测方程可表示为

y^i=

k=0

^x^∑a

k

n

k

ii=1,2…,m

n

(5)

　　误差方程可表示为

vyi=

2　曲线拟合最小二乘法

曲线拟合是用连续曲线近似地刻画或比拟平面上离散

点组所表示的坐标之间的函数关系的一种数据处理方法,其目的是根据实验获得的数据去建立因变量与自变量之间有效的经验函数关系。它包括两个方面的问题,拟合曲线模型的选取及拟合标准。

如图1所示,给定一系列的测点(xi,yi),要求在给定的函数类φ中寻求一个最佳的函数,近似代替函数拟合函数y=f(x),ri=yi-φ(xi)为i点的拟合残差。曲线拟合总的要

δax∑

j

j=0

n

j

i

+(

∑ax

0j

j=0

ji

-yi)

　　矩阵表达式为

AδX=l+V

(6)

nn

式中

1

A=

x1x2

x1

x2

22

…………

n

x1x2xmj

n

δα0

,δX=

1

δα1…

δαn…

1

…

xm

…

xm

2

…,

∑ax

0j

j=0n

1

-y1-y2

),男,河南淮作者简介:丁克良(1968Ο

阳人,工程师,博士,主要从事现代测量数据处理和GPS卫星导航教学和研究工作。EΟmail:hyiding@1631com

l=

∑ax

0j

j=0

j

2

…

∑ax

0j

j=0

n

j

m

-ym

收稿日期:2006Ο11Ο07

基金项目:国家自然科学基金项目(40504003)

　　在最小二乘准则VTV=min下求解可得

T-1T

δX^=(AA)AlX^=X0+δX^

　第3期　　　　　　　　　　　　　　　丁克良等　正交最小二乘曲线拟合法　　上述方法称为多项式曲线拟合法,这是测量和众多领域数据处理中常用的模型之一,方法简单,应用广泛。

=diag(b1,b2,…,bm),bi=(19

9f)

,i=1,…,m

9xx=xi2nx1…x12nx2…x2………2nxm…xm3　正交最小二乘曲线拟合法

311　正交曲线拟合模型和求解

如果同时顾及到观测量x、y同为含误差的随机变量,普通最小二乘法曲线拟合就有失公平性。如图2考虑到自变量的误差,曲线拟合可以描述为[7]:

对于给定的一系列测点(xi,yi),(i=1,2…,m),假设xi、yi的随机误差分别为εi、ηi,其

图2　正交距离曲线拟合法

方差协方差阵为

22δδδ0xxyx

Ω=(7)=22

δδδ0yxyyJ=

1

1…1

…

xm

x1x2

Jij=

9f(α,xi+δxi)

,(i=1,…,m,j=0,1,…,n)

αj9

0x1-x1δδx1a0

0

δδx2a1x2-x2

δX1=,δX2=,l1=,

………

0

δδxmanxm-xmn

∑ax

0j

j=0n

j

1

-y1-y2

l2=

∑ax

0j

j=0

j

2

　　考虑到自变量的误差,拟合模型可描述为

y^i=f(α,x^i),i=1,…,m

　　其中y^i=yi+ηi,x^i=xi+εi,α为估计参数。

测点到拟合曲线的距离残差定义为

221/2

ri=(εi+ηi)

　　拟合准则

m

m

…

n

(8)

∑ax

0j

j=0

m

jm

-ym　　依照准则F(α)=min

(9)

T

∑r

i=1

2i

=min

ε,η

∑(v

i=1

m

2xi

+vyi),即按

2

F(α)=min

m

∑r

i=1

2i

=min

ε,η

∑(ε

i

i=1

2

+ηi)

2

2

=min

α,ε

ε‖∑(‖

i=1

i

2

2

+‖f(α,xi+εi)-yi‖2)

(10)

　　在此模型中,如果不考虑自变量x的误差,式(10)

m

变为2

F(α)=min∑(‖f(α,xi)-yi‖2)

