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历年北京中考数学试题及答案(---2015)

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2010年北京市高级中等学校招生考试

数学试卷

学校姓名

准考证号

考1. 本试卷共6页，共五道大题，25道小题，满分120分。考试时间120分钟。生

2. 在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号。须

3. 试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

知

4. 在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其它试题用黑色字迹签字笔作答。5.

考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。一、选择题

(本题共32分，每小题4分)

下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的1. 2的倒数是

(A)

112

(B)

2. 2010年6月3日，人类首次模拟火星载人航天飞行试验

“火星-500”正式启动。包括中国志

愿

者王跃在内的6名志愿者踏上了为期12480小时的“火星之旅”。将12480用科学记数法表示

应为(A) 12.48103(B) 0.1248105(C) 1.248104(D) 1.248103

。

3. 如图，在△ABC中，点D、E分AB、AC边上，DE//BC，若AD：AB=3：4，AE=6，则AC等于(A) 3

(B) 4

4. 若菱形两条对角线的长分别为6和8，则这个菱形的周长为(A) 20 (B) 16 (C) 12 (D) 10。

5. 从1、2、3、4、5、6、7、8、9、10这十个数中随机取出一个数，取出的数是3的倍数的概率是

(A)

1316. 将二次函数y=x2

(B)

2x3化为y=(xh)2

(C)

(D)

。

k的形式，结果为(A) y=(x1)2

4 (B) y=(x1)

2。

7. 10名同学分成甲、乙两队进行篮球比赛，它们的身高(单位：cm)如下表所示：队员1 队员2 队员3 队员4 队员5 甲队177 176 175 172 175 乙对

170

175

173

174

183

设两队队员身高的平均数依次为x22

甲，x乙，身高的方差依次为

S甲，S乙，则下列关系中完全

正确的是

(A) x，S2

甲>S乙(B) x甲=x2乙，S甲乙

甲=x乙甲>x乙，S甲>S乙

(D)

x甲甲>S2

乙。

8. 美术课上，老师要求同学们将右图所示的白纸只沿虚线剪开，用裁开的纸片和白

纸上的阴影部份围成一个立体模型，然后放在桌面上，下面四个示意图中，只有一个符合上述要求，那么这个示意图是

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二、填空题(本题共16分，每小题4分)

9. 若二次根式

1有意义，则x的取值范围是

。

10. 分解因式：m2

4m= 。

11. 如图，AB为圆O的直径，弦CDAB，垂足为点E，连结OC，若OC=5，

CD=8，则AE= 。

12. 右图为手的示意图，在各个手指间标记字母A、B、C、D。请你按图中箭头

所指方向(即ABCDCBABC…的方式)从A开始数连续的正整数1，2，3，4…，当数到12时，对应的字母是；当字母C第201 次出现时，恰好数到的数是；当字母C第2n1次出现时(n为正整数)，恰好数到的数是(用含n的代数式表示)。三、解答题(本题共30分，每小题5分) 13. 计算：

2010|43|tan60。

14. 解分式方程

3x12x

。

15. 已知：如图，点

A、B、C、D在同一条直线上，EAAD，FDAD，AE=DF，

AB=DC。求证：

ACE=DBF。

16. 已知关于x的一元二次方程

4xm1=0有两个相等的实数根，求

的值及方程的根。

17. 列方程或方程组解应用题：

2009年北京市生产运营用水和居民家庭用水的总和为5.8亿立方米，其中居民家庭用水比

生

产运营用水的

3倍还多0.6亿立方米，问生产运营用水和居民家庭用水各多少亿立方米。

18. 如图，直线y=2x3与x轴交于点A，与y轴交于点B。

(1) 求A、B两点的坐标；

(2) 过B点作直线BP与x轴交于点P，且使OP=2OA，求△ABP的

面积。

四、解答题(本题共20分，每小题5分)

19. 已知：如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB=DC=AD=2，BC=4。

求B的度数及AC的长。

20. 已知：如图，在△ABC中，D是AB边上一点，圆O过D、B、C三点，

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DOC=2ACD=90。

(1) 求证：直线AC是圆O的切线；

(2) 如果ACB=75，圆O的半径为2，求BD的长。

21. 根据北京市统计局的20062009年空气质量的相关数据，绘制统计图如下：

20062009年北京全年市区空气质量达到二级和好于二级的天数统计图

(1) 由统计图中的信

息可知，北京全年市区空气质量达到二级和好于二级的天数与上一年相

比，增加最多的是年，增加了天；

(2) 表上是根据《中国环境发展报告(2010)》公布的数据会置的2009年十个城市供气质量达

到二级和好于二级的天数占全年天数百分比的统计表，请将表1中的空缺部分补充完整(精确到1%)

表1 2009年十个城市空气质量达到二级和好于二级的天数占全年天数百分比统计图

城市北京上海天津昆明杭州广州南京成都沈阳西宁

百分比91% 84% 100% 89% 95% 86% 86% 90% 77% (3) 根据表1中的数据将十个城市划分为三个组，

百分比不低于95%的为A组，不低于85%且低

于95%的为B组，低于85%的为C组。按此标准，C组城市数量在这十个城市中所占的百分比为

%；请你补全右边的扇形统计图。

22. 阅读下列材料：

小贝遇到一个有趣的问题：在矩形ABCD中，AD=8cm，

AB=6cm。

现有一动点P按下列方式在矩形内运动：它从A点出发，

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沿着AB

边夹角为45的方向作直线运动，每次碰到矩形的一边，就会改变运动方向，沿着与这条边夹角为45的方向作直线运动，并且它一直按照这种方式不停地运动，即当P点碰到BC边，沿着BC边夹角为45的方向作直线运动，当P点碰到CD边，再沿着与CD边夹角为45的方向作直线运动，…，如图1所示，问P点第一次与D点重合前与边相碰几次，P点第一次与D点重合时所经过的路线的总长是多少。小贝的思考是这样开始的：如图2，将矩形ABCD 沿直线CD折迭，得到矩形A1B1CD，由轴对称的知识，发现P2P3=P2E，P1A=P1E。请你参考小贝的思路解决下列问题：(1) P点第一次与D点重合前与边相碰次；

P点从A点出发到第一次与D点重合时所经过的路径的总长是cm；(2) 近一步探究：改变矩形ABCD中AD、AB的长，且满足AD>AB，动点P从A点出发，按照阅读材料中动点的运动方式，并满足前后连续两次与边相碰的位置在矩形

ABCD相

邻的两边上。若P点第一次与B点重合前与边相碰7次，则AB：AD的值为

。

五、解答题(本题共22分，第23题7分，第24题8分，第25题7分) 23. 已知反比例函数

的图像经过点A(3，1)。

(1) 试确定此反比例函数的解析式；

(2) 点O是坐标原点，将线段OA绕O点顺时针旋转

30得到线段OB。判断点B是否在此反比例函数的图像上，并说明理由；(3) 已知点P(m，3m6)也在此反比例函数的图像上

(其中m<0)，过P点作x轴的垂线，

交

x轴于点M。若线段PM上存在一点Q，使得△OQM的面积是12

，设Q点的纵坐标为n，

求n2

3n9的值。

24. 在平面直角坐标系xOy中，拋物线y=

m15m4

3m2

与x轴的交点分别为原点O和点A，点B(2，n)在这条拋物线上。

(1) 求点B的坐标；

(2) 点P在线段OA上，从O点出发向点运动，过

P点作x轴的

垂线，与直线OB交于点E。延长PE到点D。使得ED=PE。以PD为斜边在PD右侧作等腰直角三角形PCD(当P点运动

时，C点、D点也随之运动)

当等腰直角三角形PCD的顶点C落在此拋物线上时，求OP的长；

若P点从O点出发向A点作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA上另一点Q从A点出发向O点作匀速运动，速度为每秒2个单位(当Q点到达O点时停止运动，P点也同时停止运动)。过Q点作x轴的垂线，与直线AB交于点F。延长QF 到点M，使得FM=QF，以QM为斜边，在QM的左侧作等腰直角三角形QMN(当Q 点运动时，M点，N点也随之运动)。若P点运动到t秒时，两个等腰直角三角形分

别有一条直角边恰好落在同一条直线上，求此刻t的值。

25. 问题：已知△ABC中，BAC=2ACB，点D是△ABC内的一点，且

AD=CD，BD=BA。

探究DBC与ABC度数的比值。请你完成下列探究过程：

先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明。(1) 当BAC=90时，依问题中的条件补全右图。只供学习与交流

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观察图形，AB与AC的数量关系为；当推出DAC=15时，可进一步推出DBC的度数为；可得到DBC与ABC度数的比值为；(2) 当BAC90时，请你画出图形，研究DBC与ABC度数的比值

是否与(1)中的结论相同，写出你的猜想并加以证明。

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北京市2011年中考数学试卷—解析版

一、选择题（共

8小题，每小题

4分，满分32分）

1、（2011?北京）﹣

的绝对值是（）A、﹣B、

C、﹣

D、

考点：绝对值。

专题：计算题。

分析：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．

解答：解：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值，在数轴上，点﹣到原点的距离

是，所以﹣的绝对值是﹣．

故选D．

点评：本题考查绝对值的基本概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．2、（2011?北京）我国第六次全国人口普查数据显示，居住在城镇的人口总数达到665 575 306

人．将665 575 306用科学记数法表示（保留三个有效数字）约为（）A、66.6×107

B、0.666×108

C、6.66×10

D、6.66×10

考点：科学记数法与有效数字。

分析：科学记数法的表示形式为a×10n

的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定

n的值是易错

点，由于1 048 576有7位，所以可以确定n=7﹣1=6．有效数字的计算方法是：从左边第一个不是0的数字起，后面所有的数字都是有效数字．

用科学记数法表示的数的有效数字只与前面的

a有关，与10的多少次方无关．

解答：解：665 575 306≈６.66×108

．

故选C．

点评：此题考查科学记数法的表示方法，以及用科学记数法表示的数的有效数字的确定方法．3、（2011?北京）下列图形中，即是中心对称又是轴对称图形的是（）

A、等边三角形B、平行四边形C、梯形D、矩形考点：中心对称图形；轴对称图形。

分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解，四个选项中，只有D选项既为中心对称图形又是轴对称图形

解答：解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项错误；B、是不是轴对称图形，是中心对称图形．故本选项错误；C、是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项错误；D、既是轴对称图形，又是中心对称图形．故本选项正确．故选D．

点评：本题主要考察中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形的关键是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．

4、（2011?北京）如图，在梯形

ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点O，若AD

1，

BC3，则

AOCO

的值为(

)

A、B、C、D、

考点：相似三角形的判定与性质；梯形。只供学习与交流

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专题：证明题。

分析：根据梯形的性质容易证明△AOD∽△COB，然后利用相似三角形的性质即可得到AO：

CO的值．

解答：解：∵四边形

ABCD是梯形，∴AD∥CB，

∴△AOD∽△COB，∴，

∵AD=1，BC=3．∴

=．

故选B．

点评：此题主要考查了梯形的性质，利用梯形的上下底平行得到三角形相似，然后用相似三角形的性质解决问题．5、（2011?北京）北京今年6月某日部分区县的高气温如下表：

区县大兴通州平谷顺义怀柔门头延庆

昌平密云房山沟最高气温

则这10个区县该日最高气温的众数和中位数分别是（

）A、32，32 B、32，30 C、30，32 D、32，31 考点：众数；中位数。专题：计算题。

分析：找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．解答：解：在这一组数据中32是出现次数最多的，故众数是32；处于这组数据中间位置的数是32、32，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是32．故选A．

点评：本题为统计题，考查众数与中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．

6、（2011?北京）一个不透明的盒子中装有2个白球，5个红球和8个黄球，这些球除颜色外，没有任何其他区别，现从这个盒子中随机摸出一个球，摸到红球的概率为（）

A、

B、

C、

D、

考点：概率公式。专题：计算题。

分析：根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．

解答：解：根据题意可得：一个不透明的盒子中装有2个白球，5个红球和8个黄球，共15个，摸到红球的概率为=，

故选B．

点评：此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事

件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=

．

7、（2011?北京）抛物线yx2

6x5的顶点坐标为（

）

A、（3，﹣4）

B、（3，4）

C、（﹣3，﹣4）

D、（﹣3，4）

考点：二次函数的性质。专题：应用题。分析：利用配方法把抛物线的一般式写成顶点式，求顶点坐标；或者用顶点坐标公式求解．

解答：解：∵yx

6x5，

=x2

﹣6x+9﹣9+5，只供学习与交流

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=（x﹣3）2

﹣4，∴抛物线y

6x5的顶点坐标是（3，﹣4）．

故选A．

点评：本题主要考查了二次函数的性质，配方法求顶点式，难度适中．

8、（2011?北京）如图在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=2，D是AB边上的一个动点（不与点A、B重合），过点D作CD的垂线交射线CA于点E．设AD=x，CE=y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系图象大致是（）

A、

B、C、

D、

考点：动点问题的函数图象。专题：数形结合。

分析：本题需先根据题意，求出

y与x的函数关系式，即可得出y与x的函数关系图象．

解答：解：∵∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=2 ∴当x=0时，y的值是

．

∵当x=2时，y的值无限大∴y与x的函数关系图象大致是B．故选B．

点评：本题主要考查了动点问题的函数图象，在解题时要能根据题意得出函数关系本题的关键．二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）9、（2011?北京）若分式的值为0，则x的值等于

．

考点：分式的值为零的条件。专题：计算题。

分析：根据分式的值为零的条件：分子=0，分母≠０，可以求出x的值．

解答：解：x﹣8=0，x=8，故答案为：8．

点评：此题主要考查了分式的值为0的条件，若分式的值为零，需同时具备两个条件：

（1）分

子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．10、（2006?巴中）分解因式：a3

﹣10a2

+25a=a（a﹣5）2

．考点：提公因式法与公式法的综合运用。

分析：先提取公因式3

a，再利用完全平方公式继续分解．解答：=a（a2

解：a﹣10a+25a，

﹣10a+25）

，（提取公因式）=a（a﹣5）2．

（完全平方公式）点评：本题考查了提公因式法，公式法分解因式，关键在于提取公因式后可以利用完全平方公式继续进行二次分解，分解因式一定要彻底．

11、（2011?北京）若下图是某几何体的表面展开图，则这个几何体是圆柱

．

考点：由三视图判断几何体。专题：图表型。只供学习与交流

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分析：由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．解答：解：一个长方形和两个圆折叠后，能围成的几何体是圆柱．故答案为：圆柱．

点评：本题考查了展开图折叠成几何体，熟记常见几何体的平面展开图的特征，是解决此类问题的关键．

12、（2011?北京）在右表中，我们把第i行第j列的数记为ai，j（其中i，j都是不大于5的正整

数），对于表中的每个数

ai，j，规定如下：当

i≥ｊ时，ai，j=1；当i＜j时，ai，j=0．例如：当

i=2，

j=1时，ai，j=a2，1=1．按此规定，a1，3=0

；表中的25个数中，共有

个1；计算a1，1?ai，

1+a1，2?ai，2+a1，3?ai，3+a1，4?ai，4+a1，5?ai，5的值为

．

a1，1a1，2a1，3a1，4a1，5a2，1a2，2a2，3a2，4a2，5a3，1a3，2a3，3a3，4a3，5a4，1

a4，2

a4，3

a4，4

a4，5a5，1a5，2a5，3a5，4a5，5

考点：规律型：数字的变化类。

分析：由题意当i＜j时，ai，j=0．当i≥ｊ时，ai，j=1；由图表中可以很容易知道等于1的数有15

个．

解答：解：由题意，很容易发现，从i与j之间大小分析：当i＜j时，ai，j=0．当i≥ｊ时，ai，j=1；由图表可知15个1．故填：0；15；1．

点评：本题考查了数字的变化，由题意当i＜j时，ai，j=0．当i≥ｊ时，ai，j=1；仔细分析很简单

的问题．

三、解答题（共

13小题，满分72分）

13、（2011?北京）计算：(1)

2cos3027(2

．

考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值。

专题：计算题。

分析：根据负指数幂、特殊角的三角函数值、三次根式、零指数幂的性质化简，然后根据实数运算法则进行计算即可得出结果．解答：解：原式=2﹣2×

+1=2﹣

+1=2

+3．

点评：本题主要考查了负指数幂、特殊角的三角函数值、三次根式、零指数幂的性质及实数运算法则，难度适中．

14、（2011?北京）解不等式：4(x1)5x6．

考点：解一元一次不等式。

分析：根据不等式的解法，去括号，移项，合并同类项，把x的系数化为1解不等式，注意不

等式的两边同时除以同一个负数时，要改变不等号的方向．解答：解：去括号得：4x﹣4＞5x﹣6，移项得：4x﹣5x＞4﹣6，合并同类项得：﹣x＞﹣2，把x的系数化为1得：x＜2，

∴不等式的解集为：x＜2．

点评：此题主要考查了不等式的解法，一定要注意符号的变化，和不等号的变化情况．

15、（2011?北京）已知a2

+2ab+b2

=0，求代数式a（a+4b）﹣（a+2b）（a﹣2b）的值．考点：整式的混合运算—化简求值。专题：计算题。

分析：本题需先要求的式子进行化简整理，再根据已知条件求出a+b的值，即可求出最后结果．只供学习与交流

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解答：2

解：a（2

a+4b2

）﹣（a+2b2

）（a﹣2b）

=a+4ab﹣（a﹣4b）=4ab+4b

∵a2+2ab+b2

=0 ∴a+b=0 ∴原式=4b（a+b）=0

点评：本题主要考查了整式的混合运算，在解题时要注意运算顺序和乘法公式的综合应用是本题的关键．

16、（2011?北京）如图，点A、B、C、D在同一条直线上，

BE∥DF，∠A=∠F，AB=FD．求

证：AE=FC．

考点：全等三角形的判定与性质；平行线的性质。专题：证明题。

分析：根据BE∥DF，可得∠ABE=∠D，再利用ASA求证△ABC和△FDC全等即可．解答：证明：∵BE∥DF，∴∠ABE=∠D，

在△ABC和△FDC中，∠ABE=∠D，AB=FD，∠A=∠F ∴△ABC≌△FDC，∴AE=FC．

点评：此题主要考查全等三角形的判定与性质和平行四边形的性质等知识点的理解和掌握，此题的关键是利用平行线的性质求证△ABC和△FDC全等．17、（2011?北京）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=﹣2x的图象与反比例函数

