中考数学压轴题专题反比例函数的经典综合题

中考数学压轴题专题反比例函数的经典综合题

一、反比例函数

1．如图，已知A（﹣4， ），B（﹣1，2）是一次函数y=kx+b与反比例函数 （m≠0，m＜0）图象的两个交点，AC⊥x轴于C，BD⊥y轴于D．

（1）根据图象直接回答：在第二象限内，当x取何值时，一次函数大于反比例函数的值？

（2）求一次函数解析式及m的值；

（3）P是线段AB上的一点，连接PC，PD，若△PCA和△PDB面积相等，求点P坐标．

【答案】（1）解：当﹣4＜x＜﹣1时，一次函数大于反比例函数的值；

（2）把A（﹣4， ），B（﹣1，2）代入y=kx+b得 ， 解得

，

所以一次函数解析式为y= x+ ，

把B（﹣1，2）代入y= 得m=﹣1×2=﹣2；

（3）解：如下图所示：

设P点坐标为（t， t+ ），

∵△PCA和△PDB面积相等，

∴ • •（t+4）= •1•（2﹣ t﹣ ），即得t=﹣ ，

∴P点坐标为（﹣ ， ）．

【解析】【分析】（1）观察函数图象得到当﹣4＜x＜﹣1时，一次函数图象都在反比例函数图象上方；（2）先利用待定系数法求一次函数解析式，然后把B点坐标代入y= 可计算出m的值；（3）设P点坐标为（t， t+ ），利用三角形面积公式可得到 • •（t+4）= •1•（2﹣ t﹣ ），解方程得到t=﹣ ，从而可确定P点坐标．

2．如图，一次函数y1=k1x+b与反比例函数y2= 的图象交于点A（4，m）和B（﹣8，﹣2），与y轴交于点C．

（1）m=________，k1=________；

（2）当x的取值是________时，k1x+b＞ ；

（3）过点A作AD⊥x轴于点D，点P是反比例函数在第一象限的图象上一点．设直线OP与线段AD交于点E，当S四边形ODAC：S△ODE=3：1时，求点P的坐标．

【答案】（1）4；

（2）﹣8＜x＜0或x＞4

（3）解：由（1）知，y1= x+2与反比例函数y2= ， ∴点C的坐标是（0，

2），点A的坐标是（4，4）．

∴CO=2，AD=OD=4．

∴S梯形ODAC= •OD= ×4=12，

∵S四边形ODAC：S△ODE=3：1，

∴S△ODE= S梯形ODAC= ×12=4，

即 OD•DE=4，

∴DE=2．

∴点E的坐标为（4，2）．

又点E在直线OP上，

∴直线OP的解析式是y= x，

∴直线OP与y2= 的图象在第一象限内的交点P的坐标为（4 ，2 ）．

【解析】【解答】解：（1）∵反比例函数y2= 的图象过点B（﹣8，﹣2）， ∴k2=（﹣8）×（﹣2）=16，

即反比例函数解析式为y2= ，

将点A（4，m）代入y2= ，得：m=4，即点A（4，4），

将点A（4，4）、B（﹣8，﹣2）代入y1=k1x+b，

得： ，

解得： ，

∴一次函数解析式为y1= x+2，

故答案为：4， ；（2）∵一次函数y1=k1x+2与反比例函数y2= 的图象交于点A（4，4）和B（﹣8，﹣2），

∴当y1＞y2时，x的取值范围是﹣8＜x＜0或x＞4，

故答案为：﹣8＜x＜0或x＞4；

【分析】（1）由A与B为一次函数与反比例函数的交点，将B坐标代入反比例函数解析式中，求出k2的值，确定出反比例解析式，再将A的坐标代入反比例解析式中求出m的值，确定出A的坐标，将B坐标代入一次函数解析式中即可求出k1的值；（2）由A与B横坐标分别为4、﹣8，加上0，将x轴分为四个范围，由图象找出一次函数图象在反比例函数图象上方时x的范围即可；（3）先求出四边形ODAC的面积，由S

