第２４卷 第１Ｏ期 Ｖｏ１．２４ Ｎｏ．１０ 电子设计工程 Ｅｌｅｃｔｒｏｎｉｃ Ｄｅｓｉｇｎ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ ２０１６年５月 Ｍａｖ ２０１６ 一个超混沌类 Ｌｏｒｅｎｚ系统的非线性动力 晦将 为及计算机仿真 徐鸿鹏，尹社会，张勇 （河南工业职业技术学院河南南阳４７３０００） 摘要：利用Ｍａｔｌａｂ软件和数学微分方程理论分析给出了一个新五维超混沌类Ｌｏｒｅｎｚ系统的非线性动力学特性。通 过定性分析和定量分析相结合的手段探讨了主要包括对称性、耗散性、平衡点的稳定性、空间相图、时序波形图等方 面的非线性动力学行为，并运用Ｗｏｌｆ＝方法计算出了系统的Ｌｙａｐｕｎｏｖ指数和Ｌｙａｐｕｎｏｖ维数，结合系统的不同运动状 态的分岔图、Ｐｏｉｎｃａｒ６映射图和功率谱图等手段进＿步表明该系统具有复杂的动力学特性，为进一步的混沌控制、同 步与加密通信等工程应用提供了理论依据。 关键词：类Ｌｏｒｅｎｚ超混沌系统；分岔；耗散性；功率谱 中图分类号：ＴＮ９１１．６；ＴＮ９１８．１ 文献标识码：Ａ 文章编号：１６７４—６２３６（２０ｌ６）１０—００３８－０４ Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｄｙｎａｍｉｃ ｂｅｈａｖｉＯｒ Ｏｆ ａ ｌｏｒｅｎｚ．１ｉｋｅ ｈｙｐｅｒｃｈａｏｔｉｃ ｓｙｓｔｅｍ ａｎｄ ｉｔｓ ｃｏｍｐｕｔｅｒ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ ｘｕ Ｈｏｎｇ—ｐｅｎｇ，ＹＩＮ Ｓｈｅ—ｈｕｉ，ＺＨＡＮＧ Ｙｏｎｇ （Ｈｅｎａｎ Ｐｏｌｙｔｅｃｈｎｉｃ Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ，Ｎａｎｙａｎｇ ４７３０００，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ｏｆ ａ ｎｏｖｅｌ ｆｉｖｅ－ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ Ｌｏｒｅｎｚ－ｌｉｋｅ ｈｙｐｅｒ－ｃｈａｏｔｉｃ ｓｙｓｔｅｍ ｉｓ ｆｕｒｔｈｅｒ ｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅｄ ｂｙ ｄｉｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌ ａｎａｌｙｓｉｓ ａｎｄ ｓｉｍｕｌａｔｉｖｅ ａｎａｌｙｓｉｓ ｂａｓｅｄ ｏｎ Ｍａｔｌａｂ ｓｏｆｔｗａｒｅ．Ｔｈｅ ｓｙｍｍｅｔｒｙ ｏｆ ｓｙｓｔｅｍ，ｄｉｓｓｉｐａｔｉｏｎ，ｔｈｅ ｓｔａｂｉｌｉｔｙ ｏｆ ｔｈｅ ｅｑｕｉｌｉｂｒｉｕｍ ｐｏｉｎｔｓ，ｔｈｅ ｐｈａｓｅ ｄｉａｇｒａｍ，ｔｉｍｅ ｄｏｍａｉｎ ｗａｖｅｆｏｒｍ，Ｌｙａｐｕｎｏｖ ｅｘｐｏｎｅｎｔｓ ａｎｄ Ｌｙａｐｕｎｏｖ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ，ｂｉｆｕｒｃａｔｉｏｎ ｄｉａｇｒａｍ，Ｐｏｉｎｃａｒ６ ｍａｐｐｉｎｇ ｄｉａｇｒａｍ ａｎｄ ｔｈｅ ｐｏｗｅｒ ｓｐｅｃｔｒｕｍ ａｒｅ ｇｉｖｅｎ ｂｙ Ｍａｔｌａｂ ｓｏｆｔｗａｒｅ．Ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔｓ ｓｈｏｗｅｄ ｔｈｅ ｎｏｖｅｌ ｃｈａｏｔｉｃ ｓｙｓｔｅｍ ｈａｓ ｒｉｃｈ ｄｙｎａｍｉｃ ｂｅｈａｖｉｏｒ．Ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌ ｂａｓｉｓ ｉｓ ｐｒｏｖｉｄｅｄ ｆｏｒ ｃｈａｏｔｉｃ ｃｏｎｔｒｏｌ，ｓｙｃｈｒｏｎｉｚａｔｉｏｎ ａｎｄ ｅｎｃｒｙｐｔｉｏｎ ｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎｓ ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ ａｎｄ ＳＯ ｏｎ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：Ｌｏｒｅｎｚ－ｌｉｋｅ ｈｙｐｅｒ－ｃｈａｏｔｉｃ ｓｙｓｔｅｍ；ｂｉｆｕｒｃａｔｉｏｎ；ｄｉｓｓｉｐａｔｉｏｎ；ｐｏｗｅｒ ｓｐｅｃｔｒｕｍ 著名的Ｌｏｒｅｎｚ系统是研究混沌现象的典型范例ｌｌ－２１。自从 ｏｒＬｅｎｚ在一个简单的三维自治系统中首先发现了蝴蝶混沌 吸引子之后，又有新的混沌吸引子不断被发现，１９９９年，Ｃｈｅｎ 系统和Ｌｎ系统相继被提出口 ，随后一个统一的混沌系统也 ：ｉ＝ａ（ｙ－ｘ）＋埘＋ ｙ＝ｃｘ－ｙ一２ｘｚ ２＝２ ２－ ｗ＝ｙｚ－ｄｗ ￣ｔ＝ｘｙ＋，ｚ （１） 被陈关荣和吕金虎提出并研究四。此后，国内外不少学者相继 提出新的混沌或超混沌系统 ，新系统的提出促进了人们对 混沌现象的深入研究和认识，提高了混沌理论在工程上的应 用能力。文献【８】提出了构造新超混沌系统的必要条件并构造 了一类新的五维超混沌类Ｌｏｒｅｎｚ系统嗍，但并未进行动力学 其中：（ ，Ｙ， ，Ｗ，“）∈Ｒ 为状态变量，Ⅱ，ｂ’ｃＩｄ为系统实参数。 当ａ＝１０，ｂ＝８／３，ｃ＝２８，ｄ＝２时，系统相空间的时间平均散度为 ＶＶ：粤＋荨＋ｄ％ｄｖ ｄ ＋ｚ ｄ ＋粤：ｗ Ｏｕ 一 １一ｂ一 ＜０ （２） 可知系统为一个耗散非线性动力系统，其轨线随着时间 方面的研究，文中通过数值仿真给出了系统的相图、时序波 形图、分岔图、Ｐｏｉｎｃａｒ６映射、功率谱图等，结果验证了该系统 属于超混沌系统及其丰富的动力学行为。 不断演化到一个不变的吸引子集合中，其初值取 （Ｏ．１，０：４，０．１，０．１，０．１），系统（１）的吸引子轨线的相图如图１ 所示。 １数学模型及其吸引子的存在性 章秀君等构造了一个五维超混沌类Ｌｏｒｅｎｚ系统的方程为【： ２ 系统的Ｌｙａｐｕｎｏｖ指数和Ｌｙａｐｕｎｏｖ维数 收稿日期：２０１５—０７—１３ 稿件编号：２０１５０７０８７ 由数值计算可得系统的５个Ｌｙａｐｕｎｏｖ指数分别为：Ａｌ＝ 基金项目：河南省科学技术发展计划项目（１４２３００４１０４１６） 作者简介：徐鸿鹏（１９８０一），男，河南南阳人，讲师。研究方向：计算物理和大学物理教学。 －３８－ 徐鸿鹏，等 一个超混沌类Ｌｏｒｅｎｚ系统的非线性动力学行为及计算机仿真 ０ ２Ｏ 图１吸引子相图 １．８６３ ９，Ａ２＝０．０４３ ５８９，Ａ３＝－０．７３３ ９３，Ａ４＝－４．６１２ ６，Ａ５＝－１２．１ｌ７ ６，其中有两个Ｌｙａｐｕｎｏｖ指数大于０，说明系统处于超混沌状 态。