一.选择题：本题有 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一个选 项是符合题目要求的 .
1．（ 3 分）在平面直角坐标系中，点 P（ 3，﹣ 2）在（
）
A ．第一象限
B ．第二象限 C．第三象限
D．第四象限
2．（ 3 分）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ）
A ．2cm，5cm， 8cm B． 3cm， 3cm， 6cm C． 25cm，24cm， 7cm
D． 1cm， 2cm， 3cm
3．（ 3 分）下列命题中，真命题是（ ）
A ．若 2x＝﹣ 1，则 x＝﹣ 2 B．任何一个角都比它的补角小 C．等角的余角相等
D．一个锐角与一个钝角的和等于一个平角 4．（ 3 分）下列说法正确的是（
）
A ．x＝﹣ 3 是不等式 x＞﹣ 2 的一个解 B ． x＝﹣ 1 是不等式 x＞﹣ 2 的一个解 C．不等式 x＞﹣ 2 的解是 x＝﹣ 3 D ．不等式 x＞﹣ 2 的解是 x＝﹣ 1 5．（ 3 分）若等腰三角形的一边长是 4，则它的周长可能是（
）
A ．7
B ．8
C． 9
D． 8 或 9
6．（ 3 分）已知3a＞﹣ 6b，则下列不等式一定成立的是（ ）
A ．a+1 ＞﹣ 2b﹣ 1
B ．﹣ a＜ b
C． 3a+6b＜ 0
D． ＞﹣ 2
7．（ 3 分）已知点 A 的坐标为（ a+1，3﹣ a），下列说法正确的是（ ） A ．若点 A 在 y 轴上，则 a＝ 3 B ．若点 A 在一三象限角平分线上，则 a＝ 1
C．若点 A 到 x 轴的距离是 3，则 a＝± 6 D ．若点 A 在第四象限，则 a 的值可以为﹣ 2
8．（ 3 分）一次函数
y＝kx+b（ k≠ 0）的图象经过点B（﹣ 6， 0），且与正比例函数y＝第 1 页（共 21 页）
x
的图象交于点 A（ m，﹣ 3），若 kx﹣ x＞﹣ b，则（ ）
A ．x＞ 0
9．（ 3 分）如图，在△
B ．x＞﹣ 3 C． x＞﹣ 6 D． x＞﹣ 9
ABC 中，∠ B＞ 90°， CD 为∠ ACB 的角平分线，在
）
AC 边上取点 E，
使 DE ＝ DB，且∠ AED＞ 90°．若∠ A＝α，∠ ACB＝β，则（
A ．∠ AED ＝ 180°﹣ α﹣β
B．∠ AED ＝ 180°﹣ α﹣ β D．∠ AED ＝ 90°+α+ β
s 千米的两地同
C．∠ AED ＝ 90°﹣ α+β
10．（ 3 分）速度分别为 100km/h 和 akm/h（ 0＜ a＜ 100）的两车分别从相距
时出发，沿同一方向匀速前行．行驶一段时间后，其中一车按原速度原路返回，直到与 另一车相遇时两车停止．在此过程中，两车之间的距离
y（ km）与行驶时间 t（ h）之间
；④ 若 s＝
的函数关系如图所示． 下列说法： ① a＝60；② b＝ 2；③ c＝ b+ 60，则 b＝ 中说法正确的是（
．其
）
A ．①②③ B ．②③④ C． ①②④ D． ①③④
二 .填空题：本题有 6 个小题，每小题 4 分，共 24 分 .
11．（4 分）在△ ABC 中，∠ A＝50°，若∠ B 比∠ A 的 2 倍小 30°，则△ ABC 是 角形．
12．（ 4 分）点 A（﹣ 2，﹣ 3）向上平移 3 个单位得到的点的坐标为 13．（ 4 分）“x 的 7 倍减去 1 是正数”用不等式表示为
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三
．
．
14．（ 4 分）如图，在△ ABC 中， AD 垂直平分 BC ，交 BC 于点 E，CD⊥ AC，若 AB＝ 6，CD ＝ 3，则 BE ＝
．
15．（ 4 分）在平面直角坐标系中，点 A 坐标为（﹣ 3，m+2），点 B 坐标为（ 1，m﹣ 2），若
点 C（ t+1 ， n1）和点 D（ t﹣2， n2）均在直线 AB 上，则 n1﹣ n2＝ 16．（ 4 分）如图，已知△
．
ABC 和△ ADE 均为等边三角形，点 O 是 AC 的中点，点 D 在射线
°；若 AB＝ 1，则 OE 的最小值＝
．
BO 上，连结 OE， EC，则∠ ACE＝
三 .解答题：本题有 7 个小题，共 66 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .
