空间几何体

高三新 数学 第一轮复习教案（讲座 8）—空间几何体

一．课标要求： 1．利用实物模型、计算机软件观察大量空间图形，认识柱、锥、台、球及其简单

组合 体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构；

2．能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图， 能识别上

述的三视图所表示的立体模型，会使用材料（如：纸板）制作模型，会用斜二侧法 画出它们的直观图；

3．通过观察用两种方法（平行投影与中心投影）画出的视图与直观图，了解空间图形 的不同表

示形式；

4．完成实习作业，如画出某些建筑的视图与直观图（在不影响图形特征的基础上，尺 寸、线条

等不作严格要求） ；

二．命题走向 近几年来，立体几何高考命题形式比较稳定，题目难易适中，解答题常常立足于棱

柱、 棱锥和正方体位置关系的证明和夹角距离的求解， 而选择题、 填空题又经常研究空间几何体 的几何特征和体积表面积。 因此复习时我们要首先掌握好空间几何体的空间结构特征。 培养 好空间想能力。

预测 07 年高考对该讲的直接考察力度可能不大，但经常出一些创新型题目，具体预测 如下： （1）题目多出一些选择、填空题，经常出一些考察空间想象能力的试题；解答题的考 察位置关系、夹角距离的载体使空间几何体，我们要想象的出其中的点线面间的位置关系；

（2）研究立体几何问题时要重视多面体的应用，才能发现隐含条件，利用隐蔽条件解 题。

三．要点精讲

1．柱、锥、台、球的结构特征

（1）柱

棱柱：一般的， 有两个面互相平行， 其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公 共边都互相平行， 由这些面所围成的几何体叫做棱柱； 棱柱中两个互相平行的面叫做棱柱的 底面， 简称为底；其余各面叫做棱柱的侧面； 相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱； 侧面与底 面的公共顶点叫做棱柱的顶点。

底面是三角形、四边形、五边形……的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱…… 圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴， 其余边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做 圆柱； 旋转轴叫做圆柱的轴； 垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面； 无论旋转到什 么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线。

棱柱与圆柱统称为柱体； （2）锥

棱锥： 一般的有一个面是多边形， 其余各面都是有一个公共顶点的三角形， 由这些面所 围成的几何体叫做棱锥； 这个多边形面叫做棱锥的底面或底； 有公共顶点的各个三角形面叫 做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱。

底面是三角锥、四边锥、五边锥……的棱柱分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥…… 圆锥：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴， 其余两边旋转形成的曲面所围 成的几何体叫做圆锥； 旋转轴为圆锥的轴； 垂直于轴的边旋转形成的面叫做圆锥的底面； 斜 边旋转形成的曲面叫做圆锥的侧面。

棱锥与圆锥统称为锥体。 （3）台

棱台： 用一个平行于底面的平面去截棱锥， 底面和截面之间的部分叫做棱台； 原棱锥的 底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面；棱台也有侧面、侧棱、顶点。

圆台： 用一个平行于底面的平面去截圆锥， 底面和截面之间的部分叫做圆台； 原圆锥的 底面和截面分别叫做圆台的下底面和上底面；圆台也有侧面、母线、轴。

圆台和棱台统称为台体。 （4）球

以半圆的直径所在的直线为旋转轴， 半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体， 简称为球； 半圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径。

（5）组合体 由柱、锥、台、球等几何体组成的复杂的几何体叫组合体。

2．空间几何体的三视图 三视图是观测者从不同位置观察同一个几何体，画出的空间几何体的图

形。 他具体包括：

（1）正视图：物体前后方向投影所得到的投影图； 它能反映物体的高度和长度； （2）侧视图：物体左右方向投影所得到的投影图； 它能反映物体的高度和宽度； （3）俯视图：物体上下方向投影所得到的投影图； 它能反映物体的长度和宽度；

3．空间几何体的直观图 （ 1）斜二测画法

① 建立直角坐标系，在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的 标系；

② 画出斜坐标系， 在画直观图的纸上 （平面上）画出对应的OX,O'Y,使 X OY' =45（或

0

OX OY建立直角坐

135），它们确定的平面表示水平平面；

③ 画对应图形，在已知图形平行于 X轴的线段，在直观图中画成平行于 X’轴，且长度 保持不变；在已知图形平行于 Y轴的线段，在直观图中画成平行于 丫车由，且长度变为原来 的一半；

