第二章 一元函数微分学

一元函数微分学在高等数学中占有重要地位，是考试的主要内容之一，应深入加以理解。在运算方面，应掌握导数的四则运算法则，以及隐函数、反函数和由参数方程确定的函数的求导公式等，并会求函数的微分。本章的另一个重点是利用导数研究函数及平面曲线的形态，并能解决一些简单的应用问题。第三，微分中值定理是导数应用的基础，应理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理及泰勒公式，了解并会用柯西中值定理。

§2-1 导数和微分

本节主要归纳总结求函数的导数和微分的主要方法。导数与微分虽然是两个不同的概念，但它们之间也有关系：df(x)f(x)dx。因此只要求出f(x)的导数，由此关系式即可得到它的微分。所以，下面主要是总结求函数的导数的方法。

一、重要概念和重要公式

1. 导数概念 导　数：f(x0)limf(x0x)f(x0).x0xf(x0x)f(x0)左导数：f(x0)lim，x0xf(x0x)f(x0)右导数：f(x0)lim.x0x

f(x)在x0处可导f(x0)f(x0).

2. 导数的几何意义与物理意义 f(x0)为曲线yf(x)在点(x0，f(x0))处切线的斜率，切线方程和法线方程分别为yf(x0)f(x0)(xx0).yf(x0)1(xx0).f(x0) 3. 微分

物理意义：导数可表示为质点的即时速度，棒状物质的线密度，电路中的电流强度，转动物体的角速度等.概念

若函数yf(x)在x0处可微(即可导)，且f(x0)0，则y与dy的关系：由于yf(x0)xo(x)，dyf(x0)x，故有y~dy(x0)，且y，dy均为x的一阶无穷小.f(x)在x0处连续是f(x)在x0处可微(即可导)的必要但非充分条件.

4. 幂指函数求导公式

[u(x)]v(x)u(x)v(x)[v(x)lnu(x)].

5. 由参数方程确定的函数的二阶导数

xt若，则y(t)dtdtd2ydtdttdtt.dxdx2dxttdt

6. 几个重要的n阶导数公式

n(sinx)(n)sinx；1xa(n)(cosx)(n)cos(x[ln(xa)](n)n)；(1)nn!；(xa)n1(1)n1(n1)!.(xa)n

7. Leibnitz公式

1(n1)(uv)(n)u(n)vCnuvk(nk)(k)CnuvnCnuv(n).

8. 回答下列问题

f(x0h)f(x0h)(1)若limA(A为常数)，能否导出f(x0)A？h02hf(h)f(h)答否.例如y|x|，x00，yx0不存在，但lim0.h02h若增加条件：f(x0)存在，则可导出f(x0)A.

f(x)(2)若f(x)在x0处连续，且limA，能否导出f(0)A？x0x答能.因为f(x)f(0)limf(x)limx0，x0x0x故有f(x)f(0)f(x)f(0)limlimA.x0x0xx

(3)若在x0处，f(x)可导，g(x)不可导.(a)F(x)f(x)g(x)在x0处是否可导？(b)G(x)f(x)g(x)在x0处是否可导？(c)若在x0处f(x)也不可导，问F(x)f(x)g(x)在x0处是否可导？答(a)F(x)在x0处必不可导，否则g(x)F(x)f(x)在x0处可导.(b)不一定.如f(x)x，g(x)G(0)；而f(x)x3，g(x)1，在x0处，f(0)1，g(0)，x21，在x0处，f(0)0，g(0)，G(0)0.x(c)不一定.如f(x)|x|，g(x)|x|，在x0处，f(0)和g(0)不存在，但F(0)0.而f(x)|x|，g(x)|x|，在x0处，f(0)，g(0)不存在，F(0)也不存在.(4)若ux在x0处不可导，u0x0，而yf(u)在u0处也不可导，问函数yf[x]在x0处是否一定不可导？答否.如

