2010福州三中最后一模(理科)

福州三中2009－2010学年模拟考试卷

数学（理科） 2010.5.26

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），第Ⅱ卷第21题为选考题，其他题为必考题．本试卷共5页．满分150分．考试时间120分钟．

第Ⅰ卷（选择题，共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的．

1． 若全集UZ，集合A{1,2,3,4,5,6}，B{1,2,4,7}，则A(CUB)=（ ）．

A．{3,5}

B．{3,4,5}

C．{3,5,6}

D．{7}

2． 已知平面与直线a，b，下列命题正确的是（ ）．

A．若a//b，b，则a C．若ab，b，则a 3． 定积分

A．1

B．若a//b，b，则a// D．若ab，b，则a//

开始 ln20． exdx的值为（ ）

B．1

C．e1

2 D．e

2输入m，n m>n? 是 r=m-n r=n-m 否 4． 已知数列an为等差数列，且a1a7a13，则tan(a2a12)的

值为（ ）． A．3

B．3 C．3

D．3 3m=n，n=r 否 m=n? 是 输出m 5． 已知p：函数f(x)mx22mx1的定义域为R；q：

． m(1m)0，则p是q的（ ）

结束 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件

D．既不充分又不必要条件

6． 如图所示的程序框图中，运行该程序，输入m6，n4或m5，n10，考察

输出的结果．由此判断，若输入m630，n84，则输出的结果是（ ）．

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A．14 B．21

C．42

D．1260

7． 在区间[0,1]上随机取两个实数a，b，则函数f(x)12x3axb在区间0,1上有且只有一个零点的概率是（ ）． A．

18 B．

174 C．

34 D．

8 8． 已知空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是

（ ）． A．42323 B．34

C．

1 D．

723 9． 设双曲线的中心为原点O，焦点在x轴上，两条渐近线分别为l1，

l且垂直于l2，经过右焦点F1的直线分别交l1，l2于A，B两点．已知BF与FA同

向，且|AB|是|OA|，|OB|的等差中项，则l1，l2的方程是（ ）． A．y12x B．y2x C．y43x D．y34x 10． 已知0ab，若函数f(x)2x1x在[a,b]上单调递增，则对于任意x1，x2[a,b]，且xg(x1)g(x2)1x2，使f(a)xxf(b)恒成立的函数g(x)可以是

12（ ）．

A．g(x)112x2 B．g(x)xlnx2 C．g(x)2x1xx

D．g(x)e(2x1x) 第Ⅱ卷（非选择题，共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡相应横线上． 11． 已知i是虚数单位，若(ai)(2i)5，则实数a等于___________． 12． 在(3xy)4的展开式中，不含x的所有项的系数之和为___________．

13． 已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若ab2，C60，

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且sinA，sinC，sinB成等比数列，则△ABC的面积为___________．

14． 某物流公司有6辆甲型卡车和4辆乙型卡车，此公司承接了每天至少运送280t货物的

业务，已知每辆甲型卡车每天的运输量为30t，运输成本为0.9千元；每辆乙型卡车每天的运输量为40t，运输成本为1千元，则当每天总运输成本最低时，所需甲型卡车的数量是___________．

15． ABAC可以看成向量AB在向量AC上的投影与|AC|的乘积．已知点B，C在以

AD为直径的圆上，若AB2，AC3，则ADBC的值为___________．

三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16． （本小题满分13分）

已知函数f(x)sin(x)(0,0)的图象与直线yb(1b0)的三个相邻交点的横坐标分别是1，2，4．

（Ⅰ）求f(x)的解析式，并写出f(x)的单调递减区间； （Ⅱ）设g(x)f(2x)f(x)，求函数g(x)的值域． 17． （本小题满分13分）

已知三棱柱ABCA1B1C1，侧面AA1C1C侧面ABB1A1，AA1A1CCA2，

ABA1B2．

（Ⅰ）求证：AA1BC；

（Ⅱ）求二面角ABCA1的余弦值；

（Ⅲ）若BD2DB1，在线段CA1上是否存在一点E，使得

DE//平面ABC？若存在，求出CE的长；若不存在，请说明理

由．

18． （本小题满分13分）

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按照新课程要求，高中学生每学期至少参加一次社会实践活动（以下简称活动）．某校高三（1）班50名学生在上学期参加活动的次数统计图如图所示． （Ⅰ）从该班任意选2名学生，求他们参加活动次数不相等的概率；