的图象的一个交点为A（﹣1，n）．（1）求反比例函数

y=的解析式；

（2）若P是坐标轴上一点，且满足

PA=OA，直接写出点

P的坐标．

考点：反比例函数与一次函数的交点问题。专题：代数综合题。

分析：（1）把A的坐标代入函数解析式即可求得k的值，即可得到函数解析式；（2）以A为圆心，以OA为半径的圆与坐标轴的交点就是P．解答：解：（1）∵点A（﹣1，n）在一次函数y=﹣2x的图象上．∴n=﹣2×（﹣1）=2

∴点A的坐标为（﹣1，2）∵点A在反比例函数的图象上．∴k=﹣2 ∴反比例函数的解析式是

y=﹣．

（2）点P的坐标为（﹣2，0）或（0，4）．

点评：本题主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式，用待定系数法确定函数的解析式，只供学习与交流

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是常用的一种解题方法．同学们要熟练掌握这种方法．

18、（2011?北京）列方程或方程组解应用题：京通公交快速通道开通后，为响应市政府“绿色出行”的号召，家住通州新城的小王上班由自驾车改为乘坐公交车．已知小王家距上班地点18千米．他用乘公交车的方式平均每小时行驶的路程比他自用驾车的方式平均每小时行驶的路程的2倍还多9千米，他从家出发到达上班地点，乘公交车方式所用时间是自驾车方式所用时间的．小王用自驾车方式上班平均每小时行驶多

少千米？

考点：分式方程的应用。专题：行程问题。

分析：设小王用自驾车方式上班平均每小时行驶x千米，根据已知小王家距上班地点18千米．他

用乘公交车的方式平均每小时行驶的路程比他自用驾车的方式平均每小时行驶的路程的2倍还

多9千米，他从家出发到达上班地点，乘公交车方式所用时间是自驾车方式所用时间的，可

列方程求解．

解答：解：设小王用自驾车方式上班平均每小时行驶x千米，

=×

x=27

经检验x=27是原方程的解，且符合题意．小王用自驾车方式上班平均每小时行驶27千米．

点评：本题考查理解题意的能力，关键是以时间做为等量关系，根据乘公交车方式所用时间是自驾车方式所用时间的

列方程求解．

19、（2011?北京）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是BC的中点，DE⊥BC，CE∥AD，若AC=2，CE=4，求四边形ACEB的周长．

考点：平行四边形的判定与性质；勾股定理。

专题：几何图形问题。

分析：先证明四边形ACED是平行四边形，可得DE=AC=2．由勾股定理和中线的定义可求AB

和EB的长，从而求出四边形ACEB的周长．

解答：∵ACB=90，DEBC，

∴ AC//DE，又∵ CE//AD，∴四边形ACED是平行四边形，∴ DE=AC=2，

在Rt△CDE中，由勾股定理得CD=

DE2

=23,

∵ D是BC的中点，∴ BC=2CD=4

在Rt△ABC中，由勾股定理得AB=

BC2

=213,

∵ D是BC的中点，DEBC，

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∴ EB=EC=4,

∴四边形ACEB的周长=ACCEEBBA=10213。

点评：本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理和中线的定义，注意寻找求AB和EB

的长的方法和途径．

20、（2011?北京）如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠CBF=∠CAB．

（1）求证：直线

BF是⊙O的切线；

（2）若AB=5，sin∠CBF=

，求BC和BF的长．

考点：切线的判定与性质；勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质；解直角三角形。专题：证明题；综合题。

分析：（1）连接AE，利用直径所对的圆周角是直角，从而判定直角三角形，利用直角三角形两锐角相等得到直角，从而证明∠ABE=90°．

（2）利用已知条件证得∴△AGC∽△BFA，利用比例式求得线段的长即可．解答：解：（1）证明：连接AE，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=90°，∴∠1+∠2=90°．∵AB=AC，∴∠1=∠CAB．

∵∠CBF=∠CAB，∴∠1=∠CBF ∴∠CBF+∠2=90°即∠ABF=90°

∵AB是⊙O的直径，∴直线BF是⊙O的切线．（2）过点C作CG⊥AB于点G．∵sin∠CBF=

，∠1=∠CBF，∴sin∠1=

∵∠AEB=90°，AB=5，∴BE=AB?sin∠1=，∵AB=AC，∠AEB=90°，∴BC=2BE=2，在Rt△ABE中，由勾股定理得

AE=2

，

∴sin∠2=，cos∠2=，

在Rt△CBG中，可求得GC=4，GB=2，∴AG=3，∵GC∥BF，∴△AGC∽△BFA ∴∴BF=

点评：本题考查常见的几何题型，包括切线的判定，角的大小及线段长度的求法，要求学生掌只供学习与交流

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握常见的解题方法，并能结合图形选择简单的方法解题．解法2: 连接AE,作CG垂直BF于G.

21、（2011?北京）以下是根据北京市国民经济和社会发展统计公报中的相关数据，绘制统计图的一部分．

请根据以上信息解答下列问题：

（1）2008年北京市私人轿车拥有是多少万辆（结果保留三个有效数字）？（2）补全条形统计图；

（3）汽车数量增多除造成交通拥堵外，还增加了碳排放量，为了了解汽车碳排放量的情况，小明同学通过网络了解到汽车的碳排放量与汽车排量有关．如：一辆排量为1.6L的轿车，如果一年行驶1万千米，这一年，它碳排放量约为2.7吨．于是他调查了他所居住小区的150辆私人轿车，不同排量的轿车数量如下表所示．排量（L）小1.6 1.6 1.8 大于1.8 数量（辆）

如果按照小明的统计数据，请你通过计算估计，2010年北京市仅排量为1.6L的这类私人轿车（假设每辆车平均一行行驶1万千米）的碳排放总量约为多少万吨？考点：折线统计图；条形统计图。专题：数形结合。

分析：（1）用2007年北京市私人轿车拥有辆乘以增长率再加上2007年的拥有量即可解答．（1）根据上题解答补全统计图即可．（3）先求出本小区内排量为1.6L的这类私人轿车所占的百分比，再用样本估计总体的方法求

出排放总量即可解答．

解答：解：（1）146×（1+19%），=173.74，≈174（万辆），

所以2008年北京市私人轿车拥有量约是174万辆；

（2）如图．（3）276×

×2.7=372.6（万吨），

所以估计2010年北京市仅排量为

1.6L的这类私人轿车的碳排放总量约为

372.6万吨．

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点评：本题考查了折线统计图、条形统计图的知识，难度较大，注意解答此类综合题目时要抓住每种统计图的特点，不要弄混．

22、（2011?北京）阅读下面材料：

小伟遇到这样一个问题，如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点O．若梯形ABCD的面积为1，试求以AC，BD，AD+BC的长度为三边长的三角形的面积．

小伟是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法移动这些分散的线段，构造一个三角形，再计算其面积即可．他先后尝试了翻折，旋转，平移的方法，发现通过平移可以解决这个问题．他的方法是过点D作AC的平行线交BC的延长线于点E，得到的△BDE即是以AC，BD，AD+BC的长度为三边长的三角形（如图2）．

参考小伟同学的思考问题的方法，解决下列问题：

如图3，△ABC的三条中线分别为AD，BE，CF．（1）在图3中利用图形变换画出并指明以AD，BE，CF的长度为三边长的一个三角形（保留

画图痕迹）；

（2）若△ABC的面积为1，则以AD，BE，CF的长度为三边长的三角形的面积等于．

考点：平移的性质；三角形的面积；作图—复杂作图。专题：探究型。

分析：根据平移可知，△ADC≌△ECD，且由梯形的性质知

△ADB与△ADC的面积相等，即

△BDE的面积等于梯形ABCD的面积．

（1）分别过点F、C作BE、AD的平行线交于点P，得到的△CFP即是以AD、BE、CF的长度为三边长的一个三角形．

（2）由平移的性质可得对应线段平行且相等，对应角相等．结合图形知以AD，BE，CF的长度为三边长的三角形的面积等于

△ABC的面积的

．

解答：解：△BDE的面积等于1．

（1）如图．以AD、BE、CF的长度为三边长的一个三角形是

△CFP．

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（2）以AD、BE、CF的长度为三边长的三角形的面积等于．

解法2: △PFE的面积=△AFE的面积=△ABC的面积/4

△FEC的面积=△AFE的面积=△ABC的面积/4

△PEC的面积=△AFC的面积/2=△ABC的面积/4

△CFD的面积=△FEP的面积+△FEC的面积+△PEC的面积=△ABC的面积*3/4=3/4

点评：本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．

23、（2011?北京）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=mx2

+（m﹣3）x﹣3（m＞0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）求点A的坐标；（2）当∠ABC=45°时，求m的值；

（3）已知一次函数y=kx+b，点P（n，0）是x轴上的一个动点，在（22）的条件下，过点P垂直于x轴的直线交这个一次函数的图象于点M，交二次函数y=mx+（m﹣3）x﹣3（m＞0）的图象于N．若只有当﹣2＜n＜2时，点M位于点N的上方，求这个一次函数的解析式．

考点：二次函数综合题。专题：代数综合题。

分析：（1）令y=0则求得两根，又由点A在点B左侧且m＞0，所以求得点A的坐标；（2）二次函数的图象与y轴交于点C，即求得点C，由∠ABC=45°，从而求得；（3）由m值代入求得二次函数式，并能求得交点坐标，则代入一次函数式即求得．

解答：解：（1）∵点A、B是二次函数y=mx2

+（m﹣3）x﹣3（m＞0）的图象与x轴的交点，∴令y=0，即mx2

+（m﹣3）x﹣3=0 解得x1=﹣1，

又∵点A在点B左侧且m＞0 ∴点A的坐标为（﹣1，0）（2）由（1）可知点B的坐标为∵二次函数的图象与y轴交于点C ∴点C的坐标为（0，﹣3）∵∠ABC=45°∴

∴m=1

（3）由（2）得，二次函数解析式为y=x2

﹣2x﹣3

依题意并结合图象可知，一次函数的图象与二次函数的图象交点的横坐标分别为﹣2和2，由此可得交点坐标为（﹣2，5）和（2，﹣3），将交点坐标分别代入一次函数解析式

y=kx+b中，

得

解得：

∴一次函数解析式为

y=﹣2x+1

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点评：本题考查了二次函数的综合运用，（1）令y=0则求得两根，又由AB位置确定m＞0，即求得；（2）二次函数的图象与y轴交于点C，再由45度从而求得．（3）由m值代入求得二次函数式，求得交点坐标，则代入一次函数式即求得．本题比较模糊，按照一般计算，代入即求得．

24、（2011?北京）在?ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F．

（1）在图1中证明CE=CF；

（2）若∠ABC=90°，G是EF的中点（如图2），直接写出∠BDG的度数；（3）若∠ABC=120°，FG∥CE，FG=CE，分别连接DB、DG（如图3），求∠BDG的度数．

考点：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；菱形的判定与性质。

专题：计算题；证明题。

分析：（1）根据AF平分∠BAD，可得∠BAF=∠DAF，利用四边形ABCD是平行四边形，求

证∠CEF=∠F．即可（2）根据∠ABC=90°，G是EF的中点可直接求得．

（3）分别连接GB、GE、GC，求证四边形CEGF是平行四边形，再求证△ECG是等边三角形．由AD∥BC及AF平分∠BAD可得∠BAE=∠AEB，求证△BEG≌△DCG，然后即可求得答案解答：解：（1）如图1，∵AF平分∠BAD，∴∠BAF=∠DAF，

∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，

∴∠DAF=∠CEF，∠BAF=∠F，∴∠CEF=∠F．

∴CE=CF．

（2）∠BDG=45°

（3）解：分别连接GB、GE、GC，∵AD∥BC，∠ABC=120°∴∠ECF=∠ABC=120°∵FG∥CE且FG=CE，∴四边形CEGF是平行四边形，由（1）得CE=CF．∴四边形CEGF是菱形，∴GE=EC，①

∠GCF=∠GCE=∠ECF=60°，只供学习与交流

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∴△ECG是等边三角形．

∴EG=CG，∠GEC=∠EGC，∴∠GEC=∠FGC，∴∠BEG=∠DCG，②

由AD∥BC及AF平分∠BAD可得∠BAE=∠AEB，∴AB=BE，

在?ABCD中，AB=DC，∴BE=DC，③

由①②③得△BEG≌△DCG，∴BG=DG，∠1=∠2

∴∠BGD=∠1+∠3=∠2+∠3=∠EGC=60°，∴∠BDG=

=60°

点评：此题主要考查平行四边形的判定方法，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质等知识点，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．

25、（2011?北京）如图，在平面直角坐标系xOy中，我把由两条射线AE，BF和以AB为直径的半圆所组成的图形叫作图形C（注：不含AB线段）．已知A（﹣1，0），B（1，0），AE∥BF，且半圆与y轴的交点D在射线AE的反向延长线上．（1）求两条射线AE，BF所在直线的距离；

（2）当一次函数y=x+b的图象与图形C恰好只有一个公共点时，写出b的取值范围；当一次函数y=x+b的图象与图形C恰好只有两个公共点时，写出b的取值范围；（3）已知?AMPQ（四个顶点A，M，P，Q按顺时针方向排列）的各顶点都在图形C上，且

不都在两条射线上，求点M的横坐标x的取值范围．

考点：一次函数综合题；勾股定理；平行四边形的性质；圆周角定理。专题：综合题；分类讨论。

分析：（1）利用直径所对的圆周角是直角，从而判定三角形ADB为等腰直角三角形，其直角边的长等于两直线间的距离；

（2）利用数形结合的方法得到当直线与图形C有一个交点时自变量x的取值范围即可；（3）根据平行四边形的性质及其四个顶点均在图形C上，可能会出现四种情况，分类讨论即可．

解答：解：（1）分别连接AD、DB，则点D在直线AE上，如图1，

∵点D在以AB为直径的半圆上，∴∠ADB=90°，∴BD⊥AD，

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在Rt△DOB中，由勾股定理得，BD=

2，∵AE∥BF，

∴两条射线AE、BF所在直线的距离为2．

（2）当一次函数y=x+b的图象与图形C恰好只有一个公共点时，

b的取值范围是

2或﹣1

＜b＜1；

当一次函数y=x+b的图象与图形C恰好只有两个公共点时，b的取值范围是1＜b＜2（3）假设存在满足题意的平行四边形AMPQ，根据点M的位置，分以下四种情况讨论：①当点M在射线AE上时，如图2．∵AMPQ四点按顺时针方向排列，∴直线PQ必在直线AM的上方，

∴PQ两点都在弧AD上，且不与点

A、D重合，∴0＜PQ＜

2．

∵AM∥PQ且AM=PQ，∴0＜AM＜2∴﹣2＜x＜﹣1，②当点M不在弧AD上时，如图3，

∵点A、M、P、Q四点按顺时针方向排列，∴直线PQ必在直线AM的下方，此时，不存在满足题意的平行四边形．

③当点M在弧BD上时，设弧DB的中点为R，则OR∥BF，

当点M在弧DR上时，如图4，过点M作OR的垂线交弧DB于点Q，垂足为点S，可得S是MQ的中点．

∴四边形AMPQ为满足题意的平行四边形，∴0≤ｘ＜

．

当点M在弧RB上时，如图5，直线PQ必在直线AM的下方，此时不存在满足题意的平行四边形．④当点M在射线BF上时，如图6，直线PQ必在直线AM的下方，此时，不存在满足题意的平行四边形．综上，点M的横坐标x的取值范围是﹣2＜x＜﹣1或0≤ｘ＜

．

点评：本题是一道一次函数的综合题，题目中还涉及到了勾股定理、平行四边形的性质及圆周角定理的相关知识，题目中还渗透了分类讨论思想．

2012年北京市高级中等学校招生考试

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数学试卷

学校

姓名

准考证号1．本试卷共6页，共五道大题，25道小题，满分

120分。考试时间

120分钟。

考2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号。生须3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。知

4．在答题卡上，选择题、作图题用

2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。

5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。

一、选择题（本题共32分，每小题4分）

下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．

9的相反数是

A．

B．

C．9

D．9

2．首届中国（北京）国际服务贸易交易会（京交会）于

2012年6月1日闭幕，本届京交会

期间签订的项目成交总金额达60 110 000 000美元，将60 110 000 000用科学记数法表示应

为

A．6.01110

B．60.1110

C．6.01110

D．0.601110

3．正十边形的每个外角等于

A．18B．36C．45

D．60

4．右图是某个几何体的三视图，该几何体是

A．长方体B．正方体C．圆柱D．三棱柱5．班主任王老师将

6份奖品分别放在

6个完全相同的不透明礼盒中，准备将它们奖给小英等

6位获“爱集体标兵”称号的同学．这些奖品中

3份是学习文具，2份是科普读物，1份是

科技馆通票．小英同学从中随机取一份奖品，恰好取到科普读物的概率是A．

1126

B．

C．

D．

6．如图，直线AB，CD交于点O，射线OM平分

AOC，若BOD76，则BOM

等于A．38B．104C．142D．144

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7．某课外小组的同学们在社会实践活动中调查了

20户家庭某月的用电量，如下表所示：

用电量（度）

120 140 160 180 200 户数

则这20户家庭该月用电量的众数和中位数分别是A．180，160

B．160，180

C．160，160

D．180，180

8．小翔在如图1所示的场地上匀速跑步，他从点A出发，沿箭头所示方向经过点B跑到点C，

共用时30秒．他的教练选择了一个固定的位置观察小翔的跑步过程．设小翔跑步的时间为t（单位：秒），他与教练的距离为y（单位：米），表示y与t的函数关系的图象大致如

图2所示，则这个固定位置可能是图1中的

A．点M

B．点N

C．点P

D．点Q

二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．分解因式：mn

6mn

9m．

10．若关于x的方程x

0有两个相等的实数根，则

m的值是

．

11．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度

AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE

40cm，EF

20cm，测得边DF离地面的高度

AC1.5m，CD8m，则树高AB

m．

12．在平面直角坐标系

xOy中，我们把横

、纵坐标都是

整数的点叫做整点．已知点A0，4，点B是x轴

正半轴上的整点，记

△AOB内部（不包括边界）的整点个数为m．当m3时，点B的横坐标的所有

可能值是；当点B的横坐标为4n（n为

正整数）时，m

（用含n的代数式表示．）

三、解答题（本题共30分，每小题5分）

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13．计算：π3

182sin45

14．解不等式组：

4x3x，x

2x1.

