体育单招所有数学公式

高考数学常用公式及结论

1 元素与集合的关系:xAxCUA，xCUAxA.2 集合{a1,a2,有2n2个.

3 二次函数的解析式的三种形式:

(1) 一般式f(x)axbxc(a0);

（2） 顶点式f(x)a(xh)k(a0)；（当已知抛物线的顶点坐标(h,k)时,设为此式) （3） 零点式f(x)a(xx1)(xx2)(a0)；（当已知抛物线与x轴的交点坐标为(x1,0),(x2,0)时，设为此式）

2（4）切线式：f(x)a(xx0)(kxd),(a0)。（当已知抛物线与直线ykxd相切且切点的

横坐标为x0时，设为此式）

4充要条件： （1）、pq，则P是q的充分条件，反之，q是p的必要条件;

（2）、pq，且q ≠> p，则P是q的充分不必要条件； （3）、p ≠> q ，且qp,则P是q的必要不充分条件； (4)、p ≠> q ，且q ≠> p，则P是q的既不充分又不必要条件。

5函数单调性： 增函数：（1)、文字描述是:y随x的增大而增大。

（2）、数学符号表述是：设f（x）在xD上有定义,若对任意的

22AA

,an}的子集个数共有2n 个；真子集有2n1个；非空子集有2n1个；非空的真子集

x1,x2D,且x1x2，都有

f(x1)f(x2)成立，则就叫f（x）在xD上是增函数。D则就是f(x）的递增区间。

减函数:（1)、文字描述是：y随x的增大而减小。

(2）、数学符号表述是：设f(x）在xD上有定义，若对任意的

x1,x2D,且x1x2，都有

f(x1)f(x2)成立,则就叫f(x）在xD上是减函数。D则就是f（x）的递减区间。

单调性性质：(1)、增函数+增函数=增函数；（2）、减函数+减函数=减函数；

（3)、增函数-减函数=增函数；（4）、减函数-增函数=减函数；

注：上述结果中的函数的定义域一般情况下是要变的,是等号左边两个函数定义域的交集。 复合函数的单调性： 函数 单调 内层函数 外层函数 复合函数 等价关系： 单调性 ↓ ↓ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↓ ↓ ↓ ↑ ↓ （1)设x1,x2a,b,x1x2那么

f(x1)f(x2)0f(x)在a,b上是增函数；

x1x2f(x1)f(x2)0f(x)在a,b上是减函数. (x1x2)f(x1)f(x2)0x1x2(x1x2)f(x1)f(x2)0(2)设函数yf(x)在某个区间内可导，如果f(x)0，则f(x)为增函数；如果f(x)0，则f(x)为减函数.

6函数的奇偶性：（注:是奇偶函数的前提条件是：定义域必须关于原点对称） 奇函数：

定义：在前提条件下，若有f(x)f(x)或f(x)f(x)0， 则f（x）就是奇函数.

性质：（1)、奇函数的图象关于原点对称;

（2)、奇函数在x>0和x<0上具有相同的单调区间；

(3）、定义在R上的奇函数,有f(0）=0 。 偶函数：

定义：在前提条件下,若有f(x)f(x)，则f（x）就是偶函数。 性质：（1）、偶函数的图象关于y轴对称；

(2)、偶函数在x〉0和x〈0上具有相反的单调区间； 奇偶函数间的关系： (1）、奇函数·偶函数=奇函数； （2)、奇函数·奇函数=偶函数; (3)、偶奇函数·偶函数=偶函数； (4）、奇函数±奇函数=奇函数（也有例外得偶函数的） （5）、偶函数±偶函数=偶函数； （6)、奇函数±偶函数=非奇非偶函数

奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称；反过来,如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称,那么这个函数是偶函数． 7函数的周期性： 定义：对函数f（x），若存在T0,使得f（x+T）=f(x），则就叫f（x）是周期函数，其中,T是f（x）的一

个周期.

