一、选择题1.
下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是( )
A. 𝑥2+2𝑥−1=𝑥(𝑥+2)+1C. 𝑥2+4𝑥+4=(𝑥+2)2
2.
B. (𝑎+𝑏)(𝑎−𝑏)=𝑎2−𝑏2D. 𝑎𝑥2−𝑎=𝑎(𝑥2−1)
下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的为( )
A. 8(𝑥+𝑦)=8𝑥+8𝑦C. 10𝑥2+5𝑥=5𝑥(2𝑥+1)
3.
B. (𝑥−𝑦)2=𝑥2−2𝑥𝑦+𝑦2
D. 𝑥2−4+3𝑥=(𝑥+2)(𝑥−2)+3𝑥
因式分解(𝑥+𝑦)2−2(𝑥2−𝑦2)+(𝑥−𝑦)2的结果为( )
A. 4(𝑥−𝑦)2
4.
B. 4𝑥2C. 4(𝑥+𝑦)2D. 4𝑦2
多项式36𝑎2𝑏𝑐−48𝑎𝑏2𝑐+24𝑎𝑏𝑐中的各项的公因式是 ( )
A. 12𝑎2𝑏2𝑐2
5.
B. 6 abcC. 12 abcD. 36𝑎2𝑏2𝑐2
多项式8𝑎3𝑏2+12𝑎3𝑏𝑐−4𝑎2𝑏中，各项的公因式是( )
A. 𝑎2𝑏
6.
B. 4𝑎2𝑏C. −4𝑎2𝑏D. −𝑎2𝑏
下列各式中，不能用完全平方公式分解的有( )
1
1
①𝑥2−10𝑥+25; ②4𝑎2+4𝑎−1; ③𝑥2−2𝑥−1; ④−𝑚2+𝑚−4; ⑤4𝑥4−𝑥2+4．
A. 1个7.
B. 2个C. 3个D. 4个
多项式𝑎2+2𝑎−𝑏2−2𝑏分解因式的结果是( )
A. (𝑎−𝑏)(𝑎+2)(𝑏+2)C. (𝑎−𝑏)(𝑎+𝑏)+28.
B. (𝑎−𝑏)(𝑎+𝑏+2)D. (𝑎2−2𝑏)(𝑏2−2𝑎)
下列多项式中不能用平方差公式因式分解的是( )
A. 𝑎2−𝑏29.
B. 49𝑥2−𝑦2𝑧2C. −𝑥2−𝑦2D. 16𝑚2𝑛2−25𝑝2
因式分解𝑏2(𝑎−3)+𝑏(𝑎−3)的正确结果是( )
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A. (𝑎−3)(𝑏2+𝑏)B. 𝑏(𝑎−3)(𝑏+1)C. (𝑎−3)(𝑏2−𝑏)D. 𝑏(𝑎−3)(𝑏−1)
10.多项式𝑥2−𝑚𝑥𝑦+9𝑦2能用完全平方公式因式分解，则m的值是( )．
A. 3
B. 6
C. ±3
D. ±6
11.已知𝑎−𝑏=3，𝑎+𝑐=−1，则代数式𝑎𝑐−𝑏𝑐+𝑎2−𝑎𝑏的值为( )
A. 4
B. 3
C. −3
D. −4
12.已知2𝑥>6−𝑏的解集为−1<𝑥<2，则𝑎2−𝑏2的值为( )
A. −39
二、填空题
{3𝑥−1<𝑎
B. −3C. 3D. 39
13.分解因式：(2𝑎−1)2+8𝑎=________．14.因式分解：𝑎2𝑏−4𝑎𝑏+4𝑏=______．
15.若𝑎+𝑏=2，𝑎𝑏=−3，则式子𝑎3𝑏+2𝑎2𝑏2+𝑎𝑏3的值为_______．16.多项式−𝑎𝑏(𝑎−𝑏)2+𝑎(𝑏−𝑎)2−𝑎𝑐(𝑎−𝑏)2因式分解时，所提取的公因式应是
．三、计算题
17.把下列各式分解因式：
(1)𝑎2−5𝑎； (2)𝑎𝑏+𝑎𝑐；
(3)4𝑎3𝑏2−10𝑎𝑏3𝑐； (4)−3𝑚𝑎3+6𝑚𝑎2−12𝑚𝑎；
(5)6𝑝(𝑝+𝑞)−4𝑞(𝑝+𝑞).
