欧拉积分的性质及其应用

欧拉积分及其应用

专业：数学与应用数学（师范类)

班级：2012级 姓名：唐颖

沈阳大学毕业设计（论文）

目 录

引 言 ........................................................................................................................................... 3 1

预

备

知

识.。....。。..。。.。.。。.。...。。.。。。.。..。。..。。。。......。.。。......。.......。。.。。。....。.。.。.。。。。。....。......。.。。。.......。.

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2 欧拉积分的性质...。。。。.。..。..。..。...。.。。.。。。。。.。。。..。.。.。..。...。.。...。.。。。...。。.。。.。。...。。.。.。。.。..。。.。

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2。1 函数的性质..。。.。。.。.。........。...。。。。.。..。..。。。。.。。。......。.。.。。..。.。。.。。。...。。.....。。。..。...。。。。。.。。。.。。..。.。。

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2。1.1函数的定义域...。.。。。。。....。....。。。。。。..。.。。。。。.。。...。。。。.。.......。......。.。.。..。。。。。。。.。.。。。.。....。....。.

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2。1。2函数的连续性。。.。..。....。.。。.。....。.。....。.。。。..。.。。.。..。....。....。...。..。.。。。。....。.。。。。..。.。。..。。。。。..。.

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2.1.3函数的可微性.。。。。。...。。。.。.。。..。.。..。.。。.。。。.。。。.。。。.。。。。...。....。...。。.。.。。..。。.。....。。........。。..。...。

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2。1。4函数的递推公式。。。....。..。...。...。.。....。.。.。。。..。..。..。.。.。...。.。.。。.。.。.。。.。.。.。。.。。。。。。...。。。..。。.。。

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2。1.5函数的极值与凸性..。....。.。.。..。。..。。..。.。...。。..。.。....。.。.。。...。。.。....。...。.。。...。.。。。.。。。。。。。。....

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2。1.6函数的延拓。。.。.。.。..。。。...。.。....。。。.。。.。。。..。.。..。.。.。。.。..。...。...。。。。。。..。.。。..。。..。。.。..。。。。.。。..。。。.

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2.2 函数的性B质。...。...。。。。。。。.。.。。.。。.。...。.。.。...。.。。。。。...。..。.。...。。.。。..。..。。.。。。。.。。。..。。。。。。.。。。.。.。。。。.。..

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2。2。1函数的定义B域。。。...。。.。。。.。。..。..。。....。。。。...。。.。。。...。.。.。。。.。...。.。....。。。..。。。....。。。。。。。。。.。。..。。。。

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2.2.2函数的连续B性.。。...。.。。...。。。。。.。.。。.。。...。。...。...。.。..。。。....。..。.。.。.。。..。...。。。.。。..。.。.。..。。。.。。..。

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2。2.3函数的可微B性。。...。。.。。.。.......。..。。。。。。。。。...。..。。.。.。.。.。.。..。。.。。.。.。.....。。..。。。.。。。。。。.。.。。.。。....

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2。2。4函数的对称B性..。.。...。..。.。。..。。.。。.。。。。...。。。......。.。。..。。。。。.。....。。。。。。。..。。。..。.....。..。.。。。.。。。.。。

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2。2。5函数的递推公B式。.。.。..。.。。.。。。。。。.。。。...。。.。....。..。。..。。.。。.。.。。.。。.。..。。。。.。。。。。。..。。.。..。.....。.....

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2。2.6函数的其他形B式.。.。。。。..。。....。。....。..。。.。。。。。。。。。。。.。。.。..。。...。..。。.。.。。.。。。。..。。。。..。。。。。。...。.。。。

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2。3 函数和B函数的联

系。。。..。..........。。.。。。。。.。。.。...。.。。。。.。。。。..。.。。。。。。。。。.。..。。..。。。。.。...。。.。。。...。. ..................................................................................................................................................................... 18

3 欧拉积分的应

用。.。。..。.......。。。。。.。.。。..。。..。。..。..。.。.。....。。。.。。。.。.。...。.。。.。。..。。。.....。。..。。....。.。..。。。.。

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3。1欧拉积分在数学分析中的应用。。。...。。.。.。.。..。.。...。...。。。。。..。.。.。.。..。。。。。。.。.。.。..。。.。.。..。.。。.。。。.。..

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3。2欧拉积分在概率和统计中的应

用。。。。。.。。.。。。。。..。..。..。..。。。.。。....。。...。。。.。。.。。..。.。。....。。。....。。.。.。.

22

3.3欧拉积分在微分方程中的应用.。.。.。..。。。.。。..。.。。。..。。...。.。...。...。.。..。.。。.。..。。。...。.。...。。。.。......。。。

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3。4欧拉积分在物理中的应用.。.。。。.。.。。。.。.。。..。..。。.。。。..。..。....。。...。..。..。.。。.。.。....。..。...。.。.。..........。

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3.4。1B函数在李超代数相干态表示当中的应

用.。。..。...。..。.。。。...。.。...。。。。.。.。.。。。。..。。。。..。..。.。。 ............... 26 3。4.2函数在半导体物理中的应用。。。。.。。.。.。。。。。.。.。.。..。。。...。。。..。..。。..。.。。。.。。。。。.....。。.。...。。。。...。

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结

论..。..。。.。...。。。。....。...。..。。。.。...。。。。.。.。...。..。。。...。..。。.。.。.。。。.。.