15．已知

ab2

≠0，求代数式

5a2ba

2b的值．

16．已知：如图，点

E，A，C在同一条直线上，AB∥CD，

CE，AC

CD．

求证：BCED.

17．如图，在平面直角坐标系

xOy中，函数y4x

x0的图象与一次函数

k的图象的交点为

Am，2.

（1）求一次函数的解析式；（2）设一次函数

k的图象与y轴交于点B，若P是x轴上一点，

且满足△PAB的面积是4，直接写出点P的坐标．

18．列方程或方程组解应用题：

据林业专家分析，树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的一些悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4毫克，若一年滞尘1000毫克所需的银杏树叶的片数与一年滞尘

550毫克所需的

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国槐树叶的片数相同，求一片国槐树叶一年的平均滞尘量．

四、解答题（本题共20分，每小题5分）

19．如图，在四边形

ABCD中，对角线AC，BD交于点E，

BAC90，CED

45，DCE

30，DE

2，

22．求CD的长和四边形ABCD的面积．

20．已知：如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，

过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连结BE．

（1）求证：BE与⊙O相切；

（2）连结AD并延长交BE于点F，若OB

9，nis

ABC

23，求BF

的长．

21．近年来，北京市大力发展轨道交通，轨道运营里程大幅增加，2011年北京市又调整修订了

2010至2020年轨道交通线网的发展规划．以下是根据北京市轨道交通指挥中心发布的有关数据制作的统计图表的一部分．

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北京市轨道交通已开通线路相关数据统计表（截至2010年底）开通时间开通线路运营里程(千米) 1971 1号线31 1984 2号线23 2003 13号线41 八通线19 2007 5号线28 8号线5 2008 10号线25 机场线28 2009

4号线28 房山线22 大兴线

22 2010

亦庄线23 昌平线21 15号线

请根据以上信息解答下列问题：

（1）补全条形统计图并在图中标明相应数据；（2）按照2011年规划方案，预计2020年北京市轨道交通运营里程将达到多少千米？

（3）要按时完成截至

2015年的轨道交通规划任务，从

2011到2015这4年中，平均每年

需新增运营里程多少千米？

22．操作与探究：

（1）对数轴上的点

P进行如下操作：先把点

P表示的数乘以

，再把所得数对应的点向

右平移1个单位，得到点P的对应点P.

点A，B在数轴上，对线段AB上的每个点进行上述操作后得到线段

AB，其中点

A，B的对应点分别为A，B．如图1，若点A表示的数是

3，则点A表示的数

是

；若点B表示的数是2，则点B表示的数是

；已知线段AB上的

点E经过上述操作后得到的对应点E与点E重合，则点E表示的数是

；

（2）如图2，在平面直角坐标系

xOy中，对正方形ABCD及其内部的每

个点进行如下操作：把每个点的横、纵坐标都乘以同一种实数a，

将得到的点先向右平移

m个单位，再向上平移

n个单位

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（m

0，n

0），得到正方形ABCD及其内部的点，其中点

A，B的对应点分别为

A，B。已知正方形ABCD内部的一个点F经过上述操作后得到的对应点F与点F

重合，求点F的坐标。

五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．已知二次函数

1)x

2(t2)x

在x0和x2时的函数值相等。

（1）求二次函数的解析式；（2）

若一次函数

6的图象与二次函数的图象

都经过点A(3，m)，求m和k的值；

（3）

设二次函数的图象与

x轴交于点B，C（点B在

点C的左侧），将二次函数的图象在点B，C间的部分（含点B和点C）向左平移n(n0)个单

位后得到的图象记为

G，同时将（2）中得到的直线

6向上平移n个单位。

请结合图象回答：当平移后的直线与图象

G有公共点时，n的取值范围。

24．在△ABC中，BABC，BAC，M是AC的中点，P是线段BM上的动点，将线段PA

绕点P顺时针旋转2得到线段PQ。（1）若

且点P与点M重合（如图1），线段CQ的延长线交射线

BM于点D，请

补全图形，并写出

CDB的度数；

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（2）在图2中，点P不与点B，M重合，线段CQ的延长线与射线BM交于点D，猜想

CDB的大小（用含

的代数式表示），并加以证明；

（3）对于适当大小的

，当点P在线段BM上运动到某一位置（不与点B，M重合）

时，能使得线段CQ的延长线与射线

BM交于点D，且PQ

QD，请直接写出

的

范围。

25．在平面直角坐标系

xOy中，对于任意两点

P1(x1，y1)与P2(x2，y2)的“非常距离”，

给出如下定义：若|x1x2|≥|y1y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|x1x2|；若|x1

x2||y1

y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为

|y1

y2|.

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例如：点P1(1，2)，点P2(3，5)，因为|13||25|，所以点P1与点P2的“非常距离”为

5|3，也就是图1中线段PQ1与线段P2Q长度的较大值（点Q为垂直于y轴的直线PQ1

与垂直于x轴的直线P2Q的交点）。（1）已知点A(

，0)，B为y轴上的一个动点，

①若点A与点B的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点

B的坐标；

②直接写出点

A与点B的“非常距离”的最小值；

（2）已知C是直线y

34x

3上的一个动点，

①如图2，点D的坐标是（0，1），求点C与点D的“非常距离”的最小值及相应的点C的坐标；

②如图3，E是以原点O为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点C与点E的“非

常距离”

的最小值及相应的点

E和点C的坐标。

2012年北京市高级中等学校招生考试

数学试卷参考答案

阅卷须知：

1. 为便于阅卷，本试卷答案中有关解答题的推导步骤写得较为详细，阅卷时，只要考生将只供学习与交流

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主要过程正确写出即可。

2. 若考生的解法与给出的解法不同，正确者可参照评分参考相应给分。3. 评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。一、选择题

题号1 2 3 4 5 6 7 8 答

案

二、填空题

题号9 10 11 12

答

案

m(n

15.5

3.4

6n3

三、解答题13. 解：(

182sin45

)132222

14. 解：

4x3x，①

42x1.

②解不等式①，得

x1.

解不等式②，得x

不等式组的解集为x5. 15. 解：5a2b

a24b

2(a

2b)5a2b

(a2b)(a2b)

2b)

5a2ba2b.a

230，

3a2b.原式

5a3a2a1a

16. 证明：

AB∥CD，E

BACECD.

在ABC和CED中，

ABCE，

BACECD，B

ACCD，

ABC

CED.

ED.

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17. 解：（1）

点A(m，2)在函数y

(x0)的图象上，

2m4.解得m2.

点A的坐标为(2，2). 点A(2，2)在一次函数y

k的图象上，

P2O

k2.解得k

一次函数的解析式为

（2）点P的坐标为(3，0)或(3，

0)或(10)，. 18. 解：设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为

x毫克.

由题意，得10005502x

解得x

22.

经检验，x22是原方程的解，且符合题意

答：一片国槐树叶一年的平均滞尘量是22毫克.

四、解答题

19. 解：过点D作DF

AC于点F. A

在RtDEF中，

DFE

90，DEF

45，DE

2，

DFEF1.

在RtCFD中，

CFD

90，DCF

30，

CD2DF2.

在RtABE中，BAE

90，AEB

CED

45，BE

22，

ABAE2.AC

EFFC3

S四边形ABCD

SACD

ABC

12ACDF

ACAB12312

3)2

932

四边形ABCD的面积是

932

20. （1）证明：连结OC.

EC与⊙O相切，C为切点.

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ECO90.OBOC，OCB

OBC.

ODDC.DBDC.

直线OE是线段BC的垂直平分线. EB

EC.

ECBEBC.ECOEBO.EBO

90.

AB是⊙O的直径. BE与⊙O相切.

（2）解：过点D作DMAB于点M，则DM∥FB.

在RtODB中，

ODB90，OB

9，sinABC

，

OBsin

ABC

6.由勾股定理得BDOB

35.

在RtDMB中，同理得DMBDsinABC25.BM

O是AB的中点，AB18.AMABBM13.

DM∥FB，

AMDABF.MDAMBFAB

MDAB365北京市2007至2011年轨道交通运营总里程统计图

总里程21. 解：（1）补全统计图如右图，所补数据为

228；

(千米)

400372

（2）预计2020年运营总里程将达到

350336

33633.6%1000（千米）；

300（3）2010到

2015年新增运营里程为

250228

100036.7%367（千米），其中2010到

200200

150142

2011年新增运营里程为37233636（千

100米），2011到2015年平均每年新增运营里程500

为

36736

2007

2008

2009

2010

2011

年份

82.75（千米）.

22. 解：（1）点A'表示的数是0 ；点B表示的数是

3 ；点E表示的数是

；

（2）

点A(3，，0)B(3，0)的对应点分别为A'(1，，2)B'(2，2),

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3am1

，a

，3a

解得

由题意可得n2.

设点F的坐标为(x，y).

12x12x，

1解得

x1，2

点F的坐标为（1，4）.

五、解答题

23. 解：（1）由题意得(t

1)22

2(t2)2

332

解得t

32.

二次函数的解析式为

12x

x32

. （2）

点A(3，m)在二次函数

y12x

32的图象

上，

(3)

点A的坐标为(3，6). 点A在一次函数ykx6的图象上，

（3）由题意，可得点

B，C的坐标分别为(1，，，0)(30).

平移后，点B，C的对应点分别为B'(1n，0)，C'(3n，0). 将直线y4x6平移后得到直线

6n.

如图1，当直线y4x

n经过

点B'(1

n，0)时，图象G（点B'除外）

在该直线右侧，可得n23；如图2，当直线y

6n经过

点C'(3n，0)时，图象G（点C'除外）

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B'BO

图1

图2

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在该直线左侧，可得

由图象可知，符合题意的

n的取值范围是

n6.

24. 解：（1）补全图形，见图

1；

CDB

30；A

（2）猜想：

CDB

证明：如图2，连结AD，PC.

M(P)

BABC，M是AC的中点，

BMAC. Q

点D，P在直线BM上，CPAPC，DADC. 图1

又

DP为公共边，

ADPCDP. DAP

DCP，ADPCDP.

又

PAPQ，

PC.

DCPPQC.CDAPPQC.图2

PQCDQP180，DAP

DQP

180.

在四边形APQD中，ADQ

APQ

180.

APQ2，ADQ1802.CDB

ADQ90

（3）

的范围是45

60.

25. 解：（1）①点B的坐标是（0，2）或（0，-2）；（写出一个答案即可）

②点A与点B的“非常距离”的最小值是

12.

（2）①过点C作x轴的垂线，过点D作y的垂线，两条垂线交于点M，连结CD.

如图1，当点C在点D的左上方且使

CMD是等腰直角三角形时，点

C与点D的

“非常距离”最小. 理由如下：记此时

C所在位置的坐标为

(x3y

0，4

3).

当点C的横坐标大于

xy=

30时，线段CM的长度变大，

4x+3

由于点C与点D的“非常距离”是线C

段CM与线段MD长度的较大值，所以点C与点D的“非常距离”变大；当点

C的横坐标

小于x0时，线段MD的长度变大，点

C与点D的

x只供学习与交流

图1

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“非常距离”变大. 所以当点C的横坐标

等于x0时，点C与点D的“非常距离”最小.

CM3

4x031，MDx0，CMMD，

4x031x0.解得x80

点C的坐标是(8157，7

). CM

87.

当点C的坐标是(

815

7，7

)时，点C与点D的“非常距离”最小，最小值是8

②如图2，对于⊙O上的每一个给定的点

E，过点E作y轴的垂线，过点C作x轴的

垂线，两条垂线交于点N，连结CE. 由①可知，当点C运动到点E的左上方且使

CNE是等

腰直角三角形时，点

C与点E的“非常距离”最小

. 当点E在⊙上运动时，求这些最小“非常

距离”中的最小值，只需使CE的长度最小. 因此，将直线y3

x3沿图中所示由点C到点E

的方向平移到第一次与⊙O有公共点，即与⊙O在第二象限内相切的位置时，切点即为所求点

作EP

x轴于点P. 设直线y

3与x轴，y轴分别交于点

H，G.

可求得HO4，GO3，GH

y可证OEPGHO. y=3

4x+3OPEPOE

GOHOGH.

COPEP

145°N

345.OP

35，EP45

点E的坐标是(3

45，5).

设点C的坐标为(x3

C，4

xC3).

图2

CN34x4C35，NE3

5xC，

34x43C355xC.解得x8C

点C的坐标是(85，9

). CN

当点C的坐标是(

8935，5)，点E的坐标是(5，4

)时，点C与点E的“非常距离”只供学习与交流

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最小，最小值是1.

2013 年北京市高级中等学校招生考试

数

学

试卷

学校

姓名

准考证号

1．本试卷共6页，共五道大题，25 道小题，满分120 分，考试时间120 分钟。招2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号。生3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

须

4．在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其它试题用黑色字迹签字笔作答。知

5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。6．转载请注明学而思培优首发。一、选择题（本题共

32 分，每小题4分）下面各题均有

四个选项，其中只有一．个．

是符合题意的. 1．在《关于促进城市南部地区加快发展第二阶段行动计划（2013-2015）》中，北京市提出了

共计约3 960 亿元的投资计划，将3 960 用科学记数法表示应为

A．39.6 102

B．3.96 10

C．3.96 10

D．0.396 10

2．

3 的倒数是

4A．

B．

3C．3D．

3．在一个不透明的口袋中装有5 个完全相同的小球，把它们分别标号为

1，2，3，4，5，从

中随机摸出一个小球，其标号大于2的概率为

A．

1B．

2C．

3D．

4．如图，直线a，b被直线c所截，a∥b ，1 2 ，若3 40，

则4 等于

cA．40B．50

C．70

D．80

5．如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸

2 取点B，C ，D，使得AB BC ，CD BC ，点E在BC 上，并

1且点A ，E ，D 在同一条直线上，若测得BE 20 m ，BE 4

10 m ，CD 20 m ，则河的宽度AB 等于b

A．60 m B．40 mC．30 m

D．20 m

6．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是只供学习与交流

资料收集于网络，如有侵权A 只供学习与交流

请联系网站删除

B C B

E C D

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7．某中学随机地调查了

50 名学生，了解他们一周在校的体育锻炼时间，结果如下表所示：

时间（小时）

78人数

1015

则这50 名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是A．6.2 小时

B．6.4 小时

C．6.5 小时D．7 小时

8．如图，点P是以O为圆心，AB 为直径的半圆上的动点，AB 2 ，设弦AP 的长为x，△APO的面积为y，则下列图象中，能表示yA O B

与x的函数关系的图象大致是

y yy

y1 1 112

1 2

二、填空题（本题共16 分，每小题4分）9．分解因式：ab

4ab 4a

10．请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，1）的抛物线的解

析式，y.

11．如图，O是矩形ABCD 的对角线AC 的中点，M是AD 的中点，

若AB 5 ，AD 12 ，则四边形ABOM 的周长为.

12．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l：yx 1，双曲

线y

1 ，在l上取一点A，过A作x轴的垂线交双曲线于点x

B1 ，

过B1 作y轴的垂线交l于点A2 ，请继续操作并探究：过A2作x轴的垂线交双曲线于点B2 ，过B2 作y轴的垂线交l于点

a2013

；若

要将上述操作无

限次地进行下云，

A3 ，…，这样依次得到

l上的点A1 ，A2 ，A，…，An ，….

则a1 不

记点An 的横坐标为an ，若a1

2 ，则a2 =，

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能取的值是.

三、解答题（本题共

30 分，每小题5分）

13．已知：如图，D 是AC 上一点，AB DA ，DE 求证：BC AE .14．计算：(1

| 2 | 2cos 45(1

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AB B

DAE .

∥，E 资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除

3x x 2 ，

15．解不等式组：

16．已知x

4x 1 0 ，求代数式(2x 3)

(x y)(x y) y2

的值.

17．列方程或方程组解应用题：

某园林队计划由6 名工人对180 平方米的区域进行绿化，由于施工时增加了

2 名工

人，结果比计划提前3小时完成任务，若每人每小时绿化面积相同，求每人每小时的绿

化

面积.

18．已知关于x的一元二次方程x2

2x 2k 4 0 有两个不相等的实数根

（1）求k的取值范围；

（2）若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值.

四、解答题（本题共20 分，每小题5分）

19．如图，在

ABCD 中，F是AD 的中点，延长BC 到点E，A

F D

使CE

BC ，连接DE ，CF .

（1）求证：四边形CEDF 是平行四边形；

（2）若AB 4 ，AD 6 ，B 60，求DE 的长.B

20．如图AB 是

O 的直径，PA ，PC 与

O 分别相切于点A，C ，PC 交AB 的延长线于点D，DE PO 交PO 的延长线

于点E.

P（1）求证：EPD EDO ；（2）若PC 6 ，tan PDA

3 ，求OE 的长.