α

i=1

照准则VV=min,按采用间接平差方法求解可得

T-1T

δX^=(GG)Gl

312　正交最小二乘曲线拟合精度评定方法和普通最小二乘一样,观测值残差按下式计算δV=GX^-l

各点的正交距离残差为vsi=

vxi+vyi

2

2

(14)

(15)(16)

　　这是典型的普通最小二乘曲线拟合模型。从几何上讲,距离残差ri实质是点到拟合曲线的正交距离,拟合准则为“所有点到拟合曲线的正交距离的平方和最小”。因此,这种拟合方法称为正交距离回归,又称正交最小二乘法。

将εi,ηi分别用vxi,vyi表示。曲线的观测方程可表

x^i=xi+vxi示为

(11)

y^i=yi+vyi

　　由于正交距离曲线拟合的约束条件是正交距离的残差平方和极小,单位权中误差按下式计算

m

m

残差平方和　F=VV=　　单位权中误差σ0=

T

∑v

i=1

2si

=

∑(v

i=1

2xi

+vyi)

2

F/[2m-(m+n+1)]=VV/(m-n-1)

(17)

T

　　取坐标xi和待求参数α为未知数,并令

0

(i=1,2…,m)xi=xi+δxi

0

αj=αj+δαj(j=0,1,2…,n)

其误差方程可表示为

vxi=δxi+xi-xivyi=

0n

n

4　算例比较分析

算例取自文献[6],为一数字化曲线拟合算例,共11个

点,分别采用普通最小二乘法和正交最小二乘法选取三次多项式模型拟合曲线。为比较的客观性,除了比较参数的估值、估计精度外,同时采用面积法进行比较。

如图3所示,根据求出的参数方程,计算由测定点分别沿x方向和y方向与拟合曲线构成的图形面积之和。面积计算采用辛普生积分法计算。

表1为两种方法所得曲线参数及相关精度指标。从拟合原则

图3　面积计算来看,普通最小二乘法是使拟合曲线在y方向的残差平方和最小,正交最小二乘法使得沿正交方向的距离残差平方和最小。从拟合参数的数值来看,两者的拟合参数有明显的差别;就拟合的精度而言,正交最小二乘法综合考虑了自变量和因变量的误差,精度评定采用正交距离残差,在数值上优于普通最小二乘法拟合结果。

从几何意义上来讲,普通最小二乘法拟合结果在y方向与实际曲线最为接近,正交距离法在正交方向保持最佳,结合表311给出的面积之和可以看出,拟合结果从整体上

(下转第17页)来讲要优于普通最小二乘法。

δax∑

j

j=0

n

j

i

+

∑jax

0j

j=1

j-1iδxi+(

∑ax

0j

j=0

j

i

-yi)

(12)

方程中观测值个数为2m,未知数个数为m+n+1。其矩阵表达式为

X1l1Im0δ

δ(13)V=+=GX+l

X2l2BJδ其中Im为m阶单位阵,B为m阶对角阵。

jx∑α

0j

j=1n

j-1

n

1

0jx∑α

0j

j=1

j-1

…

2

00

B=

0…

n

…

0

…

0

…

…

jx∑α

0j

j=1

j-1

m

　第3期　　　　　　　　　　　　闾海庆等　近景摄影测量中旋转矩阵构成方法的研究都可达到收敛。在求得被估参数后,利用(15),(16)式计算出Δa,Δb,Δc,Δd,将他们加于d,a,b,c得到下次迭代计算的旋转参数,如此迭代直到矢量ωi变为0为止[5]。

17

值性的影响。为了加速收敛,还可以加入如下条件进行:Δa2+Δb2+Δc24　收敛性分析

411　方向余弦矩阵与四维代数矩阵收敛性比较

令ω=κ=0,交向角φ任意,通过改变φ角的大小,分别进行相对定向。通过定向结果来比较第一、四两种旋转矩阵的收敛能力。在相对定向过程中,对于第一种矩阵赋初值φ=ω=κ=0,对第四种矩阵赋初值a=b=c=0,d=1显然这两个矩阵的初值实际是一样的,n为迭代次数。其计算结果如表1。