④ 擦去辅助线，图画好后，要擦去 X轴、Y轴及为画图添加的辅助线（虚线）。

（ 2）平行投影与中心投影 平行投影的投影线是互相平行的，中心投影的投影线相交于一点。

0

四．典例解析

题型 1：空间几何体的构造

例1.（ 1） （06北京理4）平面 的斜线 AB交 于点B,过定点A的动直线|与AB 垂直，且交

于点C,则动点C的轨迹是（

）

A .一条直线 B .一个圆 C .一个椭圆 D .双曲线的一支

（2）（04天津文 8）如图， 定点 A 和 B 都在平面 内，定点 P ,PB 异于A和B的动点，且PC AC.那么，动点在平面

内的轨迹是（

）

, C 是 内

A .一条线段，但要去掉两个点 C .一个椭圆，但要去掉两个点

B .一个圆，但要去掉两个点 D .半圆，但要去掉两个点

（3）正方体ABCD_AIBICIDI的棱长为2,点M是BC的中点，点P是平面ABCD内的一

个动点，且满足 PM=2 , P到直线AIDI的距离为,5，则点P的轨迹是［

A.圆 B.双曲线 C.两个点 D.直线

解析：（1）设I与I是其中的两条任意的直线， 则这两条直线确定一个平面， 且斜线AB 垂直这个平面，由过平面外一点有且只有一个平面与已知直线垂直可知过定点 所有直线都在这个平面内，故动点 C都在这个平面与平面 的交线上，故选 Ao

（2）答案为B o

A与AB垂直

（3）解析：点P到AIDI的距离为.5，则点P到AD的距离为1,满足此条件的P的轨迹

是到直线AD的距离为1的两条平行直线，

又Q PM 2 , 满足此条件的P的轨迹是以M为圆心，半径为2的圆，这两种轨迹 只有两个交点

•

故点P的轨迹是两个点。选项为 C o

点评：该题考察空间内平面轨迹的形成过程，考察了空间想象能力。 例2 . （ 06江苏9）两相同的正四棱锥组成如 图

1所示的几何体，可放棱长为 1的正方体内,

使正四棱锥的底面 ABCD与正方体的某一个平面 平行，且各顶点.均在正方体的面上，则这样的几 何体体积的可能值有（

）

A . 1个 B . 2个 C . 3个 D.无穷多个

ABCD

影响几何体体积的只能是正四棱锥底

解析：由于两个正四棱锥相同，所以所求几何体的中心在正四棱锥底面正方形 中心，有对称性知正四棱锥的高为正方体棱长的一半，

面正方形ABCD的面积，问题转化为边长为 1的正方形的内接正方形有多少种，所以选 Do

点评：本题主要考查空间想象能力，以及正四棱锥的体积。正方体是大家熟悉的几何体， 它的一些内接或外接图形需要一定的空间想象能力，要学会将空间问题向平面问题转化。 题型2:空间几何体的定义

例3. （ 06江西文9）如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥” 为它的腰，以下4个命题中，假命题.是（B ）

，四条侧棱称

A. 等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等

E.等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补 C. 等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆 D. 等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上

解析：因为“等腰四棱锥”的四条侧棱都相等， 所以它的顶点在底面的射影到底面的四个 顶点的距离相等，故 A, C正确，且在它的高上必能找到一点到各个顶点的距离相等，故 正确，B不正确，如底面是一个等腰梯形时结论就不成立。故选 点评：抓住本质的东西来进行判断，对于信息要进行加工再利用。

例4.（2002北京理，10）设命题甲：“直四棱柱 ABCD — A1B1C1D1中，平面ACB1与对角面 BB1D1D垂直”；命题乙：“直四棱柱 ABCD — A1B1C1D1是正方体” •那么，甲是乙的（

）

D

B

A. 充分必要条件 B. 充分非必要条件 C. 必要非充分条件

D. 既非充分又非必要条件 C

解析：若命题甲成立，命题乙不一定成立，如底面为菱形时。若命题乙成立，命题甲一

定成立。答案为C。

点评：对于空间几何体的定义要有深刻的认识，掌握它们并能判断它们的性质。 题型3:空间几何体中的想象能力

例5. (2002上海春，10)图9—12表示一个正方体表面的一种展开图，图中的四条线 段AB、

CD、EF和GH在原正方体中相互异面的有 __________________ 对•

F

解析：相互异面的线段有

点评：解决此类题目的关键是将平面图形恢复成空间图形， 较强的考察了空间想象能力。

例6. (2003京春文11,理8)如图9— 1,在正三角形 ABC中，

D, E, F分别为各边的中点，

的度数为(

)

G, H, I, J分别为 AF, AD, BE,

DE的中点•将△ ABC沿DE , EF , DF折成三棱锥以后，GH与IJ所 成角A . 90° C. 45° 答案：B

解析：将三角形折成三棱锥如图

B. 60°

D.