ODAC：S△ODE=3：1

四边形

得到△ODE的面积，继而求得点E的坐标，从而得出直线OP的解析

式，结合反比例函数解析式即可得．

3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1=ax+b（a≠0）的图象与y轴相交于点A，与反比例函数y2= （c≠0）的图象相交于点B（3，2）、C（﹣1，n）．

（1）求一次函数和反比例函数的解析式；

（2）根据图象，直接写出y1＞y2时x的取值范围；

（3）在y轴上是否存在点P，使△PAB为直角三角形？如果存在，请求点P的坐

标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）解：把B（3，2）代入 得：k=6

∴反比例函数解析式为：

把C（﹣1，n）代入 ，得：

n=﹣6

∴C（﹣1，﹣6）

把B（3，2）、C（﹣1，﹣6）分别代入y1=ax+b，得：

所以一次函数解析式为y1=2x﹣4

，解得：

（2）解：由图可知，当写出y1＞y2时x的取值范围是﹣1＜x＜0或者x＞3．

（3）解：y轴上存在点P，使△PAB为直角三角形

如图，

过B作BP1⊥y轴于P1 ，

∠B P1 A=0，△P1AB为直角三角形

此时，P1（0，2）

过B作BP2⊥AB交y轴于P2

∠P2BA=90，△P2AB为直角三角形

在Rt△P1AB中，

在Rt△P1 AB和Rt△P2 AB

∴

∴P2（0， ）

综上所述，P1（0，2）、P2（0， ）．

【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出反比例函数解析式，进而求出点C坐标，最后用再用待定系数法求出一次函数解析式；（2）利用图象直接得出结论；（3）分三种情况，利用勾股定理或锐角三角函数的定义建立方程求解即可得出结论．

4．心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x（分钟）的变化规律如下图所示（其中AB、BC分别为线段，CD为双曲线的一部分）：

（1）开始上课后第五分钟时与第三十分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？

（2）一道数学竞赛题，需要讲19分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指标数最低达到36，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？

【答案】（1）解：设线段AB所在的直线的解析式为y1=k1x+20，

把B（10，40）代入得，k1=2，

∴y1=2x+20．

设C、D所在双曲线的解析式为y2= ，

把C（25，40）代入得，k2=1000，

∴

当x1=5时，y1=2×5+20=30，

当

，

∴y1＜y2

∴第30分钟注意力更集中．

（2）解：令y1=36，

∴36=2x+20，

∴x1=8

令y2=36，

∴ ，

∴

∵27.8﹣8=19.8＞19，

∴经过适当安排，老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目．

【解析】【分析】（1）根据一次函数和反比例函数的应用，用待定系数法求出线段AB所在的直线的解析式，和C、D所在双曲线的解析式；把x1=5时和

进行比

较得到y1＜y2 ， 得出第30分钟注意力更集中；（2）当y1=36时，得到x1=8，当y2=36，得到

， 由27.8﹣8=19.8＞19，所以经过适当安排，老师能在学生注

意力达到所需的状态下讲解完这道题目.

5．一次函数y=ax+b（a≠0）的图象与反比例函数y= （k≠0）的图象相交于A，

B两点，与y轴交于点C，与x轴交于点D，点D的坐标为（﹣1，0），点A的横坐标是1，tan∠CDO=2．过点B作BH⊥y轴交y轴于H，连接AH．

（1）求一次函数和反比例函数的解析式；

（2）求△ABH面积．

【答案】（1）解：∵点D的坐标为（﹣1，0），tan∠CDO=2，

∴CO=2，即C（0，2），

把C（0，2），D（﹣1，0）代入y=ax+b可得，

，解得 ，

∴一次函数解析式为y=2x+2，

∵点A的横坐标是1，

∴当x=1时，y=4，即A（1，4），

把A（1，4）代入反比例函数y= ，可得k=4，

∴反比例函数解析式为y=

（2）解：解方程组 ，可得 或 ，

∴B（﹣2，﹣2），

又∵A（1，4），BH⊥y轴，

∴△ABH面积= ×2×（4+2）=6．

【解析】【分析】（1）先由tan∠CDO=2可求出C坐标，再把D点坐标代入直线解析式，可求出一次函数解析式，再由直线解析式求出A坐标，代入双曲线解析式，可求出双曲线解析式；（2）△ABH面积可以BH为底，高=yA-yB=4-(-2)=6.

