高考数学压轴专题2020-2021备战高考《矩阵与变换》经典测试题含答案

一、15

axbycz01．已知x,y,z是关于的方程组cxaybz0的解.

bxcyaz0ab（1）求证：ccaab1a1； c1bababcccb（2）设z01,a,b,c分别为ABC三边长，试判断ABC的形状，并说明理由；

222（3）设a,b,c为不全相等的实数，试判断\"abc0\"是“xoy0z00”的 条

件，并证明.①充分非必要；②必要非充分；③充分且必要；④非充分非必要. 【答案】（1）见解析（2）等边，见解析（3）④，见解析 【解析】 【分析】

（1）将行列式的前两列加到第三列上即可得出结论；

ab（2）由方程组有非零解得出ccab1ba＝b＝c；

ab0，即ca10，将行列式展开化简即可得出cabc1（3）利用（1），（2）的结论即可答案． 【详解】

（1）证明：将行列式的前两列加到第三列上，

abc得：cababcab1abcacabcab∴caabc（a+b+c）•ca1．

bcabcbc1ab1a10． bc1（2）∵z0＝1，∴方程组有非零解，

ab0，由（1）可知（a+b+c）•ccb∵a、b、c分别为△ABC三边长，∴a+b+c≠0，

ab1

∴c

a10，即a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝0，

bc1

∴2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac＝0，即（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2＝0， ∴a＝b＝c，

∴△ABC是等边三角形．

（3）若a+b+c＝0，显然（0，0，0）是方程组的一组解，即x02+y02+z02＝0， ∴a+b+c＝0”不是“x02+y02+z02＞0”的充分条件； 若x02+y02+z02＞0，则方程组有非零解，

ab∴ccaab1

ab1a10． bc1a10．

ab（a+b+c）•ccb∴a+b+c＝0或c

bc1

由（2）可知a+b+c＝0或a＝b＝c． ∴a+b+c＝0”不是“x02+y02+z02＞0”的必要条件． 故答案为④． 【点睛】

本题考查了行列式变换，齐次线性方程组的解与系数行列式的关系，属于中档题．

xayayx2．解关于，的方程组.

ax9y3【答案】分类讨论，详见解析 【解析】 【分析】

2分别计算得到D9a2，Dx6a，Dy3a，讨论得到答案.

【详解】

D1aa99a2，Dxaa396a，Dy1aa33a2.

6ax9a2当a3时，D0，此时方程有唯一解：； 2y3a9a2当a3时，D0，Dx0，方程无解. 综上所述：a3，有唯一解；a3，无解. 【点睛】

本题考查了通过行列式讨论方程组的解的情况，分类讨论是一个常用的方法，需要同学熟练掌握.

3．解方程组xsinycos2cos0.

xcosycos2sin【答案】见解析.

【解析】 【分析】

求出行列式D、Dx、Dy，对D分D0和D0两种情况分类讨论，利用方程组的解与行列式之间的关系求出方程组的解，或者将参数的值代入方程组进行求解，由此得出方程组的解. 【详解】

由题意得Dsincos2coscos2sincoscos2，

Dxcoscos2sincos2sincoscos2， Dysin2cos2cos2.

Q0，022.

①当D0时，即当cos20时，即当2时，

2且233时，即当且244Dxx1D； D1yyDsincos②当时，方程组为422xx122，则该方程组的解为；

yR22

x222x12. ，该方程组的解为yR222x32③当时，方程组为42x2【点睛】

本题考查二元一次方程组的求解，解题时要对系数行列式是否为零进行分类讨论，考查运算求解能力，属于中等题.