C21．第九界中国国际园林博览会

（园博会）已于2013 年5月18

O D

日在北京开幕，以下是根据近几届园博会的相关数据绘制的统计图的一部分。

第六届至第九届园博会园

第九届园博会

植物花园

区陆地面积和水面面积统计图

区各花园面积分布统计图

4 2.5 1.5 0.5 3

3.5 2

3.7

第六届第七届第八届

第九届

届次

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2.5

陆地

1.7

面积

月季紫薇园

面积

樱花园丁香园

水面

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园

0.5

牡丹园

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（1）第九界园博会的植物花园区由五个花园组成，其中月季园面积为

0.04 平方千米，

牡丹园面积为

平方千米；

（2）第九届园博会园区陆地面积是植物花园区总面积的18 倍，水面面积是第七、八

届园博会的水面面积之和，请根据上述信息补全条形统计图，并标明相应数据；（3）小娜收集了几届园博会的相关信息（如下表），发现园博会园区周边设置的停车

位数量与日均接待游客量和单日最多接待游客量中的某个量近似成正比例关系。

根据小娜的发现，请估计，将于2015 年举办的第十届园博会大约需要设置的停车

位数量（直接写出结果，精确到百位）。

第七届至第十届园博会游客量与停车位数量统计表

日均接待游单日最多接待停车位客量游量数量（万人次）

（万人次）

（个）第约七届

0.8

3000

第约八届2.38.24000

第约九届

8（预计）

20（预计）

10500

第十届

1.9（预计）

7.4（预计）

约

22．阅读下面材料：

小明遇到这样一个问题：如图1，在边长为aa 2的正方形ABCD 各边上分别截

取

1，当

AFQ BGM GHN DEP 45时，求正方形

MNPQ 的面积。

W E

M B

图1

图2

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小明发现，分别延长QE ，MF ，NG ，PH 交FA ，GB ，HC ，ED 的延长线于

点R，S，T ，W ，可得△RQF ，△SMG ，△TNH

，△WPE 是四个全等的等腰直

角三角形（如图2）。请回答：

（1）若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形（无缝隙不重叠），则这个新正方形的边长为

；

（2）求正方形MNPQ 的面积。R

参考小明思考问题的方法，解决问题：

如图3，在等边△ABC 各边上分别截取AD

CF ，

再分别过点D，E，F作BC ，AC ，AB 的垂线，得到等边

△RPQ ，若S3△EPQ

则AD r 的长为。

图3

五、解答题（本题共22 分，第23 题7分，第24 题7分，第25 题8分）

23．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y

2mx 2m≠0与y轴交于点A，其对称轴

与

x 轴交于点B。

（1）求点A，B的坐标；

（2）设直线l与直线AB 关于该抛物线的对称轴对称，求直线l的解析式；

（3）若该抛物线在

2 x

1这一段位于直线l的上方，并且在2x 3 这一段位于直

线

AB 的下方，求该抛物线的解析式。

y65 4 3 2 1

-4 -3 -2 -1 O-1

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-2 1 2 3 4 x

-3 -4 -5 -6

24．在△ABC 中，AB AC ，

BAC （0＜＜60，）

将线段BC 绕点B逆时针旋转60得到线段BD 。

（1）如图1，直接写出ABD 的大小（用含的式子表示）；

（2）如图2，BCE 150，ABE 60，判断△ABE 的形状并加以证明；（3）在（2）的条件下，连接DE ，若

DEC 45

，求

的值。

C图1

图2

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25．对于平面直角坐标系xOy 中的点P和⊙C ，给出如下定义：若⊙C 上存在两个点A, B ，使

得APB 60，则称P为⊙C 的关联点。

已知点D

1 1

2 , 2

，E0,2，F2 3, 0。（1）当⊙O 的半径为1时，

①在点D, E, F 中，⊙O 的关联点是＿＿＿＿＿＿＿；

②过点F作直线l交y轴正半轴于点G，使GFO 30，若直线l上的点Pm,n

是⊙O 的关联点，求m的取值范围;

（2）若线段EF 上的所有点都是某个圆的关联点，求这个圆的半径

r的取值范围。

y65 4 3 2 1

-4 -3 -2 -1 O1 2 3 4 x

-1-2 -3 -4 -5 -6

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2013 年北京市高级中等学校招生考试

数

一、选择题1．B 2．D 学试卷参考答案7．B

8．A

3．C 4．C 5．B 6．A

二、填空题9．a(b 2)2

10．x

11．20 12．

三、解答题

13．证明：∵DE ∥AB

∴CAB ADE

在△ABC 与△DAE 中

CAB ADE

AB DAB

DAE∴△ADE ≌△BAC （ASA）∴BC

AE14．解：原式

1 2 2

2 4

15．解：由3x x 2 ，得

x 1由

x 1 2x ，得

15∴1 x

16．代数式化简得：

12x 9 x

12x 9 3(x

4x 3)

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3 ，

1 ，0，-1

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∵x2

4x 1代入得∴原式12

17．设每人每小时的绿化面积为

x平方米.则有：

180 180 3

(6 2)x

解得x

2.5

经检验：x 2.5 是原方程的解答：每人每

小时的绿化面积为2.5 平方米18．（1）△ 4 4(2k 4) 20 8k

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∵方程有两个不等的实根∴△0即20 8k 0

∴k

（2）∵k为整数

∴0

5 即k

1或2，

x1、2

5 2k

∵方程的根为整数，∴5 2k 为完全平方数

当k

1时，5 2k 3k 2 时，5 2k 1

∴k2

19．（1）在

ABCD 中，AD∥BC

∵F是AD 中点.∴DF

AD ，又∵CE

1 BC .

2 2

∴DF CE 且DF ∥CE

∴四边形CEDF 为平行四边形（2）过D作DH BE 于H

在ABCD 中

∵

B 60

∴DCE 60

∵AB 4∴CD 4

∴CH

2，DH 2

在CEDF 中，CE DF

1 AD 3

∴EH 1

在Rt△DHE 中DE

(2 3)

20．（1）∵PA 、PC 与O 分别相切于点A、C

∴APO EPD 且PA AO 即PAO 90

∵AOP EOD ，PAO E 90

∴APO EDO即EPD

EDO

（2）连结OC

∴PA PC 6只供学习与交流

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∵tan PDA

∴在Rt△PAD 中AD 8 ，PD 10∴CD

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∵tan PDA

∴在Rt△OCD 中，OC OA 3 ，OD 5

∵EPD EDO∴△OED ∽△DEP∴

OD OE 5 1

在Rt△OED 中OE2 DE2

∴OE

21．（1）0.03

（2）陆地面积

3.6 水面面积1.5

图略（3）3700

22．（1）a

（2）四个等腰直角三角形面积和为

正方形ABCD 的面积为a2

∴S正方形MNPQ

S△ARE

S△DWH S△GCT S△SBF

4S△ARE

1 1

（3）

23．解：（1）当x 0 时，y

2 .

∴A(0，2)

抛物线对称轴为x2m 1

∴B(1，0)

（2）易得A点关于对称轴的对称点为

A(2 ，2)

则直线l经过A、B. 没直线的解析式为

kx b

则2k b

k b 0

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，解得

k 2

b 2

∴直线的解析式为y2x 2

（3）∵抛物线对称轴为

抛物体在2

x 3 这一段与在

1 x 0 这一段关于对称轴对称结

合图象可以观察到抛物线在

2 x

1这一段位于直线l的上方在1 x 0 这一段位于直线l的下方∴抛物线与直线l的交点横坐标为

1 ；

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请联系网站删除当x1时，y

2x(1) 2

4则抛物线过点（-1，4）

当x

1时，m 2m 2 4 ，m

∴抛物线解析为y 2x

4x 2 .

24．解：（1）30

（2）△ABE 为等边三角形

证

明连接AD 、CD 、ED

∵线段BC 绕点B逆时针旋转60得到线段BD则BC BD ，DBC 60

又∵

ABE 60

∴ABD 60

DBE

EBC 30

且△BCD 为等边三角形. 在△ABD 与△ACO 中AB ACAD

BD CD

∴△ABD ≌△ACD （SSS）∴BAD

CAD

1 BAC

∵BCE 150∴BEC 180

(30

1)150

在△ABD 与△EBC 中

BEC BADEBC ABD

BC BD

∴△ABD ≌△EBC （AAS）∴AB BE

∴△ABE 为等边三角形（3）∵BCD 60，BCE 150

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∴DCE 150

请联系网站删除 60

又∵DEC 45

∴△DCE 为等腰直角三角形∴DC CE BC∵BCE 150∴EBC

(180

150)

而EBC 30

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1 152

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∴

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25. 解：(1) ①D、E ；

②由题意可知，若P点要刚好是圆C的关联点；

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需要点P到圆C的两条切线PA和PB 之间所夹的角度为60；由图1可知

APB 60

，则

CPB 30，

连接BC ，则PC

sin CPB 2BC 2r ；

∴若P点为圆C的关联点；则需点P到圆心的距离d满足0d 2r ；由上述证明可知，考虑临界位置的P点，如图2；P点P到原点的距离OP 21 2 ；

过O作x轴的垂线OH ，垂足为H；t anOGF

OF 2 3

3 ；

∴

OGF 60；

∴OH OGsin 603 ；OPH OH 3 图1

∴sin ；

∴OPH

；

G(P1)

易得点P1 与点G重合，过P2 作P2 M x 轴于点M；

易得

P2 OM 30

；

∴OM OPM F

2 cos30

3 O ；

图2

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从而若点P为圆O的关联点，则P点必在线段P1 P2 上；

∴0m3 ；

(2) 若线段EF 上的所有点都是某个圆的关联点，欲使这个圆的半径最小，

则这个圆的圆心应在线段3；

的中点；考虑临界情况，如图

1 即恰好E、F 点为圆K的关联时，则KF 2KN EF 2 ；

∴此时r

1 ；

故若线段EF 上的所有点都是某个圆的关联点，这个圆的半径r的取值范围为r

图3

2013年北京市高级中等学校招生考试

数学试卷

满分120分，考试时间

一、选择题（本题共

32分，每小题4分）

解析

120分钟

下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的。1. 在《关于促进城市南部地区加快发展第二阶段行动计划（

了总计约3 960亿元的投资计划。将A. 39.6×10答案：B

解析：科学记数法的表示形式为a×10的形式，其中

确确定a的值以及n的值．3 960＝3.96×10

2013-2015）》中，北京市提出

3 960用科学计数法表示应为

C. 3.96×10

B. 3.96×10

D. 3.96×10

1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正

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的倒数是

答案：D 解析：a(a

0)的倒数为

，所以，

的倒数是

1，2，3，4，5，

3. 在一个不透明的口袋中装有5个完全相同的小球，把它们分别标号为

从中随机摸出一个小球，其标号大于2的概率为

1345

答案：C

解析：大于2的有3、4、5，共3个，故所求概率为

4. 如图，直线a，b被直线c所截，a∥b，∠1=∠2，若∠3=40°，则

∠4等于A. 40°B. 50°C. 70°D. 80°

答案：C

解析：∠1＝∠2＝12

（180°－40°）＝70°，由两直线平行，内错相等，得

∠4＝70°。

5. 如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上。若测得BE=20m，EC=10m，CD=20m，则河的宽度AB等于

A. 60m B. 40m C. 30m D. 20m

答案：B

解析：由△EAB∽△EDC，得：

CD10

BEAB，即20AB

，解得：AB＝406. 下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是

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B，C，D，使得

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答案：A

解析：B既是轴对称图形，又是中心对称图形；不是中心对称图形，只有7. 某中学随机地调查了

A符合。

50名学生，了解他们一周在校的体育锻炼时间，结果如下表所示：

5 10

6 15

7 20

8 5

C只是轴对称图形；D既不是轴对称图形也

时间（小时）

人数

则这50名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是A. 6.2小时答案：B

解析：平均体育锻炼时间是

B. 6.4小时

C. 6.5小时

D. 7小时

509014050

＝6.4小时。

AB=2，设弦AP

8. 如图，点P是以O为圆心，AB为直径的半圆上的动点，

的长为x，△APO的面积为y，则下列图象中，能表示的图象大致是

y与x的函数关系

答案：A

解析：很显然，并非二次函数，排除

采用特殊位置法；

当P点与A点重合时，此时当P点与B点重合时，此时本题最重要的为当

B；

APAP

x0，Sx2，S

PAO

0；0；

PAO

APx1时，此时APO为等边三角形，

PAO

31＞；44

排除B、C、D.选择A.

【点评】动点函数图象问题选取合适的特殊位置，然后去解答是最为直接有效的方法二、填空题（本题共9. 分解因式：ab只供学习与交流

16分，每小题4分）

4ab4a=_________________

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答案：a(b2)

解析：原式＝a(b

4a4)＝a(b2)

10. 请写出一个开口向上，并且与答案：y＝x＋1

y轴交于点（0，1）的抛物线的解析式__________

解析：此题答案不唯一，只要二次项系数大于0，经过点（0,1）即可。

11. 如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，若AB=5，AD=12，则

四边形ABOM的周长为__________ 答案：20

解析：由勾股定理，得

AC＝13，因为BO为直角三角形斜边上的中

MO＝2.5，所以，四边形

ABOM

线，所以，BO＝6.5，由中位线，得的周长为：6.5＋2.5＋6＋5＝20 12. 如图，在平面直角坐标系

线y

xOy中，已知直线：tx1，双曲

B1，A2

A3，…，这样依次得到上

。在上取点A1，过点A1作x轴的垂线交双曲线于点

A2，请继续操作并探究：过点B2，过点B2作y轴的垂线交于点

过点B1作y轴的垂线交于点作x轴的垂线交双曲线于点

的点A1，A2，A3，…，An，…。记点An的横坐标为an，若a12，则a2=__________，

a2013=__________；若要将上述操作无限次地进行下去，

答案：

则a1不能取．．．的值是__________

解析：根据A12,3求出B12,

；根据B12,

求出A2

31,；22

根据A2

31,求出B22232

2323

；

根据B2

求出A3

；

根据A3

12,求出B3331

,3；3

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根据B3

,3求出A42,3；

3次一循环，∵201336703；

至此可以发现本题为循环规律，∴a2013

；

重复上述过程，可求出A1a1,a11、B1a1,

1a1

、A2

a111

,a1a1

、

a11a1

a1a11

、A3

1a11

a1a11

、B3

1a11

,a11、A4a1,a11；

由上述结果可知，分母不能为

0，故a1不能取0和1.

【点评】找规律的题目，规律类型有两种类型，递进规律和循环规律，对于循环规律类型，

多求几种特殊情况发现循环规律是最重要的

三、解答题（本题共

30分，每小题5分）

13. 如图，已知D是AC上一点，AB=DA，DE∥AB，∠B=∠DAE。

求证：BC=AE。解析：

14. 计算：(1解析：

22cos45

()。4

16、解不等式组：

x22x

x13

解析：

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16. 已知x解析：

4x1

0，求代数式(2x

(xy)(xy)y的值。

17. 列方程或方程组解应用题：

某园林队计划由人，结果比计划提前化面积。解析：

6名工人对180平方米的区域进行绿化，由于施工时增加了3小时完成任务。若每人每小时绿化面积相同，

2名工

求每人每小时的绿

18．已知关于x的一元二次方程

（1）求（2）若解析：

2x2k40有两个不相等的实数根

k的取值范围；

k为正整数，且该方程的根都是整数，求

k的值。

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四、解答题（本题共20分，每小题5分）

19．如图，在□ABCD中，F是AD的中点，延长BC到点E，使CE=

（1）求证：四边形

CEDF是平行四边形；

BC，连结DE，CF。

（2）若AB=4，AD=6，∠B=60°，求DE的长。解析：

20．如图，AB是⊙O的直径，PA，PC分别与⊙O 相切于点A，C，PC交AB的延长线于只供学习与交流

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点D，DE⊥PO交PO的延长线于点（1）求证：∠EPD=∠EDO （2）若PC=6，tan∠PDA=解析：

E。

，求OE的长。

21．第九届中国国际园林博览会（园博会）已于2013年5月18日在北京开幕，以下是根据

近几届园博会的相关数据绘制的统计图的一部分：

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（1）第九届园博会的植物花园区由五个花园组成，其中月季园面积为

牡丹园面积为__________平方千米；

（2）第九届园博会园区陆地面积是植物花园区总面积的

0.04平方千米，

18倍，水面面积是第七、八两

届园博会的水面面积之和，请根据上述信息补全条形统计图，并标明相应数据；（3）小娜收集了几届园博会的相关信息（如下表）

，发现园博会园区周边设置的停车位

根据小（直

数量与日接待游客量和单日最多接待游客量中的某个量近似成正比例关系，娜的发现，请估计将于2015年举办的第十届园博会大约需要设置的停车位数量接写出结果，精确到百位）。

第七届至第十届园博会游客量与停车位数量统计表

日均接待游客量（万人次）

第七届第八届第九届第十届

解析：

0.8 2.3 8（预计）1.9（预计）

单日最多接待游客量

（万人次）

6 8.2 20（预计）7.4（预计）

停车位数量（个）约3 000 约4 000 约10 500 约________

22．阅读下面材料：

小明遇到这样一个问题：如图

1，在边长为a(a

2)的正方形ABCD各边上分别

MNPQ

截取AE=BF=CG=DH=1，当∠AFQ=∠BGM=∠CHN=∠DEP=45°时，求正方形的面积。

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小明发现：分别延长QE，MF，NG，PH，交FA，GB，HC，ED的延长线于点R，

S，T，W，可得△RQF，△SMG，△TNH，△WPE是四个全等的等腰直角三角形（如图2）请回答：

（1）若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形

（无

缝隙，不重叠），则这个新的正方形的边长为__________；

（2）求正方形MNPQ的面积。参考小明思考问题的方法，解决问题：

如图3，在等边△ABC各边上分别截取

AD=BE=CF，再分别过点

D，E，F作BC，

AC，AB的垂线，得到等边△解析：

RPQ，若S

RPQ

，则AD的长为__________。

五、解答题（本题共

分）

22分，第23题7分，第24题7分，第25题8

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23．在平面直角坐标系

xOy中，抛物线2（m

ymx

2mx

0）与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B。

（1）求点A，B的坐标；（2）设直线与直线（3）若该抛物线在

AB关于该抛物线的对称轴对称，求直线的解析式；

2x1这一段位于直线的上方，并且在2x3这一段位于

直线AB的下方，求该抛物线的解析式。

解析：【解析】（1）当x

∴A(0，2)抛物线对称轴为∴B(1，0)

（2）易得A点关于对称轴的对称点为

则直线l经过A、B. 没直线的解析式为则

2kk

bb02

kxkb2xx

12xx

0这一段关于对称轴对称1这一段位于直线

l的上方

22b2

A(2，2)

2m2m

0时，y

，解得

∴直线的解析式为

抛物体在2在当x当x

（3）∵抛物线对称轴为

3这一段与在

结合图象可以观察到抛物线在

0这一段位于直线

2x(1)2m2y

l的下方；

∴抛物线与直线l的交点横坐标为

1时，y1时，m

则抛物线过点（-1，4）

4，m4x

1；

∴抛物线解析为

【点评】本题第(3)问主要难点在于对数形结合的认识和了解，要能够观察到直线l与直线

AB关于对称轴对称，

∵抛物线在2再结合抛物线在从而抛物线必过点

3这一段位于直线

AB的下方，

0这一段位于直线

l的上方;

l的下方；

∴关于对称轴对称后抛物线在

1这一段位于直线

1,4.