5　结束语

通过对几种旋转矩阵的构成方法进行分析,以及利用四维代数构成的旋转矩阵在近景摄影测量中的应用实例,及各种旋转矩阵再计算过程中收敛能力的对比,得出以下结论:①利用代数参数构成矩阵避免了三角函数引起的奇异性及多值性,且系数计算变得简单;②利用四维代数作为参数比三维代数做参数及方向余弦构成旋转矩阵有大的多的收敛性。

参考文献

[1][2][3]

表1　方向余弦矩阵与四维代数矩阵收敛性比较

方法方向余弦矩阵四维代数矩阵φ0°0°n

23φ8°8°n

105φn60°发散60°7412　罗德理格矩阵与四维代数矩阵收敛性比较

在空间后方交会计算过程中,令光轴与地面y轴平行

)且已知摄站中心坐标(xs,摄影(φ=0°,ω=90°,κ=0°

yx,zs)。通过计算结果来比较三,四两种旋转矩阵的收敛能力。n为迭代次数。其计算结果如表2。

表2　罗德理格矩阵与四维代数矩阵收敛性比较

方法罗德理格矩阵四维代数矩阵

φ,ω,κ

0°,28°,0°0°,28°,0°

n

[4]

n

φ,ω,κ

7

460°,40°,-10°发散60°,40°,-10°4

[5][6][7][8]

从计算结果看出,利用四维代数构成旋转矩阵的PΟH

算法比利用方向余弦构成的旋转矩阵及罗德里格矩阵具有大的多的收敛能力。这是由于在迭代过程中PΟH算法的直接估计量是ω1,ω2,ω3而不是参数d,a,b,c,从而使收敛速度大大加快,而且有效地避免了由于三角函数奇异性及多(上接第19页)

金为铣,杨先宏,邵鸿潮,崔仁愉1摄影测量学[M].武汉:武汉大学出版社,20011

张剑清,潘励,王树根1摄影测量学[M].武汉:武汉大学出版社,20041

PopoAAnadvantageous,alternativeparametrizationofrotationsforanalyticalphotogrammetry[Z].Alexandri2a,Virginia19701

HinskenL1Asingularityfreealgorithmforspatialorienta2tionofbundle[Z].XVIcong1ofISPRS,1988,Tyoto1曾卓乔1一种不测定初始值的近景摄影测量微机程序[J].测绘学报,1990,(4):298Ο3071

冯文灏1近景摄影测量[M].武汉:武汉大学出版社,2002:131

李德仁,郑肇葆1解析摄影测量学[M].北京:测绘出版社,19921

贾云得1机器视觉[M].北京:科学出版社,20001

忽略自变量的误差时,正交最小二乘法退化为普通最小二乘法。

参考文献

[1]

5　结论

1)当自变量的误差较小时,忽略自变量的误差,对拟合参数的影响较小。采用普通最小二乘法曲线拟合,计算简单实用,因而得到了广泛应用。

表1　多项式曲线拟合比较

拟合方法

a0a1a2a3

拟合参数

普通最小二乘

516835112487-0103620100017

013194117422

正交最小二乘

518885111870-0103208196E-05

011661115658

[2][3]

单位权中误差面积之和

σ

S

[4][5]

2)正交距离曲线拟合法以残差的平方和极小为准则进行曲线拟合,同时顾及了因变量和自变量的误差,从几何意义理解,采用正交最小二乘法拟合曲线更加合理。

3)当自变量的误差较大时,忽略自变量的误差就会影响参数的大小,此时就应顾及自变量的误差,使曲线的拟合效果从整体上达到最佳。

4)普通最小二乘法以观测值残差平方和极小为准则,忽略了自变量的误差,拟合结果使得拟合曲线沿一个方向与实际曲线最佳逼近;正交最小二乘法以正交距离的残差平方和极小为准则,顾及了因变量和自变量的误差,拟合的结果从整体上保持最佳。当自变量的误差较小时,或者

