西南交大数值分析题库积分微分方程

用复化梯形公式计算积分

10f(x)dx,要把区间[0,1]一般要等分 41 份才能保

(2)证满足误差小于0.00005的要求（这里f用复化梯形公式计算积分在以(g(x),f(x))11(x)(2)；如果知道f(x)0，则 1）

0f(x)dx此实际值 大 (大，小)。

0xf(x)g(x)dx,f(x),g(x)C[0,1]为内积的空间C[0,1]

2 3中，与非零常数正交的最高项系数为1的一次多项式是 xyy3. (15分)导出用Euler法求解  的公式, 并证明它收敛于初值问题的精确解

y(0)1解 Euler公式 yk ykyk11hyk1,k1,k,n,hx -----------(5分) n1hykn1hny0 ------------------- (10分)

yn1hxx1e(h0)

n若用复化梯形求积公式计算积分Iedx 区间[0,1]应分 2129 等分，即要

01x计算个 2130 点的函数值才能使截断误差不超过

1107；若改用复化Simpson 2公式，要达到同样精度区间[0,1]应分12 等分，即要计算个 25 点的函数值

1．用Romberg法计算积分 解 T2032exdx

2baf(a)f(b) 9.219524346410430E-003 21baab T21T20f() 5.574989241319070E-003

222 S204T21T203 4.360144206288616E-003

T22 4.499817148069681E-003 S214T22T213 4.141426450319885E-003

C2016S21S2015 4.126845266588636E-003

T23 4.220146327817699E-003

S224T23T223 4.126922721067038E-003

C2116S22S211564C21C2063 4.125955805783515E-003

R20 4.125941687358037E-003

2．用复合Simpson公式计算积分

32exdx (n=5)

244hhba 解 S5f(a)4f(akh)2f(akh)f(b),h

625k0k1S5=4.126352633630653 E-003

b3、 对于n+1个节点的插值求积公式

Akf(xk) 至少具有 n次代数精度. f(x)dxk0ann4、 插值型求积公式

Akf(xk)的求积系数之和Ak=b-a f(x)dxk0k0abbn 5、 证明定积分近似计算的抛物线公式

具有三次代数精度 证明 如果具有4阶导数,则

baf(x)dxbaabf(a)4f()f(b) 22abaab(ba)5(4)f() f(x)dxf(a)4f()f(b)=222880b([a,b])

因此对不超过3次的多项式f(x)有

af(x)dxbaabf(a)4f()f(b)022

b即

af(x)dxbaab精确成立,对任一4次的多项式f(x)有 f(a)4f()f(b)22baab f(a)4f()f(b)22b

af(x)dx因此定积分近似计算的抛物线公式具有三次代数精度 或直接用定义证.

6、 试确定常数A，B，C和a，使得数值积分公式

2f(x)dxAf(a)Bf(0)Cf(a)

有尽可能高的代数精度。试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为Gauss型？ 解 由f(x) 由f(x) 由f(x) 由f(x) 由f(x)21 得 ABC4 0

16 30

x 得 aAaCx2 得 a2Ax3 得 a3Ax4 得 a4Aa2Ca3Ca4C64 可 得A5C10,B916,a912 5 代数精度是5, 是Gauss型积分公式

7．1）设Pn(x)是[0,1]区间上带权(x)x的最高次项系数为1的正交多项式系，求

P2(x)

2）构造如下的Gauss型求积公式解 (1) P0(x)0xf(x)dxA0f(x0)A1f(x1)

x2 311, P1(x)x(x,P0(x))P0(x)(P0(x),P0(x)) P2(x)2x2(x2,P0(x))P0(x)(P0(x),P0(x))13(x2,P1(x))P1(x) (P(x),P(x))111 0411(x),P(x))xdx (P0002 (x,P0(x))xdx

221 x(x)dx033613212 (x,P (x))x(x)dx103306212 P2(x)x (x)532632 x x510 (P1(x),P1(x))1 (2) P2(x)x216x53的两零点为x0106106,x16106(即Gauss点)

A00x1xx0xx19696 dx,A1xdx0x0x136x1x0361 Gauss型求积公式

0xf(x)dx96669666f()f() 361036108 用复合Simpson公式计算：

sinxdx0要使误差小于0.005，求积区间[0,π]应分多少个子区间？并用复合Simpson公式求此

积分值。

解 复合Simpson公式计算的误差为 Rn(f)b-a4(4)hf()，[a，b] 2880 因此只要

0.005 即可.得n2880n42.147,取n3

S32.0008632

9 试述何谓Gauss型求积公式。如下求积公式：

11fxdx141f1f0f1333是否是Gauss型求积公式？Gauss型求积公式是否稳定？是否收敛？(假定f(x)在积分

区间上连续)