24．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=

60°得到线段BD。

（

0，将线段BC绕点B逆时针旋转60）

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（1）如图1，直接写出∠ABD的大小（用含的式子表示）；

（2）如图2，∠BCE=150°，∠ABE=60°，判断△ABE的形状并加以证明；（3）在（2）的条件下，连结解析：【解析】（1）30

DE，若∠DEC=45°，求

的值。

（2）△ABE为等边三角形

证明连接AD、CD、ED

∵线段BC绕点B逆时针旋转60得到线段BD则BC又∵∴

BD，ABEABD

6060

DBE

EBC

DBC

且△BCD为等边三角形. 在△ABD与△ACO中ABADBD

ACADCD

∴△ABD≌△ACD（SSS）∴∵∴

BADBCEBEC

CAD150180

(30

)150

BAC

在△ABD与△EBC中

BECEBCBC

BADABD

∴△ABD≌△EBC（AAS）∴AB（3）∵

∴又∵

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60，15045

BCE60

90150

∴△ABE为等边三角形

BCDDCEDEC

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∴△DCE为等腰直角三角形∴DC∵∴而∴

BC(180

230

15150)

BCEEBCEBC30

模型的应用，从本题可以看出积累掌握常见模

150

【点评】本题是初中数学重要模型“手拉手”

型、常用辅助线对于平面几何的学习是非常有帮助的

25．对于平面直角坐标系

xOy中的点P和⊙C，给出如下定义：若⊙C上存在两个点A，B，

使得∠APB=60°，则称P为⊙C 的关联点。已知点D（

，

），E（0，-2），F（23，0）

（1）当⊙O的半径为1时，

①在点D，E，F中，⊙O的关联点是__________；②过点F作直线交y轴正半轴于点

G，使∠GFO=30°，若直线上的点

P（m，n）

是⊙O的关联点，求m的取值范围；

（2）若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，求这个圆的半径

r的取值范围。

解析：【解析】(1) ①D、E；

②由题意可知，若

的角度为60；

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P点要刚好是圆C的关联点；

需要点P到圆C的两条切线PA和PB之间所夹

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由图1可知

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APB60，则

BCsinCPB

CPB2BC

30，2r；

2r；

连接BC，则PC

∴若P点为圆C的关联点；则需点

P到圆心的距离d满足0d

由上述证明可知，考虑临界位置的P点，如图2；P点P到原点的距离OP212；过O作x轴的垂线OH，垂足为H；

tanOGF

∴

OGF

OF23OG260；

3；

∴OHOGsin60

OHOP

图1

∴sinOPH∴

；

G(P1)

OPH60；

x轴于点M；

易得点P1与点G重合，过P2作P2M易得∴OM

P2OM

30；

3；

OMF

OP2cos30

图2

从而若点P为圆O的关联点，则∴0m

P点必在线段P1P2上；

3；

(2) 若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，欲使这个圆的半径最小，则这个圆的圆心应在线段考虑临界情况，如图

3；

EF的中点；

2；

即恰好E、F点为圆K的关联时，则∴此时r点，

这个圆的半径

KF2KNEF

1；

故若线段EF上的所有点都是某个圆的关联

r的取值范围为r1.

图3

【点评】“新定义”问题最关键的是要能够把

径的点.

“新定义”转化为自己熟悉的知识，通过第(2)问开

头部分的解析，可以看出本题的“关联点”本质就是到圆心的距离小于或等于了解了这一点，在结合平面直角坐标系和圆的知识去解答就事半功倍了

2倍半

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2013年北京市中考数学试题难点解析

2013 年北京市中考试卷数学试题整体难度较 2012 年有所下降。从近四年（2009-2012）北京中考数学试题的难易程度可以看出北京市中考数律。2013 年北京中考数学平均分预计将较去年有所提升。

本套试卷在保持对基础知识的考察力度上，

更加重视对数学思想方法和学生综合素质

学整体大小年的规

能力的考察，体现了“实践与操作，综合与探究，创新与应用”的命题特点，与中考考试说明中C级要求相呼应。

一、试题的基本结构：

整个试卷五道大题、

25个题目，总分

120分。

其中包括选择题（共8个题目，共32分）、

填空题（共4个题目，共16分）、

解答题（包括计算题，证明题、应用题和综合题；共

题目，共72分）。1. 题型与题量

选择题题数8

2. 考查的内容及分布

从试卷考查的内容来看，几乎覆盖了数学《课程标准》所列的主要知识点，并且对初中数学的主要内容都作了重点考查。

内容分值

数与代数

图形与空间

统计与概率

分值32

题数4 填空题

分值16

题数13

解答题

分值72

13个

3. 每道题目所考查的知识点题型选择

题号1 2

考查知识点科学记数法

有理数的概念（倒数）

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3 4 5 6 7 8

填空题

9 10 11 12 13

解答题一

14 15 16 17 18

解答题二解答题三

19 20 21 22 23 24 25

概率平行线的性质相似三角形

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轴对称、中心对称平均数

圆中的动点的函数图像

因式分解（提公因式法、公式法）抛物线的解析式矩形、中位线

函数综合找规律（循环规律）三角形全等证明

实数运算（0次幂、-1次幂、绝对值、特殊角三角函数）解一元一次不等式组代数式化简求值（整体代入）列分式方程解应用题

一元二次方程（判别式、整数解）

梯形中的计算（平行四边形判定、梯形常用辅助线作法、特殊三角形的性质）圆中的证明与计算（三角形相似、三角函数、切线的性质）统计图表（折线统计图、扇形统计图、统计表）

操作与探究（旋转、从正方形到等边三角形的变式、全等三角形）代数综合（二次函数的性质、一次函数的图像对称、二次函数的图像对称、数形结合思想、二次函数解析式的确定）

几何综合（等边三角形、等腰直角三角形、旋转全等、对称全等、倒角）代几综合（“新定义”、特殊直角三角形的性质、圆、特殊角三角形函数、数形结合）

二、命题主要特点：

第8、12、22、23、24、25 题依旧是比较难的题型，其他题型属于基础或者中档题。近四年北京中考数学试题这几道题考查分布：题型年份第8题（创新题）第22 题（操作与探究）

2010立体图形展开图

2011动点函数图象

2012动点函数图象几何坐标化、方程与方程组

2013动点函数图象正方形、等边三角形、全等三角

形（代数综合）一次函数、二次函数、图形对称

数形结合

轴对称、正方形平移、等积变换

（代数综合）

第23 题（综合题）

反比例函数、旋转、恒等变形

（代数综合）二次函数、一次函数、等腰直角三角形、数形结

合

（代数综合）二次函数、一次函数、一元二次方程、函数图象平移、数形结

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合

第24 题（综合题）

（代几综合）

二次函数、等腰直角三角形、分类讨论、数形结

合

（几何综合）旋转、等腰直角三角形、等边三角形、直角三角形、平行四边形（代几综合）一次函数、圆、平行四边形、分

类讨论

23题代数综合和

（几何综合）轴对称、等腰三角形、倒角

（几何综合）等边三角形、等腰直角三角形、旋转、倒角

第25 题（综合题）

（几何综合）等腰三角形、轴对称、倒角

（代几综合）“新定义”、一次函数、圆、相似

（代几综合）一次函数、圆、特殊直角三角形

特点一、题目总体难度降低，25题代几综合等压轴题理解题意仍有一

定难度，以体现试卷区分度，但试题总体难度相较去年有大幅下降。

特点二、题型设置上较以往有微调，例如第体换成了一元二次方程；第等。

特点三、试题内容上趋于稳定，没有其他题都较为常规，较好的体现了

“偏难怪”题，除了25题中的新定义“关联点”之外，

25题占了一整页纸，

“稳中求变”的命题主导思想。

1、2题位置调整；第

18题的一次函数综合

19题回归对梯形的考察；第20题第(1)问没有考察切线的证明

特点四、从试卷中最直观反应出的是阅读量的减小，去年中考第阅读占了很大比重，今年题型仍然新颖，但阅读量明显减少。

特点五、计算量大幅下降，去年计算题算量普遍大，但今年的

19题、20题是几何计算题，有一定的难度，计

2年的递进规律类型有所不同，当然如果重

19题、20题不论解题难度还是计算难度都骤降。

特点六、填空第12题考察循环规律，与前

视观察能力和精确作图能力，也可以很容易发现四次变化后回到

特点八、延续了去年和前年的改革方向，增加对圆的考察，第20题。解答题第

25题都涉及圆的知识。

A1。

例如选择题第

8题、解答题

特点九、考察学生对于知识点的深入理解能力逐渐加大。解答题第点考察直线与抛物线位置关系的深入理解，难度较大。

23题第三小问，重

三、重难易错题目点评：

1. 易错题目易错题号

8 12 17 2. 难题难题题号

22 23 24

不得分原因没看懂题，不理解图

2的作用是什么

(3)问的关键

错误原因

易被圆的对称性误导，从而误认为函数图象为对称图像

前2年均为递进规律，形成思维定势，不太容易抓住本质规律分式方程应用题忘记检验

（循环规律）

利用对称来进行数形结合练得比较少，抓不住第明三角形全等也是本题的难点

对重要全等模型“手拉手”不熟悉，很难发现如何构造三角形全等；倒角证

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2倍

题目没读懂，没有理解“新定义”的关键是到原点的距离要小于半径的

总体来看，2013年并没有出现一点儿都无从下手的题目，体现了很好的梯度，让学生上手容易拿全难，有比较好的区分度，这是北京中考命题的一大特点，相信这种形式。

2014年也会是

北京市2013年中考数学试卷

一、选择题（本题共意的。

1．（4分）（2013?北京）在《关于促进城市南部地区加快发展第二阶段行动计划中，北京市提出了共计约A．39.6×１0

32分，每小题4分。下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题

（2013﹣2015）》

）

3960亿元的投资计划，将B．3.96×10

3960用科学记数法表示应为（

C．3.96×10D．0.396×10

考点：科学记数法—表示较大的数．分析：科学记数法的表示形式为

要看把原数变成

a×10的形式，其中

1≤|a|＜10，n为整数．确定1时，n是负数．

n的值时，

a时，小数点移动了多少位，

3.96×10．

n的绝对值与小数点移动的位数相同．当

原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜

解答：解：将3960用科学记数法表示为

故选B．

点评：此题考查科学记数法的表示方法．

科学记数法的表示形式为a×10的形式，其中1≤|a|

＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

2．（4分）（2013?北京）﹣A．

B．

的倒数是（）C．

﹣

D．

﹣

考点：倒数．

分析：根据倒数的定义：若两个数的乘积是解答：

解：∵（﹣∴﹣

）×（﹣

．

）=1，

1，我们就称这两个数互为倒数．

的倒数是﹣

故选D．

点评：本题主要考查倒数的定义，要求熟练掌握．需要注意的是：

倒数的性质：负数的倒数还是负数，正数的倒数是正数，倒数的定义：若两个数的乘积是

0没有倒数．

1，我们就称这两个数互为倒数．

5个完全相同的小球，把它们分别标号

2的概率为（

D．

）

3．（4分）（2013?北京）在一个不透明的口袋中装有A．

B．

C．

为1，2，3，4，5，从中随机摸出一个小球，其标号大于

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分析：根据随机事件概率大小的求法，解答：解：根据题意可得：大于

任意摸出1个，摸到大于故选C．

找准两点：①符合条件的情况数目，②全部情况的总数，

二者的比值就是其发生的概率的大小．

2的有3，4，5三个球，共5个球，2的概率是

．

点评：本题考查概率的求法与运用，一般方法：如果一个事件有

能性相同，其中事件

A出现m种结果，那么事件

n种可能，而且这些事件的可

A的概率P（A）=，难度适中．

4．（4分）（2013?北京）如图，直线∠４等于（

）

a，b被直线c所截，a∥b，∠1=∠2，若∠3=40°，则

A．40°

考点：平行线的性质．

B．50°C．70°D．80°

分析：根据平角的定义求出∠1，再根据两直线平行，内错角相等解答．解答：解：∵∠1=∠2，∠3=40°，

∴∠1=（180°﹣∠3）=（180°﹣40°）=70°，∵a∥b，

∴∠4=∠1=70°．故选C．

点评：本题考查了平行线的性质，平角等于

180°，熟记性质并求出∠１

是解题的关键．

A，在近岸取

5．（4分）（2013?北京）如图，为估算某河的宽度，在河对岸选定一个目标点得BE=20m，CE=10m，CD=20m，则河的宽度

AB等于（

）

点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测

A．60m B．40m C．30m D．20m

考点：相似三角形的应用．只供学习与交流

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AB．

分析：由两角对应相等可得△BAE∽△CDE，利用对应边成比例可得两岸间的大致距离解答：解：∵AB⊥BC，CD⊥BC，

∴△BAE∽△CDE，∴

∵BE=20m，CE=10m，CD=20m，∴

解得：AB=40，故选B．

点评：考查相似三角形的应用；用到的知识点为：两角对应相等的两三角形相似；相似三角形

的对应边成比例．

6．（4分）（2013?北京）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（A．

B．

C．

D．

）

考点：中心对称图形；轴对称图形

分析：根据轴对称图形的概念先求出图形中轴对称图形，再根据中心对称图形的概念得出其中

不是中心对称的图形．

解答：解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项正确；

B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误．故选：A．

点评：本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．

轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；

中心对称图形：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．

7．（4分）（2013?北京）某中学随机地调查了间，结果如下表所示：时间（小时）人数A．6.2小时考点：加权平均数．

分析：根据加权平均数的计算公式列出算式（

可．

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5×10+6×15+7×20+8×5）÷50，再进行计算即

5 10

6 15

7 20

8 5

）

C．6.5小时

D．7小时

50名学生，了解他们一周在校的体育锻炼时

180°，旋转后的图形能

则这50名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是（

B．6.4小时

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（5×10+6×15+7×20+8×5）÷50=（50+90+140+40）÷50=320÷50=6.4（小时）．

故这50名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是故选B．

点评：此题考查了加权平均数，用到的知识点是加权平均数的计算公式，根据加权平均数的计

算公式列出算式是解题的关键．

8．（4分）（2013?北京）如图，点

P是以O为圆心，AB为直径的半圆上的动点，

AB=2．设弦

）

6.4小时．

AP的长为x，△APO的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（

A．B．C．D．

考点：动点问题的函数图象．分析：

作OC⊥AP，根据垂径定理得后根据三角形面积公式得到判断．

解答：

解：作OC⊥AP，如图，则

AC=AP=x，

（0≤x≤2），

A．

，

AC=AP=x，再根据勾股定理可计算出S=x?

OC=

，然

（0≤x≤2），再根据解析式对四个图形进行

在Rt△AOC中，OA=1，OC=所以S=OC?AP=x?

所以y与x的函数关系的图象为故选A．

点评：本题考查了动点问题的函数图象：先根据几何性质得到与动点有关的两变量之间的函数

关系，然后利用函数解析式和函数性质画出其函数图象，注意自变量的取值范围．

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资料收集于网络，如有侵权二、填空题（本题共

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16分，每小题4分）

ab﹣4ab+4a= a（b﹣2）

9．（4分）（2013?北京）分解因式：．

考点：提公因式法与公式法的综合运用．专题：因式分解．

分析：先提取公因式a，再根据完全平方公式进行二次分解．完全平方公式：

﹣b）．

解答：解：ab﹣4ab+4a

=a（b﹣4b+4）﹣﹣（提取公因式）=a（b﹣2）．﹣﹣（完全平方公式）故答案为：a（b﹣2）．

点评：本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分

解，注意分解要彻底．

10．（4分）（2013?北京）请写出一个开口向上，并且与析式，y= x+1（答案不唯一）考点：二次函数的性质专题：开放型．

分析：根据二次函数的性质，开口向上，要求解答：解：抛物线y=x+1开口向上，且与

故答案为：x+1（答案不唯一）．

点评：本题考查了二次函数的性质，

开放型题目，答案不唯一，所写抛物线的

a值必须大于0．

222

a﹣2ab+b=（a

y轴交于点（0，1）的抛物线的解

．

a值大于0即可．y轴的交点为（0，1）．

11．（4分）（2013?北京）如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点．若AB=5，AD=12，则四边形ABOM的周长为

20 ．

考点：矩形的性质；三角形中位线定理．

分析：根据题意可知OM是△ADC的中位线，所以

周长．

解答：解：∵Ｏ是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，

∴OM=CD=AB=2.5，∵AB=5，AD=12，∴AC=

=13，

OM的长可求；根据勾股定理可求出

BO的长，进而求出四边形

AC的长，ABOM的

利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求出

∵Ｏ是矩形ABCD的对角线AC的中点，

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∴BO=AC=6.5，

∴四边形ABOM的周长为AB+AM+BO+OM=5+6+6.5+2.5=20，故答案为20．

点评：本题考查了矩形的性质、三角形的中位线的性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边

的一半着一性质，题目的综合性很好，难度不大．

12．（4分）（2013?北京）如图，在平面直角坐标系

xOy中，已知直线l：y=﹣x﹣1，双曲线

B1，过B1作y轴的垂线交l于点B2，过B2作y轴的垂线交l于点

an，若a1=2，则

0、

y=，在l上取一点A1，过A1作x轴的垂线交双曲线于点A2，请继续操作并探究：过A3，…，这样依次得到a2= ﹣﹣1 ．

，a2013= ﹣

A2作x轴的垂线交双曲线于点

l上的点A1，A2，A3，…，An，…记点An的横坐标为

；若要将上述操作无限次地进行下去，

则a1不可能取的值是

考点：反比例函数综合题．专题：探究型．

分析：求出a2，a3，a4，a5的值，可发现规律，继而得出

轴上，也不能在

解答：

y轴上，从而可得出

，

A2的横坐标为a2=﹣，B2的纵坐标为b2=﹣，A3的横坐标为a3=﹣，B3的纵坐标为b3=﹣3，A4的横坐标为a4=2，B4的纵坐标为b4=，

a2013的值，根据题意可得

A1不能在x

a1不可能取的值．

解：当a1=2时，B1的纵坐标为

B1的纵坐标和A2的纵坐标相同，则A2的横坐标和B2的横坐标相同，则B2的纵坐标和A3的纵坐标相同，则A3的横坐标和B3的横坐标相同，则B3的纵坐标和A4的纵坐标相同，则A4的横坐标和B4的横坐标相同，则