17．（ 6 分）解不等式组 并把解在数轴上表示出来．
18．（ 8 分）如图，△ ABC 的顶点均在格点上．
（ 1）分别写出点 A，点 B，点 C 的坐标．
（ 2）若△ A'B'C'与△ ABC 关于 y 轴对称，在图中画出△ A'B'C'，并写出相应顶点的坐标．
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19．（ 8 分）如图，在 Rt△ ABC 中， AB＝ AC，P 为斜边 BC 上一点（ PB＜ CP），分别过点 B，
C 作 BE ⊥AP 于点 E，CD ⊥ AP 于点 D ． （ 1）求证： AD ＝ BE；
（ 2）若 AE ＝2DE ＝ 2，求△ ABC 的面积．
20．（10 分） 2019 年 1 月同一时刻北京时间与英国伦敦时间分别为 京时间为 t（时），伦敦时间为 y（时）． （ 1）请在表格的空格内填入合适的数字； 北京时间 伦敦时间
8： 30
12： 10
22： 30
20：00 和 12： 00．设北
（ 2）当 8≤ t≤ 24 时，请直接写出 y 关于 t 的函数表达式；
（ 3）如果一航班在 1 月 10 日于北京时间13：00 从上海起飞，到达英国伦敦当地时间为 1 月 10 日 17： 30，求该航班在途中经历了多少时间？
21．（ 10 分）如图，在△ ABC 中， AD 是△ ABC 的高线， CE 是△ ABC 的角平分线，它们相交 于点 P．
（1）若∠ B＝40°，∠ AEC ＝ 75°，求证： AB＝ BC；
（2）若∠ BAC＝ 90°， AP 为△ AEC 边 EC 上中线，求∠ B 的度数．
22．（ 12 分）如图，在△ ABC 中， AB＝ AC， BD 平分∠ ABC 交 AC 于点 D，点 E 是 BC 延长 线上的一点，且 BD ＝ DE．点 G 是线段 BC 的中点，连结 AG，交 BD 于点 F ，过点 D 作 DH ⊥ BC，垂足为 H．
（ 1）求证：△ DCE 为等腰三角形； （ 2）若∠ CDE＝ 22.5°， DC＝
，求 GH 的长；
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（ 3）探究线段 CE，GH 的数量关系并用等式表示，并说明理由．
．（ 12 分）已知一次函数 y1＝（ a﹣ 1） x﹣ 2a+1，其中 a≠ 1． （ 1）若点（ 1，﹣
）在 y1 的图象上，求 a 的值；
（ 2）当﹣ 2≤ x≤3 时，若函数有最大值 2，求 y1 的函数表达式；
（ 3）对于一次函数 y2＝（ m+1）（ x﹣ 1） +2 ，其中 m≠﹣ 1，若对一切实数成立，求 a， m 需满足的数量关系及 a 的取值范围．
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x，y1＜ y2 都23 2018-2019 学年浙江省杭州市下城区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题：本题有 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一个选 项是符合题目要求的 .
1．（ 3 分）在平面直角坐标系中，点 A ．第一象限
P（ 3，﹣ 2）在（
）
D．第四象限
3＞ 0，﹣ 2＜ 0，所以
B ．第二象限 C．第三象限
【分析】 由平面直角坐标系中点的坐标的符号特点进行判断，因为 点 P（ 3，﹣ 2）在第四象限． 【解答】 解：∵ 3＞ 0，﹣ 2＜ 0，∴点 P（ 3，﹣ 2）在第四象 限．故选： D ．
【点评】 此题主要考查平面直角坐标系中已知点的坐标确定点的位置，比较简单．牢记 四个象限的符号特点：第一象限（ +，+）；第二象限（﹣， +）；第三象限（﹣，﹣） ；第四 象限（ +，﹣）．
2．（ 3 分）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ A ．2cm，5cm， 8cm C． 25cm，24cm， 7cm
）
B． 3cm， 3cm， 6cm D． 1cm， 2cm， 3cm
【分析】 根据三角形任意两边之和大于第三边进行分析即可． 【解答】 解： A、 2+5＜8，不能组成三角形； B、 3+3＝ 6，不能组成三角形； C、 7+24＞ 25，能够组成三角形； D、1+2 ＝ 3，不能组成三角 形．故选： C．
