2021年天津市中考中考数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）计算（﹣5）×3的结果等于（ ） A．﹣2
B．2
C．﹣15
D．15
2．（3分）tan30°的值等于（ ） A．
√3 3
B．
√2 2
C．1 D．2
3．（3分）据2021年5月12日《天津日报》报道，第七次全国人口普查数据公布，普查结果显示，全国人口共141178万人．将141178用科学记数法表示应为（ ） A．0.141178×106 C．14.1178×104
B．1.41178×105 D．141.178×103
4．（3分）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
6．（3分）估计√17的值在（ ） A．2和3之间
B．3和4之间
C．4和5之间
D．5和6之间
第1页（共22页）
𝑥+𝑦=2
7．（3分）方程组{的解是（ ）
3𝑥+𝑦=4𝑥=0A．{
𝑦=2
𝑥=1B．{
𝑦=1
𝑥=2C．{
𝑦=−2
𝑥=3D．{
𝑦=−3
8．（3分）如图，▱ABCD的顶点A，B，C的坐标分别是（0，1），（﹣2，﹣2），（2，﹣2），则顶点D的坐标是（ ）
A．（﹣4，1） 9．（3分）计算A．3
3𝑎𝑎−𝑏
B．（4，﹣2） −
3𝑏𝑎−𝑏
C．（4，1） D．（2，1）
的结果是（ ）
C．1
D．
6𝑎
B．3a+3b
𝑎−𝑏
10．（3分）若点A（﹣5，y1），B（1，y2），C（5，y3）都在反比例函数y=−的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ） A．y1＜y2＜y3
B．y2＜y3＜y1
C．y1＜y3＜y2
D．y3＜y1＜y2
5
𝑥11．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，连接AD．当点A，D，E在同一条直线上时，下列结论一定正确的是（ ）
A．∠ABC＝∠ADC B．CB＝CD
C．DE+DC＝BC
D．AB∥CD
12．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）经过点（﹣1，﹣1），（0，1），当x＝﹣2时，与其对应的函数值y＞1．有下列结论： ①abc＞0；
②关于x的方程ax2+bx+c﹣3＝0有两个不等的实数根；
第2页（共22页）
③a+b+c＞7．
其中，正确结论的个数是（ ） A．0
B．1
C．2
D．3
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13．（3分）计算4a+2a﹣a的结果等于 ．
14．（3分）计算（√10+1）（√10−1）的结果等于 ．
15．（3分）不透明袋子中装有7个球，其中有3个红球、4个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是 ． 16．（3分）将直线y＝﹣6x向下平移2个单位长度，平移后直线的解析式为 ． 17．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在BC，CD的延长线上，且CE＝2，DF＝1，G为EF的中点，连接OE，交CD于点H，连接GH，则GH的长为 ．
三、解答题（本大题共7小题，共66分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 𝑥+4≥3，①19．（8分）解不等式组{请结合题意填空，完成本题的解答．
6𝑥≤5𝑥+3．②（Ⅰ）解不等式①，得 ； （Ⅱ）解不等式②，得 ；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（Ⅳ）原不等式组的解集为 ．
20．（8分）某社区为了增强居民节约用水的意识，随机调查了部分家庭一年的月均用水量（单位：t）．根据调查结果，绘制出如下的统计图①和图②．
第3页（共22页）
请根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）本次接受调查的家庭个数为 ，图①中m的值为 ； （Ⅱ）求统计的这组月均用水量数据的平均数、众数和中位数．
21．（10分）已知△ABC内接于⊙O，AB＝AC，∠BAC＝42°，点D是⊙O上一点． （Ⅰ）如图①，若BD为⊙O的直径，连接CD，求∠DBC和∠ACD的大小；
（Ⅱ）如图②，若CD∥BA，连接AD，过点作⊙O的切线，与OC的延长线交于点E，求∠E的大小．