。。。。.。.。.。.。。.。..。。。..。。。。..。...。。.。。.........。 ......................................................... 29

致

谢。。。。。。..。。。.。。。。..。.....。.。。。...。。。。.....。..。.。.。.。...。。。。。。..。.....

沈阳大学毕业设计（论文）

。.。..。.。。。。。.。..。。。.。..。。..。。.。..。.。.。。。..。。。..。.。 ....................................... 30

参考文

献.。..。..。。。。。.。。.。。..。。。。...。..。..。。。。.。。..。。..。。。。.。。.。.。。。.。.

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沈阳大学毕业设计（论文）

摘 要

欧拉积分是由含参变量的反常积分定义的两个十分重要的非初等函数，

在理论与实践上,它的地位仅次于初等函数，应用领域十分广泛．然而，对于欧拉积分性质的研究远远比对初等函数性质的研究要复杂得多．为了对欧拉积分有一个更加全面、更加系统的认识，为了探索欧拉积分的应用领域,充分挖掘欧拉积分的应用价值，在深刻理解伽马函数、贝塔函数定义的基础上，对两类函数的定义域、函数的连续性、函数的可微性、函数的递推公式、函数的某些性态以及伽马函数和贝塔函数的内在联系等性质进行全面归纳总结，并加以严格的理论证明．通过典型例题来说明利用伽马函数、贝塔函数的性质有效地解决某些具有特殊类型的定积分计算问题，有效地解决概率和统计、微分方程中的相关问题，沟通知识间的内在联系．同时还将伽马函数、贝塔函数的性质应用于物理学中，为物理学中相关问题的顺利解决提供有力工具． 关键词：

欧拉积分；一致收敛；连续性；可微性

沈阳大学毕业设计（论文） No 0

Abstract

Euler integral is two important elementary function defined by improper integral containing parameper,on the theory and practice，it is second only to the elementary function，its application is very wide．However,the study on the properties of Euler integral is far more complex than the ones of elementary function．In order to have a more comprehensive and systemic knowledge of Euler integral,and in order to explore the application of Euler integral，make full use of the Euler integral value，on the base of the deep understanding of gamma function and beta function,this paper summarizes the domain，the continuity,the differentiability，the recurrence formula,the inner link of gamma function and beta function,the nature and so on of two kinds of function,and gives strict theoretical proof．Typical examples illustrate that the use of the properties of the gamma function and beta function can effectively solve some definite integral calculation problem with special types，effectively solve the related problems in differential equation,probability and statistics，communicate the intrinsic relationship between knowledges．At the same time,we apply the gamma function and beta function to physics,they provide the related problems a powerful tool in physics．

Keywords：

Euler integral; uniform convergence； continuity； differentiability

沈阳大学毕业设计（论文） No 1

引 言

莱昂哈德·欧拉于1707年4月15日在瑞士出生，他被公认与阿基米德、牛顿、高斯并列为数学史上的“四杰”．阿拉戈也曾说过：“欧拉进行计算看起来毫不费劲儿，就像人进行呼吸，像鹰在风中盘旋一样．\"这句话对欧拉那无与伦比的数学才能来说并不夸张，与他同时代的人们称他为“分析的化身”．他作为数学教授，是有史以来最多产的数学家．欧拉的著述浩瀚，不仅包含科学创见，而且富有科学思想，他给后人留下了极其丰富的科学遗产和为科学现身的精神．在数学的许多分支中经常可以看到以他的名字命名的重要常数、公式和定理等等．他作为欧拉近似法的创始人为微分方程理论作出了巨大的贡献,同时，由于他对微分方程中贝塞尔问题的深入研究,最终使得贝塞尔问题得以解决，使得二阶微分方程特解的表示简洁明了，后续工作得以顺利完成．他还根据牛顿定律建立了流体力学里的欧拉方程，为物理学揭开了新的篇章．

欧拉对含参变量积分的研究十分深入，最终揭开了关于含参变量积分神秘的面纱，使得含参变量积分成为数学学习中的重点，同时也是数学学习中的难点内容．表示非初等函数可用各种不同的数学工具，如例,可变上限的定积分、收敛的函数项级数、函数方程或者函数方程组等,含参变量积分也是表示非初等函数的一种重要的数学工具．深刻理解含参变量积分的本质，并且通过本质和它的性质解决许多复杂的综合性问题以及一些实际问题，可以大大提高问题解决的效率．欧拉积分就是由欧拉整理得出的两类含参变量积分表示的非初等函数，第一类型积分称为贝塔函数（B函数），第二类型积分称伽马函数（Γ函数)．它的地位仅次于初等函数．然而，目前对于欧拉积分的

沈阳大学毕业设计（论文） No 2

性质及其应用的研究仍然不够全面,关于欧拉积分性质的研究方法也十分复杂,如果我们能够对欧拉积分有一个充分、全面的认识，那么对于解决许多含参变量积分问题和一些实际生活中的问题都会有很大的帮助．因此，探讨欧拉积分及其应用问题对于我们具有重要的意义和价值，对欧拉积分的深入研究也是必要且有实际意义的．

