一、选择题（共8小题）.
1．（5分）下列命题是全称量词命题的是（ ） A．有一个偶数是素数
B．至少存在一个奇数能被15整除 C．有些三角形是直角三角形
D．每个四边形的内角和都是360°
2．（5分）已知集合A＝{2，4，6}，B＝{1，3，4，6}，则A∪B中元素的个数是（ ）A．2
B．5
C．6
D．7
3．（5分）已知命题p：∀x∈R，2x2+2x+1＞0，则p的否定是（ ） A．∃x∈R，2x2+2x+1＞0 C．∃x∈R，2x2+2x+1≤0
B．∀x∈R，2x2+2x+1＜0 D．∀x∈R，2x2+2x+1≤0
4．（5分）“学生甲在河北省”是“学生甲在沧州市”的（ ） A．充分不必要条件 C．充要条件
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
5．（5分）已知集合M＝{a，2a﹣1，2a2﹣1}，若1∈M，则M中所有元素之和为（ ）A．3
B．1
C．﹣3
D．﹣1
6．（5分）已知a，b∈（0，+∞），x＝a5+b5，y＝a4b+ab4，z＝a3b2+a2b3，则（ ） A．x≤y≤z
B．y≤z≤x
C．z≤x≤y
D．z≤y≤x
7．（5分）已知函数f（x+1）为偶函数，当x＞1时，f（x）＝x2+x3，则f（﹣2）＝（ ）A．﹣4
B．12
C．36
D．80
8．（5分）某种杂志原以每本3元的价格销售，可以售出10万本．根据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售量就减少1000本．设每本杂志的定价为x元，要使得提价后的销售总收入不低于42万元，则x应满足（ ） A．6≤x≤7
B．5≤x≤7
C．5≤x≤6
D．4≤x≤6
二、多项选择题（共4小题）.
9．（5分）下列命题为假命题的是（ ） A．y＝x2是奇函数 C．y＝2x是幂函数
B．若x∈Q，则x∈R D．∃x0∈[0，1]，x02＝
10．（5分）已知函数f（x）＝x4﹣x2，则（ ） A．f（x）的图象关于y轴对称 B．方程f（x）＝0的解的个数为2
C．f（x）在（1，+∞）上单调递增 D．f（x）的最小值为
11．（5分）设不大于x的最大整数为[x]，如[3.6]＝3．已知集合A＝{x|[x]＝﹣1}，B＝{x|0＜[2x+2]＜3}，则（ ） A．A＝{x|﹣1≤x＜0} C．
B．D．
的值可能为（ ）
C．6
D．
12．（5分）已知1＜x＜3，则A．4
B．
三．填空题：本大题共4小题，共计20分．
13．（3分）若集合A＝{x∈N|x2＜24}，B＝{a}，B⊆A，则a的最大值为 ． 14．（3分）已知幂函数y＝f（x）经过点（﹣2，﹣8），则f（x）＝ ，不等式f（x）＜27的解集为 ．
15．（3分）若正数x，y满足+＝1，则xy的最小值为 ．
16．（3分）对非空有限数集A＝{a1，a2，…，an}定义运算“min”：minA表示集合A中的最小元素．现给定两个非空有限数集A，B，定义集合M＝{x|x＝|a﹣b|，a∈A，b∈B}，我们称minM为集合A，B之间的“距离”，记为dAB．现有如下四个命题： ①若minA＝minB，则dAB＝0； ②若minA＞minB，则dAB＞0； ③若dAB＝0，则A∩B≠∅；
④对任意有限集合A，B，C，均有dAB+dBC≥dAC． 其中所有真命题的序号为 ．
三、解答题：本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．在①B＝{x|﹣1＜x＜4}，②∁RB＝{x|x＞6}，③B＝{x|x≥7}这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中．
问题：已知集合A＝{x|a＜x＜10﹣a}，_______，若A∩B＝∅，求a的取值范围．
18．（1）已知函数（2）已知函数
，求f（x）的定义域；
，依据函数单调性的定义证明f（x）在（0，+∞）上单调
递减，并求该函数在[1，3]上的值域． 19．已知集合A＝{2，6}．
（1）若集合B＝{a+1，a2﹣23}，且A＝B，求a的值；
（2）如集合C＝{x|ax2﹣x+6＝0}，且A与C有包含关系，求a的取值范围． 20．当b≠0时，解关于x的不等式bx2﹣2x+2﹣b≤0． 21．已知函数
，g（x）＝|x﹣2|．
