2020年四川省南充市中考试卷(解析版)_wrapper

南充市二〇二〇年初中学业水平考试

数学试卷

一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.若A. 4 【答案】C 【解析】 【分析】

1=-?4，则x值是 （ ） x根据解分式方程即可求得x的值． 【详解】解：1∴x=−，

41=−4，去分母得1=−4x， x1经检验，x=−是原方程的解 4故选：C．

【点睛】本题考查分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键．

2.2020年南充市各级各类学校学生人数约为1 150 000人，将1 150 000 用科学计数法表示为（ ） A. 1.15×106 【答案】A 【解析】 【分析】

10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，科学记数法的表示形式为a×

小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

106， 【详解】解：1150000用科学计数法表示为：1.15×故选：A．

10n的形式，其中1≤|a|【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法和有效数字．科学记数法的表示形式为a×＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值，注意保留的数位．

3.如图，四个三角形拼成一个风车图形，若AB=2，当风车转动90°时，点B运动路径的长度为（ ）

B. 1.15×107

C. 11.5×105

D. 0.115×107

的B.

C. −1 41 4D. ﹣4

A. π 【答案】A 【解析】 【分析】

B. 2π C. 3π D. 4π

B点的运动路径是以A点为圆心，AB长为半径的圆的运动路径长度为π．

1的周长，然后根据圆的周长公式即可得到B点的4【详解】解：∵B点的运动路径是以A点为圆心，AB长为半径的圆的

90o创2p2=p， ∴

360o1的周长， 4故选：A．

【点睛】本题考查了弧长的计算，熟悉相关性质是解题的关键． 4.下列运算正确的是（ ） A. 3a+2b=5ab 【答案】B 【解析】 【分析】

根据同类项、同底数幂乘法、完全平方公式逐一进行判断即可． 【详解】A．不是同类项，不能合并，此选项错误； B．3a·2a=6a2，此选项正确；

C．不是同类项，不能合并，此选项错误； D．(a-b)2=a2-2ab+b2，此选项错误； 故选：B．

【点睛】本题考查整式的加法和乘法，熟练掌握同类项、同底数幂乘法、完全平方公式的运算法则是解题的关键．

5.八年级某学生在一次户外活动中进行射击比赛，4，5，6，6，6，7，8．七次射击成绩依次为（单位：环）：则下列说法错误的是（ ） A. 该组成绩的众数是6环 C. 该组成绩的平均数是6环 【答案】D

B. 该组成绩的中位数数是6环 D. 该组成绩数据的方差是10

B. 3a·2a=6a2

C. a3+a4=a7

D. (a-b)2=a2-b2

【解析】 分析】

根据平均数、中位数、众数和方差的意义分别对每一项进行分析，即可得出答案．

【详解】解：A、∵6出现了3次，出现的次数最多，∴该组成绩的众数是6环，故本选项正确； B、该组成绩的中位数是6环，故本选项正确； C、该组成绩的平均数是：

【D、该组成绩数据的方差是： 故选：D．

A.

1（4+5+6+6+6+7+8）=6（环），故本选项正确； 7(4−6)2+(5−6)2+3(6−6)2+(7−6)2+(8−6)210，故本选项错误； =77【点睛】此题考查了平均数、中位数、众数和方差的意义，解题的关键是正确理解各概念的含义． 6.如图，在等腰三角形ABC中，BD为∠ABC的平分线，∠A=36°，AB=AC=a，BC=b，则CD=（ ）

a+b 2B.

a−b 2C. a-b D. b-a

【答案】C 【解析】 【分析】

根据等腰三角形的性质和判定得出BD=BC=AD，进而解答即可． 【详解】解：∵在等腰△ABC中，BD为∠ABC的平分线，∠A=36°， ∴∠ABC=∠C=2∠ABD=72°， =∠A， ∴∠ABD=36°∴BD=AD，

=∠C， ∴∠BDC=∠A+∠ABD=72°∴BD=BC，

∵AB=AC=a，BC=b， ∴CD=AC-AD=a-b， 故选：C．

【点睛】此题考查等腰三角形的性质，关键是根据等腰三角形的性质和判定得出BD=BC=AD解答． 7.如图，面积为S的菱形ABCD中，点O为对角线的交点，点E是线段BC单位中点，过点E作EF⊥BD于F，EG⊥AC与G，则四边形EFOG的面积为（ ）

A.