【点评】 本题考查了三角形三边关系．用两条较短的线段相加，如果大于最长哪条就能 够组成三角形．
3．（ 3 分）下列命题中，真命题是（ A ．若 2x＝﹣ 1，则 x＝﹣ 2 B ．任何一个角都比它的补角小 C．等角的余角相等
第 6 页（共 21 页）
）
D ．一个锐角与一个钝角的和等于一个平角
【分析】 根据一元一次方程的解法、余角和补角的概念判断即可． 【解答】 解：若 2x＝﹣ 1，则 x＝﹣
， A 是假命题；
90°＝ 180°﹣ 90°，则 90°的角等于它的补角， B 是假命题；
等角的余角相等， C 是真命题；
30°+120°＝ 150°，则一个锐角与一个钝角的和不一定等于一个平角， D 是假命题；
故选： C．
【点评】本题考查的是命题的真假判断， 正确的命题叫真命题， 错误的命题叫做假命题．断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 4．（ 3 分）下列说法正确的是（
）
A ．x＝﹣ 3 是不等式 x＞﹣ 2 的一个解 B ． x＝﹣ 1 是不等式 x＞﹣ 2 的一个解 C．不等式 x＞﹣ 2 的解是 x＝﹣ 3 D ．不等式 x＞﹣ 2 的解是 x＝﹣ 1
【分析】 根据不等式解集和解的概念求解可得．
【解答】 解： A． x＝﹣ 3 不是不等式 x＞﹣ 2 的一个解，此选项错误； B． x＝﹣ 1 是不等式 x＞﹣ 2 的一个解，此选项正确； C．不等式 x＞﹣ 2 的解有无数个，此选项错误； D ．不等式 x＞﹣ 2 的解有无数个，此选项错误； 故选： B．
【点评】 本题主要考查不等式的解集，不等式的解是一些具体的值，有无数个，用符号 表示；不等式的解集是一个范围，用不等号表示．不等式的每一个解都在它的解集的范 围内．
5．（ 3 分）若等腰三角形的一边长是 4，则它的周长可能是（
）
A ．7
B ．8
C． 9
D． 8 或 9
【分析】 分以 4 为腰和以 4 为底两种情况即可． 【解答】 解：当 4 是等腰三角形的腰时，周长大于 8，
当 4 是等腰三角形的底时，腰大于 2，周长大于 8， 所以这个等腰三角形的周长可能是
9，
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判 故选： C．
【点评】 本题考查等腰三角形的性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会由 分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 6．（ 3 分）已知3a＞﹣ 6b，则下列不等式一定成立的是（ A ．a+1 ＞﹣ 2b﹣ 1
B ．﹣ a＜ b
C． 3a+6b＜ 0
）
D． ＞﹣ 2
【分析】 先将不等式两边都除以 3 得 a＞﹣ 2b，再两边都加上 1 知 a+1 ＞﹣ 2b+1，结合﹣
2b+1＞﹣ 2b﹣ 1 利用不等式的同向传递性可得答案． 【解答】 解：∵ 3a＞﹣ 6b， ∴ a＞﹣ 2b， ∴ a+1＞﹣ 2b+1， 又﹣ 2b+1＞﹣ 2b﹣ 1， ∴ a+1＞﹣ 2b﹣ 1， 故选： A．
【点评】 本题主要考查不等式的性质，解题的关键是掌握不等式的变形： 减同一个数，具体体现为“移项” ，此时不等号方向不变，但移项要变号； 除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变． 7．（ 3 分）已知点 A 的坐标为（ a+1，3﹣ a），下列说法正确的是（ A ．若点 A 在 y 轴上，则 a＝ 3 B ．若点 A 在一三象限角平分线上，则 C．若点 A 到 x 轴的距离是 D ．若点 A 在第四象限，则
a＝ 1
① 两边都加、 ② 两边都乘、
）
3，则 a＝± 6 a 的值可以为﹣ 2
【分析】 依据坐标轴上的点、一三象限角平分线上的点以及不同象限内点的坐标特征， 即可得出结论．
【解答】 解： A．若点 A 在 y 轴上，则 a+1＝ 0，解得 a＝﹣ 1，故本选项错误； B．若点 A 在一三象限角平分线上，则 C．若点 A 到 x 轴的距离是 D ．若点 A 在第四象限，则 故选： B．
【点评】 本题主要考查了坐标轴上的点、一三象限角平分线上的点以及不同象限内点的
第 8 页（共 21 页）
a+1＝ 3﹣ a，解得 a＝ 1，故本选项正确；
3，则 |3﹣ a|＝3，解得 a＝6 或 0，故本选项错误；
a+1＞ 0，且 3﹣ a＜ 0，解得 a＞ 3，故 a 的值不可以为﹣ 2；
