一个简化的潮汐预报准调和分析方法

王如云

1，2

,李慧娟

1，2

，蒋风芝

2

（1 河海大学水文水资源与水利工程科学国家重点实验室，南京210098； 2 河海大学海洋学院，南京210098）

摘要：在用现有的浅水港日潮汐准调和分析预报方法进行潮汐分析预报时，发现最小二乘法的法方程组的系数矩阵条件数很大，数量级在10，因此矩阵是坏条件的(或为病态的)，算法不稳定。根据潮汐动力学寻找高频潮族与低频潮族之间可能的相互作用关系，在只考虑相角的变化率情况下，建立了一个简化的浅水准调和分析模型。利用连云港的多年实测数据检验，简化的准调和分析模型相对于原准调和分析模型来讲，最小二乘法的法方程组系数矩阵条件数小很多，因此简化后的模型计算更为稳定。在实测数据时间较长的情况下，简化前后的模型预报精度相当。但当实测数据较短时，简化前的原模型却没有传统的调和分析模型的预报结果精度高，而简化后的模型却能保持比传统的调和分析模型的预报结果有一定的改善。特别是简化后比简化前的模型计算时间减少了68%。 关键词：浅水潮汐；准调和分析；潮汐预报

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1 引言

在潮汐预报方面，一般采用调和分析方法，在深水区域此方法可以获得很好的预报效果，但在浅水区域尤其是河口区域，由于浅水潮汐的复杂性，采用此方法往往不能获得满意的效果。例如杜德森提出的60个分潮[1]，其结果不能令人满意。为此，杜德森后来又提出了一个直接对高低潮进行浅水改正的方法[2]，该方法虽然使高低潮的预报精度有了提高，但把它应用到逐时潮位预报上则有许多困难和不便之处。在浅水区域由于非线性效应的加大，潮波往往产生畸变。此时，高频振动的作用必须予以充分考虑。为了提高浅水区域潮汐预报的精度，从调和分析方法来讲就必须增加高频的浅水分潮。在水深不太浅的区域，浅水分潮的振幅会随着阶数的增高而迅速减小，所以在一般港口采用较少数目的主要浅水分潮即可满足潮汐预报的要求。但在浅水区，常常需要考虑到六阶甚至更高阶的相互作用，才能满足潮汐预报的要求。上个世纪六十年代，一些潮汐学者试图通过扩充高频分潮的数目以使预报结果获得改进，如Zelter and Cumimngs[3]以及Rossiter and Lennon[4]曾将分潮的数目扩充到110多个，但效果并不理想。方国洪等人认为，不理想的原因在于随着频率的增加，高频分潮的数目极速的增加，不可能从中挑选出少数分潮近似代替所有分潮，难以用有限数目的浅水分潮来体现总的浅水效应。可以认为通过增加浅水分潮以改进潮汐预报，其效果可能是比较有限的。

[5]

基于以上分析，方国洪等提出了一个浅水潮汐预报的准调和分析方法，可以用来推算任意时刻的潮高，也可以用来推算高、低潮，效果比传统的调和分析法有了显著的改进。但我们使用此方法对连云港的多年潮位实测数据进行分析预报时，发现最小二乘法的法方程组系数矩阵条件数很大，算法不稳定。为此，我们对浅水准调和分析模型进行了简化，简化后的模型计算更为稳定，计算时间大为减少。

2 准调和分析方法介绍

[5]

方国洪等人提出的浅水预报准调和方法思路是把潮高分做两部分，一部分为低频部分，由 基金项目：水文水资源与水利工程科学国家重点实验室开放研究基金(2005407411)；中国教育部科学技术研究重点项目（104104）；中国江苏省普通高等学校高新技术产业发展项目(JH03-010)

作者简介：王如云(1963-)，教授，男，安徽芜湖人，从事计算物理学研究，E-mail:wangry@hhu.edu.cn

1

潮族0，1，2组成，主要是天文源潮波，另一部分为高频部分，属于浅水分潮。分析分两步进行，

[5]