进一步通过Ｋａｐｌａｎ－Ｙｏｒｋｅ猜想可以得到其分形维数为： ２ ＡＩ＋Ａ２＝＝２＋ ０．７３３９３＋４．！： ６１２６＋１２．１ ： １７６ ＝２．１０９２ （３） 可见系统具有分数维数，进一步验证了系统处于混沌状态。 ３系统在超混沌态的时序波形、功率谱和 Ｐｏｉｎｃａｒ￣映射 对混沌系统的吸引子分析，其空间结构十分复杂，轨线无 穷延伸、压缩和折叠，其轨线在特定的吸引域内具有遍历性。 时域分析如图２所示也表明，序列具有典型的非周期性，且具 有对初值敏感依赖性。各个变量随时间演化的时序波形图如 图２所示。如果初值发生细微的变化，系统的行为会发生明显 的变化，如图３所示为初值取（０．１，０．４，０．１，０．１，０．１）和 （０．１，０．４＋０．Ｏ０００１，０．１，０．１，０．１）的时序图形。吸引子的非周期 性也可以通过系统的连续功率谱表现出来，采用快速Ｆｏｕｒｉｅｒ 变换法，对系统的第一个状态变量 的时间序列进行功率谱 分析如图４所示。由于是非周期运动，所以表现出连续功率 谱，又由于存在分又现象，所以有峰值出现。 溅ａ瓣 ＾撼糖糟ｌ鹊 蜘 喊蚋 黼 辫 ｛目 图２时序波形图 混沌系统的Ｐｏｉｎｅａｒ６截面上是沿几条曲线弧分布着一些 具有分形结构的密集点，如图５所示，图中给出了ｘ—Ｙ平面上 的Ｐｏｉｎｃａｒ６映射，进一步说明了系统处于混沌态。 ４系统的平衡点分析 令系统（１）右边等于０，当ａ＝ｌＯ，ｂ＝８／３，ｃ＝２８，ｄ＝２时，经计 算系统有无穷多个平衡点：Ｓ０（０，Ｏ，０，０，０），．ｓ （０，ｃ，０，０，－ｌＯｃ）， （４．３２，０，１４．０，０，４３．２），Ｓ３（一４．３２，０，１４．０，０，一４３．２），＆（一 １３－３，２５．３，１Ｉ３３，１６．９，一２８４．０）。 ， 图３初值敏感性时序波形图 按 褂 雷 １ 器 图４功率谱图 图５ Ｐｏｉｎｃａｒ６映射 在平衡点．ｓ。（０，０，０，Ｏ，０）处线性化系统（１）可得其Ｊａｃｏｂｉ 矩阵， 一１０．０ ０ １０．０ １．００ １．００ ２８．０—１．ｏｏ ０ ０ ０ ０ ０ —２．６７ ０ ０ （４） ０ ０ ０ —２．Ｏ０ ０ ０ ０ ０ ０ ０ 由 ＝ｏ可得５个特征值为Ａｌ一１，Ａ２—１０，Ａ３—２．６６６７， Ａ４－一２，Ａ５＝０。其中４个负的实根表示在这４个方向收缩，因此 平衡点５０（０，０，０，０，０）为稳定的结点。 在系列平衡点Ｓ （０，ｃ，０，０，一１０ｃ）处线性化系统（１）可得 其Ｊａｃｏｂｉ矩阵（为分析方便取ｃ＝１）， 一１０．０ ０ １０．０ １．００ １．Ｏ０ ２８．０—１．００ ０ ０ ０ ０ Ｏ 一２．６７ ０ ０ （５） ０ Ｑ ０ 一１．００—２－０Ｏ １．００ ０ １．Ｏ０ ０ ０ ——３９－ 《电子设计工程）２０１６年第１Ｏ期 由ＩＡＩ－ＪＩ＝０可得５个特征值为Ａｌ＝一１，Ａ２一１０．０９９，Ａ３ 在平衡点Ｓ （一ｌ３．３，２５．３，ｌ－３３，１６．９，一２８４．０）处线性化系 ０．０９９，Ａ４＝一２，Ａ５—２．６６６７。其中４个负的实根表示在这２个方 统（１）可得其Ｊａｃｏｂｉ矩阵， 向收缩，１个正的实根表示在这１个方向扩张，因此平衡点Ｓ 一１０．０ Ｏ １０．０ １．０Ｏ １．０ｏ （０，ｃ，０，０，一１０ｃ）为不稳定的指标１的鞍点。 ２５．３４—１．ｏｏ ２．６６ Ｏ ０ —５－３２ ０ —２．６７ ０ ０ （８） 在平衡点．