离差矩阵计算公式

离差矩阵计算公式

矩阵

一、相关概念

1. 行矩阵、列矩阵：m×n阶矩阵中，m=1，称为行矩阵，也称为n维行向量;n=1，称为列矩阵，也称为m维列向量。

2. 零矩阵：所有元素都为0的m×n阶矩阵

3. n阶方阵：m×n阶矩阵A中，m=n; n阶方阵A，可定义行列式记为|A|; n阶方阵存在主对角线及主对角线元素。

4. 单位矩阵：主对角线上的元素都为1，其余元素均为0的n阶方阵称为n阶单位矩阵，记为E。

5. 对角形矩阵：非主对角线上的元素全为0的n阶方阵称为对角形矩阵。

6. 数量矩阵：n阶对角形矩阵主对角线上元素相等时，称为数量矩阵。

7. 上（下）三角形矩阵：n阶方阵中，主对角线下方元素全为零，称为上三角矩阵;主对角线上方元素全为零，称为下三角矩阵。

8. 同型矩阵：A=aij(m×n),B=bij(s×t),m=s、n=t,A与B为同型矩阵，若对应元素相

等，则A与B相等。

9. 转置矩阵：将矩阵A的行列互换，而不改变其先后次序得到的n×m阶矩阵，记为

或A’。

10. 对称矩阵与反对称矩阵：设A是n阶方阵，如果A^T=A,则称A是对称矩阵。如果

=-A,则称A为反对称矩阵。反对称矩阵中，主对角线上的元素均为0。

11. 逆矩阵：设A是n阶方阵，若存在一个n阶方阵B，使得AB=BA=E,则B称为A的逆矩阵，A称为可逆矩阵或非奇异矩阵。（可逆矩阵一定是方阵，并且它的逆矩阵为同阶方阵；A与B地位是等同的，所以B也是可逆矩阵，并且A是B的逆矩阵。）记为A-1,AA-1=A-1A=E.

12. 伴随矩阵：设矩阵A，Aij为行列式|A|中元素aij的代数余子式，称A*为矩阵A的伴随矩阵。AA*=A*A=|A|E

13. 可逆矩阵：|A|≠0。(A可逆时，A-1=A*/|A|)

14. 正交矩阵：设A为实数域R上的方阵，如果它满足A^TA=AA^T=E,则称A为正

交矩阵。

15. 准对角形矩阵：设A为n阶方阵，如果它的分块矩阵具有如下形式，

，则称A为准对角形矩阵。

16. 矩阵的初等变换：互换、倍乘、倍加。矩阵的初等行变换和初等列变换统称为矩阵的初等变换。

17. 阶梯形矩阵：若矩阵A满足两条件：（1）若有零行（元素全为0的行），则零行应在最下方；（2）非零首元（即非零行的第一个不为零的元素）的列标号随行标号的增加而严格递增，则称此矩阵A为阶梯形矩阵。

18. 简化阶梯形矩阵：(1)零行(元全为零的行)位于全部非零行的下方(若有)；(2) 非零行的首非零元的列下标随其行下标的递增而严格递增。(3)非零行的首非零元为1；(4)非零行的首非零元所在列的其余元均为零。

19. 初等矩阵：由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。