22．（10分）如图，一艘货船在灯塔C的正南方向，距离灯塔257海里的A处遇险，发出求救信号．一艘救生船位于灯塔C的南偏东40°方向上，同时位于A处的北偏东60°方向上的B处，救生船接到求救信号后，立即前往救援．求AB的长（结果取整数）参考数据：tan40°≈0.84，√3取1.73．
第4页（共22页）
23．（10分）在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情
境．
已知学校、书店、陈列馆依次在同一条直线上，书店离学校12km，陈列馆离学校20km．李华从学校出发，匀速骑行0.6h到达书店；在书店停留0.4h后，匀速骑行0.5h到达陈列馆；在陈列馆参观学习一段时间，然后回学校；回学校途中，匀速骑行0.5h后减速，继续匀速骑行回到学校．给出的图象反映了这个过程中李华离学校的距离ykm与离开学校的时间xh之间的对应关系．
请根据相关信息，解答下列问题： （Ⅰ）填表： 离开学校的时间/h 离学校的距离/km （Ⅱ）填空：
①书店到陈列馆的距离为 km； ②李华在陈列馆参观学习的时间为 h；
③李华从陈列馆回学校途中，减速前的骑行速度为 km/h；
第5页（共22页）
0.1 2
0.5
0.8 1 3
12
④当李华离学校的距离为4km时，他离开学校的时间为 h． （Ⅲ）当0≤x≤1.5时，请直接写出y关于x的函数解析式．
24．（10分）在平面直角坐标系中，O为原点，△OAB是等腰直角三角形，∠OBA＝90°，BO＝BA，顶点A（4，0），点B在第一象限，矩形OCDE的顶点E（−2，0），点C在y轴的正半轴上，点D在第二象限，射线DC经过点B． （Ⅰ）如图①，求点B的坐标；
（Ⅱ）将矩形OCDE沿x轴向右平移，得到矩形O′C′D′E′，点O，C，D，E的对应点分别为O′，C′，D′，E′．设OO′＝t，矩形O′C′D′E′与△OAB重叠部分的面积为S．
①如图②，当点E′在x轴正半轴上，且矩形O′C′D′E′与△OAB重叠部分为四边形时，D′E′与OB相交于点F，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； ②当≤t≤2时，求S的取值范围（直接写出结果即可）．
25
9
7
25．（10分）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a，c为常数，a≠0）经过点C（0，﹣1），顶点为D．
（Ⅰ）当a＝1时，求该抛物线的顶点坐标；
（Ⅱ）当a＞0时，点E（0，1+a），若DE＝2√2DC，求该抛物线的解析式；
（Ⅲ）当a＜﹣1时，点F（0，1﹣a），过点C作直线l平行于x轴，M（m，0）是x轴上的动点，N（m+3，﹣1）是直线l上的动点．当a为何值时，FM+DN的最小值为2√10，并求此时点M，N的坐标．
第6页（共22页）
2021年天津市中考中考数学试卷
参与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）计算（﹣5）×3的结果等于（ ） A．﹣2
B．2
C．﹣15
D．15
【解答】解：（﹣5）×3＝﹣（5×3）＝﹣15， 故选：C．
2．（3分）tan30°的值等于（ ） A．
√3 3
B．
√3√2 2
C．1 D．2
【解答】解：tan30°=3． 故选：A．
3．（3分）据2021年5月12日《天津日报》报道，第七次全国人口普查数据公布，普查结果显示，全国人口共141178万人．将141178用科学记数法表示应为（ ） A．0.141178×106 C．14.1178×104
【解答】解：141178＝1.41178×105． 故选：B．
4．（3分）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
B．1.41178×105 D．141.178×103
A． B． C． D．
【解答】解：A．是轴对称图形，故此选项符合题意； B．不是轴对称图形，故此选项不合题意； C．不是轴对称图形，故此选项不合题意； D．不是轴对称图形，故此选项不合题意； 故选：A．
5．（3分）如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）
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A． B．
C． D．
【解答】解：从正面看，从左到右有三列，每列的小正方形的个数分别为1、2、2． 故选：D．