德国数学大师Hilbert曾在巴黎的国际数学家大会上说过：“揭开隐藏在未来之中的面纱，探索未来世纪的前景，谁不高兴呢?”随着时间的推移，一百年过去了，关于数学欧拉积分的百年面纱层层被揭开．随着对欧拉积分全面深入的研究以及科学技术的不断发展和研究水平的显著提高,欧拉积分的应用领域不断扩大,不断地解决更多的实际生活中的问题,发展前景十分广阔．

沈阳大学毕业设计（论文） No 3

1 预备知识

为了能够深入研究欧拉积分的性质及其应用，必须要先了解与欧拉积分密切相关的知识内容．如无穷积分与瑕积分敛散性的判别方法、一致收敛的判别方法以及函数的连续、可导等相关知识．因此,只有在掌握好预备知识的前提之下才能更加深入地研究欧拉积分的性质及其应用．

定理1 设x[a,)，函数f(x)0，a0,且有极限

xlimxf(x)d, 0d．

1)若1，0d，则无穷积分af(x)dx收敛; 2）若1，0d，则无穷积分af(x)dx发散．

定理2 设x[a,),有

f(x)c(x)， c是常数．

1)若无穷积分a(x)dx收敛，则无穷积分af(x)dx也收敛; 2)若无穷积分af(x)dx发散，则无穷积分a(x)dx也发散．

定理3 无穷积分af(x)dx收敛ba，无穷积分a(x)dx也收敛． 定理4 设x(a,b]，函数f(x)0，a0，且有极限

xalim(x－a)f(x)d, 0d．

b1）若1,0d,则瑕积分af(x)dx收敛； 2)若1，0d，则瑕积分af(x)dx发散． 定理5 设x(a,b],有

f(x)c(x), c是正常数．

b1）若瑕积分a(x)dx收敛（a是瑕点），则瑕积分af(x)dx收敛； 2）若瑕积分af(x)dx发散（a是瑕点），则瑕积分a(x)dx发散．

沈阳大学毕业设计（论文） No 4

bbbb

定理6 若B0，xB，uI,有

f(x,u)F(x),

且无穷积分aF(x)dx收敛，则无穷积分af(x,u)dx在区间I一致收敛． 定理7 设函数f(x,u)在区域R（axb,u）连续，则函数

(u)af(x,u)dx在闭区间[,]内连续．

定理8 设函数f(x,u)在区域D(ax，u)连续，且无穷积分

(u)a f(x,u)dx在闭区间[,]内一致收敛，则函数(u)在闭区间[,]连续．

定理9 若函数f(x,u)与f(x,u)在区域D（ax,u)连续，且无穷积分(u)af(x,u)dx在闭区间[,]上收敛，而无穷积分af(x,u)dx在闭区

间[,]上一致收敛， 则函数在(u)闭区间[,]可微，且

(u)af(x,u)dx．

即

df(x,u)dxf(x,u)dx． audua

沈阳大学毕业设计（论文） No 5

2 欧拉积分的性质

欧拉积分由两类含参量积分表示的非初等函数,第一类型积分称为贝塔函数（B函数),即函数B(p,q)0xp1(1x)q1dx．第二类型积分称伽马函数，即函数()10x1exdx（函数)．

2。1 函数的性质

函数()0x1exdx称为函数（伽马函数)．关于函数的性质,主要

研究它的定义域、函数在定义域内的连续性、可微性、函数相关的递推公式、极值与凸性以及函数的延拓． 2.1。1函数的定义域 性质1 函数()0x1exdx的定义域是(0,)．

证明 首先将无穷积分改写为 0x1exdx0x1exdx其中I(x)11x1exdxI(x)Z(x)[1]．

x011xedx，Z(x)11x1exdx．

（i）考察积分I(x)0x1exdx,当1时，x0是被积函数x1ex的瑕点，有

x011xxlimxxelime1． x0 因此,根据定理4可知，当11，即0时，瑕积分I(x)收敛．

(ii)考察无穷积Z(x)x011xedx1x1exdx．已知对于R，有极限

2xlimxx1xex1limx0． xe其中，21，d0，根据定理1可知,则R,无穷积分Z(x) 1x1exdx 沈阳大学毕业设计（论文） No 6

都收敛．

综上可知，瑕积分I(x)10x1exdx与无穷积分Z(x)1x1exdx同时收敛的

的公共部分是0．于是,函数()0x1exdx的定义域是区间(0,)．

2。1。2函数的连续性

性质2 函数()0x1exdx在区间(0,)连续．

证明 首先将无穷积分改写为

令I(x)0x1xedxx011xedxx1exdx．

110x1exdx，Z(x)1x1exdx．有

0x1exdxI(x)Z(x)．

(0,),1和2，使

012．

x(0,1]，有

x1exx11ex．

x[1,)，有

x1exx21ex．

（i）对于积分I(x)10x1exdx，有

x1exx11xe．

1而积分0x1exdx(10)收敛,根据定理6可知，则积分I(x)0x1exdx在

11[1,2]上一致收敛．

（ii）对于积分Z(x)