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四、解答题
18.先分解因式，然后计算求值：(𝑥+𝑦)(𝑥2+3𝑥𝑦+𝑦2)−5𝑥𝑦(𝑥+𝑦)，其中𝑥=6.6，
𝑦=−3.4．
19.已知𝑎=2𝑚+1,𝑏=2𝑚+2，𝑐=2𝑚+3，求𝑎2+2𝑎𝑏+𝑏2−2𝑎𝑐+𝑐2−2𝑏𝑐的值(
用含m的代数式表示)．
111
20.老师在黑板上写了三个算式：52−32=8×2，92−72=8×4，152−32=8×27.王
华接着又写了两个具有同样规律的算式：112−52=8×12，152−72=8×22，…．
(1)请你再写出两个(不同于上面的算式)具有上述规律的算式；(2)用文字写出上述算式反映的规律；(3)证明这个规律的正确性．
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答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了因式分解的意义，解答本题的关键是掌握因式分解的意义即因式分解后右边是整式积的形式，且每一个因式都要分解彻底.根据因式分解的意义分别进行判断，即可得出答案．【解答】
解：A、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；B、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；C、符合因式分解的定义，故本选项正确；
D、右边分解不彻底，不是因式分解，故本选项错误；故选：C
2.【答案】C
【解析】【分析】
此题主要考查了因式分解的意义，正确把握定义是解题关键．直接利用分解因式的定义分析得出答案．【解答】
解：𝐴.8(𝑥+𝑦)=8𝑥+8𝑦，是整式乘法运算，故此选项错误；B.(𝑥−𝑦)2=𝑥2−2𝑥𝑦+𝑦2，是整式乘法运算，故此选项错误；C.10𝑥2+5𝑥=5𝑥(2𝑥+1)，是分解因式，符合题意；
D.𝑥2−4+3𝑥=(𝑥+2)(𝑥−2)+3𝑥，不符合分解因式的定义，故此选项错误．故选C．
3.【答案】D
【解析】解：原式=[(𝑥+𝑦)−(𝑥−𝑦)]2，=(𝑥+𝑦−𝑥+𝑦)2，
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=4𝑦2，故选：D．
利用完全平方进行分解即可．
此题主要考查了公式法分解因式，关键是掌握完全平方公式𝑎2±2𝑎𝑏+𝑏2=(𝑎±𝑏)2．
4.【答案】C
【解析】【分析】
此题主要考查了公因式的确定，根据公因式的定义确定是解决问题的关键，根据公因式的定义，找出数字的最大公约数，找出相同字母的最低次数，直接找出每一项中公共部分即可．【解答】
解：多项式36𝑎2𝑏𝑐−48𝑎𝑏2𝑐+24𝑎𝑏𝑐各项的公因式是：12 abc．故选C．
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了多项式，能熟记多项式的公因式的定义是解此题的关键．根据公因式的定义得出即可．【解答】
解：多项式8𝑎3𝑏2+12𝑎3𝑏𝑐−4𝑎2𝑏中各项的公因式是4𝑎2𝑏，故答案选B．
6.【答案】C
【解析】
【分析】此题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式的形式是解题关键．分别利用完全平方公式分解因式得出即可．【解答】
①𝑥2−10𝑥+25=(𝑥−5)2，不符合题意; ②4𝑎2+4𝑎−1不能用完全平方公式分解;
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③𝑥2−2𝑥−1不能用完全平方公式分解;
1
1
1
④−𝑚2+𝑚−4=−(𝑚2−𝑚+4)=−(𝑚−2)2，不符合题意;
1
⑤4𝑥4−𝑥2+4不能用完全平方公式分解．故选C．