1S 4B.

1S 8C.

1S 12D.

1S 16【答案】B 【解析】 【分析】

由菱形的性质得出OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，S＝

1AC×BD，证出四边形EFOG是矩形，EF∥OC，2EG∥OB，得出EF、EG都是△OBC的中位线，则EF＝即可得出答案．

【详解】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，S＝∵EF⊥BD于F，EG⊥AC于G，

∴四边形EFOG是矩形，EF∥OC，EG∥OB， ∵点E是线段BC的中点， ∴EF、EG都是△OBC的中位线， ∴EF＝

1111OC＝AC，EG＝OB＝BD，由矩形面积22441AC×BD， 21111OC＝AC，EG＝OB＝BD， 2244111AC×BD＝44811ACBD =S； 28EG＝∴矩形EFOG的面积＝EF×故选：B．

【点睛】本题考查了菱形的性质及面积的求法、矩形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；熟练掌握菱形的性质和矩形的性质是解题的关键．

8.如图，点A，B，C在正方形网格的格点上，则sin∠BAC=（ ）

A.

2

6B.

26 26C.

26 13D.

13 13【答案】B

【解析】 【分析】

作BD⊥AC于D，根据勾股定理求出AB、AC，利用三角形的面积求出BD，最后在直角△ABD中根据三角函数的意义求解．

【详解】解：如图，作BD⊥AC于D，

由勾股定理得，AB=32+22=13,AC=32+32=32， ∵SABC=111ACBD=32BD=13， 222∴BD=2 ，22BD26． ∴

sinBAC==2=AB2613故选：B．

【点睛】本题考查了勾股定理，解直角三角形，三角形的面积，三角函数的意义等知识，根据网格构造直角三角形和利用三角形的面积求出BD是解决问题的关键．

9.如图，正方形四个顶点的坐标依次为（1，1），（3，1），（3，3），（1，3），若抛物线y=ax2的图象与正方形有公共顶点，则实数a的取值范围是（ ）

A.

1a3 9B.

1a1 9C.

1a3 3D.

1a1 3【答案】A 【解析】 【分析】

求出抛物线经过两个特殊点时的a的值即可解决问题． 【详解】解：当抛物线经过（1，3）时，a=3，

当抛物线经过（3，1）时，a=

1， 9观察图象可知故选：A．

1≤a≤3， 9【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上的点的坐标特征等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

10.关于二次函数y=ax2−4ax−5(a0)的三个结论：①对任意实数m，都有x1=2+m与x2=2−m对应的函数值相等；②若3≤x≤4，对应的y的整数值有4个，则−轴交于不同两点A，B，且AB≤6，则a−A. ①② 【答案】D 【解析】 【分析】

由题意可求次函数y=ax2-4ax-5的对称轴为直线x=−B. ①③

44a−1或1a；③若抛物线与x335或a1．其中正确的结论是（ ） 4C. ②③

D. ①②③

−4a=2，由对称性可判断①；分a＞0或a＜0两种2a情况讨论，由题意列出不等式，可求解，可判断②；分a＞0或a＜0两种情况讨论，由题意列出不等式组，可求解，可判断③；即可求解． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为x=−−4a=2， 2a∴x1=2+m与x2=2-m关于直线x=2对称，

∴对任意实数m，都有x1=2+m与x2=2-m对应的函数值相等； 故①正确；

当x=3时，y=-3a-5，当x=4时，y=-5， 若a＞0时，当3≤x≤4时，-3a-5＜y≤-5， ∵当3≤x≤4时，对应的y的整数值有4个， ∴1a4， 3若a＜0时，当3≤x≤4时，-5≤y＜-3a-5， ∵当3≤x≤4时，对应的y的整数值有4个， ∴−4a−1， 3故②正确；