坐标特征，解题时注意：横轴上点的纵坐标为 0，纵轴上点的横坐标为 0．
8．（ 3 分）一次函数
y＝kx+b（ k≠ 0）的图象经过点B（﹣ 6， 0），且与正比例函数y＝ x
的图象交于点 A（ m，﹣ 3），若 kx﹣ x＞﹣ b，则（
）
A ．x＞ 0 B ．x＞﹣ 3 C． x＞﹣ 6 D． x＞﹣ 9
【分析】 先利用正比例函数解析式确定 A 点坐标，然后利用函数图象，写出一次函数 ＝ kx+b（ k≠ 0）的图象在正比例函数图象上方所对应的自变量的范围． 【解答】 解：把 A（ m，﹣ 3）代入 y＝ x 得 m＝﹣ 3，解得 m＝﹣ 9，
所以当 x＞﹣ 9 时， kx+b＞
x，
即 kx﹣ x＞﹣ b 的解集为 x＞﹣ 9． 故选： D ．
【点评】 本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函 数 y＝ kx+b 的值大于（或小于） 0 的自变量 x 的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定 直线 y＝ kx+b 在 x 轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 9．（ 3 分）如图，在△
ABC 中，∠ B＞ 90°， CD 为∠ ACB 的角平分线，在
AC 边上取点
E，使 DE ＝ DB，且∠ AED＞ 90°．若∠ A＝α，∠ ACB＝β，则（
）
A ．∠ AED ＝ 180°﹣ α﹣β
B．∠ AED ＝ 180°﹣ α﹣ β C．∠ AED ＝ 90°﹣ α+β
D．∠ AED ＝ 90°+α+ β
【分析】 在 AC 上截取 CF ＝ BC，根据全等三角形的性质可得 BD ＝ DF ＝ DE，可得∠ AED
＝∠ ABC，根据三角形的内角和可求解． 【解答】 解：如图，在 AC 上截取 CF＝ BC，
第 9 页（共 21 页）
y
∵CD 为∠ ACB 的角平分线， ∴∠ ACD＝∠ BCD，
∵CF＝ BC，∠ ACD ＝∠ BCD ， CD ＝ CD ， ∴△ BDC≌△ FDC （ SAS） ∴∠ ABC＝∠ CFD ， DF ＝ BD ∵BD＝ DE ∴DE＝ DF
∴∠ DEF ＝∠ DFE ， ∴∠ AED＝∠ CFD ， ∵∠ A＝ α，∠ ACB＝ β，
∴∠ ABC＝ 180°﹣∠ A﹣∠ ACB＝ 180°﹣ α﹣ β， ∴∠ AED＝∠ DBC＝ 180°﹣ α﹣ β 故选： A．
【点评】 本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，添加恰当辅助线构 造全等三角形是解本题的关键．
10．（ 3 分）速度分别为 100km/h 和 akm/h（ 0＜ a＜ 100）的两车分别从相距
s 千米的两地同
时出发，沿同一方向匀速前行．行驶一段时间后，其中一车按原速度原路返回，直到与 另一车相遇时两车停止．在此过程中，两车之间的距离
y（ km）与行驶时间 t（ h）之间的函数关系如图所示． 下列说法： ① a＝60；② b＝ 2；③ c＝ b+ 60，则 b＝ ．其
中说法正确的是（
）
A ．①②③ B ．②③④ C． ①②④
D． ①③④
第 10 页（共 21 页）
④ 若 s＝；
【分析】① 利用速度＝路程÷时间可求出两车的速度差， 结合快车的速度即可求出 a 值，
结论 ① 正确； ② 利用时间＝两车之间的距离÷两车速度差可得出 b 值，由 s 不确定可得
+两
出 b 值不确定，结论 ② 不正确； ③ 利用两车第二次相遇的时间＝快车转向时的时间 车之间的距离÷两车的速度之和可得出
c 值，结论 ③ 正确； ④ 由 ② 的结论结合 s＝ 60 可
得出 b 值，结论 ④ 正确．综上，此题得解．
【解答】 解： ① 两车的速度之差为 80÷（ b+2﹣ b）＝ 40（ km/h）， ∴ a＝ 100﹣ 40＝60，结论 ① 正确； ② 两车第一次相遇所需时间 ∵ s 的值不确定，
∴ b 值不确定，结论 ② 不正确； ③ 两车第二次相遇时间为 b+2+ ∴ c＝ b+ ，结论 ③ 正确； ④ ∵ b＝
， s＝ 60，
＝b+ （ h）， ＝
（ h），
∴ b＝ ，结论 ④ 正确． 故选： D ．
【点评】 本题考查了一次函数的应用，观察函数图象，逐一分析四条结论的正误是解题 的关键．
二 .填空题：本题有 6 个小题，每小题 4 分，共 24 分 .