7.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查用分组分解法、提取公因式法与公式法的综合运用.难点是采用两两分组还是三一分组.当被分解的式子是四项时，应考虑运用分组分解法进行分解.多项式𝑎2+2𝑎−𝑏2−2𝑏先变形为𝑎2−𝑏2+2𝑎−2𝑏可分成前后两组来分解.前两项组合利用平方差公式，后两项组合利用提公因式法，最后再次提公因式(𝑎−𝑏)即可．【解答】
解：𝑎2+2𝑎−𝑏2−2𝑏
=(𝑎2−𝑏2)+(2𝑎−2𝑏)=(𝑎+𝑏)(𝑎−𝑏)+2(𝑎−𝑏)
=(𝑎−𝑏)(𝑎+𝑏+2)．故选B．
8.【答案】C
【解析】【分析】
此题主要考查了公式法分解因式，关键是掌握平方差公式：𝑎2−𝑏2=(𝑎+𝑏)(𝑎−𝑏).根据能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反进行分析即可．【解答】
解：𝐴.𝑎2−𝑏2=(𝑎+𝑏)(𝑎−𝑏)，能用平方差公式分解，故此选项不合题意；B.49𝑥2−𝑦2𝑧2=(7𝑥+𝑦𝑧)(7𝑥−𝑦𝑧)，能用平方差公式分解，故此选项不合题意；
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C.−𝑥2−𝑦2不能用平方差公式分解，故此选项符合题意；
D.16𝑚2𝑛2−25𝑝2=(4𝑚𝑛−5𝑝)(4𝑚𝑛+5𝑝)，能用平方差公式分解，故此选项不合题意；故选C．
9.【答案】B
【解析】【分析】
此题考查了因式分解−提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．直接提取公因式𝑏(𝑎−3)即可．【解答】
解：原式=𝑏(𝑎−3)(𝑏+1)．故选B．
10.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查因式分解的应用，完全平方公式．由多项式𝑥2−𝑚𝑥𝑦+9𝑦2能用完全平方公式因式分解，得𝑥2−𝑚𝑥𝑦+9𝑦2=(𝑥±3𝑦)2，再用完全平方公式展开，即可得𝑥2−𝑚𝑥𝑦+9𝑦2=𝑥2±6𝑥𝑦+9𝑦2，最后由多项式对应项系数相等即可得出答案．【解答】解：由题意，得
𝑥2−𝑚𝑥𝑦+9𝑦2=(𝑥±3𝑦)2，∴𝑥2−𝑚𝑥𝑦+9𝑦2=𝑥2±6𝑥𝑦+9𝑦2，∴−𝑚=±6，∴𝑚=±6，故选D．
11.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了因式分解的应用：用因式分解解决求值问题，利用因式分解简化计算问题．本题的关键是把所求代数式分解因式．
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先利用分组分解的方法把𝑎𝑐−𝑏𝑐+𝑎2−𝑎𝑏因式分解为(𝑎−𝑏)(𝑐+𝑎)，再利用整体代入的方法计算．【解答】
解：∵𝑎𝑐−𝑏𝑐+𝑎2−𝑎𝑏，=𝑐(𝑎−𝑏)+𝑎(𝑎−𝑏)，=(𝑎−𝑏)(𝑐+𝑎)，
∵𝑎−𝑏=3，𝑎+𝑐=−1，
∴𝑎𝑐−𝑏𝑐+𝑎2−𝑎𝑏=3×(−1)=−3．故选C．
12.【答案】A
【解析】【分析】
此题考查了因式分解−运用公式法，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．表示出不等式组的解集，确定出a与b的值，即可求出所求．【解答】3𝑥−1<𝑎解：2𝑥>6−𝑏,解得：
{{𝑥<𝑥>
𝑎+136−𝑏,2
∵不等式的解集为为−1<𝑥<2，∴
6−𝑏2
=−1，
𝑎+13
=2，
解得：𝑎=5，𝑏=8，
则原式=(𝑎+𝑏)(𝑎−𝑏)=13×(−3)=−39，故选A．
13.【答案】(2𝑎+1)2
【解析】【分析】
本题主要考查运用完全平方公式分解因式，先利用完全平方公式展开整理成多项式的一般形式是解题的关键．
先根据完全平方公式展开，合并同类项后，再利用完全平方式分解因式即可．
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【解答】解：(2𝑎−1)2+8𝑎
=4𝑎2−4𝑎+1+8𝑎=4𝑎2+4𝑎+1
=(2𝑎+1)2．故答案为(2𝑎+1)2．
14.【答案】𝑏(𝑎−2)2
【解析】【分析】