周期函数几种常见的表述形式：

（1)、f（x+T）= — f（x），此时周期为2T ;

(2）、 f（x+m)=f(x+n），此时周期为2mn ； (3)、f(xm)8常见函数的图像:

yyyy1,此时周期为2m 。 f(x)k<0ok>0xoa<0xy=ax01y=kx+ba>02 y=ax+bx+c o1a>1x

9 对于函数yf(x)（xR）,f(xa)f(bx)恒成立，则函数f(x)的对称轴是x个函数yf(xa)与yf(bx) 的图象关于直线x10 分数指数幂与根式的性质： （1)a（2）amnab；两2ba对称. 2nam(a0,m,nN,且n1）。

mn1amn1nam（a0,m,nN,且n1）.



n(3）(na)a。 （4)当n为奇数时，ana；当n为偶数时，nan|a|na,a0.

a,a011 指数式与对数式的互化式: logaNbabN(a0,a1,N0).

指数性质： (1）1、aprs1mnmn0a(a) ； （2）、（） ; (3）、a1a0parsnm(a0,r,sQ) ； （5）、aa ;

mn(4)、aaa指数函数：

(1)、 ya(a1)在定义域内是单调递增函数；

(2）、 ya(0a1)在定义域内是单调递减函数。注： 指数函数图象都恒过点(0,1） 对数性质：

(1）、 logaMlogaNloga(MN) ；（2）、 logaMlogaNlogam(3)、 logabmlogab ；(4)、 logambnxxM ； Nnlogab ; （5)、 loga10 mlogb(6)、 logaa1 ； (7）、 aab

对数函数:

（1)、 ylogax(a1) 在定义域内是单调递增函数；

（2)、ylogax(0a1)在定义域内是单调递减函数；注： 对数函数图象都恒过点（1，0） （3）、 logax0a,x(0,1)或a,x(1,)

(4）、logax0a(0,1)则x(1,) 或 a(1,)则x(0,1) 12对数的换底公式 ：logaN 对数恒等式：alogaNlogmN （a0,且a1,m0，且m1， N0）.

logmaN(a0，且a1, N0）。

推论 logambnnlogab（a0，且a1, N0). m13对数的四则运算法则:若a＞0，a≠1,M＞0，N＞0,则

MlogaMlogaN; Nnn（3）logaMnlogaM(nR)； (4) logamNnlogaN(n,mR)。

m14平均增长率的问题(负增长时p0）:

x如果原来产值的基础数为N，平均增长率为p，则对于时间x的总产值y,有yN(1p)。

(1)loga(MN)logaMlogaN; (2） loga15 等差数列：

通项公式： （1) ana1(n1)d ，其中a1为首项,d为公差,n为项数，an为末项。

（2)推广： anak(nk)d

(3）anSnSn1(n2) （注：该公式对任意数列都适用)

前n项和： (1）Snn(a1an) ；其中a1为首项，n为项数，an为末项. 2n(n1)(2)Snna1d

2（3）SnSn1an(n2) （注:该公式对任意数列都适用） （4）Sna1a2an （注：该公式对任意数列都适用）

常用性质:（1)、若m+n=p+q ，则有 amanapaq ；

注：若am是an,ap的等差中项，则有2amanapn、m、p成等差。 （2)、若an、bn为等差数列，则anbn为等差数列.

（3）、an为等差数列，Sn为其前n项和，则Sm,S2mSm,S3mS2m也成等差数列。 （4）、apq,aqp,则apq0 ； （5） 1+2+3+…+n=

等比数列：

通项公式：（1) ana1qn1n(n1) 2a1nq(nN*) ，其中a1为首项，n为项数,q为公比. qnk（2）推广：anakq

（3）anSnSn1(n2) （注：该公式对任意数列都适用）

前n项和:（1）SnSn1an(n2) （注：该公式对任意数列都适用）

（2)Sna1a2an (注：该公式对任意数列都适用）

na1 （3）Sna1(1qn)1q(q1)(q1)

常用性质：（1）、若m+n=p+q ，则有 amanapaq ；

注：若am是an,ap的等比中项，则有 amanapn、m、p成等比。

2

(2）、若an、bn为等比数列,则anbn为等比数列。

ab(1b)n16分期付款(按揭贷款) ：每次还款x元(贷款a元,n次还清,每期利率为b). n(1b)117三角不等式:

（1)若x(0,2)，则sinxxtanx。

（2) 若x(0,2(3） |sinx||cosx|1。

)，则1sinxcosx2. sin， cossinsin;

18 同角三角函数的基本关系式 ：sin2cos21,tan=

19正弦、余弦的诱导公式(奇变偶不变，符号看象限） 20 和角与差角公式

sin()sincoscossin；cos()coscostan()tantan.