（1）求方程f（x）＝g（x）的解集； （2）定义：（x），g（x）}．
（ⅰ）求h（x）的单调区间；
（ⅱ）若关于x的方程h（x）＝m有两个实数解，求m的取值范围． 22．已知函数
．
．已知定义在[0，+∞）上的函数h（x）＝max{f
（1）当t＝1时，求f（x）在[0，n]上的最小值； （2）若∀x∈R，t∈（0，+∞），
，求a的取值范围．
参
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）下列命题是全称量词命题的是（ ） A．有一个偶数是素数
B．至少存在一个奇数能被15整除
C．有些三角形是直角三角形
D．每个四边形的内角和都是360° 解：A，有一个，存在性量词，特称命题， B，至少存在一个，存在性量词，特称命题， C，有些，存在性量词，特称命题， D，每个，全称量词，全称命题， 故选：D．
2．（5分）已知集合A＝{2，4，6}，B＝{1，3，4，6}，则A∪B中元素的个数是（A．2
B．5
C．6
D．7
解：∵A＝{2，4，6}，B＝{1，3，4，6}， ∴A∪B＝{1，2，3，4，6}， ∴A∪B的元素个数是5． 故选：B．
3．（5分）已知命题p：∀x∈R，2x2+2x+1＞0，则p的否定是（ ） A．∃x∈R，2x2+2x+1＞0 B．∀x∈R，2x2+2x+1＜0 C．∃x∈R，2x2+2x+1≤0
D．∀x∈R，2x2+2x+1≤0
解：因为全称命题的否定是特称命题， 所以命题p：∀x∈R，2x2+2x+1＞0，
则命题p的否定形式是：￢p：∃x∈R，2x2+2x+1≤0． 故选：C．
4．（5分）“学生甲在河北省”是“学生甲在沧州市”的（ ） A．充分不必要条件
B．必要不充分条件 ）C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解：由“学生甲在河北省”不能推出“学生甲在沧州市”， 但由“学生甲在沧州市”能推出“学生甲在河北省”，
故“学生甲在河北省”是“学生甲在沧州市”的必要不充分条件， 故选：B．
5．（5分）已知集合M＝{a，2a﹣1，2a2﹣1}，若1∈M，则M中所有元素之和为（ ）A．3
B．1
C．﹣3
D．﹣1
解：（1）若a＝1，则2a﹣1═1，不满足集合的互异性，舍去． （2）若2a﹣1＝1，则a＝1，不满足集合的互异性，舍去．
（3）若2a2﹣1＝1，则a＝﹣1，或a＝1，由（1）可知a＝1不合题意，当a＝﹣1时，2a﹣1＝﹣3，此时M＝{﹣1，﹣3，1}，故M中所以元素之和为﹣3． 故选：C．
6．（5分）已知a，b∈（0，+∞），x＝a5+b5，y＝a4b+ab4，z＝a3b2+a2b3，则（ ） A．x≤y≤z
B．y≤z≤x
C．z≤x≤y
D．z≤y≤x
解：已知a，b∈（0，+∞）， 因为x﹣y＝a5+b5﹣a4b﹣ab4 ＝a4（a﹣b）+b4（b﹣a） ＝（a﹣b）（a4﹣b4）
＝（a+b）（a﹣b）2（a2+b2）≥0， 所以x≥y．
因为z﹣y＝a3b2+a2b3﹣a4b﹣ab4 ＝a3b（b﹣a）+ab3（a﹣b） ＝﹣ab（a+b）（a﹣b）2≤0， 所以z≤y， 所以z≤y≤x． 故选：D．
7．（5分）已知函数f（x+1）为偶函数，当x＞1时，f（x）＝x2+x3，则f（﹣2）＝（ ）A．﹣4
B．12
C．36
D．80
解：根据题意，函数f（x+1）为偶函数，则函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，则有f（﹣2）＝f（4），
当x＞1时，f（x）＝x2+x3，则f（4）＝42+43＝80， 故f（﹣2）＝80， 故选：D．
8．（5分）某种杂志原以每本3元的价格销售，可以售出10万本．根据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售量就减少1000本．设每本杂志的定价为x元，要使得提价后的销售总收入不低于42万元，则x应满足（ ） A．6≤x≤7
B．5≤x≤7
C．5≤x≤6
＝13﹣x，
D．4≤x≤6
解：设每本杂志的定价为x元，销量为10﹣则提价后的销售总收入为x（13﹣x）， 由x（13﹣x）≥42，得x2﹣13x+42≤0， 解得6≤x≤7， ∴x应满足6≤x≤7． 故选：A．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 9．（5分）下列命题为假命题的是（ ） A．y＝x2是奇函数 C．y＝2x是幂函数