即当a1=2时，a2=﹣，a3=﹣，a4=2，a5=﹣，b1=，b2=﹣，b3=﹣3，b4=，a5=﹣，

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∵=671，

2013=a3=﹣∴ａ；

点A1不能在y轴上（此时找不到解得：x≠﹣1；

综上可得a1不可取0、﹣1．故答案为：﹣

、﹣

；0、﹣1．

B1），即x≠0，

B2），即y=﹣x﹣1≠0，

点A1不能在x轴上（此时A2，在y轴上，找不到

点评：本题考查了反比例函数的综合，涉及了点的规律变化，解答此类题目一定要先计算出前

面几个点的坐标，由特殊到一般进行规律的总结，难度较大．

三、解答题（本题共求证：BC=AE．

30分，每小题5分）

D是AC上一点，AB=DA，DE∥AB，∠B=∠DAE．

13．（5分）（2013?北京）已知：如图，

考点：全等三角形的判定与性质．专题：证明题．

分析：根据两直线平行，内错角相等求出∠CAB=∠ADE，然后利用“角边角”证明△ABC和△DAE

全等，再根据全等三角形对应边相等证明即可．

解答：证明：∵DE∥AB，

∴∠CAB=∠ADE，∵在△ABC和△DAE中，

，

∴△ABC≌△DAE（ASA），∴BC=AE．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，利用三角形全等证明边相等是常只供学习与交流

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用的方法之一，要熟练掌握并灵活运用．

14．（5分）（2013?北京）计算：（1﹣）+|﹣

|﹣2cos45°+（）

﹣1

．

考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．

分析：分别进行零指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、负整数指数幂等运算，然后按照实

数的运算法则计算即可．

解答：

解：原式=1+=5．

点评：本题考查了实数的运算，涉及了零指数幂、绝对值、负整数指数幂及特殊角的三角函数

值，属于基础题，注意各部分的运算法则．

﹣2×

15．（5分）（2013?北京）解不等式组：．

考点：解一元一次不等式组专题：计算题．

分析：先求出两个不等式的解集，再求其公共解．解答：

解：

，

解不等式①得，x＞﹣1，解不等式②得，x＜，所以，不等式组的解集是﹣

1＜x＜．

点评：本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式

组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）

16．（5分）（2013?北京）已知值．

考点：整式的混合运算—化简求值．专题：计算题．

分析：所求式子第一项利用完全平方公式展开，第二项利用平方差公式化简，去括号合并得到

最简结果，将已知方程变形后代入计算即可求出值．

解答：解：原式=4x﹣12x+9﹣x+y﹣y

=3x﹣12x+9 =3（x﹣4x+3），

∵ｘ﹣4x﹣1=0，即x﹣4x=1，∴原式=12．

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．

x﹣4x﹣1=0，求代数式（2x﹣3）﹣（x+y）（x﹣y）﹣y的

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点评：此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，涉及的知识有：完全平方公式，平方差公式，

去括号法则，以及合并同类项法则，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．

17．（5分）（2013?北京）列方程或方程组解应用题：某园林队计划由

6名工人对180平方米的区域进行绿化，

由于施工时增加了

2名工人，结果

比计划提前3小时完成任务，若每人每小时绿化面积相同，求每人每小时的绿化面积．考点：分式方程的应用．分析：设每人每小时的绿化面积

x平方米，根据增加

2人后完成的时间比原来的时间少

3小时

为等量关系建立方程求出其解即可．

解答：解：设每人每小时的绿化面积

，

解得：x=2.5．

经检验，x=2.5是原方程的解，且符合题意．答：每人每小时的绿化面积

2.5平方米．

2人后完成的时间比原来的时间少

3小时

点评：本题考查了列分式方程解实际问题的运用，分式方程的解法的运用，解答时验根是必须

的过程，学生容易忘记，解答本题时根据增加为等量关系建立方程是关键．

18．（5分）（2013?北京）已知关于x的一元二次方程（1）求k的取值范围；

（2）若k为正整数，且该方程的根都是整数，求

k的值．

-公式法．

0列出关于k的不等

k的值．

x+2x+2k﹣4=0有两个不相等的实数根．

x平方米，由题意，得

考点：根的判别式；一元二次方程的解；解一元二次方程专题：计算题．

分析：（1）根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式的值大于

式，求出不等式的解集即可得到

k的范围；

（2）找出k范围中的整数解确定出

k的值，经检验即可得到满足题意

解答：解：（1）根据题意得：△=4﹣4（2k﹣4）=20﹣8k＞0，

解得：k＜；

（2）由k为整数，得到k=1或2，

x=﹣1±

，

利用求根公式表示出方程的解为∵方程的解为整数，∴5﹣2k为完全平方数，则k的值为2．

点评：此题考查了根的判别式，一元二次方程的解，以及公式法解一元二次方程，弄清题意是

解本题的关键．

四、解答题（本题共

20分，每小题5分）

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19．（5分）（2013?北京）如图，在连接DE，CF．（1）求证：四边形

?ABCD中，F是AD的中点，延长BC到点E，使CE=BC，

CEDF是平行四边形；

DE的长．

（2）若AB=4，AD=6，∠B=60°，求

考点：平行四边形的判定与性质；含30度角的直角三角形；勾股定理

AD∥BC，且AD=BC；然后根据中

DF=CE，且DF∥CE），即

CEDF的对边平行且相等（

分析：（1）由“平行四边形的对边平行且相等”的性质推知

点的定义、结合已知条件推知四边形四边形CEDF是平行四边形；

（2）如图，如图，过点D作DH⊥BE于点H，构造含30度角的直角△DCH和直角△DHE．通过解直角△DCH和在直角△DHE中运用勾股定理来求线段

解答：（1）证明：在?ABCD中，AD∥BC，且AD=BC．

∵Ｆ是AD的中点，∴DF=

．

ED的长度．

又∵CE=BC，∴DF=CE，且DF∥CE，∴四边形CEDF是平行四边形；（2）解：如图，过点∴∠DCE=60°．∵AB=4，∴CD=AB=4，∴CH=2，DH=2

．

D作DH⊥BE于点H．

在?ABCD中，∵∠B=60°，

在?CEDF中，CE=DF=AD=3，则EH=1．∴在Rt△DHE中，根据勾股定理知

DE=

．

点评：本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理．平行四边形的判定方法共有五种，应

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用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．

20．（5分）（2013?北京）如图AB的延长线于点

（1）求证：∠EPD=∠EDO；

（2）若PC=6，tan∠PDA=，求OE的长．

AB是⊙Ｏ的直径，PA，PC与⊙Ｏ分别相切于点

E．

A，C，PC交

D，DE⊥PO交PO的延长线于点

考点：切线的性质；相似三角形的判定与性质．分析：（1）根据切线长定理和切线的性质即可证明：∠

EPD=∠EDO；

（2）连接OC，利用tan∠PDA=，可求出CD=4，再证明△OED∽△DEP，根据相似三角形的性质和勾股定理即可求出∴∠APO=∠EPD且PA⊥AO，∴∠PAO=90°，

∵∠AOP=∠EOD，∠PAO=∠E=90°，∴∠APO=∠EDO，∴∠EPD=∠EDO；（2）解：连接OC，∴PA=PC=6，∵tan∠PDA=，

∴在Rt△PAD中，AD=8，PD=10，∴CD=4，∵tan∠PDA=，

∴在Rt△OCD中，OC=OA=3，OD=5，∵∠EPD=∠DEP，∴△OED∽△DEP，∴

，

OE的长．

A，C，

解答：（1）证明：PA，PC与⊙Ｏ分别相切于点

在Rt△OED中，OE+DE=5，∴OE=

．

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点评：本题综合考查了切线长定理，相似三角形的性质和判定，勾股定理的应用，能综合运用

性质进行推理和计算是解此题的关键，通过做此题培养了学生的分析问题和解决问题的能力．

21．（5分）（2013?北京）第九届中国国际园林博览会（园博会）已于北京开幕，以下是根据近几届园博会的相关数据绘制的统计图的一部分．

2013年5月18日在

（1）第九届园博会的植物花园区由五个花园组成，园面积为

0.03

平方千米；

其中月季园面积为0.04平方千米，牡丹

（2）第九届园博会会园区陆地面积是植物花园区总面积的（3）小娜收集了几届园博会的相关信息请估计，将于确到百位）．

第七届至第十届园博会游客量和停车位数量统计表：

日接待游客量（万人次）

第七届第八届第九届第十届

0.8 2.3 8（预计）1.9（预计）

单日最多接待游客量（万人次）6 8.2 20（预计）7.4（预计）

18倍，水面面积是第七、八界园

博会的水面面积之和，请根据上述信息补全条形统计图，并标明相应数据；

（如下表），发现园博会园区周边设置的停车位数量

与日均接待游客量和单日最多接待游客量中的某个量近似成正比例关系．根据小娜的发现，

2015年举办的第十届园博会大约需要设置的停车位数量（直接写出结果，精

停车位数量（个）约3000 约4000 约10500 约

3700

考点：条形统计图；用样本估计总体；统计表；扇形统计图．分析：（1）根据月季园和牡丹园所占的比例求出牡丹园的面积即可；只供学习与交流

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（2）先算出植物花园的总面积，然后可求出第九届园博会会园区陆地面积，根据图象求出第七、八界园博会的水面面积之和，补全条形统计图即可；

（3）根据图表所给的信息，求出停车位数量与单日最多接待游客量成正比例关系，算出比值，求出大约需要设置的停车位数量．

解答：解：（1）∵月季园面积为

则牡丹园的面积为：15%×

0.04平方千米，月季园所占比例为

=0.03（平方千米）；

20%，

（2）植物花园的总面积为：0.04÷20%=0.2（平方千米）则第九届园博会会园区陆地面积为：第七、八界园博会的水面面积之和则水面面积为如图：

1.5平方千米，

，

0.2×18=3.6（平方千米）=1+0.5=1.5（平方千米），

；

（3）由图标可得，停车位数量与单日最多接待游客量成正比例关系，比值约为则第十届园博会大约需要设置的停车位数量约为：故答案为：0.03；3700．

点评：本题考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到

必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．

22．（5分）（2013?北京）阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图小明发现，分别延长请回答：

（1）若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形的边长为

500，

500×7.4≈3700．

1，在边长为a（a＞2）的正方形ABCD各边上分别截取

MNPQ的面积．

R，S，T，W，可得2）

AE=BF=CG=DH=1，当∠AFQ=∠BGM=∠GHN=∠DEP=45°时，求正方形△RQF，△SMG，△TNH，△WPE是四个全等的等腰直角三角形（如图

QE，MF，NG，PH交FA，GB，HC，ED的延长线于点

（无缝隙不重叠），则这个新正方形

；

（2）求正方形MNPQ的面积．

（3）参考小明思考问题的方法，解决问题：

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AD=BE=CF，再分别过点

．

D，E，F作BC，AC，AB的垂

如图3，在等边△ABC各边上分别截取线，得到等边△RPQ．若

S△RPQ=

，则AD的长为

考点：四边形综合题

分析：（1）四个等腰直角三角形的斜边长为

（2）如题图2所示，正方形据此求出正方形

MNPQ的面积；

1所示，三个等腰三角AD的长度．a，

a，其拼成的正方形面积为

a；

MNPQ的面积等于四个虚线小等腰直角三角形的面积之和，

（3）参照小明的解题思路，对问题做同样的等积变换．如答图面积等于三个虚线等腰三角形的面积之和．据此列方程求出

解答：

解：（1）四个等腰直角三角形的斜边长为每个等腰直角三角形的面积为：则拼成的新正方形面积为：4×故填空答案为：a．

（2）∵四个等腰直角三角形的面积和为∴Ｓ正方形

MNPQ

形△RSF，△QEF，△PDW的面积和等于等边三角形△ABC的面积，故阴影三角形△PQR的

a，则斜边上的高为

a?a=a，a=a，即与原正方形

ABCD面积相等．

a，正方形ABCD的面积为a，

×12=2．

=S△ARE+S△DWH+S△GCT+S△SBF=4S△ARE=4×

（3）如答图1所示，分别延长RD，QF，PE交FA，EC，DB的延长线于点S，T，W．

由题意易得：△RSF，△QEF，△PDW均为底角是30°的等腰三角形，其底边长均等于△ABC的边长．

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a，则SF=AC=a．

不妨设等边三角形边长为

如答图2所示，过点R作RM⊥SF于点M，则MF=SF=a，在Rt△RMF中，RM=MF?tan30°＝a×∴Ｓ

=a?

a．

x．

=a，

△RSF

过点A作AN⊥SD于点N，设AD=AS=x，同理可求得：S△ADS=

∵三个等腰三角形△RSF，△QEF，△PDW的面积和=3S△RSF=3×正△ABC的面积为

a，

∴Ｓ△RPQ=S△ADS+S△CFT+S△BEW=3S△ADS，∴

=3×

x，解得x=或x=

．

（不合题意，舍去）

∴x=，即AD的长为故填空答案为：

．

点评：本题考查了几何图形的等积变换，涉及正方形、等腰直角三角形、等腰三角形、正三角

形、解直角三角形等多个知识点，是一道好题．通过本题我们可以体会到，运用等积变换的数学思想，不仅简化了几何计算，而且形象直观，易于理解，体现了数学的魅力．

五、解答题（本题共交于点A，其对称轴与

22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）

xOy中，抛物线y=mx﹣2mx﹣2（m≠0）与y轴

23．（7分）（2013?北京）在平面直角坐标系

x轴交于点B．

（1）求点A，B的坐标；

（2）设直线l与直线AB关于该抛物线的对称轴对称，求直线（3）若该抛物线在﹣

2＜x＜﹣1这一段位于直线

线AB的下方，求该抛物线的解析式．

l的解析式；

2＜x＜3这一段位于直

l的上方，并且在

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考点：二次函数的性质；一次函数图象与几何变换；二次函数图象上点的坐标特征．分析：（1）令x=0求出y的值，即可得到点

坐标；

（2）求出点A关于对称轴的对称点（2，﹣2），然后设直线l的解析式为y=kx+b（k≠0），利用待定系数法求一次函数解析式解答即可；（3）根据二次函数的对称性判断在称，然后判断出抛物线与直线后代入抛物线求出∴A（0，﹣2），抛物线的对称轴为直线∴B（1，0）；

（2）易得A点关于对称轴直线则直线l经过A′、B，

设直线l的解析式为y=kx+b（k≠0），则解得

，，

x=1的对称点A′（2，﹣2），

x=﹣

=1，

解答：解：（1）当x=0时，y=﹣2，

2＜x＜3这一段与在﹣1＜x＜0这一段关于对称轴对

1，代入直线l求出交点坐标，然

l的交点的横坐标为﹣

A的坐标，求出对称轴解析式，即可得到点

B的

m的值即可得到抛物线解析式．

所以，直线l的解析式为y=﹣2x+2；（3）∵抛物线的对称轴为直线结合图象可以观察到抛物线在﹣一段位于直线∴抛物线与直线

l的下方，

l的交点的横坐标为﹣

1，4），

1，

x=1，

2＜x＜﹣1这一段位于直线

l的上方，在﹣1＜x＜0这

∴抛物线在2＜x＜3这一段与在﹣1＜x＜0这一段关于对称轴对称，

当x=﹣1时，y=﹣2×（﹣1）+2=4，所以，抛物线过点（﹣解得m=2，

当x=﹣1时，m+2m﹣2=4，

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∴抛物线的解析式为

请联系网站删除y=2x﹣4x﹣2．

点评：本题考查了二次函数的性质，

键．

一次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，

1，4）是解题的关

第（3）小题较难，根据二次函数的对称性求出抛物线经过的点（﹣

24．（7分）（2013?北京）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α（0°＜α＜60°），将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段

BD．

α的式子表示）；

α的值．

（1）如图1，直接写出∠ABD的大小（用含（3）在（2）的条件下，连接

（2）如图2，∠BCE=150°，∠ABE=60°，判断△ABE的形状并加以证明；

DE，若∠DEC=45°，求

考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；等腰直角三角形；旋转的性质分析：（1）求出∠ABC的度数，即可求出答案；

（2）连接AD，CD，ED，根据旋转性质得出﹣

BC=BD，∠DBC=60°，求出∠ABD=∠EBC=30°

∠BAC=α，求

α，且△BCD为等边三角形，证△ABD≌△ACD，推出∠BAD=∠CAD=

AB=BE即可；

出∠BEC=α=∠BAD，证△ABD≌△EBC，推出

（3）求出∠DCE=90°，△DEC为等腰直角三角形，推出得出方程30°﹣

α=15°，求出即可．

DC=CE=BC，求出∠EBC=15°，

解答：解：（1）∵AB=AC，∠A=α，

∴∠ABC=∠ACB=（180°﹣∠A）=90°﹣∵∠ABD=∠ABC﹣∠DBC，∠DBC=60°，

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α，

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即∠ABD=30°﹣α；

（2）△ABE是等边三角形，证明：连接AD，CD，ED，

∵线段BC绕B逆时针旋转60°得到线段BD，则BC=BD，∠DBC=60°，∵∠ABE=60°，

∴∠ABD=60°﹣∠DBE=∠EBC=30°﹣在△ABD与△ACD中

α，且△BCD为等边三角形，

∴△ABD≌△ACD，

∴∠BAD=∠CAD=∠BAC=α，∵∠BCE=150°，

∴∠BEC=180°﹣（30°﹣在△ABD和△EBC中

α）﹣150°＝α=∠BAD，

∴△ABD≌△EBC，∴AB=BE，

∴△ABE是等边三角形；

（3）∵∠BCD=60°，∠BCE=150°，∴∠DCE=150°﹣60°=90°，∵∠DEC=45°，

∴△DEC为等腰直角三角形，∴DC=CE=BC，∵∠BCE=150°，

∴∠EBC=（180°﹣150°）=15°，∵∠EBC=30°﹣∴α=30°．

α=15°，

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点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰直角三角形的判