x，ux0，在x0处不可导，且0，yf(u)u，在u0处也不可导，但yf[x]0在x0处可导.x0x0u0u0

二、用导数定义求导数

这种方法用于求函数在某一点的导数（称为点导数），常见于求分段函数在分界点的导数及未假定函数的导数存在的条件时，但要求其导数等问题. 例1设f(0)0，则f(x)在x0处可导的充要条件为[]11(A)lim2f(1cosh)存在.(B)limf(1eh)存在.h0hh0h11(C)lim2f(hsinh)存在.(D)lim[f(2h)f(h)]存在.h0hh0h1f(1cosh)1cosh1解(A)lim2f(1cosh)limf(0).2h0hh01coshh2hh1f(1e)1e(B)limf(1eh)limf(0).hh0hh01eh(C)取f(x)|x|，则f(0)不存在，但f(hsinh)|hsinh|hsinhlimlim0.h0h0hsinhh2h2x21，x0(D)取f(x)，它在x0处不连续，从而f(0)不存在，但0，x0f(2h)f(h)(2h)21(h21)limlim0.h0h0hh故选(B).1x例2设f(0)1，f(0)存在，则limf(x)_________________.x0

解limf(x)lim[1(f(x)1)]x0x01x1f(x)1f(x)1xlimx0f(x)1f(x)f(0)limf(0)x0xxlimf(x)ef(0).x01x

例3设f(x)可导函数，F(x)f(x)(1|sinx|)，若欲使F(x)在x0处可导，则有(A)f(0)0.(C)f(0)f(0)0.解设g(x)f(x)|sinx|，则F(x)f(x)g(x).因f(x)和F(x)在点x0处可导，故g(x)在x0处可导.而(0)limgg(x)g(0)f(x)(sinx)limlimf(x)f(0).x0x0x0xxg(x)g(0)f(x)sinx(0)limglimlimf(x)f(0).x0x0x0xxf(0)f(0).即f(0)0.故选(B).(B)f(0)0.(D)f(0)f(0)0.[]故例4解f(x)(x23x2)|x3x|的不可导的点的个数为____________.f(x)(x1)(x2)|x(x1)(x1)|，故只须考虑x1，0，三个点1.因limf(x)f(1)lim(x2)|x(x1)(x1)|0.x1x1x1故f(x)在点x1处可导且f(1)0.又因f(x)f(0)|x||x|lim(x1)(x2)|(x1)(x1)|2limx0x0xx0xx不存在，故f(x)在x0处不可导.lim同理可证，f(x)在x1处不可导.故f(x)的不可导的点为x0及x1.

例5若f(x)x(2x1)(3x2)解f(0)limx0(100x99)，则f(0)___________.(100x99)99!.

f(x)f(0)lim(2x1)(3x2)x0x例6若f(x)是周期为5的连续函数，它在x0的某个邻域内满足关系式：

f(1sinx)3f(1sinx)8x(x)，其中(x)o(x)(x0)，且f(x)在x1处可导.求曲线yf(x)在点(6，f(6))处的切线.

解由周期性得

f(6)f(1)，f(6)f(1).

在已知关系式中令x0，得

f(1)3f(1)0，

故

f(1)0.

由已知关系式得

lim

x0

f(1sinx)3f(1sinx)8xo(x)

lim8.x0xx

另一方面

lim

f(1sinx)3f(1sinx)

x0x

f(1sinx)f(1)sinxf(1sinx)f(1)sinxlim3x0sinxx(sinx)xf(1)3f(1)4f(1).

故

f(1)2.

于是f(6)0,f(6)2.所以所求切线方程为

y2(x6).

x21，0x1例7设f(x)，若f(x)在(0，2)内可导，则常数axb，1x2a____________，b______________.解这是一个可导性讨论的反问题，由f(x)在x1处可导得f(x)在x1处连续，故limf(x)limf(x)f(1)，x1x1

即ab0.又f(x)在x1处可导，有f(1)f(1)，即(x21)0(axb)0limlim，x1x1x1x1也即2limx1axaa，x1从而a2，b2.

1cosx，x0例8设f(x)，其中g(x)是有界函数，则f(x)在x0xx2g(x)，x0处(A)极限不存在.(C)连续，但不可导.解因x0[(B)极限存在，但不连续.(D)可导.limf(x)limx2g(x)0，x0]故x21cosx20，limf(x)limlimx0x0x0xxlimf(x)limf(x)0，x0x0即f(x)在x0处连续.又因1cosxx20x20，f(0)limlimx0x0xxxx2g(x)0f(0)limlimxg(x)0.x0x0x故f(x)在x0处可导.所以选(D).