图9 —

9— 43所示.HG与IJ为一对异

面直线•过点D分别作HG与IJ的平行线，即DF与AD.所以/ ADF即为所求•因此，HG与 IJ所成角为60 °。

点评：在画图过程中正确理解已知图形的关系是关键。通过识图、 查了想图、画图的角度考 空间想象能力。而对空间图形的处理能力是空间想象力深化的标志， 查空间想象能力的主要方向。 题型4:斜二测画法

例7.画正五棱柱的直观图，使底面边长为 作法：

(1) 画轴：画 X ', Y ', Z '轴，使/ X ' O ' Y ' =45 °(或 135°),/ X ' O ' Z

是高考从深层上考

3cm侧棱长为5cm。

Z轴方向平移即可得。

解析：先作底面正五边形的直观图，再沿平行于

=90 °。

(2) 画底面：按 X'轴，Y '轴画正五边形的直观图 ABCDE。

(3) 画侧棱：过 A、B、C、D、E各点分别作Z'轴的平行线，并在这些平行线上分 别截取 AA ' , BB ' , CC ' , DD ' , EE。'

(4) 成图：顺次连结 A ' , B ' , C ' , D ' , F',加以整理，去掉辅助线，改被遮 挡的部分为虚线。

点评：用此方法可以依次画出棱锥、棱柱、棱台等多面体的直观图。 例& ABC是正△ ABC的斜二测画法的水平放置图形的直观图，若

积为J3，那么△ ABC的面积为 ____________________ 。

解析：2、6。

点评：该题属于斜二测画法的应用，解题的关键在于建立实物图元素与直观图元素之间 的对应关系。特别底和高的对应关系。 题型5:平行投影与中心投影

例9. (1)如图，在正四面体 A — BCD中，E、F、G分别是三角形 ADC、ABD、BCD 的中心，则△ EFG在该正四面体各个面上的射影所有可能的序号是(

)

ABC的面

A .①③ B .②③④ C.③④ D .②④

9— 15 (2)的 _______ (要求：

(2) (2000全国，16)如图9—15 (1), E、F分别为正方体的面 ADDIAI、面BCCiBi 的中心，则四边形 BFD1E在该正方体的面上的射影可能是图 把可能的图的序号都 填上)•

① ② ③ @

解析：(1)正四面体各面的中点在四个面上的射影不可能落到正四面体的边上， 射影如“③”所示。答案： C ；

(2)答案：②③；解析：•••面

所以①

②不正确，根据射影的性质 E、F、G、三点在平面ABC内的射影形状如“④”所示，在其 它平面上的

BFDJE丄面ADD1A1,所以四边形 BFD1E在面ADD1A1

上的射影是③，同理，在面 BCC1B1上的射影也是③。过 E、F分别作DD1和CC1的垂线， 可得四边形

BFDJE在面DCC1D1上的射影是②，同理在面ABB1A1,面ABCD和面A1B1C1D1 上的射影也是②。

点评：考查知识立足课本，对空间想象能力、 性等方面要求较高，体现了加强能力考查的方向。

例10. ( 06安徽理16)多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的，如图，正方 体的一个顶点A在平面 内，其余顶点在

的同侧，正方体上与顶点 A相邻的三个顶点到

的距离分别为1, 2和4, P是正方体的其余四个顶点中的一个，则

分析问题的能力、操作能力和思维的灵活

P到平面 的距离可能

是： ①3; ②4; ③5; ④6; ⑤7

以上结论正确的为 ___________________________ (写出所有正确结论的编号) 解析：如图，B、D、A到平面 的距离分别为1、

2、4，贝U D、Ai的中点到平面 的距离为3,所以D 到平面 的距离为6; B、Ai的中点到平面 的距离为

Ci

5 2

—,所以Bi到平面 的距离为5;贝9 D B的中点到

平面 的距离为—，所以C到平面 的距离为3; C

3 2

Ai的中点到平面 的距离为，所以C到平面 的距

7

2

离为7;而P为C、C、Bi、D中的一点，所以选①③④⑤。

点评：该题将计算蕴涵于射影知识中，属于难得的综合题目。 题型6:三视图

例i i. (i )画出下列几何体的三视图

解析：这二个几何体的三视图如下

(2)如图，设所给的方向为物体的正前方，试画出它的三视图(单位： cm)