2xy3z14．用行列式解方程组x2yaz3，并加以讨论.

ayz1a11x2a525【答案】当a1且a时，原方程有唯一解y；

2a525z2a5当a5时，方程组无解； 2xt1当a1时，方程组有无穷多解，解为yt1,tR

zt【解析】 【分析】

分别得到D，Dx，Dy，Dz，然后分别得到它们等于0，得到相应的a的值，然后进行讨论. 【详解】

201a31201a11111a3aa1a11，1D12a2a5a1，Dx32213Dy13011a2a1，Dz1235a1

a11x2a525当a1且a时，原方程有唯一解y；

2a525z2a52xy3z155当a时，原方程等价于x2yz3，方程组无解；

225yz122xy3z1当a1时，原方程组等价于x2yz3，

yz1xt1方程组有无穷多解，解为yt1,tR

zt【点睛】

本题考查通过行列式对方程组的解进行讨论，属于中档题.

x25．不等式bx【答案】a【解析】 【分析】

将行列式展开，由行列式大于0，即ax2+（1+ab）x+b＞0，由1和2是方程ax2+（1+ab）x+b＝0的两个根，由韦达定理可知，列方程组即可求得a和b的值． 【详解】

1aax10的解是1x2，试求a，b的值. 11，b1或a1，b2 . 2x21xba1x2×（﹣a）×（﹣1）+x+abx﹣x2×（﹣a）﹣ax2﹣（﹣1）×b＝ax2+（1+ab）xa1x+b＞0，

∵不等式的解为1＜x＜2，

∴a＜0，且1，2为一元二次方程：ax2+（1+ab）x+b＝0的两个根，

1ab12a由韦达定理可知：，整理得：2a2+3a+1＝0，

12ba1a1a解得：或2，

b2b1故a＝﹣1，b＝﹣2或a【点睛】

本题考查行列式的展开，考查一元二次不等式与一元二次方程的关系及韦达定理，考查计算能力，属于中档题．

1，b＝﹣1． 2

a1xay1 ,aR 6．已知方程组a2xa3y2（1）求证：方程组恰有一解；

（2）求证：以方程的解x,y为坐标的点在一条直线上； （3）求xy的最小值，并求此时a的范围. 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）最小值【解析】 【分析】

（1）利用二阶行列式证明

（2）利用消参法得x,y的轨迹即可证明 （3）利用绝对值不等式求最值 【详解】 （1）

1，a[3,4] 3a1a1aa1122Da2a3a2a30,Dxa3,Dya4, a2a32a3a22xa34a，y,33

即方程组有唯一解 （2）由（1）知xa34a，y,消去参数a,则3x3y10，即以方程的解33x,y为坐标的点在一条直线上；

（3）|x||y|11(|a3||4a|)，当且仅当a34a0即a[3,4]时，331xy的最小值

3【点睛】

本题考查二元一次方程组的解，考查绝对值不等式求最值，是基础题

x57．已知P:矩阵图x101x2m110241的某个列向量的模不小于2；Q:行列式23中元素1的代数余子式的值不大于2,若P是Q成立的充分条件,求实数1m的取值范围.

【答案】[2,) 【解析】

【分析】

先根据行列式中元素1的代数余子式的值求出P，再根据矩阵图某个列向量的模不小于2求出Q，结合P是Q成立的充分条件可得实数m的取值范围. 【详解】

x5因为矩阵图x101x5的某个列向量的模不小于2，所以x12，解得 2143中元素1的代数余子式的值不大于2，所以11x3；

1因为行列式x2m021x2m1[2,).

3x2m32，即x2m1； 1因为P是Q成立的充分条件，所以2m13，解得m2；故实数m的取值范围是【点睛】

本题主要考查矩阵和行列式的运算及充分条件，明确矩阵和行列式的运算规则是求解的关键，充分条件转化为集合的包含关系，侧重考查数学运算的核心素养.

uuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuv8．已知OA(2,1)，OB(1,7)，OC(5,1)，若ODxOA，f(x)DBDC（x,yR）.

（1）求函数yf(x)的解析式；

f(x)4（2）求函数g(x)1在1x2条件下的最小值；

5xv（3）把yf(x)的图像按向量a(2,8)平移得到曲线C，过坐标原点O作OM、ON分别交曲线C于点M、N，直线MN交y轴于点Q(0,y0)，当MON为锐角时，求y0的取值范围.