若a＞0，抛物线与x轴交于不同两点A，B，且AB≤6，

∴△＞0，25a-20a-5≥0，

16a2+20a0∴，

5a−50∴a1；

若a＜0，抛物线与x轴交于不同两点A，B，且AB≤6， ∴△＞0，25a-20a-5≤0，

16a2+20a0 ∴5a−50∴a＜−5， 45或a≥1时，抛物线与x轴交于不同两点A，B，且AB≤6． 4综上所述：当a＜−故③正确； 故选：D．

【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与x轴的交点等知识，理解题意列出不等式（组）是本题的关键．

二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）

11.计算：1−2+2=__________． 【答案】2 【解析】 【分析】

原式利用绝对值的代数意义，以及零指数幂法则计算即可求出值． 【详解】解：1−2+2 =2-1+1 =2

故答案为：2．

【点睛】此题考查了实数的运算，零指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 12.如图，两直线交于点O，若∠1+∠2=76°，则∠1=________度．

00

【答案】38 【解析】

【分析】

直接利用对顶角的性质结合已知得出答案． 【详解】解：∵两直线交于点O， ∴∠1=∠2， ∵∠1+∠2=76°， ∴∠1=38°． 故答案为：38．

【点睛】此题主要考查了对顶角，正确把握对顶角的定义是解题关键． 13.从长度分别为1,2,3,4的四条线段中任选3条，能构成三角形的概率为____． 【答案】

1 4【解析】 【分析】

利用列举法就可以求出任意三条线段可以组成的组数．再根据三角形三边关系定理确定能构成三角形的组数，就可求出概率．

【详解】解：这四条线段中任取三条，所有的结果有： （1，2，3），（1，2，4），（1，3，4），（2，3，4） 共4个结果，

根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边， 其中能构成三角形的只有（2，3，4）一种情况， 故能构成三角形的概率是

1． 4故答案为：

1. 4【点睛】注意分析任取三条的总情况，再分析构成三角形的情况，从而求出构成三角形的概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

14.笔记本5元/本，钢笔7元/支，某同学购买笔记本和钢笔恰好用去100元，那么最多可以购买钢笔_______支． 【答案】10 【解析】 【分析】

首先设某同学买了x支钢笔，则买了y本笔记本，根据题意购买钢笔的花费+购买笔记本的花费=100元，可得y=20-7x，根据x最大且又能被5整除，即可求解． 5100-7x7x=20-，

55【详解】设钢笔x支，笔记本y本，则有7x+5y=100，则y=

∵x最大且又能被5整除，y是正整数， ∴x=10， 故答案为：10．

【点睛】此题主要考查了二元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的相等关系． 15.若x2+3x=−1，则x-【答案】−2 【解析】 【分析】

x-1中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，再根据x2x+11=__________． x+1+3x=−1，代入化简即可得到结果．

1x2+x-1x2+3x-2x-1-2x-2-2(x+1)=====-2 【详解】解：x-x+1x+1x+1x+1x+1故答案为：-2

【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

16.△ABC内接于⊙O，AB为⊙O直径，tanD=3，将△ABC绕点C旋转到△EDC，点E在⊙上，已知AE=2，则AB=__________．

【答案】

10 3【解析】 【分析】

过C作CH⊥AE于H点，由旋转性质可得D=AEC，根据三角函数可求得AC，BC长度，进而通过解直角三角形即可求得AB长度．

【详解】解：过C作CH⊥AE于H点，

的

∵AB为⊙O的直径， ∴AEB=ACB=90，

由旋转可得ECD=ACB=90，

∴D+CED=90，AEC+CED=90， ∴D=AEC，

∴tanD=tan∠AEC=CH∶EH=3，AE=2， ∴HE=1，CH=3， ∴AC=CE=10，

∵tanD=tan∠ABC=AC∶BC=3， ∴BC=10 ，3AC2+BC2=10． 3∴AB=10， 3故答案为：

【点睛】本题考查图形的旋转，圆的性质以及直角三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．

三、解答题：本大题共9个小题，共86分．

1x2−x17.先化简，再求值：(，其中x=2+1． −1)x+1x+1【答案】−【解析】 【分析】

先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可． 【详解】解：原式 =12

，−x−12x+1x(x−1)1− x+1x+1x+1=−xx+1 x+1x(x−1)