6．（3分）估计√17的值在（ ） A．2和3之间
B．3和4之间
C．4和5之间
D．5和6之间
【解答】解：∵√17≈4.12， ∴√17的值在4和5之间． 故选：C．
𝑥+𝑦=27．（3分）方程组{的解是（ ）
3𝑥+𝑦=4𝑥=0A．{
𝑦=2
𝑥=1B．{
𝑦=1
𝑥=2C．{
𝑦=−2
𝑥=3D．{
𝑦=−3
𝑥+𝑦=2①【解答】解：{
3𝑥+𝑦=4②由②﹣①，得：2x＝2， ∴x＝1，
把x＝1代入①式，得：1+y＝2， 解得：y＝1，
𝑥=1
所以，原方程组的解为{．
𝑦=1故选：B．
8．（3分）如图，▱ABCD的顶点A，B，C的坐标分别是（0，1），（﹣2，﹣2），（2，﹣2），则顶点D的坐标是（ ）
第8页（共22页）
A．（﹣4，1）
B．（4，﹣2）
C．（4，1）
D．（2，1）
【解答】解：∵（﹣2，﹣2），（2，﹣2）， ∴BC＝2﹣（﹣2）＝2+2＝4， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC＝4,
∵点A的坐标为（0,1）， ∴点D的坐标为（4,1）， 故选：C． 9．（3分）计算A．3 【解答】解：==
3𝑎−3𝑏
𝑎−𝑏3(𝑎−𝑏)
𝑎−𝑏3𝑎3𝑎𝑎−𝑏
−
3𝑏𝑎−𝑏
的结果是（ ）
C．1
D．
6𝑎
B．3a+3b −
3𝑏𝑎−𝑏
𝑎−𝑏
𝑎−𝑏
＝3， 故选：A．
10．（3分）若点A（﹣5，y1），B（1，y2），C（5，y3）都在反比例函数y=−的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ） A．y1＜y2＜y3
B．y2＜y3＜y1
5
5
𝑥C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y1＜y2
【解答】解：∵反比例函数y=−𝑥中，k＝﹣5＜0，
∴函数图象的两个分支分别位于二四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大． ∵﹣5＜0，0＜1＜5，
∴点A（﹣5，y1）在第二象限，点B（1，y2），C（5，y3）在第四象限， ∴y2＜y3＜y1．
第9页（共22页）
故选：B．
11．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，连接AD．当点A，D，E在同一条直线上时，下列结论一定正确的是（ ）
A．∠ABC＝∠ADC B．CB＝CD
C．DE+DC＝BC
D．AB∥CD
【解答】解：由旋转的性质得出CD＝CA，∠EDC＝∠CAB＝120°， ∵点A，D，E在同一条直线上， ∴∠ADC＝60°， ∴△ADC为等边三角形， ∴∠DAC＝60°， ∴∠BAD＝60°＝∠ADC， ∴AB∥CD， 故选：D．
12．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）经过点（﹣1，﹣1），（0，1），当x＝﹣2时，与其对应的函数值y＞1．有下列结论： ①abc＞0；
②关于x的方程ax2+bx+c﹣3＝0有两个不等的实数根； ③a+b+c＞7．
其中，正确结论的个数是（ ） A．0
B．1
C．2
D．3
【解答】解：①∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）经过点（﹣1，﹣1），（0，1），
∴c＝1，a﹣b+c＝﹣1， ∴a＝b﹣2，
第10页（共22页）
∵当x＝﹣2时，与其对应的函数值y＞1． ∴4a﹣2b+1＞1，
∴4（b﹣2）﹣2b+1＞1，解得：b＞4， ∴a＝b﹣2＞0， ,∴abc＞0，故①正确； ②∵a＝b﹣2，c＝1，
∴（b﹣2）x2+bx+1﹣3＝0，即∴（b﹣2）x2+bx﹣2＝0， ∴△＝b2﹣4×（﹣2）×（b﹣2）＝b2+8b﹣16＝b（b+8）﹣16， ∵b＞4， ∴△＞0，
∴关于x的方程ax2+bx+c﹣3＝0有两个不等的实数根，故②正确； ③∵a＝b﹣2，c＝1， ∴a+b+c＝b﹣2+b+1＝2b﹣1， ∵b＞4， ∴2b﹣1＞7， ∴a+b+c＞7． 故③正确； 故选：D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13．（3分）计算4a+2a﹣a的结果等于 5a ． 【解答】解：4a+2a﹣a＝（4+2﹣1）a＝5a． 故答案为：5a．
14．（3分）计算（√10+1）（√10−1）的结果等于 9 ． 【解答】解：原式＝（√10）2﹣1 ＝10﹣1 ＝9． 故答案为9．
