以动力学普遍方程为基础，拉格朗日导出了两种形式的动力学方程，分别称为第一类和第二类拉格朗日方程。将达朗贝尔原理与虚位移原理相结合，建立起动力学普遍方程，避免了理想约束力的出现；再把普遍方程变为广义坐标形式，进一步转变为能量形式，导出了第二类拉格朗日方程，实现了用最少数目的方程描述动力系统；应用数学分析中的乘子法，采用直角坐标形式的普遍方程和约束方程而建立的一组动力学方程，是第一类拉格朗日方程，便于程式化处理约束动力系统问题。拉格朗日方程是分析力学得以发展之源。
3.1 第二类拉格朗日方程
第二类拉格朗日方程是分析力学中最重要的动力学方程，它给出动力学问题一个普遍、简单而又统一的解法。拉格朗日方程只适用于完整约束的质点系。
3.1.1 几个关系式的推证
为方便起见，在推导拉格朗日方程前，先推证几个关系式。
质点系由n个质点、s个完整的理想约束组成，它的自由度数为k＝3n–s，广义坐标数与自由度数相等。该系统中，任一质点Mi的矢径ri可表示成广义坐标q1，q2，…，qk和时间t的函数，即
ri＝ri(q1，q2，…，qk，t)
i＝1,2,…,n
它的速度 (3-1)
i＝1,2,…,n
式中称为h个广义坐标的广义速度，分别为广义坐标和时间的函数，与广义速度没有直接的关系。式(3-1)对求偏导数，则有 (3-2)
这是推证的第一个关系式，它表明，任一质点的速度对广义速度的偏导数等于其矢径对广义坐标的偏导数。为推证第二个关系式，将式(3-1)对广义坐标qj求偏导数，或
(3-3)
这是第二个关系式，它表明，任一质点的速度对广义坐标的偏导数等于
其矢径对广义坐标的偏导数，再对时间的一阶导数。再看看质点的动能对广义坐标的偏导数。有
(A)
又
式(3-2)、式(3-3)代入上式，并注意式(A)的关系， (3-4)
3.1.2 第二类拉格朗日方程
动力学普遍方程可以改写为 (3-5)
左侧的第一项主动力的虚功之和，可以用广义力Qh在广义虚位移qh上所做的功之和表示，即 (3-6)
值得指出，这里的主动力并非平衡问题中的主动力，因此，这里的广义力Qh不等于零。
质点Mi的虚位移ri可利用广义坐标的变分表示，即，于是，式(3-5)等号左侧的第二项可以改写为式(3-4)代入上式，得
∴ (B)
其中T是该质点系的功能，式(3-6)、式(B)代入式(3-5)，得
注意到k个广义坐标的变分qh是彼此独立的， (3-7)
h=1,2,…,k
这是一个方程组，方程的数目等于质点系的自由度数，称之为第二类拉格朗日方程，简称为拉格朗日方程。它揭示了系统动能的变化与广义力之间的关系。
3.1.3 保守系统中的拉格朗日方程
如果质点在势力场中运动，它所受到的主动力都是有势力，那么，该质点系就是保守系统。该系统的广义力是广义有势力，可以用系统的势能函数来表示，即拉格朗日方程(3-7)改写为 (3-8)
如果做一个表征保守系统能量特征的函数L＝T–V (3-9)
称之为拉格朗日函数或动势。注意到势能V仅仅是广义坐标qh的函数，与广义速度无关，它对广义速度的偏导数恒为零，于是，式(3-8)可改写为
(3-10)
h=1,2,…,k
式(3-8)、式(3-10)都称为保守系统中的拉格朗日方程。它们是一个方程组，方程的数目等于该系统的自由度数（或广义坐标数）。
例3-1 在图3-1(a)的行星轮机构中，带有配重的曲柄AOO1在驱动力矩M的作用下，绕定齿轮（太阳轮）的O轴转动，并带动行星齿轮在定齿轮上纯滚动，已知曲柄及配重对O轴的转动惯量为IO，行星轮的半径为r，质量为m1，对O1轴的转动惯量为I1，曲柄、行星轮和配重三者的质心在O轴上，OO1＝l。忽略摩擦，求曲柄转动的角加速度。
解：此行星轮机构具有一个自由度，是完整的理想约束系统，选取曲柄与水平线的夹角为广义坐标。由运动学知，曲柄AOO1绕O轴转动，在任一瞬时，它的角速度可以用广义坐标对时间的一阶导数表示；行星轮为平面运动，此瞬时，它绕其与定齿轮的接触点P瞬时转动，如图(b)示。它的角速度
在此瞬时，该系统的动能为
由此可知： (a) (b)
为了求得广义力Q，给出广义坐标的变分。该行星轮、曲柄和配重的质心在O轴上，重力的虚功恒为零，所以，主动力的虚功只有驱动力矩 M的虚功，即 代入式(18-6)得 Q＝M (c)
式(a)、式(b)、式(c)代入拉格朗日方程式(3-7)，有