解：y＝x2是偶函数，所以A是假命题； 若x∈Q，则x∈R，是真命题；
y＝2x是幂函数，不正确，所以C是假命题； ∃x0∈[0，1]，x02≤1＜故选：ACD．
10．（5分）已知函数f（x）＝x4﹣x2，则（ ） A．f（x）的图象关于y轴对称 B．方程f（x）＝0的解的个数为2
，所以D是假命题；
B．若x∈Q，则x∈R D．∃x0∈[0，1]，x02＝
C．f（x）在（1，+∞）上单调递增 D．f（x）的最小值为
解：f（x）＝x4﹣x2，则f（x）是偶函数，故f（x）的图象关于y轴对称，故A正确； 令f（x）＝0即x2（x+1）（x﹣1）＝0，解得：x＝0，1，﹣1，函数f（x）有3个零点，
故B错误；
令t＝x2，g（t）＝t2﹣t＝（t﹣）2﹣，
x＞1时，函数t＝x2，g（t）＝t2﹣t都为递增函数，故f（x）在（1，+∞）递增，故C正确；
由t＝时，g（t）取得最小值﹣，故f（x）的最小值是﹣，故D正确． 故选：ACD．
11．（5分）设不大于x的最大整数为[x]，如[3.6]＝3．已知集合A＝{x|[x]＝﹣1}，B＝{x|0＜[2x+2]＜3}，则（ ） A．A＝{x|﹣1≤x＜0} C．
B．D．
解：集合A＝{x|[x]＝﹣1}＝[﹣1，0），
B＝{x|0＜[2x+2]＜3}＝{x|1≤2x+3＜3}＝[﹣，）， 故A∪B＝[﹣1，），A∩B＝[﹣，0）， ∵3＜
＜4，∴[﹣
]＝﹣4，
故选：AD．
12．（5分）已知1＜x＜3，则A．4 解：＝（＝[5+当且仅当故
++＝
）[（x﹣1）+（3﹣x）]
]≥[5+4]＝，
即x＝时“＝”成立， B．
的值可能为（ ）
C．6
D．
的最小值是，
故选：BCD．
三．填空题：本大题共4小题，共计20分．
13．（3分）若集合A＝{x∈N|x2＜24}，B＝{a}，B⊆A，则a的最大值为 4 ．
解：∵A＝{x∈N|x2＜24}⇒A＝{0，1，2，3，4}， ∵B⊆A，B＝{a}， ∴a的最大值为4． 故答案为：4．
14．（3分）已知幂函数y＝f（x）经过点（﹣2，﹣8），则f（x）＝ x3 ，不等式f（x）＜27的解集为 （﹣∞，3） ．
解：∵已知幂函数y＝f（x）经过点（﹣2，﹣8），设f（x）＝xα，则（﹣2）α＝﹣8， 求得α＝3，可得f（x）＝x3．
不等式f（x）＜27，即 x2＜33，∴x＜3，故不等式的解集为（﹣∞，3）， 故答案为：x3；（﹣∞，3）．
15．（3分）若正数x，y满足+＝1，则xy的最小值为 24 ． 解：由于正数x，y满足+＝1，则y+6x＝xy， 所以xy＝y+6x＝
＝2，y＝12时，等号成立）， 故最小值为24． 故答案为：24．
16．（3分）对非空有限数集A＝{a1，a2，…，an}定义运算“min”：minA表示集合A中的最小元素．现给定两个非空有限数集A，B，定义集合M＝{x|x＝|a﹣b|，a∈A，b∈B}，我们称minM为集合A，B之间的“距离”，记为dAB．现有如下四个命题： ①若minA＝minB，则dAB＝0； ②若minA＞minB，则dAB＞0； ③若dAB＝0，则A∩B≠∅；
④对任意有限集合A，B，C，均有dAB+dBC≥dAC． 其中所有真命题的序号为 ①③ ．
解：对于①，若minA＝minB，则A中的最小元素与B中的最小元素相同，故dAB＝0，①正确；
对于②，设A＝{3，5}，B＝{1，2，3}，满足minA＞minB，而dAB＝0，故②错误； 对于③，由题意，若dAB＝0，则A与B必有公共元素，则A∩B≠∅，故③正确； 对于④，若A与B有公共元素，B与C有公共元素，A与C没有公共元素，
＝
+12＝24，（当且仅当x
则dAB＝0，dBC＝0，dAC＞0，∴dAB+dBC＜dAC，故④错误． 故答案为：①③．
三、解答题：本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．在①B＝{x|﹣1＜x＜4}，②∁RB＝{x|x＞6}，③B＝{x|x≥7}这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中．
问题：已知集合A＝{x|a＜x＜10﹣a}，_______，若A∩B＝∅，求a的取值范围． 解：（1）选择条件①B＝{x|﹣1＜x＜4}，∵A∩B＝∅， ∴①A＝∅时，a≥10﹣a，解得a≥5； ②A≠∅时，
