初三数学方程及方程组复习

本次我们将要复习初中代数中的方程及方程组、一元一次不等式和一元一次不等式组的有关内容.目的要求是:

记住方程、方程组、不等式、不等式组的有关概念. 会解初中阶段所学的各种类型的方程、方程组.

会利用一元二次方程的根的判别式,一元二次方程中的根系数之间的关系解相关题目.

能根据题意,分析已知与未知的关系,正确的设未知数,即列方程或方程组,解各种类型的应用题.

会解一元一次不等式,一元一次不等式组,会用数轴表示一元一次不等式和一元一次不等式组的解集.

复习指导及说明的问题.

1.根据方程的同解原理:方程的左右两边都乘以(或除以)同一个不为零的数或代数式,所得的方程与原方程同解.所谓的方程两边都乘以,具体到解方程是第一项均乘以

y如:

y1y2225去分母每一项都乘以10得10y5(y1)202(y2).由于解

分式方程,我们用去分母的方法,去分母时可能乘以零因式,破坏方程的同解性,故可能产生增

根,所以一定要验根,找出增根,以保证你所求得的整式方程的根,也是原分式方程的根.

2.会“转化”.方程组转化成一元方程,分式方程“转化”成整式方程,无理方程“转化”成有理方程,高次方程“转化”成一元一次方程是关健,要学会“转化”的方程,还要会将一定较复杂的方程用换元法解.

3.列方程解应用题的时,要正确分析题意,设未知数列方程,要注意:在行程问题中,若设速度是未知数,而距离已知,则一般是列关于时间的方程,要分析类型,找出规律.

4.解一元一次不等式要正确运用不等式的性质,如不等式的两边都乘以或除以同一个负数时,要改变不等号的方向.

5.不等式组的解集应该使不等式组中的每一个不等式都成立,会找公共解,结合数轴找解,如: 设

xx的解是x,用数轴表示  

不等式组

xx的解是x,用数轴表示   不等式组

xx的解是x,用数轴表示   不等式组

xx的解是空集,用数轴表示  

不等式组

5.根的判别式△=b2-4ac的使用可解决.

①方程有根或无根,求方程中参数的m或k的值.

②证明△>0或△<0说明根的情况.

要注意:将方程化成一般形式:axbxc0.

如方程x2mx2xm要移项x2mx2xm0

22222x2(2m1)xm220确定a1 b(2m1) cm22

2axbxc0(a0)的根，则x,x126.根与系数之间的关系.设是方程

bcx1x2,x1x2aa可解决.

①不解方程可利用已知一根,求另一根及参数的值.

2x12x2,②不解方程可求某些代数式的值,如求

x2x1x1x2

③建立一个系数方程，使新方程与已知方程的根有某些关系。 此类题目较复杂,现介绍一个较简单的方法.

例:已知方程3x5x10求作一个新方程,使它的根是原方程根的3倍.

2ypyq0 解法(一)设所求方程是

25p(3x13x2)3(x1x2)3()53

1q3x13x29x1x2933

2y5y30 ∴所求方程为

此种方法是利用根与系数的较传统的解法. 解法(二)设新方程的根是y,原方程是x 由题意得y3x

xy3(此步是关键,先由题意得出y与x的关系式,再将它变形成含y的代数式表示x)

2yyy3510x33代入原方程得3将

y25y102y5y30 33

说明:此法较前方法简单的多,若此题比较两法看不出后法的简单,那再举一例. 例：已知3x5x10求解新方程,使它的根是原方程根的平方.

22ypyq0 解法(一)设

512p(x12x2)[(x1x2)22x1x2][()22]33

( =

25219)939

11222qx12x2(x12x2)()239

y2∴

191y029y19y10 99

2yx解法(二)设(新方程的根是原方程根的平方)

则

xy(变形成用y表示x)

23y代入原方程

5y10

3y5y10 3y15y

两边平方得:

9y26y125y 9y219y10

例:(1999年B卷选择题)

已知方程x5x20作一个新的一元二次方程,使它的根分别是已知方程各根的平方的倒数.

2ypyq0 解法(一)设所求方程是

22x12x2(x1x2)22x1x211(5)22(2)p(22)2222xxxx(xx)(2)121212则

2542944 =

q(11111)2x12x2(x1x2)2(2)24

y2∴所求方程是

291y044

24y29y10

y1解法(二)设

x2

x211yx y

(1代入原方程

y)251y20

1y2511y44251 y2yy 2两边都乘以y 14y4y225y2

4y29y10 此方法第一步先根据题意写出y与x间的关系.如:

y1①求新方程的根是原方程根的倒数.

x

②求新方程的根是原方程根的4倍. y4x ③新方程的根比原方程的根大3. yx3

第二步,变形成含y的代数式表示xx1yxy.如 4 xy3

第三步,代入原方程化简.