6．如图，已知直线y＝ x与双曲线y＝ 交于A、B两点，且点A的横坐标为 .

（1）求k的值；

（2）若双曲线y＝ 上点C的纵坐标为3，求△AOC的面积；

（3）在坐标轴上有一点M，在直线AB上有一点P，在双曲线y＝ 上有一点N，若以O、M、P、N为顶点的四边形是有一组对角为60°的菱形，请写出所有满足条件的点P的坐标.

【答案】 （1）解：把x= 代入 ，得y= ，

∴A（ ，1），

把点 代入 ，解得： ；

（2）解：∵把y=3代入函数 ，得x= ，

∴C ，

设过 ， 两点的直线方程为： ，

把点 ， ，代入得：

，

解得： ，

∴ ，

设 与 轴交点为 ，

则 点坐标为 ，

∴

；

（3）解：设 点坐标 为

，

，由直线 解析式可知，直线 与 轴正半轴夹角

∵以 、 、 、 为顶点的四边形是有一组对角为 上，

的菱形， 在直线

∴点 只能在 轴上，

∴ 点的横坐标为 ，代入 ，解得纵坐标为： ，

根据 ，即得： ，

解得： .

故 点坐标为： 或 .

【解析】【分析】（1）先求的A点纵坐标，然后用待定系数法求解即可；（2）先求出C点坐标，再用待定系数法求的直线AC的解析式，然后求得直线AC与x的交点坐标，再根据

求解即可；（3）设 点坐标 再根据菱形的性质得

，根据题意用关于a的式子表示出N的坐标，

，求出a的值即可.

7．阅读理解：配方法是中学数学的重要方法，用配方法可求最大（小）值。对于任意正实数a、b ， 可作如下变形a+b=

+

,

=

-

+

=

又∵ ≥0， ∴ + ≥0+ ，即 ≥ ．

（1）根据上述内容，回答下列问题：在

≥

（a、b均为正实数）中，若

．

ab为定值p ， 则a+b≥ ，当且仅当a、b满足________时，a+b有最小值

（2）思考验证：如图1，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，CO为AB边上中线，AD＝2a ， DB＝2b, 试根据图形验证 的条件．

≥

成立，并指出等号成立时

（3）探索应用：如图2，已知A为反比例函数 的图象上一点，A点的横坐标为

1，将一块三角板的直角顶点放在A处旋转，保持两直角边始终与x轴交于两点D、E，F（0，-3）为y轴上一点，连接DF、EF，求四边形ADFE面积的最小值．

【答案】（1）a=b

（2）解：有已知得CO=a+b,CD=2 ,CO≥CD,即 ≥2 .

当D与O重合时或a=b时，等式成立.

（3）解：

,

当DE最小时S四边形ADFE最小.

过A作AH⊥x轴，由（2）知：当DH=EH时，DE最小，

所以DE最小值为8，此时S四边形ADFE= （4+3）=28.