ｓ２（４．３２，０，１４．０，０，４３．２）处线性化系统（１）可得 ０ １＿３３ ２５．３０—２．００ Ｏ ２５．３Ｏ ０ ２５．３０ Ｏ ０ 其Ｊａｃｏｂｉ矩阵， 由ＩＭ－Ｊ１－Ｏ可得５个特征值为Ａ１—９．１１４９，Ａ２—２．６０５９＋ －１０．０ ０ １０．Ｏ １．００ １．００ ０ —１．０ｏ一８．６４ ０ ０ ４．５３１５ｉ，Ａ３＝－２．６０５９—４，５３１５ｉ，Ａ４＝一０．６７＋０．３００３ｉ，Ａｓ＝一０．６７— ｌ７．２８ ０ —２．６７ ０ ０ （６） ０ １４．Ｏ ０ —２．０ｏ ０ ０．３００３ｉ。其中１个负的实根表示在这１个方向收缩，２对共轭 ０ １８．３２ ０ ０ ０ 复根的实部为负说明平衡点Ｓ（一１３．３，２５．３，１．３３，１６．９，＿２８４．０） 由ＩＡＩ－ＪＩ＝Ｏ可得５个特征值为Ａｌ＝一１９．４５３４，Ａ２＝５．５１９３＋ 为稳定焦点。 ３．１９４２ｉ，Ａ３＝５．５１９３－３．１９４２ｉ，Ａ４＝－６．１２２４，Ａ５＝一１．１２９５。其中３ 通过以上分析，在参数ａ＝１０，ｂ＝８／３，ｃ＝２８，ｄ＝２下，系统产 个负的实根表示在这３个方向收缩，一对共轭复根的实部为正 生混沌现象。 说明平衡点 （４．３２，０，１４．０，０，４３．２）为指标２的不稳定鞍点。 在平衡点Ｓ３（一４．３２，０，１４．０，０，一４３．２）处线性化系统（１）可 ５系统参数的影响 得其Ｊａｃｏｂｉ矩阵， 非线性动力系统的动力学行为主要由系统参数决定，随 一１０．０ ０ １０．０ １．００ １．０ｏ 着系统参数的变化，系统表现出极限环（周期轨或拟周期轨） Ｏ —１．０ｏ ８．６４ ０ ０ １７．２８ ０ －２．６７ Ｏ ０ （７） 和奇怪吸引子等不同的非线性行为，即出现Ｈｏｐｆ分叉和混沌 ０ １４．０ ０ —２．００ ０ 现象。分岔图显示，当固定其余参数只有一个参数发生变化 ０ ９．６８ Ｏ Ｏ Ｏ 由ｌＡ 可得５个特征值为Ａｔ一６．９５４９＋１２．１５０４ｉ，Ａ２— 时，系统表现出不同的动力学行为，为叙述方便，这里只列出 ６．９５４９—１２．１５０４ｉ，Ａ３＝一０．４７４６＋４．２４６７ｉ，Ａ４＝一０．４７４６—４．２４６７ｉ， 改变参数的区间范围。在口Ｅ【１０，１６］，ｂ∈【２．４，４．５】，ｃ∈ ［８，２８．５】，ｄ∈［０，２ｏ］，区间内变化，系统表现出混沌或超混沌行 Ａ 一０．８ｏ７６。其中１个负的实根表示在这１个方向收缩，２对 为，如图６所示。下面通过吸引子相图可以进一步验证分岔图 共轭复根的实部为负说明平衡点Ｓ。（一４．３２，０，１４．０，０，－４３．２） 中的结论，如图７所示。 为稳定焦点。 ｔ－－－－ ｉｌ＇ＭｉＩ ｉＩｉＩ ｌ ｌ｜ｔｌｌ＇！ｌｌ ：：； ， ｌｉ瘪Ｃｉｔ ！ ｊｉｌｌ ｉＩｉ ＇￣１…缸．－．… ０ １ ２ １ ４ １６ １ ８ （ａ） —ｎ （ｂ）舻．６ ５ ｌ ０ １ ５ ２０ Ｃ ｄ （ｃ） ．Ｉｃ （ｄ） —ｄ 图６参数对变量ｘ的分岔图 ６结 论 本动力学行为进行了深入的研究，包括功率谱、Ｐｏｉｎｃａｒｅ截 面、分岔图等。分析表明该系统具有丰富的动力学行为，系统 文中研究了一种五维超混沌类Ｌｏｒｅｎｚ系统，对系统的基 在参数变化时的动力学行为的演变呈现出周期、复杂周期（拟 －４０－ 徐鸿鹏，等一个超混沌类Ｌｏｒｅｎｚ系统的非线性动力学行为及计算机仿真 图７周期轨或拟周期轨相图 周期）、混沌以及超混沌运动，这些结论为系统的电子振荡电 【Ｊ］．Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｂｉｆｕｒｃａｔｉｏｎ ａｎｄ Ｃｈａｏｓ，２００２，１２ （３）：６５９－６６１． 路的实现和通信工程设计等应用提供了理论依据。 参考文献： ［５】Ｊｉｎ－ｈｕ Ｌａ，Ｇｕａｎ－ｒｎｇ Ｃｈｅｎ，ａＤａｉ－ｚｈａｎ ＣＨＥＮＧ，ｅｔｃ．Ｂｒｉｄｇｅ ｈｅ ｇａｐ ｂｅｔｔｗｅｅｎ ｔｈｅ Ｌｏｒｅｎｚ ｓｙｓｔｅｍ ａｎｄ ｔｈｅ Ｃｈｅｎ ｓｙｓｔｅｍ［Ｊ］． Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｂｉｆｕｒｃａｔｉｏｎ ａｎｄ Ｃｈａｏｓ，２００２，１２ 【ｌ】Ｌｏｒｅｎｚ Ｅ．Ｎ．Ｄｅｔｅｒｍｉｎｉｓｔｉｃ ｎｏｎ－ｐｅｒｉｏｄｓ ｆｌｏｗｓ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ａｔｍｏｓｐｈｅｒｅ Ｓｃｉｅｎｃｅ，１９６３，２０（２）：１３０—１４１． ［２】尹社会，张勇，张付臣，等．基于Ｌｏｒｅｎｚ系统的强迫 ｒｅｎｚ混 沌系统的动力学研究阴．东北师大学报：自然科学版， ２０１４，４６（１）：４２—４７． （１２）：２９１７—２９２６． ［６］尹社会，张勇，皮小力．自治混沌系统的动力学行为及计 算机仿真［Ｊ］．广西物理，２０１５，３６（１）：３２－３７． 【３】Ｇｕａｎ－ｒｏｎｇ ＣＨＥＮ，Ｔｅｔｓｕｓｈｉ ＵＥＴＡ．Ｙｅｔ ａｎｏｔｈｅｒ ｃｈａｏｔｉｃ ａｔｔｒａｃｔｏｒ［Ｊ］．Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｂｉｆｕｒｃａｔｉｏｎ ａｎｄ Ｃｈａｏｓ， １９９９，９（７）：１４６５－１４６６． ［７】高智中．一个新超混沌系统及其线性反馈同步［Ｊ］．中山大 学学报：自然科学版，２０１２，５１（６）：３０—３４． 【８】章秀君，吴志强，方正．超混沌系统的构造方法研究［Ｊ］．计 算机工程与应用，２０１４，５０（２）：９２—９８，１５１． ［４】Ｊｉｎ－ｈｕ ＬＵ，Ｇｕａｎ－ｒｏｎｇ Ｃｈｅｎ．Ａ ｎｅｗ ｃｈａｏｔｉｃ ａｔｔｒａｃｔｏｒ ｃｏｉｎｅｄ （上接第３４页） 束形成算法［Ｊ］．计算机仿真，２Ｏ１０（３）：３１８—３２１＿ ［６】金伟，贾维敏，姚敏立．迭代对角加载采样矩阵求逆鲁棒自适 应波束形成［Ｊ］．电子与信息学报，２０１２，３４（５）：１１２０－１１２５． 【７】刘聪锋，杨洁，甘昶．加栽与约束结合的主瓣干扰抑制方向图 ｐｕｔｉｎｇ Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ＆Ｃｏｎｔｒｏｌ，２０１２，８（３Ｂ）：２１３７—２１４８． ［１１】倪淑燕，程乃平，倪正中．改进的广义特征空间波束形成算法 【Ｊ】．遥测遥控，２０１０（２）：６． ［１２］贺顺，杨志伟，廖桂生．迭代子空间跟踪和结构约束的自适应 波束形成算法［Ｊ］．信号处理，２０１２，２８（２）：２２６－２３１． ［１３１闫冰冰，代月花，陈军宁，等．一种简化特征空间稳健自适应 保形［Ｊ］．电波科学学报，２０１２，２７（２）：３４４－３４９． ［８］赵永波，张守宏．基于特征空间的线性约束最小方差波束形 成器［Ｊ］．