天津市天津一中2013届高三（上）零月考数学文试题（WORD解析
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参考答案与试题解析
一、选择题（每小题5分，共40分）
1．（5分）（2010•江西）若集合A={x||x|≤1，x∈R}，B={y|y=x2，x∈R}，则A∩B=（ ）
A．{x|﹣1≤x≤1} B．{x|x≥0} C．{x|0≤x≤1} D．∅
考点：交集及其运算．343780
分析：考查集合的性质与交集以及绝对值不等式运算．常见的解法为计算出集合A、B的最简单形式再运
算．
解答：解：由题得：A={x|﹣1≤x≤1}，B={y|y≥0}，
∴A∩B={x|0≤x≤1}．
故选C．
点评：在应试中可采用特值检验完成．
2．（5 分）已知命题p：∃x∈R，sinx≤1，则（ ） | C．¬p：∃x∈R，sinx＞1 | D．¬p：∀x∈R，sinx＞1 | |
A．¬p：∃x∈R，sinx≥1 | B．¬p：∀x∈R，sinx≥1 | ||
考点：命题的否定．343780
专题：阅读型．
分析：本题所给的命题是一个特称命题，存在性命题的否定是一个全称合理，把存在符号变为任意符号，将结论否定即可
解答：解：∵p：∃x∈R，sinx≤1，∴p：∀x∈R，sinx＞1
考查四个选项，D正确
故选D
点评：本题考查命题的否定，求解本题的关键是正确理解含有量词的命题的否定的书写格式与规则，即特称命题的否定是全称命题，全称命题的否定是特称命题．
3．（5 分）（2010•重庆）函数的值域是（ ） | D．（0，4） | ||
A．[0，+∞） | B．[0，4] | C．[0，4） | |
考点：函数的值域．343780
专题：压轴题．
分析：本题可以由4x的范围入手，逐步扩充出的范围．
1页
解答：解：∵4x＞0，∴．
故选C．
点评：指数函数y=ax（a＞0 且a≠1）的值域为（0，+∞）． 4．（5 分）（2010•广东）若函数f（x）=3x+3﹣x与g（x）=3x﹣3﹣x的定义域均为R，则（ ） | |
A．f（x）与g（x）均为偶函数 | B．f（x）为奇函数，g（x）为偶函数 |
C．f（x）与g（x）均为奇函数 | D．f（x）为偶函数，g（x）为奇函数 |
考点：函数奇偶性的判断．343780
专题：函数思想．
分析：首先应了解奇函数偶函数的性质，即偶函数满足公式f（﹣x）=f（x），奇函数满足公式g（﹣x）=﹣g
（x）．然后在判断定义域对称性后，把函数f（x）=3x+3﹣x与g（x）=3x﹣3﹣x代入验证．即可得到答
案．
解答：解：由偶函数满足公式f（﹣x）=f（x），奇函数满足公式g（﹣x）=﹣g（x）．
对函数f（x）=3x+3﹣x有f（﹣x）=3﹣x+3x满足公式f（﹣x）=f（x）所以为偶函数．
对函数g（x）=3x﹣3﹣x有g（﹣x）=3﹣x﹣3x=﹣g（x）．满足公式g（﹣x）=﹣g（x）所以为奇函数．
所以答案应选择D．
点评：此题主要考查函数奇偶性的判断，对于偶函数满足公式f（﹣x）=f（x），奇函数满足公式g（﹣x）=﹣g（x）
做到理解并记忆，以便更容易的判断奇偶性．
5．（5 分）（2007•天津）设
，，，则（ ） | D．b＜a＜c | ||
A．a＜b＜c | B．c＜b＜a | C．c＜a＜b | |
考点：对数值大小的比较；指数函数单调性的应用．343780
分析：易知a＜0 0＜b＜1 c＞1故a＜b＜c
解答：
解析：∵由指、对函数的性质可知：
，，
∴有a＜b＜c
故选A．
点评：本题考查的是利用对数函数和指数函数单调性比较大小的知识．
6．（5 分）（2010•福建）函数的零点个数为（ ） | |||
A．3 | B．2 | C．1 | D．0 |
考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法．343780
分析：分段解方程，直接求出该函数的所有零点．由所得的个数选出正确选项．
解答：解：当x≤0时，令x2+2x﹣3=0解得x=﹣3；
当x＞0时，令﹣2+lnx=0解得x=100，所以已知函数有两个零点，
故选B．
点评：本题考查函数零点的概念，以及数形结合解决问题的方法，只要画出该函数的图象不难解答此题．
2页
7．（5 分）（2008•广东）设a∈R，若函数y=ex+ax，x∈R，有大于零的极值点，则（ ） | |||||