首先对于低频部分，即潮族0，1，2，用如下表1列出的分潮计算。表1中包含了Doodson所用的所有属于潮族0，1，2的分潮。对实测潮汐(t)进行调和分析，求出各分潮的调和常数。然后用实测水位减去平均水位和0，1，2族的潮位，依据剩余值再作进一步分析。

表1 调和分潮

序号 分潮符号 Doodson数 序号 分潮符号 Doodson数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 Sa SSa Mm MSf Mf 2Q1 1 *QA1 Q1 *QA1 1 *OB1 *OA1 O1 *OA1 MP1 M1 1 *2PK1 1 P1 S1 K1 1 1 1 J1 *2PQ1 SQ1 001000 002000 010100 022000 020000 130200 132000 121100 120100 121100 122100 112000 111000 110000 111000 112000 100000 102100 114000 113001 112000 111000 110000 111001 112000 112100 120100 134000 132000 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 OO1 *SQ1 *2KQ1 OQ2 MNS2 2N2 2 *NA2 N2 *NA2 2 OP2 *MA2 M2 *MA2 MkS2 2 L2 *SB2 2 S2 R2 **k2 *kA2 MSN2 KJ2 2SM2 SkM2 *2SN2 130000 142100 140100 230100 232100 220200 222000 211100 210100 211100 212100 202000 201000 200000 201000 202000 212100 210100 224000 223001 222000 221001 220000 221000 232100 230100 244000 242000 254100 假如利用一年潮位资料(t)，对其进行调和分析，计算各分潮的潮汐调和常数，再依据下式将长周期、全日、半日潮族分别加以组合，得出三个基本准调和分潮，然后把三分日及以上的高频潮表示为这些基本准调和分潮的函数。随着频率的增加，只增加少量的准调和项，每一个准调和项可以近似看作一群频率相近的分潮之和。计算每小时0，1，2族的振幅R(t)和r(t)。各族的振幅和位相的变化已不再是常数，而具有缓慢的变化。称这些量是准调和分量。

2

R0cosr0fiHicos[it(vu)igi]

i15R0sinr0fiHisin[it(vu)igi]

i1325 R1cosr1fiHicos[it(vu)igi] （1）

i632R1sinr1fiHicos[it(vu)igi]

i6R2cosr2fiHicos[it(vu)igi]

i335858R2sinr2fiHicos[it(vu)igi]

i33从动力学的原因来看，浅水分潮由两种非线性产生。一种是运动方程中的平流项，如uu，x...，和连续方程中的非线性项，如

(u)，...，能够产生高级摄动项。另一种是由运动方程中x的摩擦项所产生，如uu（这里u是流速，是水位，是摩擦系数）。将上式定义的准调和项视为单一潮波，并用kAcos(a)表示由非线性产生的属于高频部分的各阶摄动项，则潮高可表达为：

hkjAjcos(ajj) （2）式中

hA0fiHicos[it(vu)igi] （3）

i158式(2)中KAcos(a)为浅水分潮部分，用34个准调和项表示浅水效应，式中K,为准调和常数，A,a为已知参数，它们的表达式见表2。预报时，首先由表1中第1到第58个分潮的调和常数按(3)式计算h。再由(1)式计算各族的R和r，根据R和r按表2计算A,a。

利用文[1]中的潮汐预报准调和分析方法对连云港多年的实测潮位资料进行了分析预报，得出的结论是改善效果明显，但浅水系数矩阵的条件数极大（见表4），这意味着方程组病态很严重，该算法不稳定。在进行浅水准调和分析时，选择的浅水分潮并非越多越好，选择的分潮达到一定个数后，浅水系数矩阵奇异严重，预报精度不仅没有改善，反而会由于矩阵奇异给预报可靠度带来负面作用。实际上在观测记录数据资料的过程中，会有恶劣天气或仪器磨损等意外情况导致潮位数据缺测或者具有重大误差等情况发生及观测数据长度等的不同，算法若不稳定，这些原