121x1exdx，有

x1exx21ex．

而积分0x1exdx(20)收敛，根据定理6可知，则无穷积分(x)1x1exdx在

沈阳大学毕业设计（论文） No 7

区间[1,2]上一致收敛．

综上可知，积分0x1exdx在区间[1,2]上一致收敛．而被积函数x1ex在区域D(0x+，12）连续，根据定理8可知，函数在区间[1,2]连续．于是，函数在点连续．由的任意可知，函数()间(0,)连续．

0x1exdx在区

2.1.3函数的可微性

性质3 函数()0x1exdx在区间(0,)可导，且

(x)0x1exlnxdx．

证明 0,,a,b，使0ab．被即函数f(,x)x1ex与

x1x0f elnx在D[0x，ab]连续，无穷积分x1exdx在[a,b]收敛．

再考察积分0积分表示成

1x(xe)dxx1exlnxdx在区间[a,b]的一致收敛性，将此0011x1x1xxelnxdxxelnxdxx1exlnxdx． (xe)dx0011 （i)考察积分0xa1exlnxdx的一致收敛性．

当0a时，有

a1x1exlnxxlnx(0x1,0a)．

01xa1lnxdxxa1lnxdx0111lnxd(xa) a0111[xalnxxad(lnx)]00a

11aa[1ln1limxlnxxa1dx]0x0a

[0limxalnxxa]

x01a1a10 沈阳大学毕业设计（论文） No 8

lnx110]x01axa 111x [lim] a1x0aaxa [lim1a1xa11 [lim()]2．

ax0aaa 由上可知，无穷积分0xa1lnxdx收敛．根据定理6可知，含参变量积分

1x011xelnxdx在[a,b]上一致收敛．

（ii)考察积分1xb1exlnxdx在[a,b]的一致收敛性．

方法1 当ab，x3，有

x1exlnxx1exlnxxb1exlnx．

xlimx2xb1exlnxlimx2xb1exlnxlimxb1exlnxxx

xb1lnxxb1lnxlimlimxxxxe xe2e2

由数学分析知识可知xlimxb1ex2limxb1ex2xxlimlnxex2．

0，由洛必达法则可知

1lnx2limxlimxxlimx0． xx1x22eexe22因此

limx2xb1exlnx0． x其中，21，d0，根据定理1可知,无穷积分3xb1exlnxdx收敛．由

b1x定理3可知，无穷积分1xelnxdx也是收敛的．根据定理6可知，积分

1x1exlnxdx在[a,b]上一致收敛．

沈阳大学毕业设计（论文） No 9

方法2 当x1时，lnxx,则有

x1exlnxxexxbex．

由上可知，无穷积分1在[a,b]上一致收敛．

xbexdx收敛，根据定理6可知，积分x1exlnxdx1 综上两种方法都可知，含参变量积分01x(xe)dxx1exlnxdx0在[a,b]上一致收敛．根据定理9可知，函数0x1exdx在区间[a,b]可导，所以，函数在点可导，由的任意性可知，函数0x1exdx在0,可导．且

(x)01x(xe)dxx1exlnxdx0．

通类似地可证()在闭区间[a,b](a0)上连续且可在()基础上求导．过数学归纳法可知,对任意正整数n，(n)()在0上都存在连续且可在积分号下求导数，得

(n)()0x1ex(lnx)ndx， 0．

2。1。4函数的递推公式

性质4 递推公式 0，有(1)()． 证明 由分部积分公式,0，有 (1)

0xexdxxd(ex)0=x1x

e0x1exdx0x1limx0()()．

xe设nn1，nN，逐次应用递推公式，有

(1)()(1)(1)

(1)(n)(n)．

沈阳大学毕业设计（论文） No 10

而0n1．由此可见,只要知道函数在区间(0,1]的函数值，由递推公式就能计算出任意正数的函数值()． 特别地，n,nN，有

(n1)n(n)n(n1)(n1)

n(n1)21(1)．

而(1)0edxexx0limexe01，即

x(n1)n!0xnexdx．

这是n！的一个分析表达式,函数就是n!的推广，后者只对自然数有定义，现已推广到自变量是任意正整数的范围．

2。1.5函数的极值与凸性

性质5 函数()0x1exdx在区间(0,)是下凸函数，且存在唯一一个极小值点x0．

证明 对0，()0x1exdx0． 通过对上述函数求导,有

()00x1exlnxdx，

()=x1ex(lnx)2dx0．

因此,函数在0时是下凸的且位于x轴上方．

(2)而(1)1，

0xedxxexx0exdxexdx1．所以(1)(2)1．

00由性质2可知，函数()0x1exdx在区间(0,)是连续的，因此函数

x1exdx在区间[1,2]也是连续的．所以在区间[1,2]内一定有最小值点，且

0函数()0x1exdx在区间(1,2)是严下凸的．由此，函数在0上有唯一

一个极小值点x0落而在在区间(1,2)内．

沈阳大学毕业设计（论文） No 11

2。1.6函数的延拓

证明 由递推公式可得，()(1)．

当10时,011，上式右端有意义，运用上式来定义左端函数

()在(1,0)内的值，由于10，0，推得此时()0．利用()在

(1,0)内有定义，又可定义()在(2,1)内值，而这时()0．依此类推，

可把()延拓到整个数轴(除=0，1，2，…外)．

对于伽马函数的性质还有余元公式以及勒让德公式，其中 余元公式[2] 设0a1,则

(a)(1a)． sina勒让德公式 a0，有

1a(a)2a12a．

22因为数学分析教材中已经给出了详细的证明，这里不再进行研究．

2。2 B函数的性质

函数B(p,q)=0xp1(1x)q1dx称为B函数（贝塔函数）．关于B函数的性质，主要也是研究它的定义域、它在定义域内的连续性、可微性、对称性以及B函数递推公式．