∴a的取值范围为[4，+∞）；
（2）选择条件②∁RB＝{x|x＞6}，B＝{x|x≤6}，∵A∩B＝∅， ∴①A＝∅时，a≥5， ②A≠∅时，
，无解；
，解得4≤a＜5，
∴a的取值范围为[5，+∞）；
（3）选择条件③B＝{x|x≥7}，∵A∩B＝∅， ∴①A＝∅时，a≥5； ②A≠∅时，
，解得3≤x＜5，
∴a的取值范围为[3，+∞）． 18．（1）已知函数（2）已知函数
，求f（x）的定义域；
，依据函数单调性的定义证明f（x）在（0，+∞）上单调
递减，并求该函数在[1，3]上的值域． 解：（1）由题意得：
，解得：x≤5且x≠1，
故函数的定义域是（﹣∞，1）∪（1，5]； （2）设任意0＜x1＜x2， 则f（x1）﹣f（x2）＝﹣2x1+
+2x2﹣
＝（x2﹣x1）（2+
），
∵0＜x1＜x2，∴x2﹣x1＞0，2+＞0，
故f（x1）﹣f（x2）＞0，f（x1）＞f（x2）， 故f（x）在（0，+∞）递减，
故f（x）在[1，3]递减，而f（1）＝﹣1，f（3）＝﹣故函数f（x）在[1，3]的值域是[﹣19．已知集合A＝{2，6}．
（1）若集合B＝{a+1，a2﹣23}，且A＝B，求a的值；
（2）如集合C＝{x|ax2﹣x+6＝0}，且A与C有包含关系，求a的取值范围． 解：（1）因为集合A＝B，所以
或
，
，﹣1]．
，
解得
故a的值为5；
或，所以a＝5，
（2）由题意可得，
当C＝∅时，△＝1﹣24a＜0，解得a＞
成立，
当C＝{2}时，1﹣24a＝0且2+2＝，此时无解；
当C＝{6}时，1﹣24a＝0且6+6＝，此时无解；或a＝0；
当C＝{2，6}时，，此时无解；
所以a＝0或a＞．
20．当b≠0时，解关于x的不等式bx2﹣2x+2﹣b≤0．
解：b≠0时，不等式bx2﹣2x+2﹣b≤0化为（x﹣1）（bx﹣2+b）≤0； b＞0时，不等式化为（x﹣1）（x﹣+1）≤0； 当0＜b＜1，即﹣1＞1时，解不等式得1≤x≤﹣1；
当b＝1，即﹣1＝1时，解不等式得x＝1； 当b＞1，即﹣1＜1时，解不等式得﹣1≤x≤1； 当b＜0时，不等式化为（x﹣1）（x﹣+1）≥0， 且﹣1＜1，解得x≤﹣1或x≥1；
综上知，0＜b＜1时，不等式的解集为[1，﹣1]； b＝1时，不等式的解集是{1}； b＞1时，不等式的解集为[﹣1，1]；
b＜0时，不等式的解集为（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）． 21．已知函数
，g（x）＝|x﹣2|．
（1）求方程f（x）＝g（x）的解集； （2）定义：（x），g（x）}．
（ⅰ）求h（x）的单调区间；
（ⅱ）若关于x的方程h（x）＝m有两个实数解，求m的取值范围． 解：（1）由f（x）＝g（x），得∴
，
．已知定义在[0，+∞）上的函数h（x）＝max{f
，即x2﹣5x+4＝0（x≥0），解得x＝1或x＝4．
∴方程f（x）＝g（x）的解集为{1，4}；
（2）由题意作出函数h（x）＝max{f（x），g（x）}在[0，+∞）上的图象如图，
（ⅰ）由图可知，h（x）的单调减区间为[0，1]，增区间为[1，+∞）；
（ⅱ）由图可知，若关于x的方程h（x）＝m有两个实数解，求m的取值范围为（1，
2]． 22．已知函数
．
（1）当t＝1时，求f（x）在[0，n]上的最小值； （2）若∀x∈R，t∈（0，+∞），
，求a的取值范围．
解：（1）令＝m，则x＝2m，故f（m）＝4m2﹣4tm+2t2+则f（x）＝4x2﹣4tx+2t2+
，
+10，
，
当t＝1时，f（x）＝4x2﹣4x+1+11＝4
当0＜n＜时，f（x）min＝f（n）＝4n2﹣4n+11， 当n≥，f（x）min＝f（）＝10，
（2）﹣＝﹣＝﹣（x2+）＝﹣（x2+1+﹣1），
∵x2+1+≥2，当且仅当x2+1＝，即x2＝﹣1时“＝”成立，
∴﹣≤1﹣2，则a≥1﹣2，
∵f（x）＝4x2﹣4tx+2t2+故f（x）≥0+2从而a≤6，
综上：a的取值范围是[1﹣2
＝（2x﹣t）2+t2+， 即x＝
，t＝
时“＝”成立，
＝6，当且仅当2x＝t且t2＝
，6]．
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