【解析】【分析】（1）根据题中的例子即可直接得出结论。

（2）根据直角三角形的性质得出CO=a+b，CD=出等号成立时的条件。

，再由（1）中的结论即可得

（3）过点A作AH⊥x轴于点H，根据S四边形ADFE=S△ADE+S△FDE ， 可知当DH=EH时DE最小，由此可证得结论。

8．在平面直角坐标系xOy中，对于双曲线y= （m＞0）和双曲线y= （n＞0），如果m=2n，则称双曲线y= （m＞0）和双曲线y= （n＞0）为“倍半双曲线”，双曲线y= （m＞0）是双曲线y= （n＞0）的“倍双曲线”，双曲线y= （n＞0）是双曲线y= （m＞0）的“半双曲线”，

（1）请你写出双曲线y= 的“倍双曲线”是________；双曲线y= 的“半双曲线”是________；

（2）如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知点A是双曲线y= 在第一象限内任意一点，过点A与y轴平行的直线交双曲线y= 的“半双曲线”于点B，求△AOB的面积；

（3）如图2，已知点M是双曲线y= （k＞0）在第一象限内任意一点，过点M与y轴平行的直线交双曲线y= 的“半双曲线”于点N，过点M与x轴平行的直线交双曲线y= 的“半双曲线”于点P，若△MNP的面积记为S△MNP ， 且1≤S△MNP≤2，求k的取值范围．

【答案】（1）y=

；y=

（2）解：如图1，

∵双曲线y= 的“半双曲线”是y= ，

∴△AOD的面积为2，△BOD的面积为1，

∴△AOB的面积为1

（3）解：解法一：如图2，

依题意可知双曲线 的“半双曲线”为 ，

设点M的横坐标为m，则点M坐标为（m， ），点N坐标为（m， ），

∴CM= ，CN= ．

∴MN= ﹣ = ．

同理PM=m﹣ = ．

∴S△PMN= MN•PM=

∵1≤S△PMN≤2，

∴1≤ ≤2．

∴4≤k≤8，

解法二：如图3，

依题意可知双曲线 的“半双曲线”为 ，

设点M的横坐标为m，则点M坐标为（m， ），点N坐标为（m， ），∴点N为MC的中点，同理点P为MD的中点．

连接OM，

∵ ，

∴△PMN∽△OCM．

∴ ．

∵S△OCM=k，

∴S△PMN= ．

∵1≤S△PMN≤2，

∴1≤ ≤2．

∴4≤k≤8．

【解析】【解答】解：（1）由“倍双曲线”的定义

∴双曲线y= ，的“倍双曲线”是y= ；

双曲线y= 的“半双曲线”是y= ．

故答案为y= ，y= ；

【分析】（1）直接利用“倍双曲线”的定义即可；（2）利用双曲线的性质即可；（3）先利用双曲线上的点设出M的横坐标，进而表示出M，N的坐标；方法一、用三角形的面积公式建立不等式即可得出结论；方法二、利用相似三角形的性质得出△PMN的面积，进而建立不等式即可得出结论．

9．已知抛物线 的顶点坐标为 ，经过点 .

（1）求抛物线 的解析式；

（2）如图1，直线 值；

交抛物线 于 ， 两点，若 ，求 的

（3）如图2，将抛物线 向下平移 顶点为 ，交 轴的负半轴于点 ，点

个单位长度得到抛物线 ，抛物线 的

在抛物线 上.

①求点 的坐标（用含 的式子表示）；

②若 ，求 ， 的值.

【答案】 （1）解：已知抛物线 的顶点坐标为 ，

∴设抛物线 的解析式为 ，

把 代入得：6=16a-2，

解得： ，

∴抛物线 的解析式为

（2）解：设直线 交 轴点 ，则点 的坐标 ，

∴

.

∵ ，

∴

.

∴ .

由 得 ，

∴ ， ，

∴

，

∴ ，

∵ ，

∴ .

（3）解：①依题意得抛物线 的解析式为 .

点 在抛物线 上，

∴ ，

∴顶点 的坐标为 ，

令 ，即 .

∴ ， （舍去），

∴点 的坐标为 .