=−1 x−1当x=2+1时，原式=−2 ．2【点睛】本题考查的是分式的化简求值和二次根式的化简，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键． 18.如图，点C在线段BD上，且AB⊥BD，DE⊥BD，AC⊥CE，BC=DE，求证：AB=CD．

【答案】详见解析 【解析】 分析】

DE⊥BD，AC⊥CE， ACB+ECD=90，根据AB⊥BD，可以得到ABC=CDE=ACB=90，

【【详解】证明：

∴ABC=CDE=ACB=90 ∴ACB=CED 在ABC和CDE中

ECD+CED=90，从而有ACB=CED，可以验证ABC和CDE全等，从而得到AB=CD．

∵AB⊥BD，DE⊥BD，AC⊥CE

∴ACB+ECD=90，ECD+CED=90

ACB=CED BC=DEABC=CDE∴ABC≌CDE 故AB=CD．

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，利用角边角判定三角形全等，其中找到两两互余的角之间的关系是解题的关键．

19.今年，全球疫情大爆发，我国派遣医疗专家组对一些国家进行医疗援助，某批次派出20人组成的专家组，分别赴A、B、C、D四个国家开展援助工作，七人员分布情况如统计图（不完整）所示：

（1）计算赴B国女专家和D国男专家的人数，并将条形统计图补充完整;

（2）根据需要，从赴A国的专家，随机抽取两名专家对当地医疗团队进行培训，求所抽取的两名专家恰好是一男一女的概率．

【答案】（1）1，3，图详见解析；（2）P=【解析】 【分析】

（1）先求出B国专家总人数，然后减去男专家人数即可求出，先求D国专家的总人数，然后减去女专家人数即可；

（2）用列表法列出所有等可能的情况，然后找出两名专家恰好是一男一女的情况即可． 【详解】解：（1）B国女专家：2040%−5=3（人）， ， D国男专家：20(1−25%−40%−20%)−2=1（人）（注：补全条形图如图所示）

3 5；

（2）从5位专家中，随机抽取两名专家的所有可能结果是：

男1 男2 女1 女2 男1 （男2，男1） 男2 女1 女2 女3 （男1，男2） （男1，女1） （男1，女2） （男1，女3） （男2，女1） （男2，女2） （男2，女3） （女1，女2） （女1，女3） （女2，女3） （女1，男1） （女1，男2） （女2，男1） （女2，男2） （女2，女1）

女3

（女3，男1） （女3，男2） （女3，女1） （女3，女2） 由上表可知，随机抽取两名专家的所有可能有20种情况，并且出现的可能性相等， 其中恰好抽到一男一女的情况有12种， 则抽到一男一女专家的概率为：P=123=． 205【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图，用列表法和树状图法求概率，列出所有等可能情况是解题关键．

20.已知x1，x2是一元二次方程x2（1）求k的取值范围； （2）是否存在实数k，使得等式由．

【答案】（1）k−1；（2）k=−6 【解析】 【分析】

（1）根据方程的系数结合≥0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围；

−2x+k+2=0的两个实数根．

11+=k−2成立？如果存在，请求出k的值，如果不存在，请说明理x1x211=k−2，即可得出关于k的方程，（2）根据根与系数的关系可得出x1＋x2＝2，x1x2＝k＋2，结合+x1x2解之即可得出k值，再结合（1）即可得出结论． 【详解】解：（1）∵一元二次方程有两个实数根， ∴=(−2)2−4(k+2)…0 解得k−1；

（2）由一元二次方程根与系数关系，x1+x2=2,x1x2=k+2

11=k−2， ∵+x1x2x1+x22==k−2 ∴

x1x2k+2即(k+2)(k−2)=2，解得k=6． 又由（1）知：k−1， ∴k=−6．

【点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实

数根”；（2）根据根与系数的关系结合

11+=k−2，找出关于k的方程． x1x221.如图，反比例函数y=k(k0,x0)的函数与y=2x的图象相交于点C，过直线上一点A（a，8）作xAAB⊥y轴交于点B，交反比函数图象于点D，且AB=4BD． （1）求反比例函数的解析式； （2）求四边形OCDB的面积．