电子与信息学报，２００５，２７（３）：４２３－－４２６． ［９】Ｈｅ Ｚ Ｑ，Ｓｈｉ Ｚ Ｐ，Ｈｕａｎｇ Ｌ，ｅｔ １．Ｕｎｄｅｒａｄｅｔｅｒｍｉｎｅｄ ＤＯＡ Ｅｓ－ ｔｉｍａｔｉｏｎ ｆｏｒ Ｗｉｄｅｂａｎｄ Ｓｉｇｎａｌｓ Ｕｓｉｎｇ Ｒｏｂｕｓｔ Ｓｐａｒｓｅ Ｃｏｖａｒｉ－ 波束形成算法［Ｊ］．计算机应用研究，２０１１，２８（１１）：４０５７－４０５９． 【１４］Ｈｕａｎｇ Ｆ，Ｓｈｅｎｇ Ｗ，Ｍａ Ｘ．Ｍｏｄｉｉｆｅｄ ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎ ａｐｐｒｏａｃｈ ｆｏｒ ｒｏｂｕｓｔ ａｄａｐｔｉｖｅ ａｒｒａｙ ｂｅａｍｆｏｒｍｉｎｇ【Ｊ］．Ｓｉｇｎａｌ Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ，２０１２， ９２（７）：１７５８－１７６３． 【１５］Ｌｉｅ Ｊ Ｐ，Ｓｅｒ Ｗ，Ｓｅｅ Ｃ Ｍ Ｓ．Ａｄａｐｔｉｖｅ ｕｎｃｅｒｔａｉｎｔｙ ｂａｓｅｄ ｉｔｅｒ－ ａｔｉｖｅ ｒｏｂｕｓｔ Ｃａｐｏｎ ｂｅａｍｆｏｒｍｅｒ ｕｓｉｎｇ ｓｔｅｅｒｉｎｇ ｖｅｃｔｏｒ ｍｉｓ— ａｎｃｅ Ｆｉｔｔｉｎｇ［Ｊ１．ＩＥＥＥ Ｓｉｎａｌｇ Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ Ｌｅｔｔｅｒｓ，２０１５，２２（４）： ４３５—４３９． ［１０］Ｌｉｕ Ｗ，Ｄｉｎｇ Ｓ，Ｊｉｎ Ｍ，ｅｔ ａ１．Ａ ＲＯＢＵＳＴ ＤＯＡ／ＢＥＡＭ－ ＦＯＲＭＩＮＧ ＡＬＧ０ＲＩＴＨＭ ＵＳＩＮＧ ＴＨＥ Ｃ０ＮＳＴＡＮＴ ＭＯＤＵ． ｍａｔｃｈ ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ［Ｊ］．ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ ｏｎ Ｓｉｇｎａｌ Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ， ２０１ １，５９（９）：４８３－４４８８． ＬＵＳ ＦＥＡＴＵＲＥ【Ｊ】．Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆＩｎｎｏｖａｔｉｖｅ Ｃｏｒｎ． （上接第３７页） 业出版社，２０１４． ２０１４． 【１３］Ｔａｎ Ｐ Ｎ．Ｉｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎ ｔｏ ｄａｔａ ｍｉｎｉｎｇ［Ｍ］．Ｐｅａｒｓｏｎ Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ 【１６］李应安．基于ＭａｐＲｅｄｕｃｅ的聚类算法的并行化研究［Ｄ］．广 Ｉｎｄｉａ，２００７． ［１４］Ｗｉｋｉｐｅｄｉａ．ｋ—ｍｅａｎｓ－ｃｌｕｓｔｅｒｉｎｇ［ＥＢ／ＯＬ］．［２０１５一ｌ２—０８］ｈｔｔｐ：／／ 州：中山大学，２０１０． ［１７１范东来．Ｈａｄｏｏｐ海量数据处理：技术详解与项目实战【Ｍ】．北 ｅｎ．ｗｉｋｉｐｅｄｉａ．ｏｒｇ／ｗｉｋｉ／ｋ—ｍｅａｎｓ－ｃｌｕｓｔｅｒｉｎｇ． 【１５］樊哲．Ｍａｈｏｕｔ算法解析与案例实战【Ｍ］．北京：械工业出版社， 京：人民邮电出版社，２０１５（３）：２９Ｏ一２９６． －４１－