②作 轴于点 ，

∵E（2-a，0），F（a，2a-2），

∴ ，

∴ ，

又 ，

∴ ，

∵FH//y轴，

∴∠FPO=∠PFH=22.5°，

∴∠FPO=∠EFP，

∴PD=FD，

设 交 轴于点 ，过D作DG⊥FH于G，则DG=OH，

∵∠EFH=45°，

∴ ，

∵∠FEH=45°，a>2,

∴OD=OE=a-2，

∴PD=a-2- = ，

∵HO=a，

∴ ，

∴ ， （舍去），

∴ .

【解析】【分析】（1）观察函数图像可知抛物线关于y轴对称，可得到点A时抛物

线的顶点坐标，因此设函数解析式为y=ax2-2，再将点B的坐标代入求出a的值，即可得到抛物线C的解析式。

（2）由点A，B的坐标，可求出AB的长，利用三角形的面积公式，可得到点N和点M的横坐标之差为1，再将两函数联立方程组，可转化为x2-2kx+4=0，利用一元二次方程根与系数的关系，求出方程的两个根之和和两根之积，由此可建立关于k的方程，解方程求出符合题意的k的值。

（3）①利用函数平移规律，可得到C1的函数解析式，由点F在抛物线C1上，可建立m与a的二次函数，再求出顶点P的坐标，将点P代入抛物线C，建立方程，求出方程的解，可得到符合题意的点E的坐标；②作FH⊥x轴于点H，用含a的代数式表示出点E，F的坐标，即可求出FH、EH的长，再去证明∠EFP=∠PFH=22.5°，从而可以推出PD=FD；设EF 交y轴于点 D，过D作DG⊥FH于G，则DG=OH，利用解直角三角形求出PD，DF，OD的长，再建立关于a的方程，解方程求出a的值，可得到m的值。

10．如图1，抛物线y＝ax2+bx﹣3经过点A，B，C，已知点A（﹣1，0），点B（3，0）

（1）求抛物线的解析式

（2）点D为抛物线的顶点，DE⊥x轴于点E，点N是线段DE上一动点

①当点N在何处时，△CAN的周长最小？

②若点M（m，0）是x轴上一个动点，且∠MNC＝90°，求m的取值范围．

【答案】 （1）解：函数的表达式为：y=a（x+1）（x﹣3）=a（x2﹣2x﹣3），故﹣3a=﹣3，解得：a=1，故函数的表达式为：y=x2﹣2x﹣3

（2）解：①过点C作x轴的平行线交抛物线于点C'（2，﹣3），连接AC'交DE于点N ， 则此时△CAN的周长最小．

设过点A、C'的一次函数表达式为y=kx+b ， 则：

，解得：

，故直线AC'的表达式为：y=﹣x﹣1，当x=1时，y=﹣2，故点N（1，﹣

2）；

②如图2，过点C作CG⊥ED于点G ．

设NG=n ， 则NE=3﹣n ．

∵∠CNG+∠GCN=90°，∠CNG+∠MNE=90°，∴∠NCG=∠MNE ， 则tan∠NCG=n=tan∠MNE

，故ME=﹣n2+3n ， ∴﹣1＜0，故ME有最大值，当

；

n 时，ME ，则m的最小值为：

如下图所示，当点N与点D重合时，m取得最大值．

过C作CG⊥ED于G ．

∵y=x2﹣2x﹣3= y=（x－1）2﹣4，∴D（1，－4），∴CG=OE=1．

∵EG=OC=3∴GD=4－3=1，∴CG=DG=1，∴∠CDG=45°．

∵∠CDM=90°，∴∠EDM=45°，∴△EDM是等腰直角三角形，∴EM=ED=4，∴OM=OE+EM=1+4=5，∴m=5．

故： m≤5．

【解析】【分析】（1）函数的表达式为：y=a（x+1）（x﹣3）=a（x2﹣2x﹣3），即可求解；（2）①过点C作x轴的平行线交抛物线于点C'（2，﹣3），连接AC'交DE于点N ， 则此时△CAN的周长最小，即可求解；②如图2，ME=﹣n2+3n ， 求出ME最大值，则可求出m的最小值；当点N与点D处时，m取得最大值，求解即可．

11．综合与探究

如图，抛物线 (

，0).