定和性质的应用，注意：全等三角形的判定定理有性质是全等三角形的对应边相等，对应角相等．

25．（8分）（2013?北京）对于平面直角坐标系上存在两个点﹣2），F（2

A、B，使得∠APB=60°，则称，0）．

D，E ．

G，使∠GFO=30°，若直线

l上的点P（m，n）是⊙Ｏr的取值范围．

xOy中的点P和⊙C，给出如下的定义：若⊙ＣP为⊙Ｃ的关联点．已知点

D（，），E（0，

SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的

（1）当⊙Ｏ的半径为1时，①在点D、E、F中，⊙Ｏ的关联点是②过点F作直线l交y轴正半轴于点的关联点，求

m的取值范围；

（2）若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，求这个圆的半径

考点：圆的综合题．

分析：（1）①根据关联点的定义得出

进而得出PC的长，进而得出点P点，进而得出圆心应在线段

m的取值范围；

EF的中点；再考虑临界情况，即恰好

r的取值范围．

R，

E、F点为⊙Ｋ的关联时，则

E点是⊙Ｏ的关联点，进而得出P到圆心的距离

F、D，与⊙Ｏ的关系；

60°，

②若P要刚好是⊙Ｃ的关联点，需要点P到⊙Ｃ的两条切线PA和PB之间所夹的角为

d满足0≤d≤2r，再考虑临界点位置的

（2）若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，欲使这个圆的半径最小，则这个圆的

KF=2KN=EF=2，即可得出圆的半径

解答：解：（1）①如图1所示，过点E作⊙Ｏ的切线设切点为

∵⊙Ｏ的半径为1，∴RO=1，

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∵EO=2，∴∠OER=30°，

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根据切线长定理得出⊙Ｏ∴Ｅ点是⊙Ｏ的关联点，∵D（

的左侧还有一个切点，使得组成的角等于30°，

，），E（0，﹣2），F（2，0），

∴OF＞EO，DO＜EO，

∴Ｄ点一定是⊙Ｏ的关联点，而在⊙Ｏ上不可能找到两点使得组成的角度等于故在点D、E、F中，⊙Ｏ的关联点是D，E；故答案为：D，E；②由题意可知，若

P要刚好是⊙Ｃ的关联点，

60°，

需要点P到⊙Ｃ的两条切线PA和PB之间所夹的角为由图2可知∠APB=60°，则∠CPB=30°，连接BC，则PC=

=2BC=2r，

P到圆心的距离P点，

∴若P点为⊙Ｃ的关联点，则需点由上述证明可知，考虑临界点位置的如图3，点P到原点的距离

d满足0≤d≤2r；

OP=2×1=2，

，

过点O作x轴的垂线OH，垂足为H，tan∠OGF=∴∠OGF=60°，∴OH=OGsin60°＝sin∠OPH=

，；

∴∠OPH=60°，可得点P1与点G重合，过点P2作P2M⊥ｘ轴于点M，可得∠Ｐ2OM=30°，∴OM=OP2cos30°＝∴0≤m≤

；

，

P点必在线段

P1P2上，

从而若点P为⊙Ｏ的关联点，则

（2）若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，欲使这个圆的半径最小，则这个圆的圆心应在线段

EF的中点；

4，

KF=2KN=EF=2，

考虑临界情况，如图

即恰好E、F点为⊙Ｋ的关联时，则此时，r=1，

故若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，这个圆的半径r的取值范围为r≥1．

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点评：此题主要考查了圆的综合应用以及切线判定与性质以及锐角三角函数关系和新概念等

知识，注意临界点位置的应用是解题关键．

北京市2014年中考数学试卷

一、选择题（本题共题意的．

1．（4分）（2014?北京）2的相反数是（A．2

B．﹣2

）C．

﹣

D．

32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．是符合

考点：相反数．

分析：根据相反数的概念作答即可．解答：解：根据相反数的定义可知：

故选：B．

点评：此题主要考查相反数的定义：只有符号相反的两个数互为相反数．

身．

2．（4分）（2014?北京）据报道，某小区居民李先生改进用水设备，在十年内帮助他居住小区的居民累计节水A．0.3×10

2的相反数是﹣2．

0的相反数是其本

300 000吨．将300 000用科学记数法表示应为（

B．3×10

）D．30×10

C．3×10

考点：科学记数法—表示较大的数．分析：科学记数法的表示形式为

要看把原数变成

a×10的形式，其中

1≤|a|＜10，n为整数．确定

1时，n是负数．

n的值时，

当

a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．

原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜

解答：解：300 000=3×10，

故选：B．

点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为

＜10，n为整数，表示时关键要正确确定

a×10的形式，其中

1≤|a|

a的值以及n的值．

）

3．（4分）（2014?北京）如图，有6张扑克牌，从中随机抽取一张，点数为偶数的概率是（

A．

B．C．D．

考点：概率公式．

分析：由有6张扑克牌，从中随机抽取一张，点数为偶数的有只供学习与交流

3种情况，直接利用概率公式

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求解即可求得答案．

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解答：解：∵有6张扑克牌，从中随机抽取一张，点数为偶数的有

∴从中随机抽取一张，点数为偶数的概率是：故选D．

点评：此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率4．（4分）（2014?北京）如图是几何体的三视图，该几何体是（

=．

3种情况，

=所求情况数与总情况数之比．

）

A．圆锥B．圆柱C．正三棱柱D．正三棱锥

考点：由三视图判断几何体．

分析：如图：该几何体的俯视图与左视图均为矩形，主视图为三角形，易得出该几何体的形

状．

解答：解：该几何体的左视图为矩形，俯视图亦为矩形，主视图是一个三角形，

则可得出该几何体为三棱柱．故选C．

点评：本题是个简单题，主要考查的是三视图的相关知识，解得此题时要有丰富的空间想象

力．

5．（4分）（2014?北京）某篮球队年龄（岁）人数A．18，19

18 5

19 4 B．19，19

12名队员的年龄如表：20 1

21 2 ）C．18，19.5

D．19，19.5

则这12名队员年龄的众数和平均数分别是（

考点：众数；加权平均数．

分析：根据众数及平均数的概念求解．

解答：解：年龄为18岁的队员人数最多，众数是

平均数=故选A．

点评：本题考查了众数及平均数的知识，掌握众数及平均数的定义是解题关键．

6．（4分）（2014?北京）园林队在某公园进行绿化，中间休息了一段时间．已知绿化面积（单位：平方米）与工作时间小时绿化面积为（只供学习与交流

）

t（单位：小时）的函数关系的图象如图，则休息后园林队每

18；

=19．

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A．40平方米考点：函数的图象．

B．50平方米C．80平方米D．100平方米

分析：根据图象可得，休息后园林队

速度．

2小时绿化面积为160﹣60=100平方米，然后可得绿化

160﹣60=100平方米，

解答：解：根据图象可得，休息后园林队

每小时绿化面积为故选：B．

2小时绿化面积为

100÷2=50（平方米）．

点评：此题主要考查了函数图象，关键是正确理解题意，从图象中找出正确信息．

7．（4分）（2014?北京）如图，圆O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A=22.5°，OC=4，CD的长为（

）

A．2

B．4

C．4

D．8

考点：垂径定理；等腰直角三角形；圆周角定理．分析：根据圆周角定理得∠

BOC=2∠A=45°，由于圆O的直径AB垂直于弦CD，根据垂径

CE=

OC=2

，

定理得CE=DE，且可判断△OCE为等腰直角三角形，所以然后利用CD=2CE进行计算．

解答：解：∵∠A=22.5°，

∴∠BOC=2∠A=45°，

∵圆O的直径AB垂直于弦CD，∴CE=DE，△OCE为等腰直角三角形，∴CE=

OC=2

．，

∴CD=2CE=4故选C．

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点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这

条弧所对的圆心角的一半．也考查了等腰直角三角形的性质和垂径定理．

8．（4分）（2014?北京）已知点边界顺时针匀速运动一周．设点

A为某封闭图形边界上一定点，动点P运动的时间为

）

P从点A出发，沿其

x，线段AP的长为y．表示y与x的函数

关系的图象大致如图，则该封闭图形可能是（

A．

B．C．D．

考点：动点问题的函数图象．

分析：根据等边三角形，菱形，正方形，圆的性质，分析得到

后选择答案即可．

解答：解：A、等边三角形，点

P在开始与结束的两边上直线变化，

a，

在点A的对边上时，设等边三角形的边长为则y=

y随x的增大的变化关系，然

（a＜x＜2a），符合题干图象；

B、菱形，点P在开始与结束的两边上直线变化，

在另两边上时，都是先变速减小，再变速增加，题干图象不符合；C、正方形，点合；

D、圆，AP的长度，先变速增加至干图象不符合．故选A．

点评：本题考查了动点问题函数图象，熟练掌握等边三角形，菱形，正方形以及圆的性质，

理清点P在各边时AP的长度的变化情况是解题的关键．

二、填空题（本题共只供学习与交流

16分，每小题4分）

AP为直径，然后再变速减小至点

P回到点A，题

P在开始与结束的两边上直线变化，

A的对角顶点，再变速减小至另一顶点，题干图象不符

在另两边上，先变速增加至∠

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ax﹣9ay=

9．（4分）（2014?北京）分解因式：

（x+3y）a（x﹣3y）

．

考点：提公因式法与公式法的综合运用．分析：首先提取公因式

a，进而利用平方差公式进行分解即可．

解答：解：ax﹣9ay=a（x﹣9y）=a（x﹣3y）（x+3y）．

故答案为：a（x﹣3y）（x+3y）．

点评：此题主要考查了提公因式法与公式法的综合运用，正确利用平方差公式是解题关键．10．（4分）（2014?北京）在某一时刻，测得一根高为一根旗杆的影长为

25m，那么这根旗杆的高度为

1.8m的竹竿的影长为m．

3m，同时测得

考点：相似三角形的应用．

分析：根据同时同地物高与影长成正比列式计算即可得解．解答：解：设旗杆高度为

由题意得，解得x=15．故答案为：15．

点评：本题考查了相似三角形的应用，主要利用了同时同地物高与影长成正比，需熟记．11．（4分）（2014?北京）如图，在平面直角坐标系出一个函数y=（k≠0），使它的图象与正方形y=（0＜k≤4）（答案不唯一）

．

xOy中，正方形OABC的边长为2．写

y=，

x米，，

OABC有公共点，这个函数的表达式为

考点：反比例函数图象上点的坐标特征．专题：开放型．

分析：先根据正方形的性质得到

特征求出过

B点坐标为（2，2），然后根据反比例函数图象上点的坐标

B点的反比例函数解析式即可．

解答：解：∵正方形OABC的边长为2，

∴B点坐标为（2，2），当函数y=

（k≠0）过B点时，k=2×2=4，

y=．

∴满足条件的一个反比例函数解析式为

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故答案为：y=，y=（0＜k≤4）（答案不唯一）．

点评：

本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数图象是双曲线，图象上的点（

x，y）的横纵坐标的积是定值

y=（k为常数，k≠0）的k，即xy=k．

12．（4分）（2014?北京）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），我们把点P（﹣y+1，

x+1）叫做点P的伴随点．已知点A1的伴随点为A2，点A2的伴随点为A3，点A3的伴随点

为A4，…，这样依次得到点A1，A2，A3，…，An，…．若点A1的坐标为（3，1），则点A3的坐标为

（﹣3，1）

，点A2014的坐标为

（0，4）

；若点A1的坐标为（a，b），对

﹣1＜a＜1且0＜b＜2

．

于任意的正整数

n，点An均在x轴上方，则a，b应满足的条件为

考点：规律型：点的坐标．

分析：根据“伴随点”的定义依次求出各点，不难发现，每

2014除以4，根据商和余数的情况确定点

解答：解：∵A1的坐标为（3，1），

∴A2（0，4），A3（﹣3，1），A4（0，﹣2），A5（3，1），…，

依此类推，每

4个点为一个循环组依次循环，

0，4）；

∵2014÷4=503余2，

∴点A2014的坐标与A2的坐标相同，为（∵点A1的坐标为（a，b），

∴A2（﹣b+1，a+1），A3（﹣a，﹣b+2），A4（b﹣1，﹣a+1），A5（a，b），…，

依此类推，每

4个点为一个循环组依次循环，

n，点An均在x轴上方，

，

∵对于任意的正整数∴

，

“伴随点”，然后根据x轴上方的点的纵坐标大于

4个点为一个循环组依次循环，用

A1（a，b）的

0列出不等式组求解即可．

A2014的坐标即可；再写出点

解得﹣1＜a＜1，0＜b＜2．

故答案为：（﹣3，1），（0，4）；﹣1＜a＜1且0＜b＜2．

点评：本题是对点的变化规律的考查，读懂题目信息，理解

为一个循环组依次循环是解题的关键，也是本题的难点．

三、解答题（本题共∠A=∠E．

30分，每小题5分）

B在线段AD上，BC∥DE，AB=ED，BC=DB．求证：

“伴随点”的定义并求出每

4个点

13．（5分）（2014?北京）如图，点

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考点：全等三角形的判定与性质．专题：证明题．

分析：由全等三角形的判定定理

∴∠ABC=∠BDE．在△ABC与△EDB中，

SAS证得△ABC≌△EDB，则对应角相等：∠

A=∠E．

解答：证明：如图，∵BC∥DE，

∴△ABC≌△EDB（SAS），∴∠A=∠E．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质．

全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证

明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．

14．（5分）（2014?北京）计算：（6﹣π）+（﹣

）

﹣1

﹣3tan30°+|﹣|

考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．

分析：本题涉及零指数幂、负整指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式化简四个考点．针

对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．

解答：解：原式=1﹣5﹣

=﹣4．

点评：本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关

键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．

15．（5分）（2014?北京）解不等式x﹣1≤x﹣，并把它的解集在数轴上表示出来．

考点：解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集．分析：去分母、去括号，移项、合并同类项，系数化成解答：解：去分母，得：3x﹣6≤4x﹣3，

移项，得：3x﹣4x≤6﹣3，合并同类项，得：﹣

x≤3，

系数化成1得：x≥﹣3．则解集在数轴上表示出来为：

1即可求解．

．

点评：本题考查了解简单不等式的能力，

号这一点而出错．

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解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符

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解不等式要依据不等式的基本性质：

（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．

16．（5分）（2014?北京）已知x﹣y=考点：整式的混合运算—化简求值．

分析：先把代数式计算，进一步化简，再整体代入解答：解：∵x﹣y=

，求代数式（x+1）﹣2x+y（y﹣2x）的值．

x﹣y=，求得数值即可．

，

∴（x+1）﹣2x+y（y﹣2x）=x+2x+1﹣2x+y﹣2xy

=x+y﹣2xy+1 =（x﹣y）+1 =（=3+1 =4．

点评：此题考查整式的混合运算与化简求值，注意先化简，再整体代入求值．17．（5分）（2014?北京）已知关于（1）求证：方程总有两个实数根；

（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数考点：根的判别式．专题：计算题．

分析：（1）先计算判别式的值得到

△=（m+2）﹣4m×2=（m﹣2），再根据非负数的值得

）+1

0）．x的方程mx﹣（m+2）x+2=0（m≠

m的值．

到△≥0，然后根据判别式的意义得到方程总有两个实数根；（2）利用因式分解法解方程得到的值．

解答：（1）证明：∵m≠0，

2 △=（m+2）﹣4m×=m﹣4m+4 =（m﹣2），

而（m﹣2）≥0，即△≥0，∴方程总有两个实数根；

（2）解：（x﹣1）（mx﹣2）=0，x﹣1=0或mx﹣2=0，∴x1=1，x2=，

当m为正整数1或2时，x2为整数，即方程的两个实数根都是整数，∴正整数m的值为1或2．

只供学习与交流

x1=1，x2=，然后利用整数的整除性确定正整数

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点评：本题考查了一元二次方程

实数根．

ax+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b﹣4ac：当△＞0，方

程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有

18．（5分）（2014?北京）列方程或方程组解应用题：小马自驾私家车从动车所需电费车所需的电费多

A地到B地，驾驶原来的燃油汽车所需油费0.54元，求新购买的纯电动汽车每行驶

108元，驾驶新购买的纯电

27元，已知每行驶

1千米，原来的燃油汽车所需的油费比新购买的纯电动汽

1千米所需的电费．

考点：分式方程的应用．

分析：设新购买的纯电动汽车每行驶

车所需电费

1千米所需的电费为

x元，则原来的燃油汽车所需的油

108元，驾驶新购买的纯电动x元，由题意得

费为（x+0.54）元，根据驾驶原来的燃油汽车所需油费

27元，所行的路程相等列出方程解决问题．

1千米所需的电费为

解答：解：设新购买的纯电动汽车每行驶

解得：x=0.18

经检验x=0.18为原方程的解答：纯电动汽车每行驶

1千米所需的电费为

0.18元．

点评：此题考查分式方程的应用，找出题目蕴含的数量关系，列出方程解决问题．四、解答题（本题共

20分，每小题5分）

19．（5分）（2014?北京）如图，在?ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，BF平分ABC，交AD于点F，AE与BF交于点P，连接EF，PD．（1）求证：四边形

ABEF是菱形；

（2）若AB=4，AD=6，∠ABC=60°，求tan∠ADP的值．

考点：菱形的判定；平行四边形的性质；解直角三角形．分析：（1）先证明四边形是平行四边形，

AB=AF，AF=BE，从而证明四边形

再根据平行四边形和角平分线的性质可得ABEF是菱形；

，DH=5，然后利用锐角三角函数的

AB=BE，

（2）作PH⊥AD于H，根据四边形ABEF是菱形，∠ABC=60°，AB=4，得到AB=AF=4，∠ABF=∠ADB=30°，AP⊥BF，从而得到PH=定义求解即可．

解答：（1）证明：∵四边形

∴AD∥BC．∴∠DAE=∠AEB．∵AE是角平分线，∴∠DAE=∠BAE．

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ABCD是平行四边形，

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∴∠BAE=∠AEB．∴AB=BE．同理AB=AF．∴AF=BE．