11．（ 4 分）在△ ABC 中，∠ A＝ 50°，若∠ B 比∠ A 的 2 倍小 30°，则△ ABC 是 角形．
【分析】由已知求出∠ B＝ 70°，由三角形内角和定理求出∠ C＝ 180°﹣∠ A﹣∠ B＝ 60°， 即可得出△ ABC 是锐角三角形．
【解答】 解：∵∠ B 比∠ A 的 2 倍小 30°， ∴∠ B＝ 2×50°﹣ 30°＝ 70°，
∴∠ C＝ 180°﹣∠ A﹣∠ B＝180°﹣ 50°﹣ 70°＝ 60°， ∴△ ABC 是锐角三角形， 故答案为：锐角．
【点评】 本题考查了三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．
第 11 页（共 21 页）
锐角 三
12．（ 4 分）点 A（﹣ 2，﹣ 3）向上平移 3 个单位得到的点的坐标为 （﹣ 2， 0） ．
【分析】 根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得答案． 【解答】 解：点 A（﹣ 2，﹣ 3）向上平移 3 个单位得到的点的坐标为（﹣ 故答案为（﹣ 2， 0）．
【点评】 此题主要考查了坐标与图形的变化﹣平移，关键是掌握平移规律． 13．（ 4 分）“x 的 7 倍减去 1 是正数”用不等式表示为 【分析】 首先表示“ x 的 7 倍”为 7x，再表示“减去 为 7x﹣1＞ 0．
【解答】 解：“x 的 7 倍减去 1 是正数”用不等式表示为 故答案为： 7x﹣1＞ 0．
【点评】 此题主要考查了列一元一次不等式，读懂题意，抓住关键词语，弄清运算的先 后顺序和不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式． 14．（ 4 分）如图，在△ ABC 中， AD 垂直平分 BC ，交 BC 于点 E，CD⊥ AC，若 AB＝ 6，CD ＝ 3，则 BE ＝
．
7x﹣ 1＞ 0，
2， 0），
7x﹣ 1＞ 0 ．
1”为 7x﹣ 1，最后表示“是正数”
【分析】 由线段垂直平分线的性质得出 AC＝ AB＝ 6，由勾股定理求出 AD ，再由三角形面积 即可得出答案．
【解答】 解：∵ AD 垂直平分 BC ， ∴AC＝ AB＝ 6，BE＝ CE ， ∵ CD ⊥ AC， ∴ AD＝
∵△ ACD 的面积＝ ∴ CE＝ ∴ BE＝
；
＝
＝
＝ 3 ，
AD ×CE＝ AC×CD ，
＝
，
第 12 页（共 21 页）
故答案为： ．
【点评】 本题考查了勾股定理、线段垂直平分线的性质等知识；熟练掌握勾股定理和线 段垂直平分线的性质是解题的关键． 15．（ 4 分）在平面直角坐标系中，点
A 坐标为（﹣ 3，m+2），点 B 坐标为（ 1，m﹣ 2），若
点 C（ t+1 ， n1）和点 D（ t﹣2， n2）均在直线 AB 上，则 n1﹣ n2＝ ﹣ 3 ． 【分析】 先求出直线 AB 的解析式，把点 C，点 D 坐标代入可求解． 【解答】 解：设直线 AB 解析式为： y＝ kx+b
解得： k＝﹣ 1，b＝ m﹣1
∴直线 AB 解析式为： y＝﹣ x+m﹣ 1
∵点 C（ t+1， n1）和点 D（ t﹣ 2， n2）均在直线 AB 上， ∴n1＝﹣ t ﹣1+m﹣ 1， n2＝﹣ t+2+m﹣ 1， ∴n1﹣ n2＝﹣ 3 故答案为：﹣ 3
【点评】 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握函数图象上的点的坐标满 足函数解析式是本题的关键． 16．（ 4 分）如图，已知△
ABC 和△ ADE 均为等边三角形，点 O 是 AC 的中点，点 D 在射线
30 °；若 AB＝ 1，则 OE 的最小值＝
．
BO 上，连结 OE， EC，则∠ ACE＝
【分析】 根据等边三角形的性质可得 OC＝ AC，∠ ABD ＝ 30°，根据“SAS”可证△ ABD
≌△ ACE，可得∠ ACE＝30°＝∠ ABD ，当 OE⊥EC 时， OE 的长度最小，根据直角三角 形的性质可求 OE 的最小值．
【解答】 解：∵△ ABC 的等边三角形，点 ∴ OC＝ AC，∠ ABD＝ 30°
O 是 AC 的中点，
第 13 页（共 21 页）
∵△ ABC 和△ ADE 均为等边三角形， ∴AB＝ AC， AD ＝ AE，∠ BAC ＝∠ DAE＝ 60°， ∴∠ BAD＝∠ CAE，且 AB＝ AC， AD＝ AE ， ∴△ ABD≌△ ACE（SAS） ∴∠ ACE＝ 30°＝∠ ABD 当 OE⊥ EC 时， OE 的长度最小， ∵∠ OEC＝ 90°，∠ ACE＝30° ∴ OE 最小值＝ OC＝ AB＝ 故答案为： 30，
【点评】 本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，熟练运用全等三角 形的判定是本题的关键．
三 .解答题：本题有 7 个小题，共 66 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
.