3

始误差就会在预报过程中被扩大，导致预报结果的可靠性下降，这对预报是极为不利的。鉴于这些，我们对原准调和分析方法进行了简化。根据潮汐动力学寻找高频潮族与低频潮族之间可能的相互作用关系，在只考虑相角的变化率情况下，建立了一个简化的浅水准调和分析模型。

表2 浅水准调和项中

A,a表达式

2 R1R23R1R2 R12R2 2 R23R2 4 R22 R1R23R1R2

3 R1R24R1R2 3 R24 R24 R1R24 R25 R25R2 6R2

j

1

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

Aj aj

r1 R12 3R1R2 r1r2 R12R2 r1r2 R1R2 2r2r1 2 R1R2 2r2r1

3 R1R22r2r1 R13 4r1 R1R2 2r1r2 R12R2 2r1r2 3R1R2 2r1r2 2 R22r2 3 R22r2 2R0R2 2r2 R12R2 3r1r2 R1R2 r12r2

2R1R2 r12r2

3R1R2r12r2

j

18

19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34

Aj

aj 3r2r1 3r2r1 2r12r2 3r2 3r2 3r2 r13r2 r13r2 4r2r1 4r2r1 4r2 4r2 r14r2 5r2 5r2 6r2 6r2

3 简化的准调和分析模型

在忽略了摩檫力作用的前提下，研究潮波在一维等深等宽半无限长沟渠中传播的情况，简化

uuug0txx后的方程组中，第一个方程的第二项，第二个方程的第三和第四项

huuu0xxxt与相应方程的主要项相比，其量级即使在浅水地区也小于1，作为零级近似，把它们略去了。因

此倍潮波的振幅与相应源潮波振幅的整数次方成正比例，且幂次与频率的倍数相等；复合潮波的振幅则正比例于源潮波振幅的乘积，这个结果对由无摩檫引起的线性浅水分潮大致上是成立的，但是受摩檫力非线性作用引起的浅水潮波，它们的振幅与源潮波的振幅则不一定遵从以上关系，

[6]

实际的振幅变化幅度要小于理论的变幅。因为摩檫力比例于潮汐振幅的平方，而不是线性关系

[1]，不能认为引潮力增大若干倍，潮汐振幅也相应增大相同的倍数。由此我们假设浅水分潮的一

般表达式为Kcos(a)（表达式中a的含义同原来的模型），同时由于简化后的计算模型避免了对表2中浅水准调和项表达式A的计算，可节省计算时间。

4

简化模型求解浅水调和常数时方法同原来的相似。最后进行预报并与原模型进行分析比较。对于表2中a相同的项，我们只须保留一项即可，否则浅水系数矩阵的行列式由于存在完全相同的两行或多行，其行列式为零，从而系数矩阵奇异，方程组无解。简化后的准调和项为17项， a的表达式见表3。

表4为简化前后模型的预报结果比较，仍以1967年实测潮位作为分析资料，来预报其它年份水位。为书写方便，我们称简化前模型为模型1，简化后模型为模型2。

表3 准调和项中a的表达式

j 1 2 3 4 5 6 7 8 9 aj 3r1 r1r2 2r2r1 4r1 2r1r2 2r2 3r1r2 r12r2 3r2r1 j 10 11 12 13 14 15 16 17 aj 2r12r2 3r2 r13r2 4r2r1 4r2 r14r2 5r2 6r2 表4 模型1和模型2均方差比较表