1tantanb ）。 aasinbcos=a2b2sin()

（辅助角所在象限由点(a,b)的象限决定,tan21 二倍角公式及降幂公式

sin2sincos22tan. 21tan221tan2。 cos2cossin2cos112sin1tan22tansin21cos2。 tan2tan21tan1cos2sin21cos21cos2 sin2,cos222222 三角函数的周期公式

函数ysin(x)，x∈R及函数ycos(x),x∈R(A，ω,为常数，且A≠0）的周期

T2；函数ytan(x)，xk,kZ（A，ω,为常数，且A≠0)的周期T。 ||||2三角函数的图像:

yy=sinx-π1y=cosxπ/2π3π/22πy1-π/2-2π-3π/2o-1x-2π-3π/2-π-π/2o-1π/2π3π/22πx23正弦定理 ：

abc2R（R为ABC外接圆的半径)。 sinAsinBsinCa2RsinA,b2RsinB,c2RsinCa:b:csinA:sinB:sinC

24余弦定理：

a2b2c22bccosA;b2c2a22cacosB;c2a2b22abcosC。

25面积定理:

111ahabhbchc（ha、hb、hc分别表示a、b、c边上的高）。 222111(2）SabsinCbcsinAcasinB。

2221(3)SOAB(|OA||OB|)2(OAOB)2。

2ab－c斜边2Sr内切圆,r直角内切圆

abc2（1）S26三角形内角和定理 :

在△ABC中,有ABCC(AB)

CAB2C22(AB). 22227实数与向量的积的运算律：设λ、μ为实数，那么： （1) 结合律：λ（μa）=（λμ） a； (2)第一分配律：(λ+μ） a=λa+μa;

(3)第二分配律:λ(a+b）=λa+λb。

28 a与b的数量积（或内积）：a·b=|a|｜b|cos. 29平面向量的坐标运算：

(1）设a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，则a+b=(x1x2,y1y2)。 (2）设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a—b=(x1x2,y1y2)。 (3)设A(x1,y1)，B(x2,y2),则ABOBOA(x2x1,y2y1)。

（4）设a=(x,y),R，则a=(x,y)。

（5)设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=(x1x2y1y2)。 30 两向量的夹角公式：

cosab|a||b|x1x2y1y2xyxy21212222(a=(x1,y1),b=(x2,y2))。

31 平面两点间的距离公式:

dA,B=|AB|ABAB(x2x1)2(y2y1)2（A(x1,y1)，B(x2,y2)).

32 向量的平行与垂直 ：设a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，且b0，则：

a｜|bb=λa x1y2x2y10.(交叉相乘差为零）

ab （a0) a·b=0x1x2y1y20.（对应相乘和为零）

P2(x2,y2),P(x,y)是线段P33 线段的定比分公式 ：设P且PP1P2的分点,是实数，1(x1,y1)，1PP2，

x1x2xOPOP21则 OP1yy12y111）. 134三角形的重心坐标公式: △ABC三个顶点的坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3),则△ABC的

xx2x3y1y2y3重心的坐标是G(1,)。

33OPtOP1(1t)OP2(t35三角形五“心”向量形式的充要条件：

设O为ABC所在平面上一点,角A,B,C所对边长分别为a,b,c,则 （1）O为ABC的外心OAOBOC. （2）O为ABC的重心OAOBOC0。 (3）O为ABC的垂心OAOBOBOCOCOA. （4）O为ABC的内心aOAbOBcOC0. （5)O为ABC的A的旁心aOAbOBcOC. 36常用不等式：

(1）a,bRa2b22ab(当且仅当a＝b时取“=\"号)．

222ab． ab（当且仅当a＝b时取“=”号）

2333(3）abc3abc(a0,b0,c0).