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∴四边形ABEF是平行四边形．∵AB=BE，

∴四边形ABEF是菱形．（2）解：作PH⊥AD于H，

∵四边形ABEF是菱形，∠ABC=60°，AB=4，∴AB=AF=4，∠ABF=∠ADB=30°，AP⊥BF，∴AP=AB=2，∴PH=

，DH=5，

．

∴tan∠ADP=

点评：本题考查了菱形的判定及平行四边形的性质，解题的关键是牢记菱形的几个判定定

理，难度不大．

20．（5分）（2014?北京）根据某研究院公布的部分相关数据，绘制的统计图表如下：2009～2013年成年国民

年人均阅读图书数量统计表年份2009 2010 2011 2012 2013

根据以上信息解答下列问题：（1）直接写出扇形统计图中

m的值；

本；

990人，若该小区2014年与2013年成年国

7500

本．

（2）从2009到2013年，成年国民年人均阅读图书的数量每年增长的幅度近似相等，估算2014年成年国民年人均阅读图书的数量约为（3）2013年某小区倾向图书阅读的成年国民有民的人数基本持平，估算

年人均阅读图书数量（本）3.88 4.12 4.35 4.56 4.78

2009～2013年我国成年国民阅读调查报告的

2014年该小区成年国民阅读图书的总数量约为

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考点：扇形统计图；用样本估计总体；统计表．分析：（1）1直接减去个部分的百分数即可；

（2）设从2009到2013年平均增长幅度为（3）根据（2）的结果直接计算．

解答：解：（1）m%=1﹣1.0%﹣15.6%﹣2.4%﹣15.0%=66%，

∴m=66．

（2）设从2009到2013年平均增长幅度为3.88×（1+x）=4.78，1+x≈1.05，x≈0.05，

4.78×（1+0.05）≈5．（3）990÷0.66×5=7500，

故2014年该小区成年国民阅读图书的总数量约为故答案为5，7500．

点评：本题考查了扇形统计图，能从图表中找到相关信息并加以利用是解题的关键．

21．（5分）（2014?北京）如图，AB是eO的直径，C是AB的中点，eO的切线BD交AC的延长线于点接BH．

（1）求证：AC=CD；（2）若OB=2，求BH的长．

D，E 是OB的中点，CE的延长线交切线

BD于点F，AF交eO于点H，连

x，列方程求出x的值即可；

x，列方程得，

7500本．

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考点：切线的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．分析：

（1）连接OC，由C是的切线，得

的中点，AB是⊙O的直径，则OC⊥AB，再由BD是⊙O

BD⊥AB，从而得出OC∥BD，即可证明AC=CD；

（2）根据点E是OB的中点，得OE=BE，可证明△COE≌△FBE（ASA），则BF=CO，即可得出BF=2，由勾股定理得出

AF=

，由AB是直径，得BH⊥AF，可

证明△ABF∽△BHF，即可得出BH的长．

解答：（1）证明：连接

∴O⊥AB，

∵BD是⊙O的切线，∴BD⊥AB，∴OC∥BD，∵OA=OB，∴AC=CD；

（2）解：∵E是OB的中点，∴OE=BE，

在△COE和△FBE中，

，

∴△COE≌△FBE（ASA），∴BF=CO，∴OB=2，∴BF=2，∴AF=

∵AB是直径，∴BH⊥AF，∴△ABF∽△BHF，

，

OC，

∵C是AB的中点，AB是⊙O的直径，

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∴=，

∴AB?BF=AF?BH，∴BH=

．

点评：本题考查了切线的性质以及全等三角形的判定和性质、勾股定理，是中档题，难度不

大．

22．（5分）（2014?北京）阅读下面材料：小腾遇到这样一个问题：如图小腾发现，过点

C作CE∥AB，交AD的延长线于点

2）．

75°，AC的长为

．

1，在△ABC中，

点D在线段BC上，∠BAD=75°，∠CAD=30°，AD=2，BD=2DC，求AC的长．

E，通过构造△ACE，经过推理和计算

能够使问题得到解决（如图请回答：∠ACE的度数为如图3，在四边形

参考小腾思考问题的方法，解决问题：

ABCD中，∠BAC=90°，∠CAD=30°，∠ADC=75°，AC与BD交于点E，

AE=2，BE=2ED，求BC的长．

考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理；解直角三角形．分析：

根据相似的三角形的判定与性质，可得得AD=AC，根据正切函数，可得的关系，根据勾股定理，可得答案．

解答：解：∠ACE=75°，AC的长为3．

过点D作DF⊥AC于点F．∵∠BAC=90°=∠DFA，∴AB∥DF，

=2，根据等腰三角形的判定，可

AB与DF

DF的长，根据直角三角形的性质，可得

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∴△ABE∽△FDE，∴∴EF=1，AB=2DF．

=2，

在△ACD中，∠CAD=30°，∠ADC=75°，∴∠ACD=75°，AC=AD．∵DF⊥AC，∴∠AFD=90°，

在△AFD中，AF=2+1=3，∠FAD=30°，∴DF=AFtan30°=∴AC=AD=2∴BC=

，AD=2DF=2

．

，AB=2DF=2

．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，

的性质，勾股定理．

五、解答题（本题共2），B（3，4）．

（1）求抛物线的表达式及对称轴；（2）设点B关于原点的对称点为间的部分为图象

点D纵坐标t的取值范围．

利用了相似三角形的判定与性质，直角三角形

22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）

xOy中，抛物线y=2x+mx+n经过点A（0，﹣

23．（7分）（2014?北京）在平面直角坐标系

C，点D是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在A，B之

G（包含A，B两点）．若直线CD 与图象G有公共点，结合函数图象，求

考点：待定系数法求二次函数解析式；待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值．

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分析：（1）将A与B坐标代入抛物线解析式求出

对称轴即可；（2）由题意确定出

m与n的值，确定出抛物线解析式，求出

C坐标，以及二次函数的最小值，确定出

D纵坐标的最小值，求

出直线BC解析式，令x=1求出y的值，即可确定出t的范围．

解答：解：（1）∵抛物线y=2x+mx+n经过点A（0，﹣2），B（3，4），

代入得：

，

解得：，

y=2x﹣4x﹣2，对称轴为直线

∴抛物线解析式为x=1；

（2）由题意得：C（﹣3，﹣4），二次函数y=2x﹣4x﹣2的最小值为﹣4，由函数图象得出

D纵坐标最小值为﹣

4，

设直线BC解析式为y=kx+b，将B与C坐标代入得：解得：k=，b=0，

∴直线BC解析式为y=x，当x=1时，y=，则t的范围为﹣4≤t≤．

，

点评：此题考查了待定系数法求二次函数解析式，

的最值，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．

待定系数法求一次函数解析式，以及函数

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24．（7分）（2014?北京）在正方形ABCD外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为E，连接BE，DE，其中DE交直线AP于点F．

（1）依题意补全图1；

AB，FE，FD之间的数量关系，并证

（2）若∠PAB=20°，求∠ADF的度数；

（3）如图2，若45°＜∠PAB＜90°，用等式表示线段明．

考点：四边形综合题．

分析：（1）根据题意直接画出图形得出即可；

（2）利用对称的性质以及等角对等边进而得出答案；（3）由轴对称的性质可得：用勾股定理得出答案．

解答：解：（1）如图1所示：

（2）如图2，连接AE，

则∠PAB=∠PAE=20°，AE=AB=AD，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD=90°，∴∠EAP=∠BAP=20°，∴∠EAD=130°，∴∠ADF=

=25°；

EF=BF，AE=AB=AD，∠ABF=∠AEF=∠ADF，进而利

（3）如图3，连接AE、BF、BD，由轴对称的性质可得：

EF=BF，AE=AB=AD，

∠ABF=∠AEF=∠ADF，∴∠BFD=∠BAD=90°，∴BF+FD=BD，∴EF+FD=2AB．

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点评：此题主要考查了正方形的性质以及勾股定理和等腰三角形的性质等知识，

的性质得出对应边相等是解题关键．

25．（8分）（2014?北京）对某一个函数给出如下定义：若存在实数值y，都满足﹣M＜y≤M，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的为这个函数的边界值．例如，如图中的函数是有界函数，其边界值是（1）分别判断函数求其边界值；

（2）若函数y=﹣x+1（a≤x≤b，b＞a）的边界值是取值范围；（3）将函数

y=x（﹣1≤x≤m，m≥0）的图象向下平移

≤t≤1？

利用轴对称

M＞0，对于任意的函数

M中，其最小值称1．

y=（x＞0）和y=x+1（﹣4≤x≤2）是不是有界函数？若是有界函数，

2，且这个函数的最大值也是2，求b的

t，

m个单位，得到的函数的边界值是

当m在什么范围时，满足

考点：二次函数综合题．

分析：（1）根据有界函数的定义和函数的边界值的定义进行答题；

（2）根据函数的增减性、边界值确定

a=﹣1；然后由“函数的最大值也是

2”来求b的

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取值范围；

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（3）需要分类讨论：m＜1和m≥1两种情况．由函数解析式得到该函数图象过点1，1）、（0，0），根据平移的性质得到这两点平移后的坐标分别是（﹣﹣m）；最后由函数边界值的定义列出不等式值范围：0≤m≤或≤m≤1．

解答：

解：（1）根据有界函数的定义知，函数

y=（x＞0）不是有界函数．

2+1=3；

（﹣

1，1﹣m）、（0，

≤1﹣m≤1或﹣1≤﹣m≤﹣，易求m取

y=x+1（﹣4≤x≤2）是有界函数．边界值为：

（2）∵函数y=﹣x+1的图象是y随x的增大而减小，∴当x=a时，y=﹣a+1=2，则a=﹣1

当x=b时，y=﹣b+1．则，

∴﹣1＜b≤3；

（3）若m＞1，函数向下平移界t≥1，与题意不符，故当x=0时，y都向下平移

m个单位后，x=0时，函数值小于﹣

1，此时函数的边

m≤1．

当x=﹣1时，y=1 即过点（﹣1，1）

最小

=0，即过点（0，0），

m个单位，则

（﹣1，1﹣m）、（0，﹣m）≤1﹣m≤1或﹣1≤﹣m≤﹣，∴0≤m≤或≤m≤1．

点评：本题考查了二次函数综合题型．掌握

的关键．

“有界函数”和“有界函数的边界值

”的定义是解题

2015年北京市高级中等学校招生考试

数学试卷

一、选择题

下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的。1．截止到2015年6月1日，北京市已建成

34个地下调蓄设施，蓄水能力达到

1 40 000立

方平米。将1 40 000用科学记数法表示应为A．14×10

B．1.4×10

C．1.4×10

D．0.14×10

2．实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，这四个数中，绝对值最大的是只供学习与交流

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A．a B．bC．cD．d

3．一个不透明的盒子中装有3个红球，2个黄球和1个绿球，这些球除了颜色外无其他差

别，从中随机摸出一个小球，恰好是黄球的概率为

4．剪纸是我国传统的民间艺术，下列剪纸作品中，是轴对称图形的为

5．如图，直线

l1，l2，l3交于一点，直线l4∥l1，若∠1=124°，∠2=88°，则∠3的度数为

A．26°C．46°6．如图，公路

B．36°D．56°

AC，BC互相垂直，公路

AB的中点M与点C被湖隔开，若测得

AM的长

为1.2km，则M，C两点间的距离为A．0.5km C．0.9km

B．0.6km D．1.2km

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在日平均气温这组数据中，众数和中位数分别

7．某市6月份日平均气温统计如图所示，则是

天

气温/C

A．21，21 B．21，21.5 C．21，22 D．22，22

8．右图是利用平面直角坐标系画出的故宫博物院的主要建筑分布图。若这个坐标系分别以正东、正北方向为

x轴、y轴的正方向。表示太和门的点坐标为（

0，-1），表示九龙壁点

的坐标为（4，1），则表示下列宫殿的点的坐标正确的

北

A．景仁宫（4，2）B．养心殿（-2，3）

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资料收集于网络，如有侵权C．保和殿（1，0）

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D．武英殿（-3.5，-4）

30元/次，若购买会员年卡，可享受如下优惠：

办卡费用（元）

50 200 400

每次游泳收费（元）

25 20 15

9．一家游泳馆的游泳收费标准为

会员年卡类型

A类B类C类

例如，购买A类会员卡，一年内游泳馆游泳的次数介于

20次，消费50+25×20=550元，若一年内在该游泳

式为

45~55次之间，则最省钱的方

A．购买A类会员年卡C．购买C类会员年卡10．一个寻宝游戏的寻宝通道如图

B．购买B类会员年卡D．不购买会员年卡1所示，通道由在同

一平面内的AB，BC，CA，OA，

设

OB，OC组成。为记录寻宝者的进行路线，寻宝者行进的时间为

在BC的中点M处放置了一台定位仪器，

y，若寻宝者匀速行进，且表

x，寻宝者与定位仪器之间的距离为

示y与x的函数关系的图象大致如图2所示，则寻宝者的行进路线可能为

A．A→O→B 二、填空题11．分解因式：

B．B→A→ＣC．B→O→ＣD．C→B→Ｏ

5x3-10x+5x=_________．

AB，BC，CD，DE，组成的平面图形，则∠1+∠2+∠53+∠4+∠5=_____．

12．右图是由射线

13．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的

基本框架。它的代数成就主要包括开放术、正负术和方程术。其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就。

《九章算术》中记载：

“今

有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两。问牛、羊各直只供学习与交流

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金几何？”

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译文：“假设有5头牛、2只羊，值金每只羊各值金多少两设每头牛值金

”

10两；2头牛、5只羊，值金8两。问每头牛、

x，每只羊各值金

y两，可列方程组为_____________．

a，

14．关于x的一元二次方程ax+bx+=0有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数

b的值：a=______，b=______．

15．北京市2009-2014年轨道交通日均客运量统计如图所示。根据统计图中提供信息，预估

2015年北京市轨道交通日均客运量约

________万人次，你的预估理由是

____________________________________________________________.

日均客运量/万人次

120010008006004002000

2009

2010

2011

2012

2013

2014

2015年份

390

510

600

670

930

880

16．阅读下面材料：

在数学课上，老师提出如下问题：

尺规作图：作一条线段的垂直平分线．已知：线段AB．

小芸的作法如下：

如图，

（1）分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于（2）作直线CD

C、D两点；

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老师说：“小芸的作法正确．请回答：小芸的作图依据是三、解答题（本题共29题8分）17. 计算：()

”

_________________________．

72分，第17—26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第

(7)

324sin60。

18. 已知2a

3a60. 求代数式3a(2a1)(2a1)(2a1)的值。

4(x1)

19. 解不等式组

7x10

，并写出它的所有非负整数解。

．．．．．

x83

20. 如图，在

求证：

ABC中，ABCBE

BAD。

AC，AD是BC边上的中线，BEAC于点E。

BDC

21. 为解决“最后一公里”的交通接驳问题，北京市投放了大量公租自行车供市民使用。到2013年底，全市已有公租自行车

25000辆，租赁点600个，预计到2015年底，全市将有公

的公租自行车数量是

2013年底平均每个租赁点的

租自行车50000辆，并且平均每个租赁点公租自行车数量的

1.2倍。预计到

2015年底，全市将有租赁点多少个？

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22. 在BF。

ABCD中，过点D作DEAB于点E，点F在边CD上，DFBE，连接AF，

(1)求证：四边形(2)若CF

BFDE是矩形；

3，BF4，DF5，求证：AF平分

DAB。

23. 在平面直角坐标系

xOy中，直线ykxb(k

0)与双曲线y

的一个交点为

P(2,m)，与x轴、y轴分别交于点A，B。

(1)求m的值；(2)若

PA2AB，求k的值。

B作⊙O的切线BM，弦

24. 如图，AB是⊙O的直径，过点且

CD//BM，交AB于点F，

MDO

DADC，链接AC，AD，延长AD交BM地点E。ACD是等边三角形。

2，求OE的长。

(1)求证：

(2)链接OE，若DE

25. 阅读下列材料：

2015年清明小长假，北京市属公园开展以虽然气温小幅走低，但游客踏青赏花的热情很高，中玉渊潭公园的樱花，北京

“清明踏青，春色满园

”为主题的游园活动，

190万人次，其

市属公园游客接待量约为

植物园的桃花受到了游客的热捧，两公园的游客接待量分别为

38万人次、21.75万人次；颐和园、天坛公园、北海公园因皇家春色成为游客的重要目的地，游客接待量分别为接待量为18万人次，熊猫馆的游客密集度较高。

园林的厚重文化底蕴与满园

26万人次，17.6万人次；北京动物园游客

2014年清明小长假，天气晴好，北京晴好，北京市属公园游客接待量约为其中，玉渊潭公园游客接待量比

2013年清明小长假增加了

200万人次，

26.2

25%；颐和园游客接待量为

万人次，比2013年清明小长假增加了只供学习与交流

4.6万人次；北京动物园游客接待量为22万人次。

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2013年清明小长假，玉渊潭公园、陶然亭公园、北京动物园游客接待量分别为32万人

次、13万人次、14.9万人次。根据以上材料回答下列问题：

(1)2014年清明小长假，玉渊潭公园游客

接待量为___________万人次。

(2)选择统计表或．统计图，将2013－2015年玉渊潭公园、颐和园和北京动物园的游客接待量表示出来。

27. 在平面直角坐标系xOy中，过点(0,2)且平行于x轴的直线，与直线y

x1交于点A，

点A关于直线

x1的对称点为B，抛物线C1:y

bxc经过点A，B。

(1)求点A，B的坐标；

(2)求抛物线C1的表达式及顶点坐标；(3)若抛物线C2:yax2

0)与线段AB恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值

范围。

28.在正方形ABCD中，BD是一条对角线，点P在射线CD上

29. 在平面直角坐标系xOy中，C的半径为r，P是与圆心C不重合的点，点P关于O

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资料收集于网络，如有侵权的反称点的定义如下：若关于

请联系网站删除在射线．．CP上存在一点

P及其关于

P，满足CPCP2r，则称P为点P

C的反称点，下图为点C的反称点P的示意图。

(1)当

O的半径为1时。

M(2,1)，N(

,0)，T(1,3)关于

①分别判断点求其坐标；

O的反称点是否存在，若存

在？

②点P在直线yx2上，若点P关于O的反称点P存在，且点P不在x轴上，

求点P的横坐标的取值范围；

(2)当

C的圆心在x轴上，半径为1，直线y

x23与x轴，y轴分别交于点A，

B，若线段AB上存在点P，使得点P关于坐标的取值范围。

C的反称点P在C的内部，求圆心

C的横

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