【答案】（1）f(x)5x220x12；（2）415；（3）(,0)U(,). 【解析】 【分析】

（1）根据向量数量积的坐标公式即可求yf(x)的解析式；

（2）通过矩阵的计算公式，求出g(x)的表达式，然后利用基本不等式求最值即可； （3）根据向量平移关系即可求出曲线C的解析式，设Mm,5m152,Nn,5n，根据

2MON为锐角时，建立不等式关系进行求解即可．

uuuruuur解：（1）QODxOA(2x,x),D(2x,x)， uuuruuurQOB(1,7),OC(5,1)，

【详解】

B(1,7),C(5,1)， uuuruuurDB(12x,7x),DC(52x,1x)，

uuuruuur则yDBDC(12x,7x)(52x,1x)5x220x12，

即f(x)5x220x12； （2）由已知得：

f(x)4f(x)121212g(x)205x20205x25x415， 1xxxx5x当且仅当5x12215，即x1,2时取到最小值， x5f(x)4函数g(x)1在1x2条件下的最小值为415；

5xryf(x)的图象按向量a(2,8)平移后得到曲线C为y5x2；

设Mm,5m22（3）Qyf(x)5x20x125(x2)8，

2,Nn,5n，

2y5n2xn则直线MN的方程为， 225m5nmn令x0，则y05mn，

若MON为锐角，因为M,O,N不可能共线，则OMONmn25m2n20，

uuuuruuurmn1或mn0， 25yy10或00，

5255即y00或y01， 515故y0的取值范围是(,0),． 【点睛】

本题主要考查向量的数量积公式的应用，以及向量平移的关系，考查学生的运算能力．

a19．证明：（1）

a2a1ka2（2）

a2【解析】 【分析】

b1a1a2； b2b1b2b1. b2b1kb2a1b2a2【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析

a1（1）根据行列式的运算，分别化简得

a2求解；

b1aaa1b2b1a2，12a1b2a2b1，即可b2b1b2a1ka2b1kb2a1b2a2b1，（2）根据行列式的运算，分别化简得

a2b2a1a2b1a1b2a2b1，即可求解. b2a1a2b1aaa1b2b1a2，12a1b2a2b1， b2b1b2【详解】

（1）根据行列式的运算，可得

所以

a1a2b1a1a2. b2b1b2（2）根据行列式的运算，可得

a1ka2b1kb2(a1ka2)b2(b1kb2)a2

a2b2(a1b2ka2b2)(a2b1ka2b2)a1b2a2b1，

又由

a1a2b1aka2b1kb2a1b1a1b2a2b1，所以1.

a2b2a2b2b2【点睛】

本题主要考查了行列式的运算及其应用，其中解答中熟记行列式的运算法则，准确化简是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

10．[选修42：矩阵与变换]

21a已知矩阵A的一个特征值为2，其对应的一个特征向量为1． 1b若A，求x，y的值． 【答案】x，y的值分别为0，1． 【解析】

xyab试题分析：利用矩阵的乘法法则列出方程，解方程可得x，y的值分别为0，1． 试题解析：

241a22a由条件知，A2，即121，即2b2， 1b2a4,a2,12 解得{ 所以A所以{． 2b2,b4.14x2y2,x0,12xx2y2x则Ayx4y4，所以{x4y4, 解得{y1. y14所以x，y的值分别为0，1．

的旋转变换，对应的变换矩阵是M. 2（1）求点P(1,1)在T作用下的点P的坐标；

11．设变换T是按逆时针旋转

2（2）求曲线C:yx在变换T的作用下所得到的曲线C的方程.

2【答案】（1）1,1；（2）yx.

【解析】 【分析】

（1）根据所给旋转变换的角度可求得对应的矩阵，由所给点的坐标即可求得变换后的对应坐标；

（2）根据变换可得矩阵乘法式，计算后代入方程即可得变换后的曲线C的方程. 【详解】

（1）由题意变换T是按逆时针旋转

的旋转变换，对应的变换矩阵是M， 2cos2可知Msin2sin201， 10cos210111M，

11011所以点P(1,1)在T作用下的点P的坐标为1,1.

x0x（2）设是变换后曲线C上任意一点，与之对应的变换前的点为，

yy0x0x01x0x则M，即y， yy100y0y0xx0y所以，即，

xyyx00x0yx02因为在曲线C:yx上，将代入可得xy2，

y0xy0即yx，

所以曲线C:yx在变换T的作用下所得到的曲线C的方程为yx. 【点睛】

本题考查了旋转变换对应矩阵的求法，由矩阵求对应点的坐标，矩阵的乘法运算应用，属于中档题.