(2）a,bR（4）ababab。

2ababa2b2(5)(当且仅当a＝b时取“=\"号）. abab2237极值定理:已知x,y都是正数，则有

（1）若积xy是定值p，则当xy时和xy有最小值2p； （2）若和xy是定值s，则当xy时积xy有最大值（3）已知a,b,x,yR,若axby1则有

12s. 41111byax(axby)()abab2ab(ab)2. xyxyxyab（4)已知a,b,x,yR，若1则有

xyabaybxxy(xy)()abab2ab(ab)2

xyxy2238 一元二次不等式axbxc0(或0)(a0,b4ac0),如果a与ax2bxc同号,则其

解集在两根之外;如果a与ax2bxc异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两

根之间。即：

x1xx2(xx1)(xx2)0(x1x2)； xx1,或xx2(xx1)(xx2)0(x1x2).

39 含有绝对值的不等式 ：当a> 0时,有

xax2a2axa.

xax2a2xa或xa。

40 斜率公式 ：

ky2y1(P。 1(x1,y1)、P2(x2,y2)）

x2x141 直线的五种方程：

（1）点斜式 yy1k(xx1) (直线l过点P1(x1,y1)，且斜率为k)．

（2）斜截式 ykxb（b为直线l在y轴上的截距）.

yy1xx1（y1y2)(P）。 1(x1,y1)、P2(x2,y2) （x1x2,y1y2）

y2y1x2x1 两点式的推广：(x2x1)(yy1)(y2y1)(xx1)0（无任何限制条件！）

（3)两点式

xy1（a、b分别为直线的横、纵截距,a0、b0) ab(5）一般式 AxByC0（其中A、B不同时为0）.

直线AxByC0的法向量：l(A,B)，方向向量：l(B,A)

(4)截距式 42 夹角公式：

k2k1|。 (l1:yk1xb1，l2:yk2xb2，k1k21）

1k2k1ABA2B1(2)tan|12|。(l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20，A1A2B1B20).

A1A2B1B2（1）tan|直线l1l2时，直线l1与l2的夹角是

43 l1到l2的角公式：

。 2k2k1。（l1:yk1xb1,l2:yk2xb2,k1k21）

1k2k1ABA2B1（2）tan12。（l1:A1xB1yC10，l2:A2xB2yC20,A1A2B1B20）.

A1A2B1B2(1)tan直线l1l2时，直线l1到l2的角是

44 点到直线的距离 ：d45 圆的四种方程:

（1）圆的标准方程 (xa)(yb)r.

22(2）圆的一般方程 xyDxEyF0(DE4F＞0）。

22222. 2(点P(x0,y0)，直线l:AxByC0）.

|Ax0By0C|AB22xarcos。

ybrsin（4）圆的直径式方程 (xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0（圆的直径的端点是A(x1,y1)、B(x2,y2))。

（3)圆的参数方程 46点与圆的位置关系：点P(x0,y0)与圆(xa)(yb)r的位置关系有三种:

若d(ax0)(by0)，则dr点P在圆外；

22222dr点P在圆上; dr点P在圆内.

22247直线与圆的位置关系：直线AxByC0与圆(xa)(yb)r的位置关系有三种

AaBbC(d):

22ABdr相离0；dr相切0;dr相交0.