解 把用[a，b]上的n+1个节点（互不相同的）xk (k=0,1,…,n)而使数值求积公式

Qn(f)k0Ankf(xk)

的代数精确度达到2n+1，称为Gauss型求积公式 求积公式

11fxdx1f31

4f301f13

因此式的代数精确度为3，所以不是Gauss型求积公式。Gauss型求积公式是稳定的，也是收敛的。

10． 试述何谓Gauss型求积公式。并证明： ⑴ Gauss型求积公式

Akf(xk) a(x)f(x)dxk0的系数Aknbn0(这里(x)是权函数)

⑵

AkC 其中C是常数(要求写出C的表达式)。

k0解 把用[a，b]上的n+1个节点（互不相同的）xk (k=0,1,…,n)而使数值求积公式

Qn(f)Akf(xk)

k0n

的代数精确度达到2n+1，称为Gauss型求积公式 (1)

Akf(xk)是a(x)f(x)dxk0bnGauss型求积公式，因此如果f(x)是不超过

2n+1次的多项式两边应该完全相等，取

(xx0)(xx1)(xxi1)(xxi1)(xxn)f(x)

(xx)(xx)(xx)(xx)(xx)ii1ii1ini0i1则 02Akf(xk)Ai a(x)f(x)dx k0Akf(xk)是Gauss型求积公式，因此代数精确度达a(x)f(x)dxk0bnbn (2)

到2n+1, 因此如果f(x)是不超过2n+1次的多项式两边应该完全相等，取 f(x)1得

Ak(x)dxC,Ck0anba(x)dx c(n)kb11． 证明：（1）Newton-Cotes系数

n满足如下等式：

(n)c1k

k0 (2）设Tn ，T2n分别表示把区间[a,b] n,2n等分后复化梯形公式计算积

分

bbf(x)dx，Sn表示把区间[a,b] n等分后复化Simpson公式计算积分f(x)dx。证明下式

aa成立：

Sn4T2nTn3

证明 (1) 因为 Newton-Cotes求积公式为

abf(x)dxAkf(xk)，其中

k0nAkba(xx0)(xx1)(xxk1)(xxk1)(xxn)dx

(xkx0)(xkx1)(xkxk1)(xkxk1)(xkxn)而Newton-Cotes系数

nc(n)k满足 Ck(n)Akba

因

Akba，故ck(n)1.

k0k0nnn12k1hh (2) 因 Snf(a)4f(a)2f(akh)f(b)

62k1k1 hba nn1h 又因 Tnf(a)2f(akh)f(b)

2k12n1h/2h T2nf(a)2f(ak)f(b)

22k1n1n2k1h)f(b) h f(a)2f(akh)2f(a42k1k1 整理即可得 Sn4T2nTn 312、若用复化梯形求积公式计算积分Iedx 区间[0,1]应分 2129 等分，即要计算

01x个 2130 点的函数值才能使截断误差不超过

1107；若改用复化Simpson公式，要达到2同样精度区间[0,1]应分12 等分，即要计算个 25 点的函数值。

13．证明 xi (i=0,1,…,n)是插值型求积公式

n(x)f(x)dxf(x)的高斯点的

iibnai0充分必要条件是:多项式(x)数(x)正交

(xx)与任意次数不超过n的多项式p(x)关于权函

ii0bb (x)(x)p(x)dx0 且高斯系数 i(x)li(x)dx.

aa其中li(x)为关于节点xi 的拉格朗日插值基函数。 证明: 必要性，设节点xi(i0,1,,n)使求积公式

(x)f(x)dxf(x)iibnai0成为Gauss型求积公式，则它的代数精度应具有2n+1，故对任意次数不超过n次的多项式P(x)有：p(x)(x)p(x)b(xx)是次数不超过2n+1的多项式，从而

ii0n (x)(x)p(x)dxaip(xi)(xi)0，即必要性成立。 i0n充分性：因为n+1个节点的插值型求积公式

(x)f(x)dxf(x)代数精度至少

iibnai0有n，如果取f(x)是任一次数不超过2n+1的多项式，则f(x)= p(x)(x)r(x)，其中P(x)