（Ⅱ）从该班中任选两名学生，用表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求的分布列和数学期望．

19． （本小题满分13分）

参加人数30252015105025205123活动次数x2y22已知椭圆E:221(ab0)的离心率e，在椭圆E上存在A，B两点

2ab关于直线l:yx1对称．

（Ⅰ）现给出下列三个条件：①直线AB恰好经过椭圆E的一个焦点；②椭圆E的右焦点F到直线l的距离为22；③椭圆E的左、右焦点到直线l的距离之比为

1． 2试从中选择一个条件以确定椭圆E，并求出它的方程；

（注：只需选择一个方案答题，如果用多种方案答题，则按第一种方案给分） （Ⅱ）若以AB为直径的圆恰好经过椭圆E的上顶点S，求b的值．

20． （本小题满分14分）

n已知nN*，定义函数fn(x)(1x)1，x(2,)，其导函数记为fn(x)．

（Ⅰ）若a0，求函数g(x)f3(x)3ax,x(2,)的单调递增区间；

2

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（Ⅱ）设

fn(x0)f(2)，求证：1x02； nfn1(x0)fn1(2)（Ⅲ）是否存在区间[a,b](2,0]，使函数h(x)f3(x)f2(x)在区间[a,b]上的值域为[ka,kb]？若存在，请直接写出最小的k值及相应的区间[a,b]（不必书写求解过程）；若不存在，请说明理由．

21． 本题有（Ⅰ）、（Ⅱ）、（Ⅲ）三个选答题，每题7分，请考生任选两题做答，满分14

分．如果多做，则按所做的前两题记分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．

（Ⅰ）（本小题满分7分）选修4－2：矩阵与变换 如图，正方形OABC在二阶矩阵M对应的切变变换作用

下变为平行四边形OABC，平行四边形OABC在二阶矩阵N对应的旋转变换作用下变为平行四边形OABC，求将正方形OABC变为平行四边形OABC的变换对应的矩阵．

22． （Ⅱ）（本小题满分7分）选修4－4：坐标系与参数方程

x在直角坐标系xOy中，圆O的参数方程为y2rcos,2（为参数，．以r0）

2rsin2O为极点，x轴正半轴为极轴，并取相同的单位长度建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin(4)2．写出圆心的极坐标，并求当r为何值时，圆O上的点到2直线l的最大距离为3．

23． （Ⅲ）（本小题满分7分）选修4－5：不等式选讲

已知a2b3c6，若存在实数a,b,c，使得不等式a2b3c|x1|成立，求实数x的取值范围．

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福州三中2009－2010学年数学（理科）模拟考试参考答案

一、选择题：每小题5分，共50分．

二、填空题：每小题4分，共20分．

1 C 6 C 2 A 7 D 3 A 8 D 4 B 9 A 5 B 10 B 11． 12． 13．

2 16

14． 15．

4 5

3/4

三、解答题：本大题共6小题，共80分．

24． （Ⅰ）依题意得，周期T413，

22， ……2分 T312323时，sin()1， 由对称性知，当x22323所以，所以， ……4分

222所以f(x)sin( ……5分 x)．

323所以函数f(x)的单调减区间是[3k,3k],kZ． ……7分

222（Ⅱ）由（Ⅰ）f(x)sin(x)cosx，

3232222所以g(x)cos(2x)cosx2cos2xcosx1，

33332令cos ……11分 xt，则t[1,1]，

31292所以y2tt12(t)，

489所以g(x)的值域为[,2]． ……13分

8所以25． （Ⅰ）取AA1中点O，连接CO，BO．

CACA1，COAA1，

又∵BABA1，∴BOAA1，

……2分

BOCOO，AA1平面BOC，

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BC平面BOC，AA1BC．

（Ⅱ）由（Ⅰ）COAA1，

……3分

又侧面AA1C1C侧面ABB1A1，侧面AA1C1C侧面ABB1A1=AA1

CO平面ABB1A1，而BOAA1，∴OA，OB，OC两两垂直．

如图，以O为坐标原点，分别以OA，OB，OC为x，y，z轴建立空间直角坐标系O-xyz．则有O(0,0,0),A(1,0,0),A1(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,3),B1(2,1,0)，

