1．如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，F为BD的中点，连接AF，猜想AF与CE的数量关系和位置关系，并证明．
DFBAEC
【解答】猜想：AF＝
1CE，AF⊥CE 2延长AF至G，使FG＝AF，连接DG，
GDFBAHEC
∵F为BD的中点，∴BF＝DF
又∵∠AFB＝∠GFD，∴△AFB≌△GFD，∴AB＝DG，∠BAF＝∠G ∴AB∥DG，∴∠BAD＋∠ADG＝180°
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＋∠EAC＝180°
∴∠ADG＝∠EAC，∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90° ∴AB＝AC，AD＝AE，∴DE＝AC，∴△ADG≌△EAC ∴AG＝CE，∠ACE＝∠G，∴AF＝∴AG＝CE，∠ACE＝∠G，∴AF＝
1CE，∠BAF＝∠ACE 21CE，∠BAF＝∠ACE 2延长FA交CE于H，∵∠BAC＝90°，∴∠BAF＋∠CAH＝90° ∴∠ACE＋∠CAH＝90°，∴∠AHC＝90°，∴AF⊥CE
2．如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，DE的延长线交BC于点F，且F为BC的中点，求证：∠AEC＝90°．
DADAEEBFCBFGC
【解答】延长EF至G，使FG＝EF，连接BD、BG 则△CEF≌△BGF（SAS），△ABD≌△ACE（SAS） ∴BG＝CE＝BD，∠ECF＝∠GBF，∠ABD＝∠ACE ∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，
∴△∠ABC＝∠ACB＝45°，∠ACE＋∠ECF＝45° ∴∠ABD＋∠GBF＝45°，∴∠DBG＝90°，∴∠BDE＝∠G＝45°，∴∠CEF＝∠G＝45° ∵△ADE是等腰直角三角形，∠DAE＝90°，∴∠AED＝∠ADE＝45° ∴∠AED＋∠CEF＝90°，∴∠AEC＝90°
3．如图，在△ABC中，∠A＝60°，点D、E、F分别在边AB、BC、AC上，且E是BC的中点，∠DEF＝90°，∠DFE＝30°，若BD＝3，CF＝2，则DF的长为 ．
AADFHBEGCDBEFC
【解答】延长DE至G，使EG＝DE，连接FG、CG，则△BDE≌△CGE ∴CG＝BD＝3，∠B＝∠ECG
∴CG∥AB，作FH⊥CG交GC的延长线于点H 则∠FCH＝∠A＝60°，∴CH＝∴FG＝FH2GH2＝19
4．如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点F、G分别为BE、CD的中点，连接AF、AG、FG，求证：AF⊥CD；△AEF≌△DAG．
1CF＝1，FH＝3，GH＝4 2DDHGEFBAGEFCAPBC
【解答】延长AF至P，使PF＝AF，连接BP，∵F为BE的中点，∴EF＝BF 又∵∠AFE＝∠PFB，∴△AEF≌△PBF，∴BP＝AD，∠EAF＝∠BPF
∴AE∥BP，∴∠BAE＋∠ABP＝180°，∵△ADE是等腰直角三角形，∠DAE＝90° ∴AD＝AE，∴BP＝AD，∵∠BAC＝∠DAE＝90° ∴∠BAE＋∠CAD＝360°－180°＝180°
∴∠ABP＝∠CAD，∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90° ∴AB＝AC，∴△ABP≌△CAD，∴AP＝CD，∠P＝∠ADH
∵△AFE≌△PFB，∴∠EAF＝∠P，∴∠ADH＝∠EAF，∵∠DAE＝90°
∴∠EAF＋∠DAH＝90°，∴∠ADH＋∠DAH＝90°，∴∠AHD＝90°，∴AF⊥CD ∵AP＝CD，G为CD的中点，∴AF＝DG，又∵∠EAF＝∠ADH，AE＝AD ∴△AEF≌△DAG
5．如图，在△ABC中，AB＝2，AC＝1，以BC为斜边向上作等腰Rt△BCD，连接AD并延长至点E，使DE＝AD，连接BE，则BE长的取值范围是 ．
EEFDDGCABCAB
【解答】延长CD至F，使DF＝CD，连接EF、BF 则△EDF≌△ADC（SAS），∴EF＝AC＝1，∠EFD＝∠ACD
∵△BCD是等腰直角三角形，∴△BFD是等腰直角三角形，∴∠CBF＝90°，BF＝BC 作BG⊥AB且BG＝AB，连接EG、FG 则△GBF≌△ABC（SAS），∴FG＝AC，∠BFG＝∠BCA
∴EF＝FG，∠EFG＝∠EFD＋∠DFG＝∠ACD＋45°－∠BFG＝45°＋∠BCA＋45°－∠BFG＝90° ∴EG＝2EF＝2 ∵BG－EG≤BE≤BG＋EG，∴2－2≤BE≤2＋2
6．如图正方形ABCD和等腰Rt△CEF，∠ECF＝90°，连接AE、AF，取AF的中点G，连接DE，猜想DG与AE的数量关系和位置关系．
AGFHDAPGDFEBCBEC
【解答】猜想：DG＝
1AE，DG⊥AE 2延长DG交AE于H，在GH上截取PG＝DG，连接BE、DF、PF