是次数不超过n次的多项式，r(x)是次数不大于n的多项式，因(x)与任一次数不超过n次的多项式正交，从而

ba(x)f(x)dxa(x)p(x)n1(x)dxa(x)r(x)dx，即

babbbab(x)f(x)dx(x)r(x)dx。由于

nr(x)次数不大于n，故

Air(xi)。又因f(xi)p(xi)(xi)r(xi)=r(x)，从而 a(x)r(x)dxi0k

Aif(xi)，即(x)f(x)dxAif(xi) 从而知其代数精度至a(x)r(x)dxai0i0bnbn少有2n+1，故xi是Gauss点。

14、若用复化梯形求积公式计算积分Ibaf(x)dx ,则复化梯形求积公式计算式

n1hbaITn(f)f(a)2f(akh)f(b),hTn(f)2 ，截断误差 nk1ba2hf(),(a,b) (假定f(x)C2[a,b])。 12hh15． 数值求积公式:f(x)dx[f(h)4f(0)f(h)] 的代数精度是 3 次。

h3此数值求积公式 不是 （是，不是）Gauss型求积公式。

16 用复化梯形公式计算积分

10f(x)dx,要把区间[0,1]一般要等分 41 份才能保证

(2)满足误差小于0.00005的要求（这里假定f(x)任意阶导数存在，且f17． 用复化梯形公式计算积分

(x)。 1）

10f(x)dx,要把区间[0,1] 一般要等分 2 份才能保

(k)证满足误差小于0.00005的要求（这里假定f(x)任意阶导数存在，且f

18． 试用Simpson公式计算积分

(x)1）

解 S21/xedx 1的近似值, 并判断此值比准确值大还是小,并说明理由。

babaf(a)4f()f(b)= 2.026323 62 截断误差

121/xedxS1f(4)(),(1,2) 2880124x336x212x1x(4)e 而f(x)x8 因此S1e21/xdx

19. (1) 证明:计算积分I(f)baf(x)dx的n1个基点的求积公式

n1i1I(f)Aif(xi)xia,b,i1,,n1

的代数精确度至少是n的充分必要条件是

Aibail(x)dx,i1,,n1

其中 li(x)(2) 如果(1)中的n Ai(xx)

j1jiijbn1(xxj)1个基点的求积公式的代数精确度是2n1,则

abali(x)dxli2(x)dx,i1,,n1

,n1的代数精确度至

证明 (1) 必要性 因I(f)Af(x)iii1n1xia,b,i1,少是n,取f(x)li(x)(xx1)(x(xix1)(xin1k1xi1)(xxi1)(xxn1).则

xi1)(xixi1)(xixn1)xka,b,k1,bbaf(x)dxAkf(xk)n1k1,n1

而

Akf(xk)Ai,因此Aili(x)dx,i1,a,n1

充分性 如果

I(f)Aif(xi)i1n1xia,b,i1,,n1

且Aibail(x)dx,i1,,n1 ,其中 li(x)j1jin1i1n1(xxj)(xixj)

则 I(f)Af(x)iii1n1ba[f(x)f(xi)li(x)]dx

abf(n1)()(xx1)n1!(xxn1)dx

因此当f(x)是任一次数不超过n的多项式时, I(f)Af(x).即代数精确度至少是n。

iii1n1(2) 由(1)知Aibail(x)dx，因求积公式的代数精确度是2n1,因此当

2f(x)li(x)2n1(xx)jn1bj1(xixj)时, I(f)Akf(xk)Ai，而I(f)li2(x)dx jiak1b因此 Aibali(x)dxli2(x)dx,i1,a,n1

20． 数值求积公式:

h0'f(x)dxh[f(0)f(h)]/2ah2[f（0）f'(h)] 当a取何值时代

数精度最高?是多少次? 解 当f(x)1,x,两边总是相等的；当f(x)11x2要使两边相等,则h32ah3得

32x4两边不相等, 最高代数精度是3。

a1,此时当f(x)12x3两边总相等，当f(x)1.导出用Euler法求解 yy 的公式, 并证明它收敛于初值问题的精确解

y(0)1,n,hx n解 Euler公式 ykyk1hyk1,k1, yk1hyk1n1hy0

nk yn1hxx1e(h0)

nyf(t,y),2. 解初值问题 y(a)atb 所建立的单步差分格式

y0中,不管怎样选取a1,a2,2,2其yk1yka1f(tk,yk)a2f(tk2,yk2f(tk,yk))局部离散误差都不是O(h) 解 f(tk2,yk2f(tk,yk))

4f(tk,yk)f12f2f2 +1f22fff2f211212222222y(tk1)y(tk)a1fa2

1222fffff2fff12221121222222f2 =y(tk)

fffa2f22fff2f2aafa122221222222112122

另一方面

112f12y(tk)f22y2(tk)f2y(tk)h3y(tk1)y(tk)y(tk)hf1f2y(tk)h2f1123!