[]例9设函数f(x)在xa处可导，则|f(x)|在xa处不可导的充分必要条件为(A)f(a)0且f(a)0.(C)f(a)0且f(a)0.解令g(x)|f(x)|，因g(x)g(a)|f(x)||f(a)|limxaxaxaxaf(x)f(a)f(x)f(a)当f(a)0，f(a)0f(x)limf(a)lim，xaxa|f(x)|xa|f(x)||f(a)|f(a)0时，不妨设f(a)0，则f(x)在a的某邻域内单调增加，而f(a)0，lim因xa(B)f(a)0且f(a)0.(D)f(a)0且f(a)0.limg(x)g(a)f(a)，xaxalimg(x)g(a)f(a)xa故(a)g(a)，g即|f(x)|在xa处不可导.故选(B).例10设f(x)3x3x2|x|，则使f(n)(0)存在的最高阶数n_______.4x3，x0解f(x)3.2x，x0f(x)在x0处连续.当x0时f(x)12x2，当x0时f(x)6x2.故x0limf(x)0limf(x)，x0所以f(0)0，即212x，x0f(x).26x，x0f(x)在x0处连续.当x0时f(x)24x，

当x0时f(x)12x.故x0limf(x)0limf(x)，x0所以f(0)0，即24x，x0f(x).12x，x0f(x)在x0处连续.当x0时f(x)24，当x0时f(x)12.因x0limf(x)limf(x)x0故f(0)不存在.从而n2.

三、复合函数求导

复合函数求导时，关键要看清楚中间变量u的选取。

dy3x22例11已知yf，f(x)arctanx，则dx3x2解设u____________.x03x2，则3x2dydu12f(u)f(u)dxx0dxx0(3x2)2x0uu11123arctanu2.2(3x2)x0u1例12设yexarcsinex2x221ln1e，求dy.21e2

2x2解令uex，则u212yarcsinuln(1u)ex(2x)221uuu21uu2u112u1ux2arcsinu2xe21u21u21u221u2故arcsinu(1u)2322xex2arcsinex21e2x2232xex.22dy2xexarcsin(ex)2 例13设x是抛物线yx上任意一点M(x，y)(x1)处的曲率半径，ss(x)是该抛物线上介于点A(1，1)与点M之间的弧长，计算d2d32.dsdx111y，y，342xx(1y2)k|y|从而s所以1d3(4x1)24ddx46x，dsds11dx4xx1x13221e2x23dx.2解故1(4x1)2，2x11dx1dt，14x4t31y2dx1d[6x]x6.dsds214x11dx4x从而d2d36232(6x)29.(4x1)ds24x1dx

2323x

四、高阶导数

求高阶导数的方法一般有两种：一种是先求出一阶、二阶、三阶导数，从中观察、归纳找出规律，从而得出n阶导数的表达式（称为归纳法）；另一种是利用简单函数的n阶导数的结果及Leibnitz公式求高阶导数。

例14已知函数f(x)具有任意阶导数，且f(x)[f(x)]2，则当n2时，f(n)(x)等于(A)n![f(x)]n1.(C)[f(x)]2n.解因f(x)2f(x)f(x)2[f(x)]3，f(x)3![f(x)]2f(x)3![f(x)]4，f(4)(x)4![f(x)]5，归纳可得f(n)(x)n![f(x)]n1，故选(A).ndn例15设P(x)n1xm，m，n均为正整数，则P(1)___________.dx解因[(B)n[f(x)]n1.(D)n![f(x)]2n.]dnP(1)n(1x)(1xdxdnn(1x)n(1xdxxm1)nx1xm1)nx1.

由Leibnitz公式nP(1)(1x)(n)(1x(n1)xm1)nx11nCn(1x)(1xxm1)n(n)x1x1因(1x)n(1x(n)x1(k)x1xm1)n.n(1x)n(1x)(1)nn!，0，kn.故P(1)(1)nn!mn.

