西安交通大学2004

1，（15分）给出下列概念的分析语言表述;

+ (1)

fx,ydx对yc,d非一致收敛。

a

(2) f(x,y)在区域D内连续，但非一致连续。

2，（25分）用箭头或,给出下列命题之间的关系：

(1) f(x,y)在x0,y0处极限存在；

(2)f(x,y)在x0,y0处连续；

(3) f(x,y)在x0,y0处分别关于x,y连续；

(4) f(x,y)在x0,y0处关于x,y的一阶偏导数存在； (5) f(x,y)在x0,y0处可微；

(6) f(x,y)在x0,y0处具一阶连续偏导。

x2y 并讨论函数f(x,y)x2y20,,xy0xy02222在0,0处极

限存在性，连续性，一阶偏导存在性及可微性。

b(y)3，（10分）设f(x,y)定义于[a,b;c,d]，叙述关于I(y)上可导的定理。

a(y)f(x,y)dx在区间[c,d]

（x,y,u,v）4，(10分)设F与G（x,y,u,v）在点x0,y0,u0,v0某邻域内有定义， 给

Fx,y,u,vuux,y出一组条件使得：由方程组唯一确定一组隐函数，且

Gx,y,u,vvvx,yux,y（即叙述相关定理） ，vx,y在x0,y0处连续，具一阶连续偏导。

(1)k5，（15分）设点列xn无界且不是无穷大量，试证明：存在xn的子列{xn}

，xnkkA某常数。又问，当xn是有与{xnk}，使得xnkk(2)(1)(2)界且发散的点列时，能有何相应的结论？

，问数 6，（10分）设limxna，现将数列xn的项重新排列得到数列xnn

是否收敛？若收敛，请证明之，并指出其极限；否则，请给出反例。 列xn12xsin7，（10分）设f(x)x0,,x0x0，设x0，在以0和x为

端点的闭区间上对f(x)应用Lagrange中值定理：存在界于0和x之间的，使得

2xsin111x2sincos，即 x2sin1xsin1xcos1...................*

由于x0时有0，故*式两端x0时的极限可得，limcos010．

(1)指出上式推导中的错误；

(2) 给出在*式中两端取极限(x0)的正确结果，并说明你的结果与

1“limcos不存在”的事实没有矛盾。 t0t18，（10分）求极限limnnn1n22n1。

nn9，（15分）求区域x2y2a2围于曲线xy2222a2x2y2内部之部分的面

积．

10，（15分）设f(x)在[a,b]上有定义，且对任意x0a,b,limfx存在。

xx0证明：f(x)在[a,b]上有界．

11，(15分)设fnx(n1,2,)在[a,b]上连续，且当n时，fn(x)在[a,b]

上一致收敛于f(x)，又f(x)在[a,b]无零点，证明： (1)当n充分大时，fn(x)在[a,b]也无零点； (2)当n时，

1fnx在[a,b]上一致收敛于

1fx．