12。2.1B函数的定义域

性质1 B(p,q)0xp1(1x)q1dx的定义域为D{(p,q)p0,q0}．

证明 首先将积分改写为

110xp1(1x)q1dxxp1(1x)q1dx1xp1(1x)q1dx21201[3]．

沈阳大学毕业设计（论文） No 12

其中I1(x)120xp1(1x)q1dx,I2(x)112xp1(1x)q1dx．

(i)首先考察积分I1(x)，有 当p1时，积分I1(x)点是x0，因为

x0q1p1q11plim(1x)1． x(1x)limxx0120xp1(1x)q1dx为定积分;当p1时，被积函数的瑕

当1p1，即p0时，由定理4可知,瑕积分I1(x)(ii）再考察积分I2(x),有 当q1时，积分I2(x)点是x1，有

x1120xp1(1x)q1dx收敛．

112xp1(1x)q1dx为定积分；当q1时，被积函数的瑕

lim(1x)1qxp11xq1limxp11．x1

当1q1,即q0时,由定理4可知，瑕积分I2(x) 综上可知，当p0且q0时，瑕积分I1(x)I2(x)112xp1(1x)q1dx收敛．

120xp1(1x)q1dx与瑕积分

(1x)q1dx的定义域为

112xp1(1x)q1dx都收敛,所以B函数B(p,q)x01p1D{(p,q)p0,q0}．

2.2。2B函数的连续性

性质2 B(p,q)0xp1(1x)q1dx在定义域D{(p,q)p0,q0}内连续．

证明 p0，q0，a,b,c,d使0apb，0cqd，

xp1(1x)q1xa1(1x)c1．

1而积分0xa1(1x)c1dx收敛，根据定理5可知,含参变量积分0xp1(1x)q1dx在区域[a,b][c,d]上是一致收敛的．同时，由于f(p,q,x)xp1(1x)q1在V(apb,

cqd,0x1)上连续．因此，根据定理9可知，含参变量积分xp1(1x)q1dx0111 沈阳大学毕业设计（论文） No 13

在区域[a,b][c,d]连续，因此积分0xp1(1x)q1dx在(p,q)内连续．由p,q的任意性可知，B函数B(p,q)在定义域D{(p,q)p0,q0}内连续．

12.2.3B函数的可微性

性质3 B(p,q)0xp1(1x)q1dx在区域D（0p， 0q)内可微．证明 p0，q0,a,b,c,d使0apb，0cqd，函数f(x,p,q)

xp1(1x)q1，

1p11ffq1q1xp11xlnx，xp11xln1x在[a,b][c,d]连续，pqq1积分0x1xdx是收敛的．

再考察含参变量积分0B[xp1(1x)q1]dx0lnxxp1(1x)q1dx在[a,b][c,d]上的

11p一致收敛性． x(0,1)，有

xp1(1x)q1lnxxa1(1x)c1lnxxa1lnx xa1lnx．

而积分0xa1lnxdx收敛(已证)．根据定理6可知，积分0B[xp1(1x)q1]dx一致收

11pp1q1敛．因此，无穷积分B(p,q)0x(1x)dx在间[a,b][c,d]存在偏导数．即

1B1lnxxp1(1x)q1dx．p0

(p,q)在区间[a,b][c,d]也存在．且 同理可证BqB1ln(1x)xp1(1x)q1dx． q0即函数B(p,q)0xp1(1x)q1dx在区间[a,b][c,d]存在偏导数．由p,q的任意性可知，p0,q0，B(p,q)在区间[a,b][c,d]存在偏导数．同理可证,B(p,q)存在二阶、三阶等任意阶偏导数．

12。2。4B函数的对称性

沈阳大学毕业设计（论文） No 14

性质4 函数B(p,q)具有对称性:即B(p,q)B(q,p)．

证明 令x1y,dxdy，当x0时，y1；当x1时，y0,有

B(p,q)p1q10x(1x)dx-1(1y)ydy p1q1110 0yp1(1y)q1dyB(q,p)．

2。2.5B函数的递推公式

性质5 B函数的递推公式： (i）p0，q1,有B(p,q) （

B(p,q)q1B(p,q1)． （2-1） pq1ii）

p1，

q0，

有

p1B(p1,q)． （2—2） pq1 （iii）有B(p,q)q1，p1，

(p1)(q1) (2-3） B(p1,q1)[4]．

(pq1)(pq2)证明（2-1) 对于p0，q1，由分部积分公式，有

B(p,q)x01p1(1x)q1dx(1x)01q1xpd()p

q1xp(1x)q1 pp0q1 pq1 p10110xp(1x)q2dx

(1x)q1dxp1p1q2[xx(1x)](1x)dxx01p1(1x)q2q1dxpx01p1

即B(p,q)q1q1B(p,q)． B(p,q1)—ppq1B(p,q1)成立． pq1 沈阳大学毕业设计（论文） No 15

由对称性，p1，q0，有

B(p,q)B(q,p)p1p1B(q,p1)B(p1,q)． pq1pq1因此，p1，q0，B(p,q)同理可证

B(p,q)q1B(p1,q)成立． pq1q1q1p1B(p,q1)B(p1,q1)． pq1pq1pq2即对于p1，q1，B(p,q)(p1)(q1)B(p1,q1)也成立．