例16设f(x)(x23x2)ncos解因x216n，则f(n)(2)________________.f(x)(x2)(x1)cos令nx216n，u(x)(x2)，v(x)(x1)cos则nx216，u(n)(2)n!，u(k)(2)0(kn).由Leibnitz公式f(n)(2)u(x)2(n)x2v(x)x2n!(x1)cosnx216x22n!.2

例17设y(arcsinx)，试证明关系式(1x2)y(n1)(2n1)xy(n)(n1)2y(n1)0成立(n3，nN)，并求y(n)(0).解因

y2(arcsinx)故11x2，1x2y2arcsinx.两边求导1x2y即(1x2)yxy2.在上式两边关于x求(n1)次导数(结合Leibnitz公式)1(n)2(n1)n(n1)y(n1)(1x2)Cn(1x2)Cny(1x2)y(n)xCn101y1yx1x2y21x2，即(1x2)y(n1)(2n1)xy(n)(n1)2y(n1)0.令x0，得y(n)(0)(n2)2y(n2)(0)(n2)2(n4)2y(n4)0，n为奇数2m1.22[(m1)!]，n为偶数，n2m

五、隐函数求导

设方程F(x，y)0确定了隐函数yy(x)，求x求导(y是中间变量)，求导后从结果中解出dy的方法为：将方程两边对dxdy，可得其表达式.dxyxd2yt2例18设yy(x)由方程sinxedt0所确定，求21dx解两边对x求导，得.x02dycosxe(yx)10dx由所给方程得x0时y1，故(*)dydx(*)式两边再对x求导，得sinxedy将x0，y1，dx(yx)21e.x022dydy2(yx)120，dxdx1e代入上式，得x0d2ydx22e2.x0

例19设由eyx(yx)1x确定yy(x)，则y(0)____________.解两边对x求导，得dydyey(yx)x11，dxdx由所给方程得x0时y0，所以dydx(*)式两边对x求导，得2dydyd2ydyydyee11x20，dx2dxdxdxdxdy将x0，y0，1代入，得dxx0y2(*)1.x0d2ydx2y(0)3.x0

六、参数方程确定的函数求导

xt(1t)0d2y例20已知函数yy(x)由方程组y确定，求2dxtey10解因t0时，x0，y1.由第一个方程得dx2t1.dt第二个方程两边关于t求导dydyeytey0，dtdt解得dyey.dt1tey所以dxdt1，t0.t0

dydte1，t0dyey.dx(1tey)(12t)两边再对x求导，得(1tey)(12t)eyd2ydx2故d2ydx2(e2e22e1)(1)2(e2e1).t0dydyeyeytey(12t)2(1tey)dtdty2[(1te)(12t)]，dxdt

arctant1x01u3du所确定，则过点(0，例21设yy(x)由2)的切线方程2yty2et5为____________________________.解因为点(0，2)对应t0，由第一个方程得dxdtt0111(arctant)31t21，t0第二个方程两边关于t求导2将t0，y2代入，解得dydt所以dydx因此，切线方程为y23x.2 3.23.2dydyy2t2yet0.dtdtt0(0，2)

七、求切线和法线

例22设函数yy(x)由方程e2xycos(xy)e1所确定,则曲线yf(x)在点(0，1)处的法线方程为_______________________.解由隐函数求导法，dydye2xy2sin(xy)yx0,dxdx故dydx所以法线方程为y1即y2.(0，1)1x，2x1.2例23对数螺线e在点(，)(e，)处的切线的直角坐标方程为_________________.解点(e，)对应的直角坐标为(0，e2)，对数螺线的参数方程为2xecos,yesin,故

dydx所以切线方程为x0dyddxde(cossin)e(cossin)1.yex，即xye.例24求由点(0，0)向曲线yx1作的切线方程.解设切点为(a，a1)，则切线方程为1ya1(xa)，2a1将(0，0)代入得a2.所以切线方程为y1即xy.21(x2).2

§2-2 中值定理及其应用

本节主要是利用中值定理及Taylor公式证明“中值等式命题”及“不等式”，并用零点定理或罗尔定理证明方程根的存在性，利用单调性来讨论方程的根，这些内容是导数应用的重要组成部分.

一、重要公式

1. Rolle定理 若fC[a，b]D(a，b)，且f(a)f(b)，则至少存在一点(a，b)，使得f()0.

2. Lagrange中值定理

若fC[a，b]D(a，b)，则至少存在一点(a，b)，使得f(b)f(a)f()(ba).

3. Cauchy中值定理

若f，gC[a，b]D(a，b)，且g(x)0，则至少存在一点(a，b)，使得f(b)f(a)f().g(b)g(a)g() 4. Taylor

若f(x)在含有x0的某个开区间(a，b)内具有直到(n1)阶的导数，则对任意x(a，b)，有f(x)f(x0)f(x0)(xx0)f(x0)(xx0)22!(n)(n1)f(x0)f()(xx0)n(xx0)n1，n!(n1)!其中是x0与x之间的某个数.上式称为带Lagrange余项的Taylor公式.若f(n1)(x0)存在，则有f(x)f(x0)f(x0)(xx0)f(x0)(xx0)22!f(n)(x0)(xx0)no((xx0)n).n!公式 上式称为带Peano余项的Taylor公式. 5.