[6][7][8]

[9]

杨恒山,贺国宏1利用点到中线的垂距计算方法选择最佳既有曲线要素[J].铁道学报,2001,23(2):112Ο1151

杨轸,方守恩,高过武1基于GPS的道路线性恢复技术的研究[J].同济大学学报,2003,31(5):568Ο5711梁夏,郭忠印,方守恩1道路线型与道路安全性关系的统计分析[J].同济大学学报,2002,30(2):203Ο2061

丁克良,刘大杰,周全基1既有铁路曲线平差算法[J].测绘学报,2004,33(3):195Ο1991

刘大杰,史文中,童小华1GIS空间数据的精度分析与质量控制[M].上海:上海科学技术文献出版社,19991

陶本藻,篮悦明1数字化曲线的最佳拟合[J].工程勘察,2004,(3):46Ο471Bj󰂪rckA󰂼1,NumericalMethodsforLeastSquaresProb2lems[M].SIAMPublications,PhiladelphiaPA,19961吴可法,王映康1误差方差不等的变量含误差直线回归模型参数的驻点似然估计及强性和性[J].工程数学学报,1996,13(1):83Ο881

梁家辉1用最小二乘法进行直线拟合的讨论[J].工程物理,1995,(3):11Ο151

・192・

　ENGLISHABSTRACTSOFTHEPRESENTISSUE

justment.TheresultsofexperimentsshowthattheeffectoftheLeast-Squaresorthogonaldistancefittingisbetterthanthatofordinaryleastsquarescurvefittingonthewhole.

Keywords:ordinaryleastsquares;curvefitting;least-squaresorthogonaldistancefitting;accuracy

①②③

DINGKe-liang,OUJi-kun,ZHAOChun-mei(①BeijingInstituteofCivilEngineeringAndArchitecture,SchoolofGeomaticsandUrbanInformationDepartmentofSurveyingEngineer2ing,Beijing100044;②InstituteofGeodesyandGeophysics,ChineseAcademyofSciences,Wuhan430077;③InstituteofGeodesyandGe2odynamics,ChineseAcademyofSurveyingandMapping,Beijing100039)

Designonmulti-displaypatternsoftheelectronicmap’ssym2bolsystem

　　Abstract:Accordingtothecognitivetheoryofelectronicmap,andsettingaboutanalyzingtheproblemofvisionofelectronicmap,thispaperproposedtheconceptofthemap-displaypatternofelec2tronicmapfirstly.Thenitdiscussedthedesignableprincipleofelec2tronicmap’ssymbolsystembasedondisplaypattern,andprescribedtheframeworkofsymbolsystemtableanddesignedelectronicmap’ssymbolofdifferentpatterns.Finally,thepaperbroughtoutanewthoughtfortheelectronicmap’snormativestudy,andmadeprimarydiscussionandexperiment.

Keywords:displaypattern;symbolsystem;visualparameters;symbolsofspecialeffect

JIANGNan,DAIYia-zheng,ZHENGHai-ying,XIALi-hua(InstituteofSurveyingandMapping,InformationEngineeringU2

)niversity,Zhengzhou450052,China

Directionrelationdescriptionanditsqualitativereasoningin3-dimensionalGIS

　　Abstract:Thedirectionrelationdescribesrelativepositionbe2tweenobjectsinGIS.Thedirectionrelationdescriptionanditsrea2soningaremainlystudiedin2-dimensionspace,andtheyarerela2tivelymature.Thedirectionrelationdescriptionmodelbasedontheprojectiontheoryisbuiltin3-dimensionspaceinthispaperfirstly.Thenthequalitativedirectionrelationreasoningbetweensingledirec2tionrelationandsingledirectionrelation,singleandmulti,multiandmultiarestudiedin3-dimensionspaceaswell.Finally,somelawsinthequalitativedirectionrelationreasoningbetweensingledirectionrelationsarestudied.

