导数专题(三)零点问题教师版

已知函数f(x)12xalnx(a0). 2（Ⅰ）若a2,求f(x)在(1,f(1))处的切线方程； （Ⅱ）求f(x)在区间[1,e]上的最小值；

（III）若f(x)在区间(1,e)上恰有两个零点，求a的取值范围. （18）（本小题满分13分） 解：（I）a2,f(x)122x2lnx,f'(x)x, 2x1f'(1)1,f(1),

2f(x)在(1,f(1))处的切线方程为2x2y30.………………………..3分 ax2a. （Ⅱ）由f'(x)xxx由a0及定义域为(0,)，令f'(x)0,得xa.

①若a1,即0a1,在(1,e)上，f'(x)0，f(x)在[1,e]上单调递增， 因此,f(x)在区间[1,e]的最小值为f(1)②若11. 2ae,即1ae2,在（1,a)上，f'(x)0，f(x)单调递减；（a,e)上，f'(x)0，f(x)在

单调递增，因此f(x)在区间[1,e]上的最小值为f(a)1a(1lna). 22③若ae,即ae,在(1,e)上，f'(x)0，f(x)在[1,e]上单调递减，

因此,f(x)在区间[1,e]上的最小值为f(e)综上，当0a1时，fmin(x)当ae时，fmin(x)212ea. 2112；当1ae时，fmin(x)a(1lna)； 2212ea. ……………………………….9分 22(III) 由（II）可知当0a1或ae时，f(x)在(1,e)上是单调递增或递减函数，不可能存在两个零点. 当1ae时，要使f(x)在区间(1,e)上恰有两个零点，则

212a(1lna)0,ae121∴f(1)0, 即，此时，eae. 12ae22212f(e)2ea0,所以，a的取值范围为(e,12e).…………………………………………………………..13分 2（2014西城期末理）18．（本小题满分13分）（零点问题）

已知函数f(x)(xa)e，其中e是自然对数的底数，aR. （Ⅰ）求函数f(x)的单调区间；

（Ⅱ）当a1时，试确定函数g(x)f(xa)x的零点个数，并说明理由. 18.（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：因为f(x)(xa)e，xR，

所以f(x)(xa1)e． ……………… 2分 令f(x)0，得xa1． ……………… 3分 当x变化时，f(x)和f(x)的变化情况如下：

xx2xx f(x) (,a1) a1 (a1,)  0  f(x) ↘ ↗ ……………… 5分

故f(x)的单调减区间为(,a1)；单调增区间为(a1,)．………… 6分 （Ⅱ）解：结论：函数g(x)有且仅有一个零点. ……………… 7分

理由如下：

xax2， 由g(x)f(xa)x0，得方程xe2显然x0为此方程的一个实数解.

所以x0是函数g(x)的一个零点. ……………… 9分 当x0时，方程可化简为e设函数F(x)exaxax.

x，则F(x)exa1，

令F(x)0，得xa．

当x变化时，F(x)和F(x)的变化情况如下：

x F(x) (,a) a 0 (a,)   F(x) ↘ ↗ 即F(x)的单调增区间为(a,)；单调减区间为(,a)．

所以F(x)的最小值F(x)minF(a)1a. ………………11分 因为 a1，

所以F(x)minF(a)1a0， 所以对于任意xR，F(x)0， 因此方程exax无实数解．

所以当x0时，函数g(x)不存在零点.

综上，函数g(x)有且仅有一个零点. ………………13分 （2015上学期期末丰台理）18.（本小题共13分）（图像交点、问题转化）

已知函数f(x)xex1．

（Ⅰ）求函数f(x)的极小值；

（Ⅱ）如果直线ykx1与函数f(x)的图象无交点，求k的取值范围． 18. 解：（Ⅰ）函数的定义域为R． 因为 f(x)xex1，

ex1所以 f(x)．

ex令f(x)0，则x0．

x (,0) - ↘ 0 0 极小值 (0,) + ↗ f(x) f(x) 所以 当x0时函数有极小值f(x)极小值=f(0)0． ………………6分 （Ⅱ）函数f(x)x11． ex10，yk011， 0e当x0时f(x)01所以要使ykx1与f(x)无交点，等价于f(x)kx1恒成立．

1(kx1)，即g(x)(1k)xex， xe(1k)ex1所以 g(x)． xe1①当k1时，g(x)x0，满足ykx1与f(x)无交点；

e1111)(1k)e1ke1k1， ②当k1时，g(k1k1111k而0，e1， 1k1所以g()0，此时不满足ykx1与f(x)无交点．

k1令g(x)x1(1k)ex10 ， 则xln(1k)， ③当k1时，令g(x)ex当x(,ln(1k))时，g(x)0，g(x)在(,ln(1k))上单调递减； 当x(ln(1k),)时，g(x)0，g(x)在(ln(1k),)上单调递增； 当xln(1k)时，g(x)ming(ln(1k))(1k)(1ln(1k))． 由 (1k)(1ln(1k))0 得1ek1，

即ykx1与f(x)无交点．

综上所述 当k(1e,1]时，ykx1与f(x)无交点． ……………13分

（2016东城上学期期末理）（19）（本小题共14分）（零点，问题转化）

ex已知函数f(x)a(xlnx)．

x（Ⅰ）当a1时，试求f(x)在(1,f(1))处的切线方程； （Ⅱ）当a0时，试求f(x)的单调区间；

（Ⅲ）若f(x)在(0,1)内有极值，试求a的取值范围．

ex(x1)1/1f(1)0，f(1)e1． 解：（Ⅰ）当a1时，f(x)，2xx/ 方程为ye1． …………………4分

ex(x1)1ex(x1)ax(x1)a(1) （Ⅱ）f(x)， x2xx2(exax)(x1)  ．

x2

当a0时，对于x(0,)，exax0恒成立，

f'(x)0  0x10.