【答案】（1）y=【解析】 【分析】

8；（2）10 x（1）求出点D的坐标即可解决问题；

（2）构建方程组求出点C的坐标，利用分割法求面积即可． 【详解】解：（1）由点A(a,8)在y=2x上，则a=4， ∴A(4,8)，

∵AB⊥y轴，与反比例函数图象交于点D，且AB=4BD ∴BD=1，即D(1,8)，

∴k=8，反比例函数解析式为y=8； x8图象的交点 x（2）∵C是直线y=2x与反比例函数y=∴2x=8， x∵x0

∴x=2，则C(2,4) ∴SABO=1148=16，SADC=34=6， 22∴S四边形OCDB=SABO−SADC=10．

【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题

型．

22.如图，点A，B，C是半径为2的⊙O上三个点，AB为直径，∠BAC的平分线交圆于点D，过点D作AC的垂线交AC得延长线于点E，延长线ED交AB得延长线于点F． （1）判断直线EF与⊙O的位置关系，并证明． （2）若DF=42，求tan∠EAD的值．

【答案】（1）直线EF与圆O相切，证明详见解析；（2）tanEAD=【解析】 【分析】

2

2（1）连接OD，由OA＝OD知∠OAD＝∠ODA，由AD平分∠EAF知∠DAE＝∠DAO，据此可得∠DAE＝∠ADO，继而知OD∥AE，根据AE⊥EF即可得证； （2）根据勾股定理得到OF=结论．

【详解】解：（1）直线EF与圆O相切 理由如下：连接OD ∵AD平分BAC ∴EAD=OAD ∵OA=OD

∴ODA=OAD=EAD ∴OD//AE

由AE⊥EF，得OD⊥EF ∵点D在圆O上 ∴EF是圆O的切线

（2）由（1）可得，在RtODF中，OD=2，DF=42， 由勾股定理得OF=∵OD//AE ∴

OD2+DF2=6

OD2+DF2=6，根据平行线分线段成比例定理和三角函数的定义即可得到

ODOFDF ==AEAFEF

即

8264242

，得AE=，ED===3AE8ED+423∴在RtAED中，tanEAD=DE2 =AE2

【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，角平分线的定义，圆周角定理，解直角三角形，正确的识别图形是解题的关键．

23.某工厂计划在每个生产周期内生产并销售完某型设备，设备的生产成本为10万元/件（1）如图，设第x（0＜x≤20）个生产周期设备售价z万元/件，z与x之间的关系用图中的函数图象表示，求z关于x的函数解析式（写出x的范围）．

（2）设第x个生产周期生产并销售的设备为y件，y与x满足关系式y=5x+40（0＜x≤20）．在（1）的条件下，工厂在第几个生产周期创造的利润最大？最大为多少万元？（利润=收入-成本）

(0x„12)16,【答案】（1）z=1；（2）工厂在第14个生产周期创造的利润最大，最大是605

−x+19.(12x„20)4万元． 【解析】 【分析】

（1）由图像可知，当0x„12，函数为常数函数z=16；当12x20，函数为一次函数，设函数解析式为y=kx+b(k0)，直线过点(12，16)，(20，14)代入即可求出，从而可得到z关于x的函数解析式； （2）根据x的不同取值范围，z关于x的关系式不同，设W为利润，当0x„12，W=30x+240，可知x=12时有最大利润；当12x20，W=−5(x−14)2+605，当x=14时有最大利润． 4【详解】解：（1）由图可知，当0x„12时，z=16 当12x20时，z是关于x的一次函数，设z=kx+b

12k+b=1611则，得k=−,b=19，即z=−x+19

4420k+b=14(0x„12)16, ∴z关于x的函数解析式为z=1−x+19.(12x„20)4（2）设第x个生产周期工厂创造的利润为W万元 ①0x„12时，W=(16−10)(5x+40)=30x+240 当x=12时，W最大值=3012+240=600（万元） ②12x20时，W=−1x+19−10(5x+40) 455=−x2+35x+360=−(x−14)2+605