零点定理

若fC[a，b]，且f(a)f(b)0，则至少存在一点(a，b)，使得f()0.

二、证明“中值等式命题”

这个内容与证明“定积分命题”是一元函数范围内考察逻辑推理能力及分析构造能力的重要部分。这里一般方法如下：先把题求中的“等式”改写成某个中值定理的形式，然

b]，再对F(x)在[a，b]上应用相关的中值定理。后作出适当的辅助函数F(x)及相关区间[a，

例1设f(x)，g(x)在[a，b]上可微，且g(x)0.证明存在一点c(a，b)，使得f(a)f(c)f(c).g(c)g(b)g(c)证即证f(a)g(c)f(c)g(c)f(c)g(c)f(c)g(b)0.令F(x)f(a)g(x)f(x)g(x)g(b)f(x)，则F(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且F(x)f(a)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)g(b)f(x).又F(a)f(a)g(b)F(b)，由Rolle定理，至少存在一点c(a，b)，使得F(c)0.即f(a)g(c)f(c)g(c)f(c)g(c)f(c)g(b)0，也即f(a)f(c)f(c).g(c)g(b)g(c)例2设函数f(x)在[0，1]上二阶可导，f(0)f(1).求证：存在(0，，1)使得2f()()f()0.证因fC[0，1]，在(0，1)内可导，且f(0)f(1)，故由Rolle定理知，至少存在一点x0(0，1)，使得f(x0)0.令F(x)(x1)2f(x)，则F(x)在[x0，1]上连续，在(x0，1)内可导，且F(x)(x1)[2f(x)(x1)f(x)].又F(x0)0F(1)由Rolle定理知，得至少存在一点(x0，1)(0，1)，使得F()0，即()[2f()()f()]0.因1，故有2f()()f()0.

例3设fC[1，2]，f(x)在(1，2)内存在，且f(x)0，又f(1)f(2)0，证明：(1，2)，使得f()3.f()证令F(x)e3xf(x)，则F(x)在[1，2]上连续，在(1，2)内可导，F(x)e3x[f(x)3f(x)]，又F(1)0F(2).故由Rolle定理知，至少存在一点(1，2)，使得F()0，即f()3f()0，也即f()3.f()例4设f(x)在闭区间[1，1]上具有三阶连续导数，且f(1)0，f(1)1，f(0)0.证明：至少存在(1，1)，使f()证将f(x)在点x0展开成Taylor公式f(0)2f()3f(x)f(0)f(0)xxx(在x与0之间).2!分别令x1和x1并注意到f(0)0，得f(0)f()0f(1)f(0)(1(1，0))2!3!f(0)f()1f(1)f(0)((0，1))2!3!两式相减得f()f()6.因f(x)在[，2](1，1)上连续，由最大值定理知f(x)在[，]上有最大值M和最小值m，从而f()f()M.2由介值定理得，至少有一点[，](1，1)，使得f()f()f()，2即f()3.

m例5设f(x)有二阶连续导数，且f(xh)f(x)hf(xh)(01)，1f(x)0.证明：lim.h02证由Taylor公式得h2f(xh)f(x)hf(x)f(xh)，(0，1)2与条件式相减得h2h[f(x)f(xh)]f(x1h)0.2由Lagrange定理，存在(0，1)，使得f(xh)f(x)f(xh)h.从而因f(x)是连续函数，故limh0f(xh).f(xh)f(xh)1f(x)1lim.h0f(xh)2f(x)2

例6设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)f(b)1.证明：存在，(a，b)，使得e[f()f()]1.证即证e[f()f()]e.令xex，则C[a，b]使得ebeae.ba令F(x)exf(x)，则FC[a，b]D(a，b)，且F(x)ex[f(x)f(x)].由Lagrange定理，存在(a，b)，使得ebf(b)eaf(a)e[f()f()].ba由条件得ebf(b)eaf(a)ebea，baba所以e[f()f()]e，即存在，(a，b)，使得e[f()f()]1.D(a，b)，由Lagrange定理，存在(a，b)，