∵∠AGD＝∠FGP，AG＝FG，∴△AGD≌△FGP，∴AD＝PF，∠ADG＝∠GPF ∴AD∥PF，∴PF⊥CD，∴∠CDF＋∠PFD＝90° ∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∴AB＝PF ∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝DC，∠BCD＝90° ∵∠ECF＝90°，∴∠BCE＝∠DCF
∵Rt△CEF是等腰直角三角形，∠ECF＝90°，∴CE＝CF
∴△BCE≌△DCF，∴BE＝DF，∠CBE＝∠CDF，∴∠CBE＋∠PFD＝90° ∵∠ABE＋∠CBE＝90°，∴∠ABE＝∠PFD
∴△ABE≌△PFD，∴AE＝PD，∠BAE＝∠GPF，∴DG＝
1AE，∠ADG＝∠BAE 2∵∠BAE＋∠DAH＝90°，∴∠ADG＋∠DAH＝90°，∴∠AHD＝90°，∴DG⊥AE
7．如图，点D、E分别在等边△ABC内外，∠DCE＝120°，CD＝CE，F为BD的中点，若CF＝2，则四边形AFEC的面积为 ．
AADFBCGFBDCEE
【解答】延长CF到G，使FG＝CF，连接BG，则△DFC≌△BFG
∴BG＝CD＝CE，∠G＝∠FCD，∴BG∥CD，∴∠CBG＋∠DCB＝180° ∵∠ACB＝60°，∠DCE＝120°，∴∠ACB＋∠DCE＝180° ∴∠ACE＋∠DCB＝180°，∴∠CBG＝∠ACE
又∵AC＝BC，∴△ACE≌△CBG，∴AE＝CG＝2CF，可得AE与CF之间的夹角为60°
则S四边形AFEC＝S△AEF＋S△AEC＝
331AE·CF＝CF2＝23 222
8．如图，AD为△ABC的中线，分别以AB和AC为一边在△ABC的外部作等腰△ABE和等腰△ACF，使AE＝AB，AF＝AC，连接EF，且∠EAF＋∠BAC＝180°，设EF交AB于点G，且G是EF的中点，若∠BAE＝α，求∠ACB和∠CAF的数量关系（用含α的式子表示）．
AEGFABDCEGFDCBH
【解答】延长AD至点H，使DH＝AD，连接BH
∵AD＝DH，∠ADC＝∠HDB，BD＝CD，∴△ADC≌△HDB（SAS） ∴AC＝BH，∠DAC＝∠H，∴AC∥BH，∴∠BAC＋∠ABH＝180° ∵∠EAF＋∠BAC＝180°，∴∠ABH＝∠EAF
∵AF＝AC，∴BH＝AF，∴△BAH≌△AEF（SAS），∴∠BAD＝∠AEG ∵G是EF的中点，∴EF＝2EG，∵EF＝2AD，∴AD＝EG 又∵AB＝AE，∴△BAD≌△AEG（SAS），∴∠ABD＝∠BAE＝α 设∠BAC＝β，∠CAF＝γ，则∠EAF＝α＋β＋γ，α＋2β＋γ＝180° ∴∠ACB＝180°－α－β＝α＋2β＋γ－α－β＝β＋γ ∴2∠ACB－∠CAF＝2β＋2γ－γ＝2β＋γ＝180°－α
9.在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，点Ｄ在边AB上，点E在边AC的延长线上，且BD＝CE，连接DE交BC于点F，作FG⊥AF交AC于点G，若AD＝8，AG＝7，求BD的长.
ADBFGCE
9.解：延长GF至N，使FN＝FG，连接AN、DN ∵FG⊥AF，∴AF是NG的垂直平分线∴AN＝AG＝7∵DF＝EF，∠DFN＝∠EFG，∴△DFN≌△EFG∴DN＝EG，∠FDN＝∠E，∴DN∥AC∵∠BAC＝120°，∠ADN＝60°
设BD＝CE＝x，∵AD＝8，AG＝7，∴AC＝AB＝x＋8，GC＝x＋1，DN＝EG＝2x＋1 作AM⊥DN于M，∴DM＝DN上)
或MN＝4－(2x＋1)＝3－2x(点M在DN的延长线上)
1AD＝4， AM＝43∴MN＝2x＋1－4＝2x－3(点M在线段2又∵MN＝AN2AM2＝1，∴.2x－3＝1，或3－2x＝1. ∴x＝2或x＝1，即BD的长为2或1.
ADBMNFGCEBADNMFGCE
10.如图， △ABC和△CDE都是等腰直角三角形， C为直角顶点，固定△ABC不动，将△CDE绕点C旋转，连接AD、BE，过点C作BE的垂线，垂足为H，直线CH交线段AD于点F，连接EF，若AC＝4，CD＝2，则线段EF长的取值范围是__________.
AFDHEBC
10.解：过点A作AG∥CD交CF延长线于点G，
则∠G＝∠DCF＝∠DCF＝90°－∠ECF＝∠BEC， ∠ACG＝90°－∠BCG＝∠CBE 又∵AC＝BC，∵△ACG≌△C BE(AAS)∴AG＝CE＝CD，∴△AFG≌△DFC(ASA)，∴AF＝DF
延长DE至N， 使EN＝DE＝22， 连接AN、CN， 则EF是△DAN的中位线，∴EF＝作CM⊥DE于M，则CM＝ME＝2，MN＝32，CN＝25 ∵CN－AC≤AN≤CN＋AC， ∴254AN254，∴52EF52 当点N在AC延长线上时，EF取得最大值； 当点N在CA延长线上时，EF取得最小值 这两种情况下EF都是平行于AC的
GAFDBHCMEN1AN 2
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