A．a＜﹣1 | B．a＞﹣1 | C． |
| D． |
|
考点：利用导数研究函数的极值．343780
专题：压轴题；数形结合．
分析：先对函数进行求导令导函数等于0，原函数有大于0的极值故导函数等于0有大于0的根，然后转化为两个函数观察交点，确定a的范围．
解答：解：∵y=ex+ax，
∴y'=ex+a．
由题意知ex+a=0有大于0的实根，令y1=ex，y2=﹣a，则两曲线交点在第一象限，结合图象易得﹣a＞1⇒a＜﹣1，
故选A．
点评：本题主要考查函数的极值与其导函数的关系，即函数取到极值时一定有其导函数等于0，但反之不一定成立．
8．（5 分）（2010•山东）函数y=2x﹣x2的图象大致是（ ） | D． |
| |||||
A． |
| B． |
| C． |
| ||
考点：函数的图象与图象变化．343780
专题：压轴题；数形结合．
分析：充分利用函数图象中特殊点加以解决．如函数的零点2，4；函数的特殊函数值f（﹣2）符号加以解决即可．
解答：解：因为当x=2或4时，2x﹣x2=0，所以排除B、C；
当x=﹣2时，2x﹣x2=，故排除D，
所以选A．
点评：本题考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力．
二、填空题（每小题5分，共30分）
9．（5分）复数为纯虚数，则实数a为2．
3页
考点：复数代数形式的乘除运算．343780
专题：计算题．
分析：复数的分母实数化，利用复数是纯虚数，求出a的值即可．
解答：解：因为==，是纯虚数，所以a=2．
故答案为：2．
点评：本题考查复数的基本运算﹣﹣复数的乘除运算，复数的基本概念，考查计算能力．
10．（5分）（2007•山东）当x∈（1，2）时，不等式x2+mx+4＜0恒成立，则m的取值范围是m≤﹣5．
考点：一元二次不等式的应用；函数恒成立问题．343780
专题：计算题；压轴题．
分析：①构造函数：f（x）=x2+mx+4，x∈[1，2]．②讨论对称轴x=﹣＞或＜时f（x）的单调性，
得f（1），f（2）为两部分的最大值若满足f（1），f（2）都小于等于0即能满足x∈（1，2）时f
（x）＜0，由此则可求出m的取值范围
解答：解：法一：根据题意，构造函数：f（x）=x2+mx+4，x∈[1，2]．由于当x∈（1，2）时，不等式x2+mx+4
＜0恒成立．
则由开口向上的一元二次函数f（x）图象可知f（x）=0必有△＞0，
①当图象对称轴x=﹣≤时，f（2）为函数最大值当f（2）≤0，得m解集为空集．
②同理当﹣＞时，f（1）为函数最大值，当f（1）≤0可使x∈（1，2）时f（x）＜0．
由f（1）≤0解得m≤﹣5．综合①②得m范围m≤﹣5
法二：根据题意，构造函数：f（x）=x2+mx+4，x∈[1，2]．由于当x∈（1，2）时，不等式x2+mx+4＜
0恒成立
即解得即m≤﹣5
故答案为m≤﹣5
点评：本题考查二次函数图象讨论以及单调性问题．
11．（5分）（2008•长宁区二模）函数y=loga（x+3）﹣1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线
mx+ny+1=0上，其中mn＞0，则+的最小值为8．
考点：基本不等式．343780
专题：计算题；压轴题．
分析：由题意可得定点A（﹣2，﹣1），2m+n=1，把要求的式子化为 4+ +，利用基本不等式求得结果． 解答：解：由题意可得定点A（﹣2，﹣1），又点A 在直线mx+ny+1=0 上，∴2m+n=1， | ||
则+ =+=4+ +≥4+2=8，当且仅当 |
| 时， |
等号成立，
故答案为：8．
4页
点评：本题考查基本不等式的应用，函数图象过定点问题，把要求的式子化为 4+ +，是解题的关键． 12．（5 分）已知f（x）=x3+3ax2+bx+a2在x=﹣1 时有极值0，则a﹣b 的值为 ﹣7 ． |
考点：函数在某点取得极值的条件．343780
专题：计算题；导数的概念及应用．
分析：求导函数，利用函数f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=﹣1处有极值0，建立方程组，求得a，b的值，再验证，即可得到结论．
解答：解：∵函数f（x）=x3+3ax2+bx+a2
∴f'（x）=3x2+6ax+b，