三、证明不等式

证明不等式的方法主要有：利用函数单调性方法，利用Taylor公式方法及对不等式组利用最值方法。

例7证明：当x0时，(1x)e证即证当x0时x11ln(1x)12x也即x2(x1)ln(x1)x.2x2令f(x)x(x1)ln(x1)(x[0,))，则2f(x)1xln(x1)1xln(x1)，而10(x0)，x1所以当x0时，f(x)单调增加.又因f(x)在[0，)上连续，故当x0时f(x)f(0)0.f(x)1从而当x0时，f(x)单调增加.又因f(x)在[0，)上连续，故当x0时f(x)f(0)0.1x1x2.

即当x0时x2(x1)ln(x1)x.2也即(1x)11x1x2e.

例8设x(0，1)，证明：(1)(1x)ln2(1x)x2；1111(2)1.ln2ln(1x)x2证(1)令f(x)x2(1x)ln2(1x)，x[0，1]，则f(x)2xln2(1x)2ln(1x)，12xln(1x)f(x)22ln(1x)2.1x1x1x当x(0，1]时，xln(1x)，故f(x)0，所以当x(0，1)时，f(x)单调增加.又f(x)在[0，1]上连续，故当x(0，1]时，f(x)f(0)0.从而x[0，1]时，f(x)单调增加.又因f(x)在[0，1]上连续，故当x0时，f(x)f(0)0，即当x(0，1)时(1x)ln2(1x)x2.(2)令x11，则ln(1x)x111(1x)ln2(1x)x2x22，ln(1x)1xx2x(1x)ln2(1x)由第(1)小题知，当x(0，1)时(x)0，故当x(0，1)时，x单调减少.又(x)在(0，1]内连续，故当x(0，1)时1xlimx，x0而

111，ln2洛必达法则x0limxlim+x0xln(1x)xln(1x)limlimx0x0xln(1x)x211111.ln2ln(1x)x2111x1，2x2所以当x(0，1)时例9设0ab，证明不等式2alnblna1.a2b2baab证设f(x)lnx，则f(x)在[a，b]上满足Lagrange定理条件，由Lagrange定理，存在(a，b)，使得lnblna112a2.babab2令xlnxlnaxa(xa0)，则ax111a(xa)2(x)0，xa2x2xx2xax由(x)在[a，x]上连续，当xa时x(a)0.所以当ba0时，(b)0，即lnblna1.baab综上所述，当0ab时2alnblna1.a2b2baab例10设f(x)存在，且f(0)a，f(a)b，f(0)1，又|f(x)|x[2a，2a].证明：1，x[2a，2a]；211(2)|f(ab)||f(a)|a.24证(1)由条件得(1)|1f(x)|1，4a

|1f(x)||f(x)f(0)|其中在0与x之间.Lagrange公式|f()||x|112a，4a2a(2)先证|f(a)|.由Lagrange定理得2f(a)f(0)f()a，2(0，a)故由(1)知|f(a)||f(0)f()a|a|1f()|再证|f(ab)|1a.21|f(a)|.由Lagrange定理2f(ab)f(a)f()b(在a与ab之间)11|b||f(a)|.22故|f(ab)||f(a)bf()||b[1f()]|从而|f(ab)|11|f(a)|a.24

例11若为正常数，使得不等式lnxx对任意正数x成立，求的最小值.解令f(x)lnxx(xR)，则11xf(x)x，xx1令f(x)0得驻点x0.当0xx0时，f(x)0；当xx0时，f(x)0.所以11maxf(x)f(x)ln(ln1).0xR1由题意得f(x0)0，故有ln0，从而1e.即的最小值为.e