(pq1)(pq2)2。2。6B函数的其他形式

性质6 p0，q0，B(p,q)22cos2p1sin2q1d．

0证明 设xcos2，dx2sincosd，有

p1q1B(p,q)x(1x)dx 

00p11(cos)22(sin2)q1(2sincos)d

2p12q122cossind． (2—4） 0由公式(2-4），有下面几个简单的公式：p0，q0,有

 02cos2p1sin2q1d(p)(q)1． (2-5) B(p,q)2(pq)2 在公式（2-5)中，令q21n1与p．n1，当x1时,0；当x0时，

22,有

20 sinnd(n11)()22． (2-6） n2(1)2在公式(2—6)中，令n0，有

沈阳大学毕业设计（论文） No 16

11()()221[(1)]2． 2

d0

2(1)22或

1[()]2． 2即

()． （2-7)

122。3 函数和B函数的联系

在B函数的递推公式B(p,q)逐次应用递推公式,有

B(p,n) n1B(p,n1) pn1q1取qn，nN，B(p,q1)中,特别地，

pq1(n1)(n2)B(p,n2)

(pn1)(pn2)(n1)(n2)21B(p,1)．

(pn1)(pn2)(p1)

11p而B(p,1)0xp1dx,即

B(p,n)n1!p(p1)(pn1)．

当pm,qn(m,nN)时，有

B(m,n)(n1)!(n1)!(m1)!．

m(m1)(mn1)(mn1)!或

B(m,n) 沈阳大学毕业设计（论文） No 17

(m)(n)

(mn)．

这个公式可以表明，尽管函数()=0x1exdx(0)和B函数B(p,q)

x01p1(1x)q1dx(0p，0q)的定义在形式上没有任何联系，但通

过对函数和B函数性质的全面研究发现，它们内在之间有着紧密的联系．这个公式可以推广为p0，q0，有

B(p,q)(p)(q)．

(pq)

沈阳大学毕业设计（论文） No 18

3 欧拉积分的应用

函数和B函数是两个含参量的反常积分所定义的非初等函数，它们有十分广泛的应用，如欧拉积分在计算定积分和广义积分中的应用以及证明一些重要的积分等式中的应用、在概率和统计中的应用、在微分方程中都有重要的应用,同时在物理和工程技术等方面起到至关重要的作用．

3。1 欧拉积分在数学分析中的应用

通过上述对函数和B函数的性质的全面深入的学习和研究，可以帮助

我们在数学分析的定积分的计算、广义积分的计算、平面图形围成区域面积的计算以及三角函数求解积分的计算方面都有十分广泛的应用，大大简化了计算过程,节省了计算的时间．

例1[5] 计算积分I0x4nexdx． 分析 上述积分的形式符合函数()20x1exdx(0)定义的基本形

式，通过换元法，化为函数形式，利用函数来计算此积分．

解 令x2u，xu，du2xdx．有 I0x4nexdxx4n1exxdx012214n1x22xed(x)0 2124n1u12n1(u)eduu2eudu 20 2011111(2n)(2n)(2n) 22222

14n14n311() 22222

4n14n32221．2

例2 计算由曲线xmymam(a0,n0)所围城的区域的面积．

分析 由题意可知，所求封闭区域的图形关于x轴、y轴都是对称的．令

沈阳大学毕业设计（论文） No 19

第一象限那部分图形的面积为S1，且在第一象限的曲线方是

ymamxm．

所以，这个图形围成的区域的面积S应该是第一象限那部分图形的面积的四倍．因此，面积S4S140amxmdx．

解 换元法，令xat,当x0时，t0;当xa时，t1．则 S4a20m1tm．

1m1再设ut，tu，dtudu，当t0时，u0；当t1时，u1．因此，

mmam11m1将积分转化为欧拉积分: S4a21m0111t4aum(1u)mdu 0mm21114a2 mu0111m4a211(,1)(1u)dummm

1m12a2114a2m11(,) B(,)mmm m2mmm21)2(2am ． m(2)m特别地，当m2时，曲线方程为x2y2a2，这是半径为a的圆，其面积

12()22a()22aSa2，这与所学的圆的面积计算公式一致． 2112例3[6] 计算积分01cosx1dx(0n1)． sinx1ncosx分析 这道题显然被积函数非常复杂,若变化技巧使用不恰当会导致计算过程极为复杂，甚至一无所获．当然可以用万能换元,但很复杂．令