Keywords:3-dimensionalspace;directionrelation;directionrelationreasoning

LIUXin,LIUWen-bao(CollegeofGeo-InformationScienceandEngineering,ShandongUniversityofScienceandTechnologyQingdao266510)

Applicationofaclassificationmethodbasedoncounterpropaga2tionneuralnetworkinremotesensingimageclassification

　　Abstract:CounterPropagationNeuralNetworkisonekindofnewmappingneuralnetworkbasedonself-organizationmappingap2proximatefunction.ItsstructurecombinesKohonenself-organizationmappingandGrossbergoutsidestar(Outstar)structure.Thestruc2tureofthenetworkisrelativelysimple.BasedontheclassificationtheoryofCounterPropagationNetwork,anidealisticclassificationmethodisresearchedinthispaper.ImageprocessingisfinishedinMATLAB.Anexperimentindicatesthatitstotalprecisionofclassifi2cationis94.17%,whichishigherthanthatofsupervisedclassifica2tionmethod.

Keywords:counterpropagationneuralnetwork;MATLAB;re2motesensingimageclassification

HANLing,WANGCui-ping,WANGRun-ping(GeologicalengineryandgeomaticsdepartmentofChang’anUniversity,Xi’an7100,China)Qualityassessmentoflinearfeatures’simplificationalgorithmsbasedonconstraintconditions

　　Abstract:Withmoreandmoreimportanceareputonthequali2tyassessmentofcartographicgeneralization,it’squitenecessarytoe2valuatethequalityoflinearfeatures’simplificationalgorithms,whichisthemostproportionofgeographicfeatures.Consideringthecharac2teristicsoflinearfeatures’simplificationalgorithms,theproblemsongeometricandsemanticaspectseasilyappearingintheprocessofline2arfeatures’simplificationaresummarized.Basedonanalyzingthecon2straintconditionsthatlinearfeaturesareconfined,initialevaluatingfigurestothealgorithmsaregiven,andqualityassessmentisimple2mentedonthreechosenalgorithmsbythemethodsofhorizontalmiddleerrorandsoon.Accordingtoexperiments’results,suchmethodisscientific.

Keywords:simplification;constraintconditions;evaluatingfigures;qualityassessment

①①①②

ZHUKun-peng,WUFang,CHENBo,XUEBen-xin(①InstituteofSurveyingandMapping,InformationEngineeringUni2versity,Zhengzhou450052;②SurveyingandMappingInformationCenterofGeneralStaff,Beijing100088)

Transformingsatellitepush-broomCCDimagetonormalcasephotographyimageforstereo-mapping

　　Abstract:ThepaperdiscussestheaffinedeformationaboutthenormalcaseimagetransformedfromPush-broomCCDimageduetotheobjectoutsidetheDEMandimprovedmathematicsmodelforthestereomapping.Withthree-line-arrayCCDimageandcomputersimulatingimageof300mhighbuildingasexperimentdata,theresultshowsthatthemeansquarerootcoordinateerrorarelessthan0.5pixel.Itisexpectedthatnormalphotographyimagewillbeaproduc2tionfromsatellitecompanyafterDEMandortho-image.

Keywords:satellitephotogrammetry;normalcasephotographyimagery;stereo-mapping

WANGRen-xiang,WANGJian-rong,WANGXin-yi,MAJian-rui(Xi’anResearchInstituteofSurveyingandMapping,Xi’an7100,China)

Constructingatypeofnewwaveletfunctionanddiscussingitsapplicationinsurveyingandmappingdataprocessing

　　Abstract:Shannonfunctionisafunctionwithgoodfilterbutbadlocalcharacter,whileGausswindowfunctionwithabetterlocalcharac2terandwaveletattenuationcontrollingbutbadlow-pass.ShannonandGaussfunctionsareusedtoconstructanewtypeofwaveletfunctioninthispaper,whicharefatherwaveletmeetingtheneedoflow-passandfirst-orderandsecond-ordermotherwaveletsmeetingtheneedofband-pass.Whatismore,theircharacteroforthogonality,complete2nessandcompactlysupportedabilityarediscussed.TakingGPSdataforexample,theauthorsanalyzeitssmoothingandcompresseffect,margin2aleffectanddetectfunnypointtogetsomeusefulconclusion.Itisobvi2ousthatitwillbeasignificantmethodforGPSdataprocessing.

