等差数列前n项和教案(公开课教案)

教学 教 师 活 动 环节 新课引入 学 生 活 动 活 动 说 明 模 型 直 观 用实际生活引创设情境：首先让学生欣赏一幅美丽的图片——泰姬陵。泰姬陵是印度著名的旅游景点，传说中陵寝中有一个三角形的图案嵌有大小相同的宝石，共有100层，同时提出第一个问题：你能计算出这个图案一共花了多少颗宝石吗？也即计算1+2+3+…..+100=？ 问题2：何老师按揭买房,向银行贷款25万现实模型： 探 索 公 式 入新元，采取等额本金的还款方式，即每月还款① 图片欣赏 ② 生活实例 额比上月减少一定的数额。2007年1月， 我第一次向银行还款2348元，以后每月比上月的还款额减少5元，若以2007年1月银行贷款利率为基准利率,那么到2026年12月最后一次还款为止，何老师连本带利一共还款多少万元？ 首先认识一位伟大的数学家——高斯，学生：1+100=101，然后提出问题：高斯是如何快速计算1+2+32+99=101，…..50+51=101，+4+…..+100？ 所以原式=50（1+101）=5050 设等差数列{an}前n项和为Sn ,则 学生：将首末两项配对，第Sna1a2an1an 二项与倒数第二项配对，以问题1 老师：利用高斯算法如何求等差数列的前n此类推，每一对的和都相项和公式？ 等，并且都等于 a 1  a n。 老师：但是否刚好配对成功呢？ （1） n为偶数时： 学生：不一定，需要对n取 Sna1ananan1值的奇偶进行讨论。 22 当n为偶数时刚好配 对成功。 Sn(aa)n1n 21 / 6 课。 高斯求和众所周知，学生能快速解答。 这里用到了等差数列脚标和性质 从高斯算法出发，对n进 探 索 （2） n为奇数时： 1an1an1an1anSna11222 当n为奇数时，中间的一项an1落单了。 2公 式 （可能部分学生在此会遇an1到困难，老师做适当的引老师：那么该如何解决落单的an1呢？ 2的2导。） n1S(aa)a1nn1 n学生：观察an1的脚标与 解决办 222 法的过an1an12 n1(aa)2 a 1  a n 脚标的关系，即： 程中，1nan1an122 进一步a1an2 n(aa) n12让学生a1n22 2体会研2同过对n取值的讨论，得到了前n 究数列n项和求和公式： 就是对S n(a1an)2 脚标数 学生观察动画演示，不学的研但是对n讨论麻烦了，能否有更好的难发现用倒置的思想来解究。 方法求前n项和公式呢？接下来给出实际决此问题。 问题：伐木工人是如何快速计算堆放在木场 的木头根数呢？ 问题2：如何用倒置的思想求等差数列前n 倒序相项和呢？ （由上一问题的解决，学生加求和方法一： 容易想到倒序相加求和法是重 法。） 要的数Sna1a2an1an 学生：利用倒序相加求和学思 法。 想，为 以后数 列求和Snanan1a2a1 的学习两式相加得： 2Sn(aa) 做好了n1n 铺垫。 nSn(a1an) 2方法二 在等差同样利用倒序相加求和法，教材做了如 数列前下处理： n项和将Sn中的每一项用等公式的Sn a1(a1d)...[a1(n1)d] 差数列的通项公式进行巧推导过 妙的改写，在倒序相加求和程中，每一组中的d都被正负通过问Sn an(and) ...  [an(n1)d]时， / 6 2Snn(a12 an)行讨论寻找求和公式思路自然，学生容易想到。 对中间项 议 练 活 动 认 识 公 两式相加得： n 公式1：Sn(a1an)2 引导学生带入等差数列的通项公式，换掉 a n 整理得到公式2。 抵消了。 学生类比方法一与方法二的联系与区别。 n(n1) 公式2：Snna1d 2 例1：计算 （1）1+2+3+…+n （2）1+3+5+…+(2n-1) 学生自己阅读教材，体 （3）2+4+6+…+2n 会教材的解法是如何运用 （4）1-2+3-4+5-6+…+(2n-1)-2n 求和公式。 教师通过动画演示给(1),(2)问一个直观 观察多媒体课件演示。 的解释。 变式练习：课前提出的房贷问题。 解:由已知每月还款数成等差数列,设为 an： a12348,d5,n240学生：要求总还款额实际就n(n1)是对一个等差数列求和。 Snad n1 2 240239 2402348(5) 2 420120(元) 学生：将求和公式与梯形面 积公式建立联系，而梯形面问题3：能否给求和公式一个几何解释呢？ 积公式的推导也正是利用 教师提示将求和公式与梯形建立联系。 了倒置的思想。 n(a1an) 公式1:Sn 2 a1 an 学生：同样将公式2与梯形面积公式建立联系。用 “割”的思想将梯形分做一 个平行四边形和一个三角 形，而梯形面积就是这两部 分面积之和。 an a1 ． 3 / 6