所以 f'(x)0 x1；

所以 单调增区间为(1,)，单调减区间为(0,1) ． …………………8分

'（Ⅲ）若f(x)在(0,1)内有极值，则f(x)在x(0,1)内有解．

(exax)(x1)exx0 eax0 a . 令f(x)2xx'ex设g(x) x(0,1),

xex(x1)所以 g(x), 当x(0,1)时，g'(x)0恒成立，

x'所以g(x)单调递减.

又因为g(1)e，又当x0时，g(x), 即g(x)在x(0,1)上的值域为(e,),

(exax)(x1)0 有解. 所以 当ae时，f(x)2x'xx设H(x)eax，则 H(x)ea0 x(0,1)，

所以H(x)在x(0,1)单调递减. 因为H(0)10，H(1)ea0,

x所以H(x)eax在x(0,1)有唯一解x0.

所以有：

x (0,x0)  x0 0 0 (x0,1) H(x) f'(x)    f(x) 极小值

所以 当ae时，f(x)在(0,1)内有极值且唯一.

当ae时，当x(0,1)时，f'(x)0恒成立，f(x)单调递增，不成立． 综上，a的取值范围为(e,)． …………………14分

（2015海淀一模理）（18）（本小题满分13分）（问题转化、零点）

已知函数f(x)alnx1(a0). x（Ⅰ）求函数f(x)的单调区间；

（Ⅱ）若{xf(x)0}[b,c]（其中bc），求a的取值范围，并说明[b,c](0,1). （18）（共13分） 解：（Ⅰ）f'(x)a1ax122(x0). ………………2分 xxx（ⅰ）当a0时，f'(x)0，则函数f(x)的单调递减区间是(0,).

………………3分

（ⅱ）当a0时，令f'(x)0，得x1. a

当x变化时，f'(x),f(x)的变化情况如下表

x 1(0,) a1 a1(,) a ↗ f'(x) f(x)

 ↘ 0 极小值 所以 f(x)的单调递减区间是(0,)，单调递增区间是(,). ………………5分

1a1a（Ⅱ）由（Ⅰ）知：

当a0时，函数f(x)在区间(0,)内是减函数，所以，函数f(x)至多存在一个零点，不符合题意. ………………6分

当a0时，因为 f(x)在(0,)内是减函数，在(,)内是增函数，所以 要使

1a1a11{xf(x)0}[b,c]，必须f()0，即alna0.

aa

所以 ae. ………………7分

1122)aln()a2alnaaa(a2lna). 22aa2x2(xe). 令g(x)x2lnx(xe)，则g'(x)1xx当ae时，f(当xe时，g'(x)0，所以，g(x)在[e,)上是增函数. 所以 当ae时，g(a)a2lnag(e)e20.

1)0. ………………9分 2a111因为 21，f()0，f(1)10，

aaa111所以 f(x)在(2,)内存在一个零点，不妨记为b，在(,1)内存在一个零点，不妨记为

aaa所以 f(c. ………………11分 11因为 f(x)在(0,)内是减函数，在(,)内是增函数，

aa所以 {xf(x)0}[b,c].

综上所述，a的取值范围是(e,+). ………………12分 因为 b(111，,)c(,1)， 2aaa所以 [b,c](0,1). ………………13分

（2015海淀上学期期末）（19）（本小题满分13分）（零点、三角函数）

已知函数f(x)acosxxsinx，x[ππ,]. 22（Ⅰ）判断函数f(x)的奇偶性，并证明你的结论；

（Ⅱ）求集合A{x|f(x)0}中元素的个数；

（Ⅲ）当1a2时，问函数f(x)有多少个极值点？（只需写出结论） （19）（共13分）

解：（Ⅰ）函数f(x)是偶函数，证明如下： ………………1分 对于x[ππππ,]，则x[,]. ………………2分 2222 因为 f(x)acos(x)xsin(x)acosxxsinxf(x)，

所以 f(x)是偶函数. ………………4分 （Ⅱ）当a0时，因为 f(x)acosxxsinx0，x[ππ,]恒成立， 22所以 集合A{x|f(x)0}中元素的个数为0. ………………5分 当a0时，令f(x)xsinx0，由x[得 x0.

所以 集合A{x|f(x)0}中元素的个数为1. ………………6分 当a0时，因为 f'(x)asinxsinxxcosx(1a)sinxxcosx0,x(0,)，

ππ,]， 22π2π2ππ因为 f(0)a0,f()0，

22π

所以 f(x)在(0,)上只有一个零点.

2

所以 函数f(x)是[0,]上的增函数. ………………8分

由f(x)是偶函数可知，集合A{x|f(x)0}中元素的个数为2. ………………10分

综上所述，当a0时，集合A{x|f(x)0}中元素的个数为0；当a0时，集合A{x|f(x)0}中元素的个数为1；当a0时，集合A{x|f(x)0}中元素的个数为2.

（Ⅲ）函数f(x)有3个极值点. ………………13分