的图象经过坐标原点O，且与 轴的另一交点为

（1）求抛物线的解析式；

（2）若直线 与抛物线相交于点A和点B(点A在第二象限)，设点A′是点

A关于原点O的对称点，连接A′B，试判断ΔAA′B的形状，并说明理由；

（3）在问题(2)的基础上，探究：平面内是否存在点P，使得以点A，B，A′，P为顶点的四边形是菱形？若存在直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】 （1）解：∵抛物线y=x2+bx+c的图象经过点（0，0）和( ，0)，

∴ ，

解得： ；

∴ .

（2）解：ΔAA′B是等边三角形；

∵ ，

解得： ，

∴A( )，B( )，

过点A分别作AC⊥ 轴，AD⊥A′B，垂足分别为C，D，

∴AC= ，OC= ，

在RtΔAOC中

OA= ，

∵点A′与点A关于原点对称，

∴A′( )，AA′= ，

∵B( )，

∴A′B=2-(- )= ，

又∵A( )，B( )，

∴AD= ，BD= ，

在RtΔABD中

AB= ，

∴AA′=A′B=AB，

∴ΔAA′B是等边三角形

（3）解：存在正确的点P，且以点A、B、A′、P为顶点的菱形分三种情况；

设点P的坐标为：（x，y）．

①当A′B为对角线时，有 ，

解得： ，

∴点P为： ；

②当AB为对角线时，有 ，

解得： ，

∴点P为： ；

③当AA′为对角线时，有 ，

解得： ，

∴点P为： ；

综合上述， , ,

【解析】【分析】（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线F的解析式；（2）先求出点A、B的坐标，利用对称性求出点A′的坐标，利用两点间的距离公式（勾股定理）可求出AB、AA′、A′B的值，由三者相等即可得出△AA′B为等边三角形；（3）根据等边三角形的性质结合菱形的性质，可得出存在正确得点P，设点P的坐标为（x，y），分三种情况考虑：①当A′B为对角线时，根据菱形的性质（对角线互相平分）可求出点P的坐标；②当AB为对角线时，根据菱形的性质（对角线互相平分）可求出点P的坐标；③当AA′为对角线时，根据菱形的性质（对角线互相平分）可求出点P的坐标．综上即可得出结论．

12．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C ， 且OC＝OA

（1）求抛物线解析式；

（2）过直线AC上方的抛物线上一点M作y轴的平行线，与直线AC交于点

N ． 已知M点的横坐标为m ， 试用含m的式子表示MN的长及△ACM的面积S ，

并求当MN的长最大时S的值．

【答案】 （1）解：由A（﹣3，0），且OC＝OA可得C（0，3）

设抛物线解析式为y＝a（x+3）（x﹣1），

将C（0，3）代入解析式得，﹣3a＝3，解得a＝﹣1，

∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3．

（2）解：如图，

设直线AC解析式为y＝kx+d

∵A（﹣3，0），C（0，3），

∴ ，

解得 ，

∴直线AC解析式为y＝x+3，

设M（m ， ﹣m2﹣2m+3），则N（m ， m+3），则m+3）＝﹣m2﹣3m（﹣3＜m＜0），

S△ACM＝S△AMN+S△CMN＝ MN×3＝﹣ m2﹣ m ，

MN＝﹣m2﹣3m＝﹣（m+ ）2+ ，

∵a＝﹣1＜0，﹣3＜m＝﹣1.5＜0，

∴m＝﹣ 时，MN最大，此时S＝ ．

MN＝﹣m2﹣2m+3﹣（

【解析】【分析】（1）先求出点C坐标，再运用待定系数法求解即可；（2）先求出直线AC的解析式，用m表示点M，N的坐标，即可表示线段MN的长度；根据

S△ACM＝S△AMN+S△CMN即可用m表示S△ACM；运用二次函数分析MN最值即可；