专题三 三角函数与平面向量的综合应用

专题三 三角函数与平面向量的综合应用

（时间：45分钟 满分：100分）

一、选择题(每小题7分，共35分)

3πsin α＋cos α4

，2π，则1．已知sin(2π－α)＝，α∈等于( ) 25sin α－cos α

1

A. 7

1B．－

7

C．－7

D．7

2．如图，D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，则( )

→→

A．AD＋BE＋CF＝0 B.

BD－CF＋DF＝0

→→

→→

C．AD＋CE－CF＝0 →→

D. BD－BE－FC＝0

3．已知向量a＝(2，sin x)，b＝(cos2x,2cos x)，则函数f(x)＝a·b的最小正周期是( )

π

A. 2

B．π

C．2π

D．4π

4．已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m＝(3，－1)，n＝(cos A，sin A)．若m⊥n，且acos B＋bcos A＝csin C，则角A，B的大小分别为( ) ππA.， 63ππC.， 36

2ππB.， 36ππD.， 33

→→→

5.已知向量OB＝（2，0），向量OC=(2,2)，向量CA＝(2cos α，2sin α)，则向量OA与向量→

OB的夹角的取值范围是( ) π

0， A.45ππ， C.122

π5

B.4，12π

π5D.12，12π

二、填空题(每小题6分，共24分)

6．在直角坐标系xOy中，已知点A(－1,2)，B(2cos x，－2cos 2x)，C(cos x,1)，其中x∈[0，π]，若AB⊥OC，则x的值为______．

7.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC,AD⊥AB,AD=1,BC=2,AB=3,P是BC

上的一个动点，当PDPA取得最小值时，tan∠DPA的值为________．

8．(2010·山东)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝2，b＝2，sin B＋cos B＝2，则角A的大小为________．

9．已知向量a＝(cos θ，sin θ)，向量b＝(3，－1)，则|2a－b|的最大值、最小值分别是__________． 三、解答题(共41分)

10．(13分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且lg a－lg b＝lg cos B－

lg cos A≠0.

(1)判断△ABC的形状；

(2)设向量m＝(2a，b)，n＝(a，－3b)，且m⊥n，(m＋n)·(n－m)＝14，求a，b，c的值． 11．(14分)已知函数f(x)＝2(sin x－cos x)cos x＋1，x∈R.

(1)求函数f(x)的最小正周期；

π3π(2)求函数f(x)在区间8，4上的单调区间和最大值与最小值．

12．(14分)已知向量m＝(sin A，cos A)，n＝(3，－1)，m·n＝1，且A为锐角．

(1)求角A的大小；

(2)求函数f(x)＝cos 2x＋4cos Asin x (x∈R)的值域． 答案

1.A

7.

2.A 12

35

3.B

4.C

5.D

ππ6．或 23π8. 6

9. 4、0

10. 解 (1)因为lg a－lg b＝lg cos B－lg cos A≠0，

acos B所以＝≠1，所以sin 2A＝sin 2B且a≠b.

bcos A因为A，B∈(0，π)且A≠B，

π

所以2A＝π－2B，即A＋B＝且A≠B.

2所以△ABC是非等腰的直角三角形． (2)由m⊥n，得m·n＝0.所以2a2－3b2＝0.① 由(m＋n)·(n－m)＝14，得n2－m2＝14， 所以a2＋9b2－4a2－b2＝14，即－3a2＋8b2＝14.② 联立①②，解得a＝6，b＝2. 所以c＝a2＋b2＝10.

故所求的a，b，c的值分别为6，2，10. 11. 解 (1)f(x)＝2sin xcos x－2cos2x＋1

π

2x－. ＝sin 2x－cos 2x＝2sin4因此，函数f(x)的最小正周期为π. π3ππ5π

(2)因为≤x≤，所以0≤2x－≤. 8444

ππ5π

0，内单调递增，在，上单调递减， 又因为y＝sin x在224πππ3π

所以由0≤2x－≤，得≤x≤，

4288ππ5π3π3π

由≤2x－≤，得≤x≤. 24484

π3π3π3π

，，减区间为，. 所以f(x)的增区间为8884π3π＝2，f3π＝－1， 又f＝0，f 884π3π

故函数f(x)在区间8，4上的最大值为2，最小值为－1. 12. 解 (1)由题意得m·n＝3sin A－cos A＝1，

ππ1

A－＝1，所以sinA－＝， 即2sin662πππ

由A为锐角得A－＝，所以A＝.

6631

(2)由(1)知cos A＝，

2

所以f(x)＝cos 2x＋2sin x＝1－2sin2x＋2sin x 13sin x－2＋. ＝－222

因为x∈R，所以sin x∈[－1,1]， 13因此，当sin x＝时，f(x)有最大值；

22当sin x＝－1时，f(x)有最小值－3. 3

－3， 所以所求函数f(x)的值域是2