222

mxy312．用行列式解关于x、y的方程组，并讨论说明解的情况.

(3m1)x4my8m4【答案】当m1时，无穷解；当m11时，无解；当m1且m时，有唯一解，

4448m3. ，y4m14m1【解析】 【分析】 x先求出系数行列式D，Dx，Dy，然后讨论m，从而确定二元一次方程解的情况． 【详解】 解：

mxy3Q (3m1)x4my8m4DDxDym14m23m1(4m1)(m1)，

3m14m3144m，

8m44mm38m25m38m3m1，

3m18m41①当m1且m时，D0，原方程组有唯一解，

4即xDyDx44m48m3m18m3y，， D(4m1)(m1)4m1D4m1m14m1②当m1时，D0，Dx0，Dy0，原方程组有无穷解． ③当m【点睛】

本题主要考查了行列式，以及二元一次方程的解法，属于基础题．

1时，D0，Dx0，原方程无解． 4

bac13．设a,b,c分别是ABC的三边，行列式cba.

acb（1）求字母b的代数余子式的展开式；

（2）若（1）的值为0，判断直线sinBxayb0与sinCxbyc0的位置关系. 【答案】（1）3b23ac；（2）重合. 【解析】 【分析】

（1）根据字母b的代数余子式的展开式12bacb14bcab16bacb即可求解；

（2）根据（1）的值为0，得出边长的关系，即可判断直线位置关系. 【详解】

bac（1）a,b,c分别是ABC的三边，行列式cba，

acb所以字母b的代数余子式的展开式为：

12bacb14bcab16bacb

b2acb2acb2ac 3b23ac

（2）若（1）的值为0，即3b23ac0，b2ac，由正弦定理：所以

bc， abcsinC bsinBcsinCbc bsinBab所以直线sinBxayb0与sinCxbyc0的位置关系是重合. 【点睛】

此题考查求代数余子式的展开式，得出三角形边长关系，结合正弦定理判断两直线的位置关系，跨章节综合性比较强.

1m21xPMNQ14．已知矩阵，，，，若PQMN.

3mmmm3y(1) 写出PQMN所表示的关于x、y的二元一次方程组； (2) 用行列式解上述二元一次方程组. mxy1【答案】(1) ；(2) 见解析

3mxmy2m3【解析】 【分析】

(1)利用矩阵的乘法和加法的运算法则直接计算并化简即可得出答案；

(2)先由二元一次方程组中的系数和常数项计算出D，Dx，Dy，然后再讨论m的取值范围，①当m≠0,且m≠3时，②当m0时，③当m3时，分别求出方程组的解即可得出答案. 【详解】

1m解：(1) 由题意可得PQ=3mmxmxy=，y3mxmy211mxy1M+N==，所以由PQ= M+N，可得=，即得

mm32m33mxmy2m3mxy1； 3mxmy2m3 (2) 由题意可得行列式Dm13mmm(m3)，m12m(m3)

Dx112m3m(m3) ,Dy3m2m31x①当m≠0,且m≠3时，D≠0，方程组有唯一解m；

y2②当m0时，D0,但Dx≠0，方程组无解； ③当m3时，DDxDy0，方程组有无穷多解【点睛】

本题考查了矩阵的乘法加法运算法则的应用，考查了用行列式求解二元一次方程组方法的应用，对参数的讨论是用行列式解二元一次方程组的关键，考查了运算能力，属于一般难度的题.

xt(tR).

y3t1

15．

在平面直角坐标系xOy中，直线xy20在矩阵A的直线仍为xy20，求矩阵A的逆矩阵A1.

1a对应的变换作用下得到b2112_1. 【答案】A012【解析】 试题分析：

11b02_1. 应用结合矩阵变换的定义可得：，据此求解逆矩阵可得：A10a12试题解析：

设Px,y是直线xy20上任意一点，其在矩阵A1102对应的变化下得到

1axxayb2ybx2y仍在直线上， 1b1b0xaybx2y20xy20所以得， 与比较得，解得，故

a21a111A, 02112_1. 求得逆矩阵A102

412202MNMN16．设矩阵xy，11，若513，求矩阵M的逆矩阵

M1．

351【答案】M45【解析】 【分析】

根据矩阵的乘法运算求出MN，然后由MN25 1502列出方程组，即可求出513x4,y3，从而确定矩阵M，再利用求逆矩阵的公式，即可求出矩阵M的逆矩阵

M1．

【详解】

2xy5,02MN解：因为513 ，所以4xy13.