本次练习 一、判断题:

3x7y8方程组

2x3y13的解一定是方程x4y1的解( )

代数式3x7的值小于1的x的取值范围是x2( ) 若2(1a)b0,且b0,则a1( )

xx31x1方程2的解是

5( ) ax2bxc0(a0)的两根是x1,x2,则x1x2ba,xc设

1x2a( 以3和-2为根的方程是x2x60( )

)

方程5x340在实数范围内无解( )

2(k1)x2kxk1一定有两个不相等的实根( ) xk无论取何值,关于的方程

已知acbc,则ab( )

2x4122210.方程x4x2xx2x的解是x2,x3( )

二、填空题:

xx1m2已知方程x1x2xx2的解是正数,则m的取值范围是_____,若该方程有增根,

则m的值是_____.

5151和2为根的方程是_____. 以2已知关于x的方程6x2xm0的一个根比另一个根大2,则m=_____. 已知-5是方程5xkx100的一个根,则另一根是_____,k的值是_____.

关于x的一元二次方程x2mx2xm有两个不相等实根,并且两根平方和是35,则

2222m的值是_____.

2222x3x9y,则原方程可化为_____. 4x6x52x3x93解方程若设

不等式10(x4)x84的正整数解是_____.

2x1x1不等式组 x84x1的解集是_____.

3x25x2与代数式23的值相等. 当x=_____时,代数式4 10.

设

x1,x2是方程

3x25x10的根,不解方程,则

x2x1_____,3322x1x2_____,|x1x2|=_____. x1x2=_____,x1x2_____,x1x222x2(a1)x9的解则a=_____. x111.若是方程

2(n2)x(2k1)xk0有两个不相等的实根,则k的取值范围x 12.已知关于的方程

是_____.

13.二元一次方程2xy9的正整数解是_____.

28x(2m1)xm70当m=_____时,两根互为相反数.当x 14.已知关于的方程

m=_____时,两根互为倒数.

15.两数之和是8,积是9,则这两个数是_____.

4x2112x2有增根,则增根是_____. 16.关于x的方程x42x 17.分别以方程3x5x100的两根的3倍为根作一个新方程,则这个新方程是_____.

22x(2m1)xm10的两根之比是2:3,则m的值是_____. 18.方程

2三、选择题:

x2用换元法解方程x1是:

x15x2yx22时,若设x1,则原方程可化为整系数的方程

222y5y202y5y10 A. B.222y5y202y5y10 C. D.

1x22(m)xm2202已知关于x的一元二次方程有两个不相等实根,且满足

2x12x2x1x212,此新方程是:

A.m=-1 B.m=5 C.m=-1或5 D.m=1或m=-5

2x6x20作一个新的一元二次方程,使它的根分别是已知方程各根平方的倒已知方程

数,则此新方程是:

224y40y104y36y10 A. B.224y36y104y40y10 C. D.

222x3(m1)xm4m70的根的情况是: x关于的方程

A.无实根 B.有两个相等实根 C.有两个不相等实根 D.无法确定

下列方程无实根的个数是: ①x340x340②x293x120

xx1822 ③x85x2 ④x3x40 ⑤x3x3x9

A.2个 B.3个 C.4个 D.5个

x22y26已和方程组 mxy3有两组相等的实数根,则m的值是：

1 A.-1 B.1 C.±1 D.2

四、解方程: 1.2x42x51

2 2.x3xx3x51

3xx22223xx2 3.

五、列方程解应用题:

1.A,B两地相距40千米,甲,乙两人骑自行车同时从A地出发前往B地,15分钟后,甲在乙前方1千米,乙到达B地比甲晚半小时,求两人的速度.

2.控土机原计划在若干小时内挖土220m3,最初3小时按原计划进行,以后每小时多挖10m3,因此提前2小时，并超额20m3完成任务,原计划每小时挖土多少m3?

本次练习答案 一、判断题:

1.√ 2.√ 3.× 4.× 5.× 6.√ 7.√ 8.× 9.× 10.× 二、填空题:

2x5x10 3.m1 1. 3或-9 2.

m36226 4. 3523

3822y5y150 7.1 2 3 4 8.x3 9.29 m3 5. 6.5191980131,,,,k且k24 10.393273 11.1或-3 12.

x1x2x3x41m,m15y7 y5 y3 y1 14.2 13. 15.47 16.x2

17.y5y300 18.

2m2或1112

三、选择题:

1.C 2.A 3.D 4.C 5.D 6.C 四、解方程:

1.x20(x4是增根) 2.x14,x21 3.x11,x22

五、列方程解应用题:

1.甲速20千米/时 乙速16千米/时 2.20m3/小时