点评：画三视图之前，应把几何体的结构弄清楚， 选择一个合适的主视方向。一般先画

主视图，其次画俯视图， 最后画左视图。画的时候把轮廓线要画出来， 被遮住的轮廓线要画 成虚线。物体上每一组成部分的三视图都应符合三条投射规律。

例i 2.某物体的三视图如下，试判断该几何体的形状

解析：该几何体为一个正四棱锥分析： 三视图是从三个不同的方向看同一物体得到的三 个视图。

点评：主视图反映物体的主要形状特征， 主要体现物体的长和高， 不反映物体的宽。而 俯视图和主视图共同反映物体的长要相等。左视图和 此就不难得出该几何体的形状。

俯视图共同反映物体的宽要相等。据

五.思维总结

1.几种常凸多面体间的关系

按侧橙与虑页 ■

------------ --------------- 按底而务边龜分英 □ 王 -- ［黑桂村｝

_1

三血 Af正芝血体］

L B1糧柱 …… - 1 巨怖柱］ - ► .?

FI 名称

棱锥 正棱锥 棱台 正棱台

图形

2. 一些特殊棱柱、棱锥、棱台的概念和主要性质

名称 棱柱 直棱柱 正棱柱 9 l> |i ■ 4 ■ ■ 图形 ■ 1 ■- <■ ? ■ fi 4 « 有两个面互相平 仃，而其余每相 邻定义 两个面的交线 都互相平行的多 面体 侧棱 侧面的形状 对角面的形状 平行于底面的截面

侧棱垂直于底面 的棱柱 底面是正多边形的 直棱柱 r平行且相等 平行四边形 平行四边形 与底面全等的多 边形 平行且相等 矩形 矩形 与底面全等的多 边形 平行且相等 全等的矩形 矩形 与底面全等的正多 边形 的形状 有一个面是多 边底面是正多边 用一个平行于 棱由正棱锥截得 的锥底面的平 面去棱台 截棱锥，底 面和截面之间 的部分 形，其余各面 是有形，且顶点在底 定义 一个公共 顶点的三面的射影是底 面角形 的多面体 的射影是底 面和截面之间 的部分 相交于一点但 不一相交于一点且 定相等 三角形 三角形 相等 全等的等腰三 角形 等腰三角形 延长线交于一 占 八、、 梯形 梯形 相等且延长线 交于一点 全等的等腰梯 形 等腰梯形 与底面相似的 正多边形 侧棱 侧面的 形状 对角面 的形状 平行于 底的截 面形状 与底面相似的 多边与底面相似的 正多边形 形 与底面相似的 多边形 咼过底面中心； 侧棱与底面、侧 其他性 质 面与底面、相邻 两侧面所成角 都

两底中心连线 即高；侧棱与底 面、侧面与底 面、相邻两侧面 所成角都相等 相等 几种特殊四棱柱的特殊性质

名称 平行六面体 特殊性质 底面和侧面都是平行四边行； 四条对角线交于一点， 且被该点平分 侧棱垂直于底面，各侧面都是矩形；四条对角线交 直平行六面体 于一点，且被该点平分 且被该点平分 底面和侧面都是矩形； 四条对角线相等，交于一点， 长方体 棱长都相等，各面都是正方形四条对角线相等，交 正力体 于一点，且被该点平分 左觇IU 3.三视图画法规则 —1—. Izu RM J ___ 厂主观圏 J \\高平齐- 主视图与左视图的高要保持平齐 丨刊 主视图与俯视图的长应对正 1 ) \\ 宽相等: 俯视图与左视图的宽度应相等 l/U RM H J |RJ |/|JJ 'J 1 「 —I—r r 怛LX 丿 ftW / F 1 尹 - /

4．画水平放置的多边形的直观图的关键是确定多边形顶点的位置，因为多边形顶点的 位

置一旦确定， 依次连结这些顶点就可画出多边形来， 因此平面多边形水平放置时， 的画法可以归结为确定点的位置的画法。强调斜二测画法的步骤。

直观图