又∵函数f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=﹣1处有极值0，
∴，∴或 当时，f'（x）=3x2+6ax+b=3（x+1）2=0，方程有两个相等的实数根，不满足题意； 当时，f'（x）=3x2+6ax+b=3（x+1）（x+3）=0，方程有两个不等的实数根，满足题意； |
∴a﹣b=﹣7
故答案为：﹣7．
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查学生的计算能力，属于基础题．
13．（5分）（2012•密云县一模）如图所示，AB与CD是⊙O的直径，AB⊥CD，P是AB延长线上一点，连PC交⊙O于点E，连DE交AB于点F，若AB=2BP=4，则PF=3．
考点：圆周角定理；相似三角形的性质．343780
专题：计算题；压轴题．
分析：先依据条件得到Rt△DOF∽RtPEF，结合相交弦定理得到关于PF乘积式，后再利用方程的思想列方程求解即可．
解答：解：由题意得：CD是⊙O的直径，
且AB⊥CD，
∴Rt△DOF∽RtPEF，
∴，
∴OF×PF=EF×DF．
又相交弦定理得：DF•FE=BF•AF，所以BF×AF=OF×PF；
设OF=x，BF=2﹣x，AF=2+x，PF=4﹣x
代入可求得x=1，
5页
即PF=3．
故填：3．
点评：本小题主要考查圆中相交弦、圆周角等几何知识，同时也考查了方程的思想．
14．（5分）（2009•山东）执行程序框图，输出的T=30．
考点：程序框图．343780
专题：压轴题；图表型．
分析：本题首先分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利
用循环计算并输出变量T的值，模拟程序的运行，运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出
结果．
解答：解：按照程序框图依次执行为S=5，n=2，T=2；
S=10，n=4，T=2+4=6；S=15，n=6，T=6+6=12；
S=20，n=8，T=12+8=20；S=25，n=10，T=20+10=30＞S，输出T=30．
故答案为：30．
点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，一般都可以反复的进行运算直到满足条件结束，本题中涉及
到三个变量，注意每个变量的运行结果和执行情况．
三、解答题：
15．（13分）已知集合A={x|（x﹣2）[x﹣（3a+1）]＜0}，．
（Ⅰ）当a=2时，求A∩B；
（Ⅱ）求使B⊆A的实数a的取值范围．
考点：集合的包含关系判断及应用；交集及其运算．343780
专题：计算题；分类讨论．
分析：（Ⅰ）当a=2时，先化简集合A和B，后再求交集即可；
（Ⅱ）先化简集合B：B={x|a＜x＜a2+1}，再根据题中条件：“B⊆A”对参数a分类讨论：①当
3a+1=2，②当3a+1＞2，③当3a+1＜2，分别求出a的范围，最后进行综合即得a的范围．
解答：解：（Ⅰ）当a=2时，A={x|2＜x＜7}，B={x|2＜x＜5}
∴A∩B={x|2＜x＜5}（4分）
6页
（Ⅱ）∵（a2+1）﹣a=（a﹣）2+＞0，即a2+1＞a
∴B={x|a＜x＜a2+1}
1当3a+1=2，即a=时A=Φ，不存在a使B⊆A（6分）
②当3a+1＞2，即a＞时A={x|2＜x＜3a+1}由B⊆A 得：2≤a≤3（8 分） ③当3a+1＜2，即a＜时A={x|3a+1＜x＜2}由B⊆A 得﹣1≤a≤﹣⊂（12 分） |
综上，a的范围为：[﹣1，﹣．]∪[2，3]（14分）
点评：本小题主要考查集合的包含关系判断及应用、交集及其运算、不等式的解法等基础知识，考查运算
求解能力，考查分类讨论思想．属于基础题．
16．（13分）（2009•江西）设函数，
（1）对于任意实数x，f'（x）≥m恒成立，求m的最大值；
（2）若方程f（x）=0有且仅有一个实根，求a的取值范围．
考点：函数恒成立问题；一元二次方程的根的分布与系数的关系．343780
专题：计算题．
分析：（1）先求函数f（x）的导数，然后求出f'（x）的最小值，使f'（x）min≥m成立即可．
（2）若欲使方程f（x）=0有且仅有一个实根，只需求出函数的极大值小于零，或求出函数的极小
值大于零即可．
解答：解：（1）f′（x）=3x2﹣9x+6=3（x﹣1）（x﹣2），