1312a2223!ha1a2h1224如其局部离散误差都是O(h)，可得 a22h ，a222h3.这是不可

2a2213!2h212a213223!h能的.

3、解常微分方程初值问题yf(x,y)，y(x0)y0 的梯形格式

yn1yhn2f(xn,yn)f(xn1,yn1) 是＿2＿阶方法

4、 欧拉预报--校正公式求解初值问题yyx0y(0)0

取步长h=0.1,计算y(0.1),y(0.2)的近似值,小数点后保留5位.

y0nynhf(x 解 欧拉预报--校正公式1n,yn)hyn1yn2f(x,y0 得 n,yn)f(xn1n1) y(0.1)

y1=0.005000

y(0.2)

y2=0.019025

5. 用Euler法计算积分

xt20edt

在点x0.5,1,1.5,2的近似值(可取h0.5)

原问题与初值问题yex2解y(0)0等价, Euler

yx2kyk1hek1,k1,,4,h0.5

公式

y(.5000E+00)y1=0.500000 y(.1000E+01) y2=1.142013 y(.1500E+01)

y3=2.501154

y(.2000E+01) y4=7.245022

6、欧拉预报--校正公式求解初值问题 yyx0 ,如取步长h=0.1,计算y(0.1)的

y(0)0近似值为 0.005000 ,此方法是 2 阶方法。

dyf(x,y)7、若 y(x)为 dx（axb）的解，而yk为Euler法

y(a)ykyk1hf(xk1,yk1)

在

xk处的解， 证明 |k||yky(xk)|eL(k)Exa|| 0L这里假定f(x,y)满足Lipschitz条件，L为f(x,y)在S(x,y)axb,y上关于y的Lipschitz常数，xk一步的局部截断误差。

证明 因为ky(xk)yk

=y(xk1)hf(xk1,y(xk1))ekyk1hf(xk1,yk1) (1hL)k1ek

从而有：|k|(1hL)|k1|Eh

kk1依次类推得：|k|(1hL)|0|(1hL)Eh(1hL)EhEhakh,且axkb,E=max|ejh|,ej为从xj1到xj`这

1jk

(1hL)k1Eh =(1hL)|0|hLk由于h=

xkakk从而可证：(1hL)eL(xka)，从而有|k|eL(xka)E(|0|)

L

8、用Euler法求初值问题在区间[0，0.5]上的数值解见下表(取步长h=0.1)，

dyyx1 dxy(0)1这里为yk数值解，y(xk)为准确解，则从x=0.2到x=0.3这一步迭代时的局部截断误差为 ,从x0计算到xxk

y(xk)

0.3时的整体截断误差 0.041818

0.1

0.2

0.3 1.070818 1.029000

0.4 1.070320 1.056100

0.5 1.106531 1.090490

1.004837 1.018731 1.000000 1.010000

yk

y(xk)yk

0.004837 0.008731 0.041818 0.014220 0.016041

yy09、用梯形方法解初值问题 

y(0)12h证明 其近似解为 yn

2h并证明当hn0时,它收敛于原初值问题的准确解yex

hxyk1yk,k1,,n,h 2nhk122h2hy 近似解的表达式ykyk1 hk12h2h12证明 用梯形公式 ykyk1nn2x2x2h11 因此yn2h2nx2nx2x1/2nxn2x2nxex

(h0)

10.解初始值问题yf(x,y)，y(x0)y0近似解的梯形公式是 yk1

yf(x,y),11．考虑常微分方程初值问题y(a)hba,xinaih,0in。试分析预测校正公式

axb.取正整数n，记

hpyy3f(xk,yk)f(xk1,yk1)kk12 hyyf(x,y)f(x,yp)k1kkkk1k12的局部截断误差，并指出它是几阶公式。

12.叙述解常微分方程初值问题数值方法的绝对稳定的定义；证明Euler法的绝对稳定区间为（-2，0）

yk为其近似值，其绝对误差为k，即 解 如果yk是某方法第k步的准确值，~~ykykk。假定第k步后的计算中不再有舍入误差，只是由k引起的扰动~m(m>k,mymym)，都有|m|<|k|，则称此方法是绝对稳定的

设yk有一扰动k，此时 yk1ykkh(ykk)

即

=ykhyk(1h)k

yk1=yk1(1h)k，从而 |k1||1h||k|

要使|k1||k|，则必有|1h|1，即h(-2,0)时，Euler法是绝对稳定的 13.证明隐式中点方法 yn间。

证明 局部截断误差n1y(xn1)yk1

1ynhf(xnhynyn1,)是二阶的，并求其绝对稳定区22

y(xnh)(y(xn)hf(xnah,y(xn)hbf(xn,y(xn))))

yyn1 yn1ynhn2hh1122yn 得 yn1hh1122h12yyn1 即 n1h

12h2 由

h1211得绝对稳定区间为（-∞，0）

14.选取参数使下述形式的RK公式为二阶公式

yn1ynhK2 K1f(xn,yn)