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．原式提取b，再利用完全平方公式分解即可．【解答】
解：原式=𝑏(𝑎2−4𝑎+4)=𝑏(𝑎−2)2．故答案为：𝑏(𝑎−2)2．
15.【答案】−12
【解析】【分析】
本题考查了因式分解的应用以及完全平方式的转化，注意因式分解各种方法的灵活运用是解题的关键．根据𝑎3𝑏+2𝑎2𝑏2+𝑎𝑏3=𝑎𝑏(𝑎2+2𝑎𝑏+𝑏2)=𝑎𝑏(𝑎+𝑏)2，结合已知数据即可求出代数式𝑎3𝑏+2𝑎2𝑏2+𝑎𝑏3的值．【解答】
解：∵𝑎+𝑏=2，𝑎𝑏=−3，
∴𝑎3𝑏+2𝑎2𝑏2+𝑎𝑏3=𝑎𝑏(𝑎2+2𝑎𝑏+𝑏2)，=𝑎𝑏(𝑎+𝑏)2，=−3×4，=−12．故答案为：−12．
16.【答案】−𝑎(𝑎−𝑏)2
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【解析】【分析】
此题主要考查了提公因式法分解因式，注意偶次幂时，交换被减数和减数的位置，值不变；奇次幂时，交换被减数和减数的位置，应加上负号．
首先把可把(𝑏−𝑎)2变成(𝑎−𝑏)2，再直接提取公因式−𝑎(𝑎−𝑏)2即可．【解答】
解：−𝑎𝑏(𝑎−𝑏)2+𝑎(𝑎−𝑏)2−𝑎𝑐(𝑎−𝑏)2=−𝑎(𝑎−𝑏)2(𝑏+1−𝑐)，故答案为−𝑎(𝑎−𝑏)2．
17.【答案】解：(1)𝑎2−5𝑎=𝑎(𝑎−5)；
(2)𝑎𝑏+𝑎𝑐=𝑎(𝑏+𝑐)；
(3)4𝑎3𝑏2−10𝑎𝑏3𝑐=2𝑎𝑏2(2𝑎2−5𝑏𝑐)；
(4)−3𝑚𝑎3+6𝑚𝑎2−12𝑚𝑎=−3𝑚𝑎(𝑎2−2𝑎+4)；(5)6𝑝(𝑝+𝑞)−4𝑞(𝑝+𝑞)=2(𝑝+𝑞)(3𝑝−2𝑞)．
【解析】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确提取公因式是解题关键．(1)提取公因式a，即可得出答案；(2)提取公因式a，即可得出答案；(3)提取公因式2𝑎𝑏2，即可得出答案；(4)提取公因式−3𝑚𝑎，即可得出答案；(5)提取公因式2(𝑝+𝑞)，即可得出答案．
18.【答案】(𝑥+𝑦)(𝑥2+3𝑥𝑦+𝑦2)−5𝑥𝑦(𝑥+𝑦)
=(𝑥+𝑦)(𝑥2+3𝑥𝑦+𝑦2−5𝑥𝑦)=(𝑥+𝑦)(𝑥2−2𝑥𝑦+𝑦2)
=(𝑥+𝑦)(𝑥−𝑦)2
当𝑥=6.6，𝑦=−3.4时，原式=3.2×102=320．
【解析】本题考查求代数式的值，关键是对待求式进行因式分解，然后将x与y的值代入计算即可
19.【答案】解：𝑎2+2𝑎𝑏+𝑏2−2𝑎𝑐+𝑐2−2𝑏𝑐
=(𝑎+𝑏)2−2𝑐(𝑎+𝑏)+𝑐2
=(𝑎+𝑏−𝑐)2
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∵𝑎=2𝑚+1，𝑏=2𝑚+2，𝑐=2𝑚+3∴原式=(𝑎+𝑏)2−2𝑐(𝑎+𝑏)+𝑐2
=(𝑎+𝑏−𝑐)2
111
将a，b，c的值代入得
2
1111=[(𝑚+1)+(𝑚+2)−(𝑚+3)]=𝑚2
2224
【解析】此题考查代数式求值，注意利用完全平方公式因式分解，简化计算的方法与步骤．首先把代数式𝑎2+2𝑎𝑏+𝑏2−2𝑎𝑐−2𝑏𝑐+𝑐2利用完全平方公式因式分解，再代入求得数值即可．
20.【答案】解：(1)112−92=8×5，132−112=8×6．
(2)规律：任意两个奇数的平方差等于8的倍数．
(3)证明：设m，n为整数，两个奇数可表示2𝑚+1和2𝑛+1，则(2𝑚+1)2−(2𝑛+1)2=4(𝑚−𝑛)(𝑚+𝑛+1)．
当m，n同是奇数或偶数时，(𝑚−𝑛)一定为偶数，所以4(𝑚−𝑛)一定是8的倍数．当m，n一奇一偶时，则(𝑚+𝑛+1)一定为偶数，所以4(𝑚+𝑛+1)一定是8的倍数所以，任意两奇数的平方差是8的倍数．
【解析】通过观察可知，等式左边一直是两个奇数的平方差，右边总是8乘以一个数．根据平方差公式，把等式左边进行计算，即可得出结论任意两个奇数的平方差等于8的倍数．
本题为规律探究题，考查学生探求规律解决问题的思维能力．
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