浙江大学概率论与数理统计复习题

武汉大学遥感信息学院函授 概率论与数理统计复习题

一．随机事件与概率

１．五卷文集按任意次序排列到书架上，则第一卷及第五卷分别在两端的概率为 （2. 若AB，则AB是 （B）

3. 事件Ａ、Ｂ、Ｃ至少有一个不发生可表示为 （ABC ）

4. 设A,B为两个事件，P(A)0.7，0P(B)1，求P(A|B)（ 0.3 ）

5． 某射手射击时，中靶的概率为（ ()1） 103，若射击直到中靶为止，求射击次数为３的概率？41423 ） 45．设AB，P(A)0.2，P(B)0.3，求P(AB). 解：P(AB)P(BA)P(B)P(A)0.1

6．某射手每次射击击中目标的概率为p，连续向同一目标射击，直到某一次击中目标为止，求射击次数X的分布律

解 在进行射击之前，无法知道射手在第几次射击时击中目标，因此射击次数X是离散型随机变量，显然，X的可能取值为1,2,，即一切正整数，而：

P{Xk}(1p)k1p k1,2, 上式即为X的分布律。

7. 某工厂生产的100个产品中有5件次品, 检查产品质量时, 在产品中取一半来检查, 如果发现次品不多于一个, 则这批产品可以认为是合格的。求这批产品被认为是合格的概率。 解：按题意，每批100个产品中应有5个次品，95个合格品．设事件A表示检查的50个产品中次品不多于1个，它可以看作两个互不相容事件之和：

AA0A1

其中A0表示检查的50个产品中没有次品， 而A1表示有1个次品．因为 ：

50C95 P(A0)500.028

C100149C5C95 P(A1)0.153 50C100所以P(A)P(A0)P(A1)0.181

8．设每100个男人中有5个色盲者，而每10000个女人中有25个色盲者，今在3000个男人和2000个女人中任意抽查一人，求这个人是色盲者的概率。

1

解 A{抽到的一人为男人}，B{抽到的一人为色盲者}，则

PA3251512，PBA， PA，PBA510000400100205于是，由全概率公式，有

312131。 PBPAPBAPAPBA520001000

9.（1）已知P(A)0.5，P(B)0.6，P(B|A)0.8，求P(AB)。（2）P(A)0.4，

P(B)0.5，P(A|B)0.8，求P(A|B)。

解 （1）利用加法公式、乘法公式计算事件概率

P(AB)P(B|A)P(A)0.4，P(AB)0.50.60.40.7。

（2）易知P(A)0.6，P(B)0.5，由P(AB)P(B)P(AB)0.4P(A)P(AB)，可得P(AB)0.2，从而

P(A|B)P(AB)0.20.4。

P(B)0.5

10. 某地有甲乙丙三种报纸，25%读甲报，20%读乙报，16%读丙报，10%兼读甲乙两报，5%读甲丙两报，4%读乙丙两报，2%读甲乙丙三报，求： （1）只读甲报所占比例；

（2）至少读一种报纸所占比例。

解 设读甲、乙、丙三种报纸的事件分别为：A,B,C，由已知条件，有

P(A)0.25，P(B)0.20，P(C)0.16，P(AB)0.10，P(AC)0.05，P(BC)0.04，P(ABC)0.02，从而有

（1）P(ABC)P(A(BC))P(A)P(A(BC))

P(A)P(ABAC)P(A)P(AB)P(AC)P(ABC) 0.250.100.050.020.12

（2）P(ABC)P(A)P(B)P(C)P(AB)P(AC)P(BC)P(ABC) 0.250.200.160.10.050.040.020.44.

二．一维随机变量

1(1x)ex1. 设随机变量X的分布函数为F(x)02．已知随机变量X的密度为f(x)1x01，求P{X1}。 （12e） x0Ax,0x1，求A。

0,其它解 由

f(x)dxAxdx0A1； 2可得A2。

2

C３．随机变量X的概率密度为f(x)1x２0

2x1其它 求C。 （

1） π4．若X~N(2,)，且P2X40.3，求PX0。

解 0.3=P2X4422220.5

故 20.8，PX02120.2。



ex5．随机变量X的概率密度为：f(x)0x0x0，求随机变量Y2X1的概率密度。

解 设y2x1，则y20，反函数x1y111y2fefY(y)2220y1，于是Y2X1概率密度为： 2y1。 y111y2y1，故f(y)e2Yy10

6．设随机变量X在[1,4]上服从均匀分布，现在对X进行3次试验，则至少有2次观察值大于2的概率为多少？

11x4解 X的概率密度为：f(x)3。一次试验观察值大于2的概率为：

其他012dx 2332设3次试验观察值大于2的次数为Y，则Y~B3,，从而：

3P{X2}4202132。 P{X2}CC3273332323

7．设随机变量X~N(2,σ)，且P(2X4)0.3，求P(X0)。 解 根据正态分布的密度函数关于均值点的对称性，有 P(X0)P(X2)P(0X2)