年份 1962 1963 1964 1965 1966 1967 1968 1969 1970 1971 1972 1973 1974 1975 1982

调和分析均方差（㎝）

30.5 24.2 24.5 24.8 24.6 20.8 24.2 28.3 26 24.8 27.6 27.1 28.5 26.8 24.4

模型1均方差

（㎝）

28.6 21.3 21.7 22.1 21.7 17.3 21.6 26.1 23.5 22.1 25.3 24.8 26.3 24.6 21.2

模型2均方差（㎝）

29.5 22.6 23 23.3 23 18.9 22.9 27.1 24.7 23.5 26.4 25.9 27.3 25.5 22.6

浅水系数矩阵条件数 模型1：35912244 模型2：14

分析表4，预报精度虽没有所提高，但两者均方差相差仅为0.9cm到1.6cm之间，同时模型2的浅水系数矩阵条件数相比原来的算法显然小很多，说明简化后的算法稳定。算法若不稳定，原始误差就会在预报过程中被扩大，导致数据的可靠性下降，这对预报是极为不利的。如果算法稳定，即使用于分析的资料存在误差，在预报时，对这种误差也不会有很明显的放大，这对预报结果的可靠性是有利的。

为了进一步验证模型2稳定性好于模型1，我们改变用于分析的潮位资料的时间长度，比较两种模型的预报结果。

表5显示，当用于准调和分析的数据时间段长度缩减到204日时，模型2的均方差开始小于

5

传统的调和分析方法及模型1。继续缩减到168日（约半年）之后，模型1的预报均方差开始远远大于以传统的调和分析方法预报的均方差，以致大到难以接受。而模型2较传统方法的均方差有所改进，显然简化后的模型稳定性要好得多。

对简化前后模型进行浅水准调和分析计算（包括将各潮族的分潮进行迭加到求出浅水准调和常数的全部过程）所花的时间做了统计（表6）：

表5 不同分析时间长度两个模型预报精度比较

分析段数据时传统的调和分析 模型1 模型2 间长度（日） 均方差(cm) 均方差(cm) 均方差(cm) 365 24.4 21.3 21.8 334 24.1 20.8 21.3 304 24.2 20.9 21.5 273 26.6 23.7 24.2 243 31.7 29.4 29.6 211 31.3 29.0 29.3 205 43.0 41.7 41.7 204 45.1 43.9 43.8 203 46.1 44.9 44.8 200 50.0 49.2 48.9 196 52.8 52.6 51.7 186 51.2 50.4 50.1 185 60.0 61.3 59.2 184 59.2 59.7 58.3 177 97.9 131.8 97.4 168 169.3 1433.8 169.1 165 268.9 6751.2 268.8 163 3.49.1 17626.9 349.0 注：以上以1967年1月1日起的潮位数据为分析资料，预报1982年潮位 表6 简化前后模型计算时间比较

年份 原模型计算时间

（秒） 改进后模型计算时间（秒）

1962 2.48 0.78 1963 2.41 0.77 1964 2.47 0.77 1965 2.41 0.80 1966 2.44 0.77 1967 2.41 0.78 1968 2.39 0.77 1969 2.41 0.78 1970 2.41 0.75 1971 2.41 0.75 1972 2.39 0.75 1973 2.39 0.77 1974

2.44

0.77

6

1975 1982 平均计算时间

2.45 2.41 2.42

0.77 0.75 0.77

相对原来模型节省计算时间：68%

由表6可以看出，简化后的模型对浅水准调和分析部分计算时间仅有原来的68%左右，当分析数据量很大时，模型二的优势体现的就更为明显了。

5 结论

利用连云港潮位资料，对简化后的模型进行了分析检验，首先其法方程系数矩阵条件数为

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14，而简化前的模型高达10，说明简化后的模型其算法更为稳定，而原模型计算不稳定。其次，当分析时段潮位资料时间长度短于204日时，模型1的预报误差较传统调和方法来讲，不但没有减小，反而更大了，而模型2较传统方法来讲，仍然有所改进。由于简化后的模型避免了对浅水准调和项表达式中A的计算，且经简化后准调和项只剩下17项，从而在进行浅水准调和分析求准调和常数这一步骤节省了68%的时间。

参考文献

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