44当x=14时，W最大值=605（万元）

综上所述，工厂在第14个生产周期创造的利润最大，最大是605万元．

【点睛】（1）本题主要考查了一次函数解析式的求法，解本题的关键是熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式，能根据图像找到函数所过点；

（2）根据等量关系：利润=收入-成本，列出函数关系从而求出最大值，其中根据等量关系列出函数关系式是解本题的关键．

24.如图，边长为1的正方形ABCD中，点K在AD上，连接BK，过点A，C作BK的垂线，垂足分别为M，N，点O是正方形ABCD的中心，连接OM，ON． （1）求证：AM=BN；

（2）请判断△OMN的形状，并说明理由；

（3）若点K在线段AD上运动（不包括端点），设AK=x，△OMN的面积为y，求y关于x的函数关系式（写出x的范围）；若点K在射线AD上运动，且△OMN的面积为

1，请直接写出AK长． 10

x2−2x+1【答案】（1）详见解析；（2）OMN是等腰直角三角形，理由详见解析；（3）y=(0x1)，24x+4

1AK长为或3．

3【解析】 【分析】

（1）由“AAS”可证△ABM≌△BCN，可得AM＝BN；

（2）连接OB，由“SAS”可证△AOM≌△BON，可得MO＝NO，∠AOM＝∠BON，由余角的性质可得∠MON＝90°，可得结论；

（3）由勾股定理可求BK的值，由AM⊥BM，四边形ABCD是正方形，可得：VABM:VKBA，VAKM:VBKA，则可求得MN=1-xx2-2x+1，由三角形面积公式可求得y=；点K在射线AD上运

4x2+4x2+1动，分两种情况：当点K在线段AD上时和当点K在线段AD的延长线时分别求解即可得到结果． 【详解】解：（1）证明： ∵AM⊥BM,CN⊥BN ∴AMB=BNC=90 又∵ABC=90

∴MAB+MBA=90,CBN+MBA=90 ∴MAB=CBN 又AB=BC

∴AMB≌BNC（AAS） ∴AM=BN

（2）OMN是等腰直角三角形 理由如下：连接OB，

∵O为正方形的中心

∴OA＝OB，∠OBA＝∠OAB＝45°＝∠OBC，AO⊥BO， ∵∠MAB＝∠CBM，

∴MAB−OAB=NBC−OBC，即MAO=OBN ∵OA=OB,AM=BN ∴AMO≌BNO（SAS） ∴OM=ON，AOM=BON

∵AOB=AON+BON=90 ∵∠AON+∠BON＝90°， ∴∠AON+∠AOM＝90°， ∴MON=90 ∴OMN等腰直角三角形．

（3）在RtABK中，BK=由AM⊥BM，四边形ABCD是正方形， 可得：VABM:VKBA，VAKM:VBKA ∴

ABMAAKMK ==，

KBAKBKAK∴BKAM=ABAK，得：BN=AM=2AK=∴AK2=KMBK，得：KM=BK∴MN=BK−BN−KM=∴SOMN1(1−x)22 =MN=244x+4x2−2x+1即：y=(0x1) 24x+4是ABAK=BKx22AK2+AB2=x2+1 xx+12

x+1

x+1−2xx+12−x22x+1=1−xx+12

1x2-2x+1当点K在线段AD上时，则=，

104x2+4解得：x1＝3（不合题意舍去），x2=1， 3x2-2x+1(x>1) 当点K在线段AD的延长线时，同理可求得y=4x2+41x2-2x+1∴=， 104x2+4解得：x1＝3，x2=1（不合题意舍去）， 311或3时，△OMN的面积为．

103综上所述：AK长为

【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解分式方程等知识点，能熟练应用相关性质是本题的关键． 25.已知二次函数图象过点A（-2，0），B（4，0），C（0，4） （1）求二次函数的解析式；

（2）如图，当点P为AC的中点时，在线段PB上是否存在点M，使得∠BMC=90°？若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．