因为x∈（﹣∞，+∞），f′（x）≥m，
即3x2﹣9x+（6﹣m）≥0恒成立，
所以△=81﹣12（6﹣m）≤0，
得，即m的最大值为
（2）因为当x＜1时，f′（x）＞0；
当1＜x＜2时，f′（x）＜0；当x＞2时，f′（x）＞0；
所以当x=1时，f（x）取极大值；
当x=2时，f（x）取极小值f（2）=2﹣a；
故当f（2）＞0或f（1）＜0时，
方程f（x）=0仅有一个实根、解得a＜2或
点评：本题主要考查了一元二次函数恒成立问题，以及函数与方程的思想，属于基础题．
17．（13分）定义在R上的函数y=f（x），f（0）≠0，当x＞0时，f（x）＞1，且对任意的a、b∈R，有f
（a+b）=f（a）•f（b）．
（1）求证：f（0）=1；
（2）求证：对任意的x∈R，恒有f（x）＞0；
7页
（3）求证：f（x）是R上的增函数；
（4）若f（x）•f（2x﹣x2）＞1，求x的取值范围．
考点：抽象函数及其应用；函数单调性的判断与证明．343780
专题：计算题；证明题．
分析：（1）利用赋值法解决，令x=y=0即得；
（2）利用条件：“当x＞0时，f（x）＞1”，只须证明当x≤0时，f（x）＞0即可；
（3）利用单调函数的定义证明，设x1＜x2，将f（x2）写成f[（x2﹣x1）+x1]的形式后展开，结合（2）的结论即可证得；
（4）由f（x）•f（2x﹣x2）＞f（0）得f（3x﹣x2）＞f（0）．结合f（x）的单调性去掉符号“f”后，转化成一元二次不等式解决即可．
解答：（1）证明：令a=b=0，则f（0）=f2（0）．
又f（0）≠0，∴f（0）=1．
（2）证明：当x≤0时，﹣x＞0，
∴f（0）=f（x）•f（﹣x）=1．
∴f（﹣x）=＞0．又x＞0时f（x）≥1＞0，
∴x∈R时，恒有f（x）＞0．
（3）证明：设x1＜x2，则x2﹣x1＞0．
∴f（x2）=f（x2﹣x1+x1）=f（x2﹣x1）•f（x1）．
∵x2﹣x1＞0，∴f（x2﹣x1）＞1．
又f（x1）＞0，∴f（x2﹣x1）•f（x1）＞f（x1）．
．∴f（x）是R上的增函数．∴f（x2）＞f（x1）
（4）解：由f（x）•f（2x﹣x2）＞1，
f（0）=1得f（3x﹣x2）＞f（0）．
又f（x）是R上的增函数，
∴3x﹣x2＞0，
∴0＜x＜3．
点评：本题主要考查抽象函数及其应用、函数单调性的判断与证明．解本题的关键是灵活应用题目条件，尤其是（3）中“f（x2）=f[（x2﹣x1）+x1]”是证明单调性的关键，这里体现了向条件化归的策略．
18．（13分）（2009•江西）设函数f（x）=，
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若k＞0，求不等式f′（x）+k（1﹣x）f（x）＞0的解集．
考点：函数的单调性及单调区间；简单复合函数的导数；不等式．343780
分析：（1）对函数f（x）进行求导，当导数大于0时是单调递增区间，当导数小于0时是原函数的单调递减区间．
（2）将f'（x）代入不等式即可求解．
解答：解：（1）∵f（x）=
∴
由f'（x）=0，得x=1，
8页
因为当x＜0时，f'（x）＜0；
当0＜x＜1时，f'（x）＜0；当x＞1时，f'（x）＞0；
所以f（x）的单调增区间是：[1，+∝）；单调减区间是：（﹣∞，0），（0，1] （2）由f'（x）+k（1﹣x）f（x）==＞0， 得：（x﹣1）（kx﹣1）＜0， |
故：当0＜k＜1时，解集是：{x|1＜x＜}；
当k=1时，解集是：φ；
当k＞1时，解集是：{x|＜x＜1}．
点评：本题主要考查通过求函数的导数来确定函数的增减性的问题．当导数大于0时原函数单调递增，当
导数小于0时原函数单调递减．
19．（14 分）已知函数f（x）=（a＞0）． （1）若曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线与直线y=x+2 垂直，求函数y=f（x）的单调区间； （2）记g（x）=f（x）+x﹣b（b∈R）．当a=1 时，函数g（x）在区间[e﹣1，e]上有两个零点，求实数b 的取 |
值范围．
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；函数零点的判定定理；利用导数研究函数的单调性．343780