15．（3分）不透明袋子中装有7个球，其中有3个红球、4个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是
第11页（共22页）
37 ．
【解答】解：∵袋子有7个球，其中红球有3个， ∴从袋子中随机取出1个球，它是红球的概率是，
73
故答案为：．
7
3
16．（3分）将直线y＝﹣6x向下平移2个单位长度，平移后直线的解析式为 y＝﹣6x﹣2 ． 【解答】解：将直线y＝﹣6x向下平移2个单位长度，平移后直线的解析式为y＝﹣6x﹣2，
故答案为：y＝﹣6x﹣2．
17．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在BC，CD的延长线上，且CE＝2，DF＝1，G为EF的中点，连接OE，交CD于点H，
√13连接GH，则GH的长为 ．
2
【解答】解：以O为原点，垂直AB的直线为x轴，建立直角坐标系，如图：
∵正方形ABCD的边长为4，CE＝2，DF＝1， ∴E（4，﹣2），F（2，3）， ∵G为EF的中点， ∴G（3，），
21
设直线OE解析式为y＝kx，将E（4，﹣2）代入得：
第12页（共22页）
﹣2＝4k，解得k=−， ∴直线OE解析式为y=−x， 令x＝2得y＝﹣1， ∴H（2，﹣1），
∴GH=√(3−2)2+(−1−2)2=2，
方法二：如下图，连接OF，过点O作OM⊥CD交CD于M，
1
√131
212
∵O为正方形对角线AC和BD的交点，
∴OM＝CM＝DM＝CE＝2，易证△OHM≌△EHC， ∴点H、点G分别为OE、FE的中点， ∴GH为△OEF的中位线， ∴GH=2OF，
在Rt△OMF中，由勾股定理可得OF=√𝑂𝑀2+𝐹𝑀2=√22+32=√13， ∴GH=2OF=2， 故答案为：
√13． 21
√131
三、解答题（本大题共7小题，共66分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 𝑥+4≥3，①19．（8分）解不等式组{请结合题意填空，完成本题的解答．
6𝑥≤5𝑥+3．②（Ⅰ）解不等式①，得 x≥﹣1 ； （Ⅱ）解不等式②，得 x≤3 ；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（Ⅳ）原不等式组的解集为 ﹣1≤x≤3 ．
第13页（共22页）
【解答】解：（Ⅰ）解不等式①，得x≥﹣1； （Ⅱ）解不等式②，得x≤3；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（Ⅳ）原不等式组的解集为﹣1≤x≤3． 故答案为：x≥﹣1，x≤3，﹣1≤x≤3．
20．（8分）某社区为了增强居民节约用水的意识，随机调查了部分家庭一年的月均用水量（单位：t）．根据调查结果，绘制出如下的统计图①和图②．
请根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）本次接受调查的家庭个数为 50 ，图①中m的值为 20 ； （Ⅱ）求统计的这组月均用水量数据的平均数、众数和中位数． 【解答】解：（Ⅰ）本次接受调查的家庭个数为：8÷16%＝50（个）； m%=50×100%＝20%，即m＝20； 故答案为：50，20；
（Ⅱ）这组月均用水量数据的平均数是：∵6出现了16次，出现的次数最多， ∴这组数据的众数是6t；
将这组数数据从小到大排列，其中处于中间的两个数都是6， ∴这组数据的中位数是6t．
21．（10分）已知△ABC内接于⊙O，AB＝AC，∠BAC＝42°，点D是⊙O上一点．
第14页（共22页）
10
5×8+5.5×12+6×16+6.5×10+7×4
50
=5.9（t），
（Ⅰ）如图①，若BD为⊙O的直径，连接CD，求∠DBC和∠ACD的大小；
（Ⅱ）如图②，若CD∥BA，连接AD，过点作⊙O的切线，与OC的延长线交于点E，求∠E的大小．
【解答】解：（Ⅰ）如图①，∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB=2（180°﹣∠BAC）=2×（180°﹣42°）＝69°， ∵BD为直径， ∴∠BCD＝90°， ∵∠D＝∠BAC＝42°，
∴∠DBC＝90°﹣∠D＝90°﹣42°＝48°；
∴∠ACD＝∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC＝69°﹣48°＝21°； （Ⅱ）如图②，连接OD， ∵CD∥AB，
