1. 普氏理论的基本假定
氏理论
普氏理论在自然平衡拱理论的基础上，作了如下的假设：
（1） 岩体由于节理的切割，经开挖后形成松散岩体，但仍具有一定的粘结力； （2） 硐室开挖后，硐顶岩体将形成一自然平衡拱。在硐室的侧壁处，沿与侧壁夹
角为45-的方向产生两个滑动面，其计算简图如图1所示。而作用在硐顶的围岩
2压力仅是自然平衡拱内的岩体自重。
图1 普氏围岩压力计算模型
（3） 采用坚固系数f来表征岩体的强度。其物理意为：
但在实际应用中，普氏采用了一个经验计算公式，可方便地求得f值。即 式中 Rc——单轴抗压强度（MPa）。
f —— 一个量纲为1的经验系数，在实际应用中，还得同时考虑岩体的完整
性和地下水的影响。
（4） 形成的自然平衡拱的硐顶岩体只能承受压应力不能承受拉应力。 2. 普氏理论的计算公式
（1） 自然平衡拱拱轴线方程的确定
为了求得硐顶的围岩压力，首先必须确定自然平衡拱拱轴线方程的表达式，然后求出硐顶到拱轴线的距离，以计算平衡拱内岩体的自重。先假设拱周线是一条二次曲线，如图2所示。在拱轴线上任取一点M（x,y），根据拱轴线不能承受拉力的条件，则所有外力对M点的弯矩应为零。即
qx20 （a） Ty2式中 q——拱轴线上部岩体的自重所产生的均布荷载； T——平衡拱拱顶截面的水平推力；
x，y——分别为M点的x，y轴坐标。 上述方程中有两个未知数，还需建立一个方程才能求得其解。由静力平衡方程可知，上述方程中的水平推力T与作用在拱脚的水平推
图2 自然平衡拱计算简图
力T＇数值相等，方向相反。即
T=T＇
由于拱脚很容易产生水平位移而改变整个拱的内力分布，因此普氏认为拱脚的水平推力T＇必须满足下列要求
T＇≤qa1f （b）
即作用在拱脚处的水平推力必须小于或者等于垂直反力所产生的最大摩擦力，以便保持拱脚的稳定。此外，普氏为了安全，又将水平推力降低一半后，令T= qa1f/2，代入（a）式可得拱轴线方程为
显然，拱轴线方程是一条抛物线。根据此式可求得拱轴线上任意一点的高度。 当侧壁稳定时，x=a，y=b，可得
当侧壁不稳定时，x=a1，y=b1时，可得
式中 b、b1——拱的矢高，即自然平衡拱的最大高度；
a—— 侧壁稳定时平衡拱的跨度；
a1——自然平衡拱的最大跨度，如图1所示。可按下式计算
根据上式，可以很方便地求出自然平衡拱内的最大围岩压力值。 （2） 围岩压力的计算
普氏认为：作用在深埋松散岩体硐室顶部的围岩压力仅为拱内岩体的自重。但是，在工程中通常为了方便，将硐顶的最大围岩压力作为均布荷载，不计硐轴线的变化而引起的围岩压力变化。据此，硐顶最大围岩压力可按下式计算 普氏围岩压力理论中的侧向压力可按下式计算
普氏理论在应用中注意首先必须保证硐室有足够的埋深，岩体开挖后能够形成一个自然平衡拱，这是计算的关键；其次是坚固性系数f值的确定，在实际应用中，除了按公式计算外，还必须根据施工现场、地下水的渗漏情况、岩体的完整性等，给予适当的修正，使坚固系数更全面地反映岩体的力学性能。 2. 普氏理论评述
普氏理论是建立在两种假定基础上的，其一是假定硐室围岩为无内聚力的散体，另一是假定硐室上方围岩中能够形成稳定的普氏压力拱。正是因为这两种假定，才使得围岩压力的计算大为简化。但是，普氏理论仍然存在以下问题：
(1)普氏理论将岩体看作为散体，而绝大多数岩体的实际情况并非如此。只是某些断裂破碎带或强风化带中的岩体才免强满足这种假定条件； (2)在普氏理论中，引进了岩体的坚固系数f的概念。由fctan可知，f为正
应力σ的函数，而并非岩体的特性参数，此外也无法通过实验来确定f值；
(3)据普氏理论，硐室顶部中央围岩压力最大，但是许多工程的实际顶压根本不是这样的，其最大顶压常常偏离拱顶。这种现象是普氏理论难以解释的；
(4)普氏理论表明，硐室围岩压力只与其跨度有关，而与断面形式、上覆岩层厚度，以及施工的方法、程度和进度等均无关。这些均与事实不完全相符。
以上问题的出现均是由于普氏理论提出的假定条件与实际不符造成的。因此，使用普氏理论时必须注意计算对象是否与公式中的假定条件相符，也即围岩是否可以看作没有内聚力的散体、硐室顶部围岩中是否能够形成压力拱、围岩是否出现明显偏压现象及岩体的坚固系数f选择是否合适等。总之，如果工程实际情况与普氏理论中提出的假定条件吻合，则可以获得较为满意的计算结果。
如上所述，普氏理论的基本前提条件是确定硐室顶部之上的岩体（围岩）能够自然形成压力拱，这就要求硐室顶部之上的岩体具有相当稳定性及足够厚度，以便承受岩体自重力及作用于其上的其他外荷载。因此说，能否形成压力拱，就成为采用普氏理论计
算围岩压力的关键所在。以下情况．由于不能形成压力拱，所以不可以采用普氏理论计算围岩压力：
（1）岩体的坚固系数f＜，硐室埋深H不到压力拱高b1的2～倍，或者小于压力拱跨度2a1的倍，即H＜2b1～，H＜5a1。这里所说的硐室埋深是指由硐顶衬砌顶部至地表面（当基岩直接出露时）或松散堆积物（例如土层）接触面的竖直距离；