沈阳大学毕业设计（论文） No 20

1nx1nttxtan，则有tantan． tan1n21n222再利用三角恒等式可得

1n21n2cosxndt． ,1ncosx，dxcosx1ncost1ncost1ncost当x0时，t0；当x时，t．则有 01cosx1dxsinx1ncosx01nt1ncost1n2 cos21n21n1ncost1434 (1n)(1n)140sin121ttcos2dt 22 2(1n)(1n)340sin12tcostdt．

12由三角函数和贝塔函数联系可知，此时转化为欧拉积分会更加简单． 解 令tant．则有

t21nx1ntxtan，tantan，当x0时，t0；当x时，1n21n22

01cosx12(1n)dx3sinx1ncosx(1n)4141420sin12tcostdt12

1413()()2(1n)1132(1n)144 (,)332(13)24444(1n) (1n)44 2(1n)(1n)143412212(1n)(1n)3414．

3。2 欧拉积分在概率和统计中的应用

欧拉积分不仅在数学分析当中有广泛的应用,同时在概率和统计当中的

沈阳大学毕业设计（论文） No 21

应用更加非常广泛并且至关重要．利用函数和B函数的性质可以帮助我们解决求解概率密度函数、求解分布函数的随机变量以及随机变量有关的证明问题等等，这样对于学习概率和统计这一课程也提供了方便． 例4 分别求出下列分布密度中的常数k使其成为概率密度函数．

kxp1(1x)q1,0x1(p0,q0),f(x)

x是其他数值.0,

式，因此利用B函数来解决问题会更加便利．

11分析 上式中kx(1x)符合函数B(p,q)0xp1(1x)q1dx的被积函数的形

p1q11 解 由于0kxp1(1x)q1dxk0xp1(1x)q1dx1，所以，kB(p,q)1． 即

k1． B(p,q) 例5[7] 求下列分布函数的期望和方差．

tt1txe,（1)随机变量~（t，）．即f(x)(t)0,x0,x0.

（2）贝塔分布函数B(m,n)

(mn)m10x1,x(1x)n1, f(x)(m)(n)x是其他数值.0,解（1）当x时,u．则 令ux，x,dxdu,当x0时,u0；

u1有

xf(x)dxt(t)0xtetdx

沈阳大学毕业设计（论文） No 22

t11tuteudu(x)ed(x)0(t)0 (t)

同理可得

(t1)t(t)t． (t)(t)2t(t1)2．

由公式D2()2,有

D

1t(t1)21t()22．

（2)xf(x)dx0(mn)m1x(1x)n1xdx(m)(n)

同理可得

(mn)(mn)(m1)(n)B(m1,n)(m)(n)(m)(n)(mn1)

m． mn2(m1)m．

(mn1)(mn)由公式D2()2,有 D(m1)mm2()

(mn1)(mn)mnnm．

(mn1)(mn)2例6[8] 设随机变量~(ti,)．ti0，i1,2且1与2相互独立,则12~

(t1t2,)．

证明 由于i~(ti,)，因此

沈阳大学毕业设计（论文） No 23

ex(x)ti1x0,i1,2,, f(x)(ti)x0.0,由卷积公式可知

当a0时，f12(a)0． 当a0时，f12(a)0aex(x)t1e(ax)[x(ax)]t121(t1)(t2)dx

eat1t2at11t21x(ax)dx． 0(t1)(t2)eaa121 当xau时，f12(a)(t1)(t2)tt1tt2

10ut11(1u)t21du

 即

ea(a)t2t11(t1)(t2)B(t1,t2)ea(a)t2t11(t1t2)．

12~(t1t2,)．

3.3 欧拉积分在微分方程中的应用

dyd2y二阶微分方程x2x(x2k2)y0（k0，k不一定是整数)的解

dxdx2所定义的函数叫贝塞尔函数，在微分方程中应用十分广泛．贝塞尔方程的两个特解为：

(1)nxy1()2nkk(x)，

n0n!(kn1)2(1)nxy2()2nkk(x)．

n0n!(kn1)2k(x)称为n阶贝塞尔函数，k(x)称其中(kn1)与(kn1)是两个函数．

沈阳大学毕业设计（论文） No 24

为n阶贝塞尔函数．对于贝塞尔方程求特解的方法是非常困难和繁琐的．此时,利用它与函数的密切的关联来求解贝塞尔方程的特解，使得二阶微分方程特解的表示简洁明了，为后续工作的顺利完成提供极大地方便．

3。4 欧拉积分在物理中的应用

欧拉积分不仅在数学分析和概率统计以及微分方程中得到了非常广泛,同时在物理和工程技术等方面也有应用．

3.4。1B函数在李超代数相干态表示当中的应用

现代物理学当中的李超代数，在物理学当中的超统一理论、量子场理论以及超统一理论等领域当中具有极其重要的作用．在研究李超代数的相干态表示的时候，无法避免的要确定相干态的完备性关系，因为一个不具有完备性的相干态是没有多大的价值的．在确定完备性关系的时候，经常会遇到类似于0x2p1(1x2)q[9]的积分形式,为了方便它的计算，我们将此积分的计算结果作一