17．（ 6 分）解不等式组 并把解在数轴上表示出来．
【分析】 分别求出两个不等式的解集，再求其公共解集． 【解答】 解：解不等式 2x﹣ 4＜ 0，得： x＜ 2， 解不等式
（ x+8）﹣ 2＞ 0，得： x＞﹣ 4，
则不等式组的解集为﹣ 4＜x＜ 2， 将不等式组的解集表示在数轴上如下：
【点评】 本题考查一元一次不等式组的解法，求不等式组的解集，要遵循以下原则：同 大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 18．（ 8 分）如图，△ ABC 的顶点均在格点上． （ 1）分别写出点 A，点 B，点 C 的坐标．
（ 2）若△ A'B'C'与△ ABC 关于 y 轴对称，在图中画出△ A'B'C'，并写出相应顶点的坐标．
第 14 页（共 21 页）
【分析】（ 1）根据图形可得三顶点的坐标；
（2）分别作出点 A， B， C 关于 y 轴的对称点，再首尾顺次连接可 得．【解答】 解：（ 1）点 A（ 3， 4），B（ 1，2）， C（ 5， 1）；
（2）如图所示，△ A'B'C'即为所求，
点 A′（﹣ 3，4）， B′（﹣ 1，2）， C′（﹣ 5，1）．
【点评】 此题主要考查了作图﹣轴对称变换，根据轴对称的性质正确得出对应点的位置 是解题关键．
19．（ 8 分）如图，在 Rt△ ABC 中， AB＝ AC，P 为斜边 BC 上一点（ PB＜ CP），分别过点 B，
C 作 BE ⊥AP 于点 E，CD ⊥ AP 于点 D ． （ 1）求证： AD ＝ BE；
（ 2）若 AE ＝2DE ＝ 2，求△ ABC 的面积．
第 15 页（共 21 页）
【分析】（ 1）根据同角的余角相等可得∠ BAE ＝∠ ACD，根据“AAS”可证∠ BAE＝∠ ACD ，可得 AD ＝BE；
（2）由题意可得 AD＝ 1， CD ＝2，根据勾股定理可求 AC 的长，根据三角形面积公式可求 △ ABC 的面积．
【解答】 证明：（ 1）∵∠ BAC ＝ 90°， ∴∠ BAE+∠ CAD ＝ 90°， ∵ CD ⊥ AD，
∴∠ CAD+∠ ACD＝ 90°，
∴∠ BAE＝∠ ACD ，且 AB＝ AC，∠ AEB＝∠ ADC＝ 90°， ∴△ ACD≌△ BEA（AAS）， ∴AD＝ BE．
（2）∵△ ACD≌△ BEA，∴ AE＝CD ，
∵ AE＝ 2DE ＝ 2， AE＝ AD +DE ， ∴ AD＝ DE＝ 1， AE＝ CD＝ 2，
在 Rt△ACD 中， AC ＝ ∴AB＝ AC＝
，
＝ ，
∴S△ABC＝ ×AB×AC＝ ．
【点评】 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，三 角形面积公式，证明△ ACD ≌△ BEA 是解本题的关键．
20．（10 分） 2019 年 1 月同一时刻北京时间与英国伦敦时间分别为 20：00 和 12： 00．设北京时 间为 t（时），伦敦时间为 y（时）．
（ 1）请在表格的空格内填入合适的数字； 北京时间 伦敦时间
8： 30 0：30
20： 10 12： 10
22： 30
14： 30
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（ 2）当 8≤ t≤ 24 时，请直接写出 y 关于 t 的函数表达式；
（ 3）如果一航班在 1 月 10 日于北京时间13：00 从上海起飞，到达英国伦敦当地时间为 1 月 10 日 17： 30，求该航班在途中经历了多少时间？ 【分析】（ 1）根据题意得出时间关系解答即可； （ 2）根据表格得出 y 关于 t 的函数表达式即可； （ 3）根据关系式得出航班在途中经历的时间．
【解答】 解：（ 1）∵同一时刻北京时间与英国伦敦时间分别为 时间﹣伦敦时间＝ 20： 00﹣ 12： 00＝8： 00， ∴当北京时间为 8： 30 时，伦敦时间为 当伦敦时间为 12： 10 时，北京时间为 当北京时间为 22： 30 时，伦敦时间为
0： 30； 20：10； 14：30；
20：00 和 12：00，则北京