48 两圆位置关系的判定方法：设两圆圆心分别为O1，O2,半径分别为r1，r2，O1O2d，则：

dr1r2外离4条公切线; dr1r2外切3条公切线；

r1r2dr1r2相交2条公切线； dr1r2内切1条公切线；

内含内切r2-r1相交外切相离r1+r20dr1r2内含无公切线。

odddd

xacosx2y2cb249 椭圆221(ab0)的参数方程是. 离心率e12， abybsinaab2a2准线到中心的距离为，焦点到对应准线的距离（焦准距）p.

ccb2过焦点且垂直于长轴的弦叫通经，其长度为：2.

ax2y250 椭圆221(ab0)焦半径公式及两焦半径与焦距构成三角形的面积：

aba2a2FPFPF1e(x)aex，PF2e(x)aex；SF1PF2c|yP|b2tan1。

cc251椭圆的的内外部：

22x0y0x2y2(1）点P(x0,y0)在椭圆221(ab0)的内部221.

abab22x0y0x2y2（2）点P(x0,y0)在椭圆221(ab0)的外部221。

abab52 椭圆的切线方程：

x2y2xxyy(1） 椭圆221(ab0)上一点P(x0,y0)处的切线方程是02021。

ababx2y2xxyy （2）过椭圆221外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦方程是02021.

ababx2y2 （3）椭圆221(ab0)与直线AxByC0相切的条件是A2a2B2b2c2。

abx2y2a2cb253 双曲线221(a0,b0)的离心率e12，准线到中心的距离为，焦点到对应

abcaab2b2准线的距离(焦准距)p。过焦点且垂直于实轴的弦叫通经，其长度为：2.

caa2a2焦半径公式PF1|e(x)||aex|，PF2|e(x)||aex|,

ccF1PF两焦半径与焦距构成三角形的面积SF1PF2b2cot。

2

54 双曲线的方程与渐近线方程的关系:

x2y2x2y2b(1）若双曲线方程为221渐近线方程：220yx.

ababax2y2xyb （2)若渐近线方程为yx0双曲线可设为22。

ababax2y2x2y2（3)若双曲线与221有公共渐近线，可设为22

abab(0，焦点在x轴上，0，焦点在y轴上）. （4） 焦点到渐近线的距离总是b.

55双曲线的切线方程：

x2y2xxyy （1)双曲线221(a0,b0)上一点P(x0,y0)处的切线方程是02021。

abab

x2y2xxyy (2)过双曲线221外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦方程是02021.

ababx2y2 (3）双曲线221与直线AxByC0相切的条件是A2a2B2b2c2。

ab256抛物线y2px的焦半径公式：

p2抛物线y2px(p0)焦半径CFx0。

2pp过焦点弦长CDx1x2x1x2p。

22b24acb22)57二次函数yaxbxca(x(a0)的图象是抛物线: 2a4ab4acb2b4acb21,)；,)； （1)顶点坐标为(（2）焦点的坐标为(2a4a2a4a4acb21（3）准线方程是y。

4a58 直线与圆锥曲线相交的弦长公式 AB22(x1x2)2(y1y2)2 2或AB(1k)[(x2x1)4x2x1]|x1x2|1tan(弦端点A(x1,y1),B(x2,y2)，由方程|y1y2|1cot2

ykxb 消去y得到ax2bxc0

F(x,y)00，为直线AB的倾斜角,k为直线的斜率,|x1x2|(x1x2)24x1x2。

59证明直线与平面的平行的思考途径：

（1)转化为直线与平面无公共点； (2）转化为线线平行； （3)转化为面面平行.

60证明直线与平面垂直的思考途径:

（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直； (2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直； （3）转化为该直线与平面的一条垂线平行； (4）转化为该直线垂直于另一个平行平面。 61证明平面与平面的垂直的思考途径：

（1）转化为判断二面角是直二面角; （2）转化为线面垂直;

（3） 转化为两平面的法向量平行。 62 向量的直角坐标运算:

设a＝(a1,a2,a3)，b＝(b1,b2,b3)则： （1） a＋b＝(a1b1,a2b2,a3b3)； （2） a－b＝(a1b1,a2b2,a3b3); （3）λa＝(a1,a2,a3) （λ∈R)； （4） a·b＝a1b1a2b2a3b3； 63 夹角公式：

设a＝(a1,a2,a3)，b＝(b1,b2,b3)，则cosa,b64 异面直线间的距离 ：

a1b1a2b2a3b3aaa212223bbb212223。

|CDn|（l1,l2是两异面直线，其公垂向量为n，C、D是l1,l2上任一点，d为l1,l2间的距离）。 |n|65点B到平面的距离：

|ABn|（n为平面的法向量，A，AB是的一条斜线段）. d|n|466球的半径是R,则其体积VR3,其表面积S4R2．

3d67球的组合体:

(1）球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.