∴∠ACD＝∠BAC＝42°，
∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形， ∴∠B+∠ADC＝180°，
∴∠ADC＝180°﹣∠B＝180°﹣69°＝111°，
∴∠CAD＝180°﹣∠ACD﹣∠ADC＝180°﹣42°﹣111°＝27°， ∴∠COD＝2∠COD＝°， ∵DE为切线， ∴OD⊥DE， ∴∠ODE＝90°，
∴∠E＝90°﹣∠DOE＝90°﹣°＝36°．
1
1
第15页（共22页）
22．（10分）如图，一艘货船在灯塔C的正南方向，距离灯塔257海里的A处遇险，发出求救信号．一艘救生船位于灯塔C的南偏东40°方向上，同时位于A处的北偏东60°方向上的B处，救生船接到求救信号后，立即前往救援．求AB的长（结果取整数）参考数据：tan40°≈0.84，√3取1.73．
【解答】解：如图，过点B作BH⊥AC，垂足为H， 由题意得，∠BAC＝60°，∠BCA＝40°，AC＝257， 在Rt△ABH中，
∵tan∠BAH=𝐴𝐻，cos∠BAH=𝐴𝐵，
∴BH＝AH•tan60°=√3AH，AB=𝑐𝑜𝑠60°=2AH， 在Rt△BCH中， ∵tan∠BCH=𝐶𝐻， ∴CH=𝑡𝑎𝑛40°=𝑡𝑎𝑛40°， 又∵CA＝CH+AH，
第16页（共22页）
𝐵𝐻𝐴𝐻
𝐴𝐻
𝐵𝐻
𝐵𝐻√3𝐴𝐻
∴257=
𝑡𝑎𝑛40°√3𝐴𝐻+AH，
所以AH=∴AB=
257×𝑡𝑎𝑛40°，
𝑡𝑎𝑛40°+√32×257×𝑡𝑎𝑛40°2×257×0.84
≈1.73+0.84=168（海里），
𝑡𝑎𝑛40°+√3答：AB的长约为168海里．
23．（10分）在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情
境．
已知学校、书店、陈列馆依次在同一条直线上，书店离学校12km，陈列馆离学校20km．李华从学校出发，匀速骑行0.6h到达书店；在书店停留0.4h后，匀速骑行0.5h到达陈列馆；在陈列馆参观学习一段时间，然后回学校；回学校途中，匀速骑行0.5h后减速，继续匀速骑行回到学校．给出的图象反映了这个过程中李华离学校的距离ykm与离开学校的时间xh之间的对应关系．
请根据相关信息，解答下列问题： （Ⅰ）填表： 离开学校的时间/h
0.1
0.5
0.8
1
3
第17页（共22页）
离学校的距离/km （Ⅱ）填空：
2 10 12 12 20
①书店到陈列馆的距离为 8 km； ②李华在陈列馆参观学习的时间为 3 h；
③李华从陈列馆回学校途中，减速前的骑行速度为 28 km/h； ④当李华离学校的距离为4km时，他离开学校的时间为
15或
316 h．
（Ⅲ）当0≤x≤1.5时，请直接写出y关于x的函数解析式．
【解答】解：（Ⅰ）由题意得：当x＝0.5时，y＝10；当x＝0.8时，y＝12；当x＝3时，y＝20；
故答案为：10；12；20； （Ⅱ）由题意得：
①书店到陈列馆的距离为：（20﹣12）＝8(km)； ②李华在陈列馆参观学习的时间为：（4.5﹣1.5）＝3(h)；
③李华从陈列馆回学校途中，减速前的骑行速度为：（20﹣6）÷（5﹣4.5）＝28(km/h)； ④当李华离学校的距离为4km时，他离开学校的时间为：4÷（2÷0.6）=（h）或5+（6﹣4）÷[6÷（5.5﹣5）]=6（h）， 故答案为：①8；②3；③28；④或51
316
31
1
5；
（Ⅲ）当0≤x≤0.6时，y＝20x； 当0.6＜x≤1时，y＝12；
当1＜x≤1.5时，设y关于x的函数解析式为y＝kx+b，根据题意，得： 𝑘+𝑏=12𝑘=16{，解得{， 1.5𝑘+𝑏=20𝑏=−4∴y＝16x﹣4，
20𝑥(0≤𝑥≤0.6)
综上所述，y={12(0.6＜𝑥≤1)
．
16𝑥−4(1＜𝑥≤1.5)
24．（10分）在平面直角坐标系中，O为原点，△OAB是等腰直角三角形，∠OBA＝90°，BO＝BA，顶点A（4，0），点B在第一象限，矩形OCDE的顶点E（−2，0），点C在y轴的正半轴上，点D在第二象限，射线DC经过点B．
第18页（共22页）
7
（Ⅰ）如图①，求点B的坐标；
（Ⅱ）将矩形OCDE沿x轴向右平移，得到矩形O′C′D′E′，点O，C，D，E的对应点分别为O′，C′，D′，E′．设OO′＝t，矩形O′C′D′E′与△OAB重叠部分的面积为S．
①如图②，当点E′在x轴正半轴上，且矩形O′C′D′E′与△OAB重叠部分为四边形时，D′E′与OB相交于点F，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； ②当可