四、讨论方程的根

对方程f(x)0的实根的存在性，可利用零点定理或对f(x)的原函数F(x)使用Rolle定理.至于f(x)0根的个数可利用函数的单调性予以判断.例12设yf(x)是区间[0，1]上的任一非负连续函数.(1)试证：存在x0(0，1)，使得在区间[0，x0]上以f(x0)为高的矩形面积，等于在区间[x0，1]上以yf(x)为曲边梯形的面积.(2)又设f(x)在(0，1)内可导，且f(x)的.证1)令xxf(t)dt，则x[0，1]，在(0，1)内可导x12f(x)，证明(1)中的x0是唯一xxf(t)dtxf(x)，x1且001，由Rolle定理知，存在x0(0，1)，使得x00，即11x0f(t)dtx0f(x0).也即存在x0(0，1)，使得在区间[0，x0]上以f(x0)为高的矩形面积，等于在区间[x0，1]上以yf(x)为曲边的曲边梯形的面积.(2)令F(x)xf(t)dtxf(x)，则xF(x)xf(x)f(x)xf(x)[2f(x)xf(x)].由条件知F(x)0，从而F(x)在[0，1]上单调减少，所以F(x)0在(0，1)内只有一个根，即(1)中的x0是唯一的.例13方程lnx(A)无实根.(C)有两个实根.x1在(0，)内e(B)有一个实根.(D)有无穷多个实根.x1，则ef(x)[]解令f(x)lnx11ex.xeex令f(x)0得驻点xe.当x(0，e)时，f(x)0，从而f(x)在(0，e)内单调增加；当x(e，)时，f(x)0，从而f(x)在(e，)内单调减少.又因f(e)10，limf(x)，x0xlnx11limf(x)limlnx1limx.xxxexex因此f(x)0在(0，)内有两个实根.故选(C).1例14设当x0时，方程kx21有且仅有一个解，求k的取值范围.x解题目条件当于方程kx31x20在(0，)上有且仅有一个解.令f(x)kx31x2，则f(x)在[0，)上连续，且f(x)3kx22x.当k0时，f(x)0，x(0，)，所以f(x)在(0，)内单调减少.又limf(x)10，x0x+limf(x)0，由零点定理及f(x)的单调性知，方程f(x)0在(0，)上有且仅有一个根.2当k0时，令f(x)0得驻点x0.当x(0，x0)时，f(x)0，故f(x)3k在(0，x0)内单调减少；当x(x0，)时，f(x)0，故f(x)在(x0，)内单调增加.又8427k2422f(x0)k121，223k3k27k9k27klimf(x)1，x0x32limf(x)0故当且仅当f(x0)0时方程f(x)0有唯一实根.由f(x0)0解得k23923.9综上所述，k的取值范围为：k0或k

§2-3 函数性态的讨论

本节是利用导数研究函数及平面曲线的性态，如单调性、极值、凹凸性与拐点、最大最小值等简单的应用问题。本节的关键是导数计算一定要准确，并且对各种判别方法要了然于胸。

一、重要概念与重要公式

单调性、极值、凹凸性与拐点的判别法，同学已经比较熟悉，此略。 1. 曲线的渐近线 若limf(x)c，则yc为曲线yf(x)的水平渐近线.x若limf(x)，则xx0为曲线yf(x)的铅垂渐近线.xx0若limxf(x)k，且lim[f(x)kx]b，则ykxb为曲线yf(x)的斜渐xx近线.

|f(x0)|21f(x0)322. 曲率与曲率半径公式

yf(x)上点(x0，f(x0))处，曲率k，曲率半径.k

3. 回答下列问题

(1)若f(x)在(a，)内严格单调递增，是否对任意x(a，)，均有f(x)0？答否.例如yx3，当x(，)时，f(x)严格单调增加，但y(0)0.(2)若x0是f(x)的极值点，是否有f(x0)0？答不一定.例如x1是f(x)(x1)的极小值点，但f(x)在x1处不可导.(3)若点(x0，f(x0))是yf(x)的拐点，是否必有f(x0)0？答否.例如点(1，0)是y(x1)的拐点，但y(1)不存在.1323

二、函数性态

例1设f(x)的导数在x0处连续，又lim(A)xa是f(x)的极小值点.(C)(a，f(a))是曲线yf(x)的拐点.解因f(x)(xa)0，xaxaxaf(x)f(a)f(x)f(a)limlim20.xaxaxaxaf(a)limf(x)lim故选(B).f(x)2，则[]xaxa(B)xa是f(x)的极大值点.(D)xa不是f(x)的极值点.例2设f(x)满足关系式f(x)[f(x)]2x，且f(0)0，则(A)f(0)是f(x)的极大值.(B)f(0)是f(x)的极小值.(C)点(0，f(0))是曲线yf(x)的拐点.(D)f(0)不是f(x)的极值，点(0，f(0))也非拐点.解已知式中令x0，由条件f(0)0可得f(0)0.由Taylor公式f(x)f(0)f(0)xo(x)o(x).从而f(x)x[f(x)]2xo(x2).所以，使当x0时f(x)0，当0x时f(x)0.因此(0，f(0))为yf(x)的拐点.故选(C).[]