(2)球与正方体的组合体：正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体

的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.

6a 1266613a的),外接球的半径为a(正四面体高a的)。 （正四面体高3434468 分类计数原理(加法原理）：Nm1m2mn.

（3)球与正四面体的组合体: 棱长为a的正四面体的内切球的半径为

mn。

n！＊m69排列数公式 ：An=n(n1)(nm1)=。(n，m∈N，且mn）．规定0!1。

(nm)！分步计数原理(乘法原理）：Nm1m2n！Anmn(n1)(nm1)＊70 组合数公式：C=m==(n∈N，mN，且mn）.

m！(nm)！12mAmmn组合数的两个性质:(1)Cn=Cnmnm ；(2） Cn+Cnmm1m0=Cn1.规定Cn1。

n0n1n12n22rnrrnn71 二项式定理 (ab)CnaCnabCnabCnabCnb ；

rnrr二项展开式的通项公式Tr1Cnab(r0，1，2，n)。

f(x)(axb)na0a1xa2x2anxn的展开式的系数关系：

(1)nanf(1)；a0f(0)。

a0a1a2anf(1)； a0a1a272 互斥事件A,B分别发生的概率的和：P（A＋B）=P(A）＋P(B）．

n个互斥事件分别发生的概率的和:P（A1＋A2＋…＋An)=P（A1)＋P（A2）＋…＋P(An）． 73 独立事件A，B同时发生的概率：P(A·B）= P(A）·P（B）。

n个独立事件同时发生的概率：P（A1· A2·…· An)=P（A1)· P（A2）·…· P(An)．

kknk74 n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率：Pn(k)CnP(1P).

75 复数的相等：abicdiac,bd.（a,b,c,dR） （i21) 76复数zabi的模（或绝对值）|z|=|abi|=ab。 77 复平面上的两点间的距离公式：

22d|z1z2|(x2x1)2(y2y1)2(z1x1y1i，z2x2y2i）.

78实系数一元二次方程的解

2实系数一元二次方程axbxc0,

bb24ac①若b4ac0，则x1,2;

2ab2②若b4ac0，则x1x2；

2a2③若b4ac0,它在实数集R内没有实数根；在复数集C内有且仅有两个共轭复数根

2

b(b24ac)i2x(b4ac0)。 2a数学高考应试技巧

数学考试时,有许多地方都要考生特别注意．在考试中掌握好各种做题技巧,可以帮助各位在最后关头鲤鱼跃龙门. 考试注意：

１．考前５分钟很重要

在考试中，要充分利用考前５分钟的时间。考卷发下后，可浏览题目。当准备工作(填写姓名、考号等）完成后，可以翻到后面的解答题,通读一遍,做到心中有数.

２．区别对待各档题目

考试题目分为易、中、难三种，它们的分值比约为３：５:２。考试中大家要根据自身状况分别对待。

⑴做容易题时，要争取一次做完，不要中间拉空。这类题要１００％的拿分。 ⑵做中等题时，要静下心来，尽量保证拿分，起码有８０％的完成度。 ⑶做难题时，大家通常会感觉无从下手。这时要做到: ①多读题目,仔细审题. ②在草稿上简单感觉一下.

③不要轻易放弃。许多同学一看是难题、大题，不多做考虑，就彻底投降.解答题多为小步设问，许多小问题同学们都是可以解决的，因此，每一个题、每一个问，考生都要认真对待。 ３．时间分配要合理

⑴考试时主要是在选择题上抢时间。

⑵做题时要边做边检查，充分保证每一题的正确性.不要抱着“等做完后再重新检查”的念头而在后面浪费太多的时间用于检查。

⑶在交卷前３０分钟要回头再检查一下自己的进度。注意及时填机读卡.