专题：综合题．
分析：（I）先求出函数f（x）的定义域和导函数f′（x），再由f′（1）=﹣1求出a的值，代入f′（x），由f′
（x）＞0和f′（x）＜0进行求解，即判断出函数的单调区间；
（II）由（I）和题意求出g（x）的解析式，求出g′（x），由g′（x）＞0和g′（x）＜0进行求解，即
判断出函数的单调区间，再由条件和函数零点的几何意义列出不等式组，求出b的范围．
解答：解：（I）由题意得，f（x）的定义域为（0，+∞），
∵f′（x）=，∴f′（1）=﹣2+a，
∵直线y=x+2的斜率为1，∴﹣2+a=﹣1，解得a=1，
所以f（x）=，∴f′（x）=，
由f′（x）＞0解得x＞2；由f′（x）＜0解得0＜x＜2．
∴f（x）的单调增区间是（2，+∞），单调减区间是（0，2）
（II）依题得g（x）=，则=．
由g′（x）＞0解得x＞1；由g′（x）＜0解得0＜x＜1．
∴函数g（x）在区间（0，1）为减函数，在区间（1，+∞）为增函数．
又∵函数g（x）在区间[ ，e]上有两个零点，∴， |
9页
解得1＜b≤，∴b 的取值范围是（1，]． |
点评：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性以及几何意义、函数零点等基础知识，注意求出函数的
定义域，考查计算能力和分析问题的能力．
20．（14分）已知函数f（x）=，g（x）=alnx，a∈R．
（1）若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）相交，且在交点处有相同的切线，求a的值及该切线的方程；
（2）设函数h（x）=f（x）﹣g（x），当h（x）存在最小值时，求其最小值φ（a）的解析式；
（3）对（2）中的φ（a），证明：当a∈（0，+∞）时，φ（a）≤1．
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．343780
专题：综合题．
分析：（1）对f（x），g（x）进行求导，已知在交点处有相同的切线，从而解出a的值及该切线的方程；
（2）由条件知h（x）=﹣alnx（x＞0），对h（x）进行求导，分两种情况进行讨论：①a＞0；
②a≤0，从而求其最小值φ（a）的解析式；
（3）由（2）知φ（a）=2a（1﹣ln2﹣lna），对φ（a）进行求导，令φ′（a）=0，求出极值点，及单
调性，求出φ（a）在（0，+∞）上的最大值，从而进行证明；
解答：解：（1）∵函数f（x）=，g（x）=alnx，a∈R． f′（x）=，g′（x）= （x＞0）， 由已知得解得 ∴两条曲线交点的坐标为（e2，e）． 切线的斜率为k=f′（e2）=， ∴切线的方程为y﹣e=（x﹣e2）． （2）由条件知h（x）=﹣alnx（x＞0）， ∴h′（x）=﹣=， |
①当a＞0时，令h′（x）=0，解得x=4a2．
∴当0＜x＜4a2时，h′（x）＜0，
h（x）在（0，4a2）上单调递减；
当x＞4a2时，h′（x）＞0，
h（x）在（4a2，+∞）上单调递增．
∴x=4a2是h（x）在（0，+∞）上的惟一极值点，且是极小值点，从而也是h（x）的最小值点．
∴最小值φ（a）=h（4a2）=2a﹣aln（4a2）=2a[1﹣ln（2a）]．
②当a≤0 时，h′（x）=＞0，h（x）在（0，+∞）上单调递增，无最小值． 故h（x）的最小值φ（a）的解析式为φ（a）=2a[1﹣ln （2a）]（a＞0）． （3）证明：由（2）知φ（a）=2a（1﹣ln 2﹣ln a）， 则φ′（a）=﹣2ln （2a）． |
令φ′（a）=0，解得a=．
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当0＜a＜时，φ′（a）＞0，
∴φ（a）在（0，）上单调递增；
当a＞时，φ′（a）＜0，
∴φ（a）在（，+∞）上单调递减．
∴φ（a）在a=处取得极大值φ（）=1．
∵φ（a）在（0，+∞）上有且只有一个极值点，
∴φ（）=1也是φ（a）的最大值．
∴当a∈（0，+∞）时，总有φ（a）≤1．
点评：此题主要考查利用导数求函数的单调性，第二问和第三问难度比较大，解题的关键是能够对函数能
够正确求导，此题是一道中档题；
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