……5分

设n1(x1,y1,z1)是平面ABC的一个法向量，

n2(x2,y2,z2)是平面A1BC的一个法向量，

CA(1,0,3),CB(0,1,3)，

n1CA0,x13z10,x13z1,由即解得

y13z1,n1CB0,y13z10.令z11，∴n1(3,3,1)． 又A1B(1,1,0),A1C(1,0,3)，

n2A1B0,x2y20,x23z2,由即解得

x3z0.2y23z2,n2A1C0,2令z21，∴n2(3,3,1)． 设二面角ABCA1为，则cos所以二面角ABCA1的余弦值是

……7分

n1n21，

n1n27……9分

1． 7（Ⅲ）假设存在满足条件的点E，∵CA1(1,0,3)， 故可设CECA1(1,0,3)，

……10分

则OEOCCA1(0,0,3)(1,0,3)(,0,33)，

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44BD2DB1，D(,1,0)，DE(,1,33)，

33DE//平面ABC，DEn10，

即3()3(1)1(33)0，

432， 324CECA1．

33解得

……12分 ……13分

26． （Ⅰ）记“从该班任意选2名学生，他们参加活动次数不相等”为事件A，

基本事件总数nC50，

2 ……2分

事件A的对立事件A为“从该班任选2名学生，它们参加活动的次数恰好相等”，

22C20， A包含的基本事件数mC52C25……4分

所以P(A)1m2029． 1n494929． 49答：从该班任意选2名学生，他们参加活动次数不相等的概率为

……6分

（Ⅱ）从该班中任选2名学生，用表示这两个人参加活动次数之差的绝对值，则的可能取值分别是0,1,2． 于是P(0)20， 491111C5C25C25C2025， P(1)2249C50C5011C5C204P(3) 249C50从而的分布列为：

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所以E0 ……10分 ……13分

2025433． 124949494927． （Ⅰ）方案一：选择②确定椭圆E．

设椭圆右焦点F(c,0)（c0）．

由F到直线l:xy10的距离d解得c3． 由e|c1|222，

……2分

c2222，及abc， a222解得a18，b9．

……4分

x2y2所以椭圆E的方程为1．

189方案二：由①确定椭圆E． 因为e ……5分

c22222，所以a2c，从而a2b， a2222可设椭圆E:x2y2b．

……1分

因为A，B关于直线l对称，可设直线AB的方程为yxm．

x22y22b2,222由得3x4mx2m2b0． yxm,设A(x1,y1)，B(x2,y2)，AB的中点M(x0,y0)，

12m1，所以y0x0mm． (x1x2)23321又点M在直线l上，所以mm1，

33则x0解得m3，即直线AB：yx3． 此时24b720，所以b3．

令y0，得x3，所以椭圆的一个焦点为(3,0)，即c3．

22……3分

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x2y2下同方案一，求得椭圆E的方程为1．

189方案三：由③确定椭圆E．

设椭圆左、右焦点到直线l:xy10的距离之比为

……5分

1， 2……2分

可得

|c1|11，解得c3，或c．

|c1|23由方案二，当c11时，b，椭圆上不存在关于l对称的两点，应舍去．

33……5分

x2y2下同方案一，求得椭圆E的方程为1．

189（Ⅱ）因为e2c22222，所以a2c，从而a2b， a222可设椭圆E:x2y2b．

因为A，B关于直线l对称，可设直线AB的方程为yxm．

x22y22b2,222由得3x4mx2m2b0． yxm,设A(x1,y1)，B(x2,y2)，

……7分

2m22b24m则x1x2，x1x2，

33若以AB为直径的圆恰好经过椭圆E的上顶点S(0,b)， 则SASB(x1,y1b)(x2,y2b)0， 即2x1x2(bm)(x1x2)m2mbb0． 记AB的中点M(x0,y0)，则x0又点M在直线l上，所以