5
≤t≤2时，求
2
9
S的取值范围（直接写出结果即
）
．
【解答】解：（1）如图①，过点B作BH⊥OA，垂足为H， 由点A（4，0），得OA＝4， ∵BO＝BA，∠OBA＝90°， ∴OH＝BH=2OA=2×4=2， ∴点B的坐标为（2，2）； （2）①由点E（−2，0）， 得OE=2，
由平移知，四边形O'C'D'E'是矩形， 得∠O'E'D'＝90°，O'E'＝OE=2， ∴OE'＝OO'﹣O'E'＝t−，∠FE'O＝90°， ∵BO＝BA，∠OBA＝90°， ∴∠BOA＝∠BAO＝45°， ∴∠OFE'＝90°﹣∠BOA＝45°， ∴∠FOE'＝∠OFE'，
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11
7
7
7
7
2
∴FE'＝OE'＝t−，
∴S△FOE'=OE'•FE'=（t−）2，
∴S＝S△OAB﹣S△FOE'=2×4×2−2(𝑡−2)2， 即S=−t2+t−
12721711（4≤t＜）； 829
1
7
17
1
7
1
1
7
1
2127272②（Ⅰ）当4＜t≤2时，由①知S=−2t2+2t−8=−2（t−2）2+4， ∴当t＝4时，S有最大值为∴此时＜S≤
2727
31； 8318
，当t=时，S有最小值为，
2
927
（Ⅱ）当＜t≤4时，如图2，令D'C'与AB交于点M，D'E'与DB交于点N，
∴S＝S△OAB﹣S△OE'N﹣S△O’AM＝4−2（t−2）2−2（4﹣t）2＝﹣t2+2t−8=−（t−4）
2
171151115
+
63， 1615
63
31
此时，当t=4时，S有最大值为，当t＝4时，S有最小值为，
168∴
318
≤S≤
52
63
； 167
（Ⅲ）当≤t≤2时，如图3，令D'C'与AB交于点M，此时点D'位于第二象限， ∴S＝S△OAB﹣S△O’AM＝4−2（4﹣t）2=−2t2+4t﹣4=−2（t﹣4）2+4， 此时，当t=时，S有最小值为∴
238
522381
1
1
，当t=时，S有最大值为
72318
，
≤S≤
31； 8238
综上，S的取值范围为∴S的取值范围为
238
≤S≤
63； 16≤S≤
63． 16第20页（共22页）
25．（10分）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a，c为常数，a≠0）经过点C（0，﹣1），顶点为D．
（Ⅰ）当a＝1时，求该抛物线的顶点坐标；
（Ⅱ）当a＞0时，点E（0，1+a），若DE＝2√2DC，求该抛物线的解析式；
（Ⅲ）当a＜﹣1时，点F（0，1﹣a），过点C作直线l平行于x轴，M（m，0）是x轴上的动点，N（m+3，﹣1）是直线l上的动点．当a为何值时，FM+DN的最小值为2√10，并求此时点M，N的坐标．
【解答】解：抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a，c为常数，a≠0）经过点C（0，﹣1），则c＝﹣1，
（Ⅰ）当a＝1时，抛物线的表达式为y＝x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）2﹣2， 故抛物线的顶点坐标为（1，﹣2）；
（Ⅱ）∵y＝ax2﹣2ax﹣1＝a（x﹣1）2﹣a﹣1， 故点D（1，﹣a﹣1），
由DE＝2√2DC得：DE2＝8CD2，
即（1﹣0）2+（a+1+a+1）2＝8[（1﹣0）2+（﹣a﹣1+1）2]，
第21页（共22页）
解得a=或，
2
123
故抛物线的表达式为y=x2﹣x﹣1或y=x2﹣3x﹣1；
（Ⅲ）将点D向左平移3个单位，向上平移1个单位得到点D′（﹣2，﹣a）， 作点F关于x轴的对称点F′，则点F′的坐标为（0，a﹣1），
1
232
当满足条件的点M落在F′D′上时，由图象的平移知DN＝D′M，故此时FM+ND最小，理由：
∵FM+ND＝F′M+D′M＝F′D′为最小，即F′D′＝2√10， 则D′F′=√(−2−0)2+(−𝑎−2+1)2=2√10， 解得a=2（舍去）或−2，
则点D′、F′的坐标分别为（﹣2，）、（0，−2），
25
7
7
5
由点D′、F′的坐标得，直线D′F′的表达式为y＝﹣3x−2， 当y＝0时，y＝﹣3x−=0，解得x=−=m， 则m+3=
11
， 67
116
72767
即点M的坐标为（−6,0）、点N的坐标为（
，﹣1）．
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