20.5P(2X4)0.5P(2X4) 0.50.30.2

8．如果函数f(x)Aex，x，为某个随机变量的概率密度，求A。

3

解 因为f(x)dx1，而Aexdx0Aexdx0AexdxAA2A。

故A12。

9. 已知 X 的概率分布为

X -1 0 1 2

1111pk

8842

求 Y = X 2

的分布律. 解

三．二维随机变量

1．若(,)的联合概率密度为：f(x,y)1(xy)ke,x0,y00 ,

其它 （1）确定常数k；（2）求P(2,2)。

解 （1）11xy1k0edx0edyk，故k1；

（2）P{2,2}22(x,y)dxdy2exdx200eydy(1e2)2

2．设随机变量(X,Y)的密度函数为

f(x,y)10x1,0y10其他，求概率P{X0.5,Y0.6}。

解 P{X0.5,Y0.6}0.60.5f(x,y)dxdy0.60.50dy0dx0.3

4

3．设二维随机变量(,)的分布函数

1Fx,yABarctanxABarctany1ABarctanxABarctany

2(1)求常数A,B；(2)求P0,0。

212解 (1)令F(,)(AB)1(AB)1

222111F(,)(AB)21(AB)20，得A,B

2222(2)P0,01P(0)P(0)P0,0

1F(0,)F(,0)F(0,0)1

1199 223232

4. 两个相互的元件串联成一系统，元件的寿命分别为,，其分布函数均为

x Fx1e0,1000,x0x0求系统的寿命短于1000小时的概率。

解 串联的两个元件至少一个损坏时，系统将停止工作，所求概率为， pP(1000)P(1000)P(1000,1000)

F(1000)F(1000)[F(1000)]21e11e1(1e1)21e2

四．随机变量的数字特征

1．设随机变量X服从参数为的泊松（Poisson）分布，且已知E(X1)(X2)1，求

 。

解 因EXDXλ，有1E(X3X2)DX(EX)3222，从而1。

2X)。 2．设随机变量X服从参数为 1 的指数分布，求E(Xe解 Eeeedx3e3xdx/31/3

00142X)1。 从而E(Xe332X2xx222

23．设随机变量X和Y的相关系数为0.5，求E(XY)。 EX2EY22，EXEY0，解 利用期望与相关系数的公式进行计算即可。因为

E(XY)2=EX22E(XY)EY242cov(X,Y)EXEY

42XYDXDY420.526

说明：本题的核心是逆向思维，利用公式E(XY)cov(X,Y)EXEY。

5

4．设两个相互的随机变量X和Y的方差分别为6和3，求随机变量2X3Y的方差。 解 由方差的性质，得 D(2X3Y)4DX9DY242751。

035．设连续型随机变量X的分布函数为F(x)x1x00x1，则求EX。 x13x2解 随机变量X的概率密度为：f(x)F(x)00x1其他，

EX

xf(x)dx103xdx，故

3103x3dx＝３／４。

5．设随机变量X的方差为2，求根据切比雪夫不等式有估计PXE(X)2。 解 由切比雪夫不等式，有PXE(X)2D(X)21。 4222

6．设随机变量X和Y的数学期望都是2，方差分别为1和4，而相关系数0.5，则根据切比雪夫不等式求PXY6。

解 E(XY)0，关键要求XY的方差。

D(XY)cov(XY,XY)DX2cov(X,Y)DY cov(X,Y)DXDY0.5141 D(XY)1243， 于是PXY6

31。 2126六七章．数理统计

1．样本(X1,X2,,X9)取自总体X~N(0,1)，X及S分别表示样本均值和均方差，则

XS/10服从什么分布？

解 因为X1,X2,,X9同分布，Xk~N(0,1)，所以XS/10t(101)t(9)，

2．设随机变量X1,X2,,Xn相互，且Xi~N(0,1),i1,2,,n则

22X2X12X2Xn服从什么分布。

解：χ(n)

3．设总体X~N(2,4)，X1,X2,,Xn为X的样本，则解 因X~N(2,4)，所以X~N2,222X24n服从什么分布。

4X2~N(0,1)，故选择，标准化后，有

n4n 6

X2~N(0,1) 4n

4．设随机变量Ｘ～Ｆ（ｍ，ｎ）则解 F(n,m)

25．设总体X~N(μ,3),X1,X2,,Xn为取自总体的一个样本，X为样本均值，要使

1服从什么分布。 XE(X)20.1成立，则样本容量n至少应取多大？

1122解 E(Xμ)DXDX30.1，得n90。

nn

(α1)xα6．设总体X的概率密度为：f(x)0然估计。

解：似然函数为：L(α)n0x1其它n，其中α1，求α的极大似

[(α1)xi1nαi](1α)xi1nαi

lnL(α)nln(α1)αlnxi

i1nlnL(α)nlnxi0 αα1i1nˆn1。 得极大似然估计：αlnxii1

7．设X服从参数为λ的指数分布

φ（λ）λeλxx0λ0

x1,x2,,xn是来自总体X的样本，求λ的极大似然估计。

解：似然函数为L(x1,x2,,xn;λ)λnei1nλxiλenλxii1n于是lnLnlnλλxi1ni

dlnLnnˆxi0得λ 令

dλλi1

nxi1ni1ˆ1为λ的极大似然估计。 ，因此，λxx 7