（2）当 8≤ t≤ 24 时， y 关于 t 的函数表达式为： y＝ t﹣ 8； （3）当 t＝ 13： 00 时， y＝ 13： 00﹣ 8＝ 5： 00， 17： 30﹣ 5： 00＝ 12： 30， 答：该航班在途中经历了
12 小时 30 分钟．
故答案为： 0： 30； 20： 10； 14： 30．
【点评】 本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的 条件进行解答．
21．（ 10 分）如图，在△ ABC 中， AD 是△ ABC 的高线， CE 是△ ABC 的角平分线，它们相交 于点 P．
（1）若∠ B＝40°，∠ AEC ＝ 75°，求证： AB＝ BC；
（2）若∠ BAC＝ 90°， AP 为△ AEC 边 EC 上中线，求∠ B 的度数．
【分析】（ 1）求出∠ BAC，∠ BCA 的度数即可判断；
（2）首先证明∠ PAC＝∠ PCA＝∠ PCD＝ 30°，推出∠ BAD ＝ 60°即可解决问题； 【解答】（ 1）证明：∵∠ B＝ 40°，∠ AEC＝75°， ∴∠ ECB＝∠ AEC﹣∠ B＝ 35°，
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∵CE 平分∠ ACB， ∴∠ ACB＝ 2∠ BCE＝70°，
∠BAC＝180°﹣∠ B﹣∠ ACB ＝ 180°﹣ 40°﹣ 70°＝ 70°， ∴∠ BAC＝∠ BCA， ∴ AB＝ AC．
（2）∵∠ BAC＝ 90°， AP 是△ AEC 边 EC 上的中线， ∴ AP＝ PC， ∴∠ PAC＝∠ PCA ，
∵ CE 是∠ ACB 的平分线， ∴∠ PAC＝∠ PCA ＝∠ PCD ，
∵∠ ADC＝ 90°，
∴∠ PAC＝∠ PCA ＝∠ PCD ＝90°÷3＝ 30°， ∴∠ BAD＝ 60°， ∵∠ ADB＝ 90°，
∴∠ B＝ 90°﹣ 60°＝ 30°．
【点评】 本题考查直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题 的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
22．（ 12 分）如图，在△ ABC 中， AB＝ AC， BD 平分∠ ABC 交 AC 于点 D，点 E 是 BC 延长 线上的一点，且 BD ＝ DE．点 G 是线段 BC 的中点，连结 AG，交 BD 于点 F ，过点 D 作 DH ⊥ BC，垂足为 H．
（ 1）求证：△ DCE 为等腰三角形； （ 2）若∠ CDE＝ 22.5°， DC＝
，求 GH 的长；
（ 3）探究线段 CE，GH 的数量关系并用等式表示，并说明理由．
【分析】（ 1）根据题意可得∠ CBD＝ ∠ABC＝
∠ ACB，由 BD ＝ DE ，可得∠ DBC＝∠
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E＝ ∠ ACB，根据三角形的外角性质可得∠ 三角形；
CDE ＝ ∠ ACB＝∠ E，可证△ DCE 为等腰
（ 2）根据题意可得 CH＝ DH ＝1，△ ABC 是等腰直角三角形，由等腰三角形的性质可得 BG＝ GC， BH＝ HE＝
（3）CE＝2GH ，根据等腰三角形的性质可得 ＝ GC﹣（ HE﹣ CE）＝ BC﹣ BE+CE＝ 【解答】 证明：（ 1）∵ AB＝ AC， ∴∠ ABC＝∠ ACB， ∵BD 平分∠ ABC，
∴∠ CBD＝ ∠ ABC＝ ∠ ACB， ∵BD＝ DE， ∴∠ DBC＝∠ E＝
∠ACB，
CE，即 CE＝ 2GH．
+1，即可求 GH 的值；
BG＝ GC，BH ＝ HE ，可得 GH ＝ GC﹣ HC
∵∠ ACB＝∠ E+∠ CDE ， ∴∠ CDE＝ ∠ ACB＝∠ E， ∴CD ＝ CE，
∴△ DCE 是等腰三角形 （2）
∵∠ CDE＝ 22.5°， CD＝ CE＝ ∴∠ DCH ＝45°，且 DH⊥ BC， ∴∠ HDC ＝∠ DCH ＝ 45° ∴ DH ＝CH，
2
2