Kf(xah,yhbK)nn12解 局部截断误差n1y(xn1)yk1

y(xnh)(y(xn)hf(xnah,y(xn)hbf(xn,y(xn)))) y(xn)hf(xnah,y(xn)hbf(xn,y(xn)))

y(xn)hf(xn,y(xn))f1(xn,y(xn))ahf2(xn,y(xn))hby(xn)(h)

3y(xn)hy(xn)f1(xn,y(xn))ahf2(xn,y(xn))hby(xn)(h3) y(xn)y(xn)h12af1(xn,y(xn))2bf2(xn,y(xn))y(xn)h2(h3)2

y(xnh)y(xn)y(xn)h此得 a1f1(xn,y(xn))f2(xn,y(xn))y(xn)h2(h3)因2b1时，RK公式为二阶公式。 2yy015. 用改进Euler方法解初值问题 

y(0)1(1) 写出近似解的表达式 (2)并证明当h0时, 近似解的表达式收敛于原初值问题的准确解yex

hyk1yk1hyk1,k1,2k解 用改进Euler公式 ykyk1,n,hx nh2 (1)近似解的表达式yk1hyk12 (2)

h21h

2xx1/n2n2222hxxxxyn1h12122nn2n2n2nnxx2nn2n2ex(h0)

yy016. 用Euler方法解初值问题 

y(0)1(1) 写出近似解的表达式 (2)并证明当h0时, 近似解的表达式收敛于原初值问题的准确解yyk1ex

解 Euler公式 ykhyk1,k1,1,n,hx n (1)近似解的表达式yk (2) yn1h

n1hykn1h

kx1ex(h0) nyy017. 用欧拉预报--校正公式求解初值问题

y(0)1(1) 写出近似解的表达式 (2)并证明当h0时, 近似解的表达式收敛于原初值问题的准确解yex

解 用欧拉预报--校正公式 ykyk1hyk1yk1hyk1,k1,2h21h

2k,n,hx nh2 (1)近似解的表达式yk1hyk12 (2)

xx21/2n2nh2xx2xx2yn1h12122nn2n2nnnxx2nn2n2ex(h0)

18.叙述解常微分方程初值问题数值方法的绝对稳定的定义；求改进Euler法的绝对稳定区

间

~ 解 如果yk是某方法第k步的准确值，yk为其近似值，其绝对误差为k，即~ykykk。假定第k步后的计算中不再有舍入误差，只是由k引起的扰动~m(m>k,mymym)，都有|m|<|k|，则称此方法是绝对稳定的.

改进Euler法的绝对稳定区间 yk1ykhykykhyk

22h yk11h2因此只要1hh221即可,可得绝对稳定区间为(-2,0),即h(-2,0)

19. 叙述用Adams方法解常微分方程初值问题的基本思想。叙述Adams内插法(Adams-Moulton法)及Adams外推法(Adams-Bashforth法)、Adams方法的局部截断误差的定义及Adams方法是p阶的Adams方法的定义。

解 用若干节点(xk,yk)上f(x,y)的值f(xk,yk)适当的线性组合来替代Euler法中的

f(xk,yk),让其达到一定的精度，其形式为：

yk1ykhi1bf(xipki,yki)

如果b10，称为Adams内插法，也称为Adams-Moulton方法。 如果b1=0，称为Adams外推法，也称为Adams-Bashforth方法。

定义ek1y(xk1)y(xk)hi1bf(xipki,y(xki))为Adams方法的局部截断误差，如果

ek1O(hr1)，则称此方法是具有r阶的Adams方法

x[0,0.5]

h0.1yyx120. 用标准四阶Runge-Kutta法求解：y(0)1要求写出计算表达式,并用此方法解出y(0.1)的近似值.

解 标准四阶Runge-Kutta法：

1yk1yk[k12k22k3k4]

6k1hf(xk,yk)

k2hf(xkk3hf(xkh2h2,yk,ykk12k22) )

k4hf(xkh,ykk3)

代入得 y(.1000E+00) y(.2000E+00) y(.3000E+00) y(.4000E+00) y(.5000E+00)

y1=1.0048375001 y2=1.0187309019

y3=1.0408184232 y4=1.0703202909

y5=1.1065309374

（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）