题获得知识，让学生经历“发现问题——提出问题——解决问题”的过程 通过对实际问题的解决让学生认识到数学来源于生活，同时又服务于生活 利用数形结合的思想，使学生对两个公式有直观的认式 认 识 公 式 议 练 活 动 a1 n n(n1)公式2：Snna1d2 识，体会数学的图形语言。 学生讨论：公式中一共含有 五个量，根据三个公式之间 的联系，由方程的思想，知 三可求二。 例2在解决了例1的基础上，由浅入深，深化了对公式的理解，体现了方程的思想。 紧扣教材，让学生体会整体应用公式，类比化归的思想方a1 (n1)d ana1(n1)d 剖析公式： n(a1an)公式 1Sn2 n(n1)公式2Snad n12 通项公式：a n a1(n1)d 教师提示，从方程中量的关系入手。 例2 等差数列-10，-6，-2，2， …前多少项的和为？ 解：设题中的等差数列是an，前n项和为Sn： 则a1＝－10，d＝－6－（－10）＝4 令Sn＝，由等差数列前n项和公式，得： 10n 学生讨论分析题目所含的已知量，选取了公式2进行运算，利用了方程的思想。需要注意的是学生可能会把公差认为是-4，以及解得n的值后未把n=-3舍去。 学生进行了分组讨论，然后每组派学生代表进行分析。不少小组首先对已知条件作转化，希望能通过解方程求出首项和公差，但n(n1)4.24 / 6

课 堂 总 结 解得 n1＝9，n2＝－3（舍去） 因此,等差数列的前9项和是 例3：在等差数列 {an}中 (1)已知:a2a5a12a1536,求S16 (2)已知：a620,求S11 解：（1）a2a15a5a12a1a16 a1a16a2a1518 发现条件不够，不能解出这些基本量，教师做适当的引导。 法，同时，为以后综合问题的解答设下伏笔。 通过对等差数列求和历史的了解，渗透数学史和数学文化。 本环节由学生自主归纳、总结本节课所学习的主16(a1a16)S16144 要内容，教师加以补充说2明． (aa)11S11111 （2） （1）回顾从特殊到一2般，一般到特殊的研究2a611 220方法. 2本小题主要考察了对公式一的整体应（2）体会等差数列的基用。根据课堂剩余时间，本题作为机动练习，本元表示方法，倒序相加的（2）小问留给学生课后完成。 算法，及数形结合的数学思想. （3）掌握等差数列的两1、教师引导学生归纳总结本节课所学个求和公式及简单应用。 习的主要内容． 2、课后作业： 教材118页：1、2、3、5、6、7 了解我国古代研究等差 课后思考： 数列求和的情况。 等差数列的前n项和的求和方法除了倒序相加法还有没有其它方法呢? 3、对求和史的了解 我国数列求和的概念起源很早，在北 朝时，张丘建始创等差数列求和解法。他在《张丘建算经》中给出等差数列求和问题：例如：今有女子不善织布，每天所织的布以同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，共织三十日，问共织几何？原书的解法是：“并初、末日织布数，半之再乘以织日数，即得。” 5 / 6

二、教学反思

根据教学经历和学生的反馈信息，笔者对本课有如下五点反思：

（1）根据实际教学情况，学生比较容易掌握本课知识。在教学过程中，我重点突出了学生活动，设计了四个活动环节：(1)公式的探究活动；(2)公式的认识(3)公式的应用(4)学生课后的拓展学习。

（2）本课特别强调了几何直观，我不仅对求和公式给出了几何解释，也对部分习题给出了几何解释，体现了数形结合的思想方法。

（3）由于高斯求和法众所周知，于是我补充了我国古代研究数列求和的情况，但由于时间关系不能展开讲解，所以如何在课后引导学生进行了解是一个值得研究的问题。

（4）本节课充分利用了多媒体技术的强大功能，把现代信息技术作为学生学习数学和解决问题的强有力工具，使学生乐意投入到现实的、探索性的教学活动中去。

（5）目标达成

本课注重在课堂教学活动中实现目标。

提出实际问题 知识与技能目标1 例题讲解 知识与技能目标2

深化理解 知识与技能目标3 活动参与 过程与方法目标 感悟数学史 情感与价值目标

应为培养出创新人才——新型的高斯而努力。

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