（2）采用明挖法施工的地下硐室；
（3）坚固系数f＜0的软土体，例如淤泥、淤泥质土、粉砂土、粉质粘土、轻亚粘土及饱和软粘土等，由于不能形成压力拱，所以也不便引用普氏理论计算硐室周围的土压力。
太沙基理论
在太沙基理论中，假定岩体为散体，但是具有一定的内聚力。这种理论适用于一般的土体压力计算。由于岩体中总有一定的原生及次生各种结构面，加之开挖硐室施工的影响，所以其围岩不可能为完整而连续的整体，因此采用太沙基理论计算围岩压力（松动围岩压力）收效也较好。
太沙基理论是从应力传递原理出发推导竖向围岩压力的。如图1所示，支护结构受到上覆地压作用时，支护结构发生挠曲变形，随之引起地块地移动。当围岩的内摩擦角为φ时，滑移面从隧道底面以45°−到达地表面。
图1 浅埋隧道松弛地压
但实际上推算AE和BI曲线是不容易的，即使推算出来，以后的计算也变得很复杂，故近似地假定为AD、BC两条垂直线。此时，设从地表面到拱顶的滑动地块的宽度为2a1，其值等于：
2a1=2[a+htan(45°+
φ2
φ2
的角度倾斜，到硐顶后以适当的曲线AE和BI
)] （1）
式中 a——硐室半宽； H——开挖高度。
假定硐室顶壁衬砌顶部AB两端出现一直延伸到地表面的竖向破裂面AD及BC。在ABCD所圈出的散体中，切取厚度为dz的薄层单元为分析对象。该薄层单元受力情况如图1所示，共受以下五种力的作用：
（1）单元体自重
G=∫2a1γdz （2） （2）作用于单元体上表面的竖直向下的上覆岩体压力
P=2a1δv （3）
（3）作用于单元体下表面的竖直向上的下伏岩体托力
T=∫2a1(δv+dδv) （4） （4）作用于单元体侧面的竖直向上的侧向围岩摩擦力
F=∫τfdz （5）
（5）作用于单元体侧面的水平方向的侧向围岩压力
S=∫k0δvdz （6）
式中 a1——开挖半宽； γ——岩体容重；
σv——竖向初始地应力； k0——侧压力系数；
dz——薄层单元体厚度； τf——岩体抗剪强度； 初始水平地应力为
σh=k0σv （7）
则岩体抗剪强度为
τf=σhtanφ+c=k0σvtanφ+c（库伦准则） （8） 式中 c——岩体内聚力； φ——岩体内摩擦角。 将式（8）带入式（5）得
F=∫(k0σvtanφ+c)dz （9） 薄层单元体在竖向的平衡条件为
∑Fv=P+G−T−2F=0 (10)
将式（2）、式（3）、式（4）及式（9）代入式（10）得
2a1δv+∫2a1γdz−∫2a1(δv+dδv)−2∫(k0σvtanφ+c)dz=0 （11） 整理式（11）得
∫由式（12）解得
σv=
a1γ−ck0dσvdz
+(
k0tanφa1
)σv=γ−a (12)
1
ktanφ−0z
a1
c
(1+Aetanφ
) （13）
边界条件：当z=0时， σv =p0(地表面荷载)。将该边界条件代入式（13）得
A=
将（14）代入式（13）得：
k0p0tanφa1γ−c
−1 (14)
σv=
a1γ−ck0
(1−etanφ
ktanφ
−0z
a1
)+p0e
ktanφ
−0za1
（15）
式中 z——薄层单元体埋深。
将z=H代入式（15）时，可以得到硐室顶部的竖向围岩压力q为：
q=设n=
Ha1
a1γ−ck0
(1−etanφ
kHtanφ
−0
a1
)+p0e
kHtanφ−0
a1
（16）
为相对埋深系数，代入式（16）得：
a1γ−ck0
q=
1−e−k0ntanφ)+p0e−k0ntanφ （17） (tanφ
式(17)对于深埋硐室及浅埋硐室均适用。将n→∞代人式（17），可以得到埋深很大的硐室顶部竖向围岩压力q为：
q=
a1γ−ck0tanφ
（18）
由式(18)可以看出，对于埋深很大的深埋硐室来说，地表面的荷载P0对硐室顶部竖
向围岩压力q已不产生影响。
太沙基根据实验结果得出，k0=～。如果取k0=，并以f代tanφ，由式（18）得：
q=
a1γ−ck0tanφ
=
a1γf
=γh1 (h1=1) （19）
f
a
这和普氏理论中的垂直应力计算公式完全一致。
作用在侧壁的围岩压力假设为一梯形，而梯形上、下部的围岩压力可按下式计算：
φ
e1=qtan(45°−)
2
2
e2=e1+γhtan2(45°−) （20）
2上述公式中，a1=a+htan(45°−
φ2
φ
)。
下面举例说明n对q的影响。当k0=1、p0=0时，式（17）为：
假设为Ⅴ级围岩，γ=17kN/m3，φ=20°，c=，a1=15m，则
a1γ−cq=(1−e−ntanφ)
tanφq=563.1868(1−e−0.364n)
从上图可看出，当n=14时，函数曲线已接近水平，q值变化很小 。
从另一个方面说明，对于Ⅴ级围岩，双线铁路隧道，荷载影响超过200m，这是普氏理论所无法解释的，所以，这时候应用普氏理论要慎重。
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