所以x4,y3；

31251矩阵M的逆矩阵M4435【点睛】

25． 15本题主要考查矩阵的乘法运算及逆矩阵的求解．

12577171117．已知矩阵A，B23，B的逆矩阵B满足ABy7. x0（1）求实数x，y的值；

（2）求矩阵A的特征值和特征向量.

【答案】（1）x1,y3；（2）特征值为2和1，分别对应一个特征向量为2，111. 【解析】 【分析】 （1）计算AB121B，可得5y147y21，根据AAB1B，可得结果.

（2）计算矩阵A的特征多项式frrAxx，可得结果.

【详解】 （1）因为AB112，可得2或1，然后根据

171757B，23 y7所以AB12717571By7235y147y21

1由AABB，所以x12125y147y21 0所以5y14xx1

7y210y3（2）矩阵A的特征多项式为：

12f1221

1令fλ0，解得2或1 所以矩阵A的特征值为2和1.

①当2时，

12xxx2y2x2 10yyx2y令y1，则x2，

所以矩阵M的一个特征向量为②当1时，

2. 112xxx2yx 10yyxy令y1，则x1

1所以矩阵M的一个特征向量为.

1因此，矩阵A的特征值为2和1，

21分别对应一个特征向量为，.

11【点睛】

本题考查矩阵的应用，第（1）问中，关键在于AAB1B，第（2）问中，关键在于

12f0，考验分析能力以及计算能力，属中档题.

1

12A18．已知矩阵cd（c，d为实数）.若矩阵A属于特征值2，3的一个特征向量分

21别为，，求矩阵A的逆矩阵A1.

11231【答案】A16【解析】 【分析】

根据特征值的定义可知Aαλα，利用待定系数法建立等式关系，求出矩阵A，即可求出逆矩阵A1． 【详解】

13 161224212131解：由题意知，12cd21，cd1cd31， cd2cd2c1. 所以，解得cd3d423121所以A，所以A1146【点睛】

本题主要考查了二阶矩阵，以及特征值与特征向量的计算，属于基础题．

13. 16

1a19．已知a，bR，若M=所对应的变换TM把直线2x-y=3变换成自身，试求实

b3数a，b．

【答案】【解析】 【分析】 【详解】 设

则

即此直线即为

.

则.

uuuuuvxn111xn20．定义ynN为向量OPn1xn1,yn1的一个矩阵变换， y11nn1uuuvuuuv2,3（1）若P，求OP2，OP3； 1uuuvuuuvuuuuuuv,0，O为坐标原点，请计算OP9并探究OP2017的坐标. （2）设向量OP11uuuvuuuv16252,0. ,5，OP【答案】（1）OP2136,4；（2）【解析】 【分析】

ruuuruuu.（1）根据递推关系可直接计算OP2，OP3

uuuuuruuuruuur*（2）根据向量的递推关系可得OP对任意的nN恒成立，据此可求OP、9n816OPnuuuuuurOP2017的坐标.

【详解】

uuur2uuurx，设OP2， （1）因为P112,3，故OP3yuuur1uuuruuurx1121OP则6,4. ，所以25即OP21,5，同理OP3y1135xn111xnxn1xnyn（2）因为y，所以yxy， y11nnn1n1nxn2xn1yn12ynxn3xn2yn22yn2xn故，，

yxy2xyxy2y2xn2nnn2n1n1nn3n2uuuuuruuuruuuuuruuurxn4xn3yn34xn.，故OP，所以OPn44OPnn816OPn yxy4yn3nn4n3又9811，20174504182521,

uuuruuurOP916OP116,0

uuuuuuruuur252252OP,0. 所以OP201716116【点睛】

本题考查向量的坐标计算及向量的递推关系，解题过程中注意根据已知的递推关系构建新的递推关系，此问题为中档题.