2 ∵ DH
，
+CH ＝ DC ＝ 2， ∴ DH ＝CH＝ 1， ∵∠ ABC＝∠ DCH ＝ 45°
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∴△ ABC 是等腰直角三角形， 又∵点 G 是 BC 中点 ∴AG⊥ BC，AG＝ GC＝ BG， ∵ BD＝ DE，DH ⊥ BC ∴ BH＝ HE＝
+1
+1
∵ BH＝ BG+GH＝ CG+GH ＝CH+GH +GH＝ ∴1+2GH＝ +1 ∴GH ＝ （3）CE＝2GH
理由如下：∵ AB＝ CA，点 G 是 BC 的中点， ∴BG＝ GC，
∵BD＝ DE，DH ⊥ BC， ∴ BH＝ HE，
∵GH ＝GC﹣ HC ＝ GC﹣（ HE ﹣ CE）＝ BC﹣ BE +CE＝ CE， ∴CE＝ 2GH
【点评】 本题是三角形综合题，考查了角平分线的性质，等腰三角形的性质，灵活运用 相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键．
23．（ 12 分）已知一次函数 y1＝（ a﹣ 1） x﹣ 2a+1，其中 a≠ 1． （ 1）若点（ 1，﹣
）在 y1 的图象上，求 a 的值；
（ 2）当﹣ 2≤ x≤3 时，若函数有最大值 2，求 y1 的函数表达式；
（ 3）对于一次函数 y2＝（ m+1）（ x﹣ 1） +2 ，其中 m≠﹣ 1，若对一切实数 x，y1＜ y2 都 成立，求 a， m 需满足的数量关系及 【分析】（ 1）把（ 1，﹣
a 的取值范围．
）代入 y1＝（ a﹣ 1） x﹣ 2a+1 中可求出 a 的值；
x＝3 时， y＝ 2，然后把
a﹣ 1＜0，即
（ 2）讨论：当 a﹣ 1＞ 0，即 a＞1 时，根据一次函数的性质得到
（ 3，2）代入 y1＝（ a﹣ 1）x﹣ 2a+1 中求出 a 得到此时一次函数解析式；当
a＜ 1 时，利用一次函数的性质得到 x＝﹣ 2 时，y＝ 2，然后把（﹣ 2，2）代入 y1＝（ a﹣ 1） x﹣ 2a+1 中求出 a 得到此时一次函数解析式；
（ 3）先整理得到 y2＝（ m+1） x+m+1，再对一切实数 x， y1＜ y2 都成立，则直线 y1 与 y2
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平行，且 y2 在 y1 的上方，所以 a﹣ 1＝m+1 且﹣ 2a+1＜﹣ m+1，从而得到 a，m 需满足的 数量关系及 a 的取值范围．
【解答】 解：（ 1）把（ 1，﹣ ）代入 y1＝（ a﹣ 1） x﹣2a+1 得 a﹣ 1﹣ 2a+1＝﹣ ∴ a＝ ；
（ 2）当 a﹣ 1＞ 0，即 a＞1 时，则 x＝ 3 时， y＝2，
把（ 3， 2）代入 y1＝（ a﹣1） x﹣ 2a+1 得 3（ a﹣ 1）﹣ 2a+1＝ 2，解得 a＝ 4，此时一次 函数解析式为 y＝ 3x﹣ 7；
当 a﹣1＜ 0，即 a＜ 1 时，则 x＝﹣ 2 时， y＝ 2，
把（﹣ 2，2）代入 y1＝（ a﹣ 1）x﹣ 2a+1 得﹣ 2（ a﹣ 1）﹣ 2a+1＝ 2，解得 a＝ ，此时一 次函数解析式为 y＝﹣
x+ ；
，
（3） y2＝（ m+1）（ x﹣ 1） +2＝（ m+1 ）x﹣ m+1， ∵对一切实数 x，y1＜ y2 都成立， ∴ a﹣ 1＝ m+1 且﹣ 2a+1＜﹣ m+1 ， ∴ a＝m+2 且 a＞﹣ 2 且 a≠ 1．
【点评】 本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函 数 y＝ kx+b 的值大于（或小于） 0 的自变量 x 的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定 直线 y＝ kx+b 在 x 轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．也考查了一次函数 的性质．
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