例3已知函数yx，求(x1)23(1)函数的增减区间及极值.(2)函数图形的凹凸区间及拐点.(3)函数图形的渐近线.解定义域(，1)(1，).因x2(x3)y，(x1)3令y0得驻点x0，3.又因y令y0令x0.x 6x，(x1)4(，0) 0 (0，1) (1，3) - + 3 (3，) y y + - 0 0 拐点 + + (0，1)0 + 极小 + + y (1)函数的单调增区间为(，0)极小值y(3，)，单调减区间为(1，3)，27.x34(2)函数图形的凹区间为(0，1)，(1，)，凸区间为(，0)，拐点为(0，0).(3)因x3limx1(x1)2故x1为函数图形的铅直渐近线.又因yx3limlim1.xxxx(x1)2

故x1为函数图形的铅直渐近线.又因yx3limlim1.xxxx(x1)2x32x2xlim[yx]limxlim2.2xx(x1)2x(x1)故yx2为函数图形的斜渐近线.

3n例4在1，2，3，，n中求最大的一个数.1x解设f(x)x，x[1，)，则fC[1，)，且1lnx，x2令f(x)0得驻点xe.在(1，e)内，f(x)0，故f(x)在[1，e]上单调增加；f(x)x在(e，)内，f(x)0，故f(x)在[e，)上单调减少.又因f(2)233f(3).所以最大项是33.弦中，求长度为最短的弦的长度.1x

例5已知抛物线C为y24x，试从它的那些与抛物线C的法线相重合的t12解如右图，设切点为P，t由对称性，不11(4t22妨设t10)，与法线重合的弦为PPP2，t2.因12，4dy2.dxP1t1t故法线斜率kP1P21，因此2t2t1t1，t22t12244从而8t2t1(0).t1

所以弦长t12t2218d(t1t2)2(t1t2)(t1t2)21224t12.416t14168t1224t2(t144t1232).122t1t14t12t134t122d令d0得唯一驻点t122.当t1(0，22)时，d0；当t1(22，)时，d0，故t122为最小值点，所以minddt12263.

自我检测题(二)

2x(1)(i)若f(x)limx1，则f(x)_______________________.ttd1(ii)已知[f(x3)]，则f(x)_____________________.dxx2f(3x)3(2)设f(x)在x2处连续，且lim2，则f(2)_______.x1x111x2，x0(3)设f(x).x0，x0(i)求f(x).(ii)讨论f(x)在(，)的连续性.(4)设yy(x)由方程xef(y)ey所确定，其中f具有二阶导数，且f1，d2y求2.dx(5)设函数yy(x)由方程ln(x2y)x3ysinx确定，求曲线yy(x)在(0，1)处的法线方程.(6)设f(x)x4ln(1x)，求f(n)(0)(n4).td2n(ex)(7)若nN，试求dx2n2.x0(8)若方程x33xa0在(，)上有三个实根，其中有两个正实根，则常数a的取值范围为_________________.(9)在区间(，)内，方程|x||x|cosx0(A)无实根.(C)有且仅有两个实根.(B)有且仅有一个实根.(D)有无穷多个实根.1412[](10)证明方程4x33x26x10在(0，1)内至少有一个实根.(11)设a0，a1，，an是满足a0aa1a2n0的实数，证明方程23n1a0a1xa2x2anxn0D(a，b)内可导，其中a0且f(a)0.试证明：在(0，1)内至少有一个实根.(12)设函数f[a，b](a，b)，使bf().a(13)设函数f(x)在[2，2]上二阶可导，且|f(x)|1，f2(0)[f(0)]24.f()试证：至少存在一点(2，2)，使f()f()0.(14)设函数f(x)在区间[0，1]上可导，且f(0)0，f(1)1.证明：存在两点x1，x2[0，1]，使112.f(x1)f(x2)(15)证明：曲线yex与抛物线yax2bxc(a0)的交点不多于3个.1xln(1x).1xarcsinx(17)设f(x)在[0，1]上有二阶连续导数，且f(0)f(1)0，maxf(x)1，(16)设0x1，证明：0x1证明：maxf(x)8.0x1(18)设ba0，证明：lnb2(ba).aab