Keywords:waveletanalysis;Shannonfunction;Gaussfunc2tion;filter;scalefactor

①②①②③

(①ZHENGZuo-ya,LUXiu-shan,LIKe-hang

KeyLaboratoryofGeomaticsandDigitalTechnology,SDUST,Qingd2ao266510;②Geo-InformationScienceandEngineeringCollege,SDUST,Qingdao266510;③BeijingInstituteofControlEngineering,Beijing100080)

Theresearchofsatellitesbroadcastephemerisparametersfittingarithmetic

　　Abstract:Nearlycircularorbitsatellitesareoftenadoptedinsatellitenavigationconstellation.Whentheirorbiteccentricityorin2clinationarenearzero,someproblemsmayoccurwhentheGPSKep2lerorbitelementsfittingmethodisappliedtofitbroadcastephemerisparameters.Whentheeccentricityofhighorbitsatelliteisnearzero,thefittingbroadcastephemerisparametersmayleadtobadaccuracy,eventofailure.Animprovedmethod,lessfittingparameterswithfixedM0orincreasedorbitarclengths,isintroducedforthisproblem.ForGEOwithnearzeroinclination,theGPSbroadcastephemerispa2rametersfittingmaybeunsuccessful.ButtheKeplerorbitparametersfittingmethodwillworkswellinanewreferenceframewithdifferentreferenceplane.Theresultsshowthatthesemethodsareadaptedwelltoalltypesofnavigationsatellite,andtheerrorofthefittingephemer2isislessthanseveralcentimeters,evenseveralmillimeters.

Keywords:astrometry;satellitenavigationsystem;broadcaste2phemeris;Keplerorbitelements

CHENLiu-cheng,HANChun-hao,CHENJin-ping(TheBeijingGlobalInformationApplicationandDevelopmentCenter,Bei2jing100094)

Researchontheconstructionofrotationmatrixinclose-rangephotogrammetry

　　Abstract:Thispaperintroducedthemethodsoftheconstructionofrotationmatrixinclose-rangephotogrammetryfirstly.Thenitana2lyzedthestructureandshortcomingsofvariousmatrixesrespectively.Finally,itdeducedakindofrotationmatrixwhichismadeupoffour-dimensionalalgebra.Theauthorsanalyzedrotationmatrix’sapplica2tioninpracticeinrelativeorientationandcompareditwithotherkindsofmatrixinastringency.Itisfoundthatthiskindofrotationmatrixisveryusefulinpractice.

Keywords:close-rangephotogrammetry;rotationmatrix;P-Harithmetic;relativeorientation

①③①④

LVHai-qing,ZOUZheng-rong,LUOFa-ming,

②①

(①SchoolofInfo-PhysicsWANGJing,WANGCheng-liang

andGeomaticsEngineering,CentralSouthUniverSity,Changsha410083;②SchoolofEastCHINAInstituteofTechnology,Fuzhou,Jiangxi344000;③JiangxiCopperCorporationDexingCopperMine,Dexing,Jiangxi334224;④HunanElectricPowerDesignInstitute,Changsha410083)

Methodsoftheleast-squaresorthogonaldistancefitting

Abstract:Forcurvefitting,theerrorsofindependentvariableareusuallyignored.Inthispaper,themodelofLeast-Squaresor2thogonaldistancefittingofcurvesispresented,whosecriterionistominimizethesquaresumoftheorthogonaldistance,andtheerrorsofindependentvariableanddependentvariableareconsideredatthesametime.Thearithmeticisderivedindetailbasedonindirectad2