推导。

根据函数B(p,q)0xp1(1x)q1dx(0p,0q)的定义形式，利用换元法,有

12令xu,xu,dxudu．当x0时,u0；当x时，u，

221121则有

0x2q(1x)2p10u11u2duq(1u)2p12

令t1updu． q02(1u)111t1，u1，du2dt，当u0时,t1；当u时，t0． 1uttt 沈阳大学毕业设计（论文） No 25

则有

1up101tpq1 0du()t(2)dt2(1u)q21tt

11qp2t(1t)pdt0 2

1B(qp1,p1)．

2通过函数和B函数的联系B(p,q)B(p1,qp1)(p)(q),可知

(pq)

(qp1)(p1)p!(qp2)!． (q)(q1)!当pm，qn时，

B(m1,nm1)(nm1)(m1)m!(nm2)! (n)(n1)!因此

0m!(nm2)!x2m1．

(n1)!(1x2)n通过上面对于李超代数相干态的完备性关系常遇到的积分形式的求解，可以确定李超代数相干态的完备性与欧拉积分有密切的关联．因此，利用欧拉积分可以为确定李超代数相干态的完备性关系提供有力工具．

3。4。2函数在半导体物理中的应用

函数在半导体物理当中也同样有着广泛的应用．在热平衡状态下半导体物理时常常会遇到0xedx[10]的积分形式,如果积分当中的x为一个确定的值，则无法进行积分求解;如果将x换成，则可以只需要对积分0xedx进行计算即可．根据函数() 当时，有

沈阳大学毕业设计（论文） No 26

12xx12x0x1exdx(0)和公式(2-7)

12

11()x2exdx． 02应用递推公式，有

()(1)()试用0xedx12x321212122．

12x2代替0xedx．令f(x)xe,则有

11x12x12x f(x)xex2ex．

211令f(x)x2exx2ex0，则此时f(x)的极值点为x．

2211同理可得

12x f(x)xex2exx2ex．

4311在极值点的值f()0，而f()0.430．因此，函数在(0,)上是严上凸的，且在x处函数f(x)的极大值约为0.43．当x时，函数随x的增大而迅速减小;在x23时,f(23)4.81010121212120，因此,将积分xedx当中的积分上限x0x12x换成，对结果不产生影响．

经过数学讨论，将半导体物理中常常遇到的繁琐的积分进行了合理的简化，结果表达简练，使得热平衡状态下半导体的研究得以深入和顺利的进行．

沈阳大学毕业设计（论文） No 27

结 论

通过以上分析,使我们对欧拉积分有了一个比较清晰的认识，对伽马函数和贝塔函数的性质了解的更加系统、更加全面．同时，应用伽马函数和贝塔函数的这些性质更加巧妙的解决了以下问题：

(1）为解决某些具有特殊类型的定积分、含参变量积分的计算问题提供了简洁、实用的方法．

(2）简化了概率和统计中求解概率密度函数、求解分布函数的期望与方差等问题的计算过程，为证明有关随机变量的问题提供了方便． (3)使得二阶微分方程特解的表示简洁明了，便于后续工作的完成． （4)为物理学中李超代数相干态表示、热平衡状态下半导体的研究问题的解决提供了有力工具，使得物理学中的相关问题得以深入和顺利的进行． 由此表明，欧拉积分的应用不仅局限在数学分析、概率和统计、微分方程等数学学科中，而且也渗透到物理等其它学科中，随着问题的进一步探究，欧拉积分的应用领域一定会得到进一步拓展．

沈阳大学毕业设计（论文） No 28

致 谢

在这次的毕业设计中，我发自内心最想感谢的人就是我的指导教师--唐晓翠老师，如果没有她的悉心指导与鼓励,我的论文根本不可能顺利完成．我深深地感觉到唐晓翠老师是一位治学严谨、学识渊博、诲人不倦的好老师，她不仅拥有高尚的师德，对待工作更是一丝不苟、精益求精，这些都深深地感染和激励着我．她在本文的选题、构思、撰写以及许许多多的细节方面都给予了我极大地帮助，而且对于论文的修改问题上也提出了许多恳切的建议与意见，并且每次都非常认真的审阅和批注．她的每次指导就像指南针一样，让我在迷茫的旅途中重新找到前进的方向．最让我暖心的就是她的亲切、温柔与耐心，每次都为我的论文工作到很晚,正是在她的帮助下才使我的论文得到了不断的完善，乃至最终定稿．

同时感谢教过我的所有的老师，没有他们对我的培养就没有如今即将大学毕业的我,感谢他们让我拥有了许多知识,这将成为我人生当中最强大的力量．同时也要感谢我的室友们,她们总是会在我无暇顾及论文的时候及时的提醒我，在我为论文着急的时候带我放松．在她们的帮助下才使我顺利的写完论文．不仅在精神上安慰、鼓励、支持着我，也在论文书写格式和排版等方面提供了很大帮助．

总之,我要感谢所有培养过我、关心鼓励过我的所有老师和同学们，感谢短暂的人生中有你们的出现，与你们相处的点点滴滴都将成为我今后人生路上的最美好的回忆，载着大家的期待与祝福努力过好今后的每一分、每一秒．

参考文献

沈阳大学毕业设计（论文） No 29

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沈阳大学毕业设计（论文） No 30