（3）点K在抛物线上，点D为AB的中点，直线KD与直线BC的夹角为锐角，且tan=坐标．

5，求点K的3

【答案】（1）y=−骣2456÷12-,÷x+x+4；（2）线段上存在Mç，使得BMC=90，理由详见解析；（3）ç÷ç桫29292骣骣3+145-1+145÷3-145-1-145÷ç÷÷ç,,或÷÷ç÷÷． ç416416桫桫ç抛物线上符合条件的点K坐标为： (2,4)或(−8,−36)或ççç【解析】 【分析】

（1）设二次函数的解析式为y=a(x+2)(x−4)，将点C坐标代入可求解；

（2）利用中点坐标公式可求P（﹣1，2），点Q（2，2），由勾股定理可求BC的长，由待定系数法可求PB

骣2a,-a+解析式，设点Mççç桫58÷骣22÷ç÷a++(a-2)2=8，可求a，由两点距离公式可得÷ç÷÷ç5桫552=−24或a=4，即可29求解；

（3）过点D作DE⊥BC于点E，设直线DK与BC交于点N，先求出DB=3，DE=函数可求NE=32，由锐角三角2DE92，分DK与射线EC交于点N(m,4−m)和DK与射线EB交于N(m,4−m)两种=tanq10情况讨论，求出直线DK解析式，联立方程组可求点K坐标．

【详解】

解：（1）二次函数的图象过点A(−2,0),B(4,0) 设二次函数解析式为y=a(x+2)(x−4) 又二次函数的图象过点C(0,4)， ∴−8a=4，即a=−1 212x+x+4 2故二次函数解析式为y=−-（2）线段上存在Mççç骣2456÷,÷，使得BMC=90，理由如下： ÷桫2929设BC中点为Q，由题意，易知Q的坐标为(2,2)，BC=42 若BMC=90，则MQ=1BC=22 2∵A(−2,0),C(0,4)，∴≈AC的中点P为(−1,2)

ìï-k+b=228y=kx+b k=−,b=í设PB所在的直线为，则ï，得ï55ïî4k+b=0PB所在的直线为y=−28x+ 55骣2a,-a+的坐标为ççç桫58÷a4 ÷，其中−1剟5÷M在线段PB上，设M如图1，分别过M，Q作y轴与x轴的垂线l1，l2，设l1，l2相交于点T， ∴QT=-2822a+-2=a+ 5555MT=|a−2|

222∵MQ=QT+MT

骣2a+∴ççç桫52÷+(a-2)2=8 ÷÷52整理得29a2−92a−96=0，解得a=−24或a=4 29

当a=4时，B，M重合，不合题意（舍去） ∴a=−242456,) ，则M的坐标为(−292929骣2456÷,÷，使得BMC=90 ÷桫2929-故线段PB上存在Mççç

（3）如图2，过点D作DE⊥BC于点E，设直线DK与BC交于点N ∵D(1,0),B(4,0),EBD=45 ∴DB=3,DE=∵C(0,4)

∴直线BC:y=−x+4 在RtDNE中

32骣53÷,Eç,÷ çç桫222÷32DE92 NE==2=5tan103①若DK与射线EC交于点N(m,4−m) ∴NE=∴m=骣5922ç-m÷=÷ç÷10 ç桫28 5,∴Nççç骣812÷÷ 桫55÷∴直线DK:y=4x−4

ìy=4x-4ïïï ∴í12ïy=-x+x+4ïï2îx=2ìïx=-8 í解得或ïïy=-36y=4ïî②若DK与射线EB交于点N(m,4−m)

∴NE=∴m=骣5÷92 2çm-÷=çç桫2÷1017 5骣173÷N,÷ ∴ççç桫55÷∴直线DK:y=11x− 44ììïïì3+1453-14511ïïïïx=x=y=x-ïïïïïï4444ïïï í，解得í或íïïï12-1+145-1-145ïïïy=-x+x+4ïïïy=y=ïïï2ïîïï1616îî综上所述，抛物线上符合条件的点K坐标为：

骣骣3+145-1+145÷3-145-1-145÷çç÷÷ç,,(2,4)或(−8,−36)或ç或÷÷çç÷÷． çç1616桫4桫4【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，待定系数法求解析式，等腰直角三角形的性质，锐角三角函数，中点坐标公式，两点距离公式等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．