22……9分

12m1，所以y0x0mm． (x1x2)23321mm1，解得m3， 33……11分

364b24(b3)96bb20， 所以

32化简，得b6b270，解得b9，或b3（不合，舍去）．

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经经验，当b9时，以AB为直径的圆恰好经过椭圆E的上顶点S． 所以b9．

……13分

28． （Ⅰ）令g'(x)3(1x)23a23(x1a)(x1a)0，

解得x1a，

当0a1时，1a1a2，

……1分

g(x)的单调增区间是(2,1a),(1a,)；

当a1时，1a21a，

……3分

g(x)的单调增区间是(1a,)．

……5分

n(1x0)n13n1f'n(x0)fn(2)（Ⅱ）由，得， (n1)(1x0)n3n11f'n1(x0)fn1(2)n(3n11)(2n1)3n1即1x0，解得x0，

(n1)(3n1)(n1)(3n1)n2(n2)3n故x01，

(n1)(3n1)显然n2(n2)30，当且仅当n1时取等号， 所以x01；

n……6分

……8分

2n33n1而x02，

(n1)(3n1)令(x)2x33则'(x)23x1x1(x1)，

ln3，x1．

因为'(x)0，所以(x)在[1,)为减函数， 所以(x)(1)0，从而(n)2n33所以x02，故1x02．

n10，

……11分

（Ⅲ）依题意，存在区间[a,b]满足条件，

14k的最小值为，相应区间为[,0]．

93

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附求解过程如下：h(x)f3(x)f2(x)x(1x)，

2h'(x)(1x)2x2(1x)(1x)(13x)，

令h'(x)0，得x1，或x．

∴当x(2,1)时，h'(x)0；当x(1,)时，h'(x)0；当x(,)时，

131313h'(x)0．h(x)的图象如图所示．

下面考查直线ykx(k0)与yh(x)的相交情况，由图可知直线ykx(k0)与

yh(x)存在交点，且满足h(x)在区间[a,b]上的值域为[ka,kb]． 141)．

3327444∴过A作直线y与yh(x)的图象交于另一点B(,)，

27327∵在[1,0]上，x是函数的极小值点，记A(,当直线ykx绕原点O顺时针旋转至点B时，满足条件的k取最小值， 即k的最小值为29． （Ⅰ）解法一：

设正方形OABC变为平行四边形OABC的变换对应的矩阵Mc14，相应区间[a,b]为[,0]． 93……14分

ab， d如图点A(2,0)经矩阵M变换为A(0,2)，C(0,2)经矩阵M变换为C(2,2)，

ab202a0,所以02，即2c2. cd  ……3分

ab022b2,，即 cd222d2.……5分

解得a0,c1,b1,d1，

所以M11．

01 ……7分

解法二：依题意，O(0,0),A(2,0),B(2,2),C(0,2)， 而O(0,0),A(2,0),B(4,2),C(2,2)．

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设矩阵Mc且abab242a2b4,，则，即 cd22d2c2d2,ab022b2,，即22cd2d2,

11

……3分

解得M01． 又O(0,0),A(0,2),B(2,4),C(2,2)，

设矩阵Ngefe，则ghf202e0,，即 h022g2.e且gf424e2f2,24，即4g2h4.， h01． 0

……5分

解得N1所以NM10111010111，即将正方形OABC变为平行四边形0 ……7分

01OABC的变换对应的矩阵为11．

（Ⅱ）解法一：圆心的极坐标(1,直线为xy10，

5)． 4 ……3分

圆心O（|21|22,）到直线的距离为d， ……5分 222|21|+r=3， 2

……7分

圆O上的点到直线的最大距离为解得r=22． 2解法二：圆O的圆心的直角坐标为(

22,)，化为极坐标为(1,)． 224

……3分

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直线为xy10，

所以圆上的点到直线l的距离为：d22rcosrsin1222

2rsin(整理得：d42)21

……5分

所以d的最大值为

2r2123，解得r22 2……7分

（Ⅲ）由柯西不等式得

(a2b3c)2(a22b23c2)(123),

当且仅当abc1时，等号成立． 故a2b3c的最大值为6，故|x1|6， 解得{x|7x5}．

……3分 ……5分 ……7分

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