由此可知，在驱动力矩M的作用下，该系统的曲柄作匀加速转动。这是在曲柄上安装配重，促使行星轮、曲柄和配重三者的质心落在O轴上，带来的明显的效果。
例3-2 图3-2示单摆，摆长变化规律为l＝l0–t，其中l0为运动开始时摆的长度，为常量。试建立此摆的微分方程。定滑轮O的大小可忽略不计。
解：这是单自由度的非定常约束系统，约束方程为选取摆线与铅直线之间夹角为广义坐标，此摆的运动可以分解为随同坐标系Oxy的转动和相对Ox轴的直线运动（相当于极坐标系的描述方式），牵连角速度为，相对速度，沿–x方向。摆锤M的速度它的动能为 (a)
(b)
选取过定滑轮O轴的水平面为重力的零势能面。此单摆的势能函数及广义力分别为 (c)
式(a)、式(b)、式(c)代入拉格朗日方程(3-7)，整理得
这就是变摆长单摆的运动微分方程，是二阶变系数非线性微分方程。求
出它的解析解很困难，目前，主要是用定性方法求它的近似解，或者用 计算机求它的数值解。
例3-3 在图3-3中，均质圆柱体的半径为r，质量为mO，在水平面上
滚动而无滑动。在其中心水平轴O上，装有一细长杆的单摆，摆长l，集
中质量为m。细长杆的质量不计。求此系统在其平衡位置附近作微幅摆 动的固有频率。
解：圆柱体只滚不滑，单摆自由摆动，这是具有定常约束的保守系
统，有两个自由度。今选取圆柱体的转角、摆杆的转角为广义坐标。
将平移坐标系Oxy的原点固结在圆柱体中心上，则集中质量m的牵连速
度、相对速度、绝对速度分别为
图3-2
图3-3
此系统的动能为均质圆柱体的动能与集中质量动能的算术和，即
选取通过O轴的水平面为重力的零势能平面，此系统的势能函数、拉格朗日函数为
对于广义坐标来说， (a) (b)
式(a)、式(b)代入式(3-10)，整理后得或 (c)
对于广义坐标来说， (d) (e)
式(d)、式(e)代入式(3-10)，整理后，得 (f)
式(c)代入式(f)，化简后，得 (g)
这是二阶变系数非线性微分方程，求它的解析解很困难。按题意，分析此系统在其平衡位置附近的微幅运动，即都很小，sin=、sin2 =2、cos=1、sin2 =0、=0，于是，式(c)、式(g)简化为 (h) (i)
由式(h)看出，圆柱体和摆杆是互为反相的微幅摆动。圆柱体的摆幅是单摆摆幅的倍。由式(i)看出，该系统在其平衡位置附近微幅摆动的固有频率为
如果mO〉〉m，由式(h)看出，圆柱体的转角将非常小，可以认为是不动的。此系统的固有圆频率将近似等于一般单摆的固有圆频率。
3.2 拉格朗日方程的初积分
如上所述，对于一个具有完整约束的质点系来说，应用拉格朗日方程，可以建立起该系统的二阶微分方程组，方程的数目与它的自由度的数目相等。一般情况下，这些微分方程是非线性的（如例3-2、例3-3所示），求解它们的积分很困难。不过，在某些情况下，却可以比较方便地获得此微分方程组的某些首次积分，使部分微分方程降为一阶微分方程。这就是保守系统中，拉格朗日方程的首次积分问题。
3.2.1 循环积分
如果拉格朗日函数L不显含某些广义坐标qh，这些广义坐标称为循环坐标。设某保守系统有j个循环坐标，这一特点的数学形式为 (3-11)
h=1,2,…, j j≤k
代入式(3-10)，保守系统中的拉格朗日方程简化为于是，拉格朗日方程的首次积分 (3-12)
式中Ch为积分常数。这个首次积分称为循环积分。由此可知，质点系有
多少个循环坐标，拉格朗日方程就有多少个循环积分。
现在讨论循环积分的物理意义。将式(3-11)代入拉格朗日方程(3-7)，得
它表明对时间的导数等于广义力。动量定理表明：质点的动量对时间的导数等于作用于该点上的力。比较这两个公式后发现， 是一个与动量相当的物理量，称为广义动量，式(18-12)则表明，对各循环坐标来说，系统的广义动量是守恒的。在某些特殊的情况下，广义动量代表质点系的动量或动量矩（在有心力场中运动的质点或质点系属于这种情形）。这又表明，在某些循环相对应的方向上，质点系的动量或动量矩是守恒的。
3.2.2 能量积分
3.2.2.1 动能的一般表达式
在具有完整约束的质点系中，任一质点的Mi的速度的一般表达式如式(3-1)，此质点系的动能可以改写为 (3-13)其中
(3-14)
由此可知，T2是广义速度的二次齐次式，T1是广义速度的一次齐次式，T0则与广义速度无关，它可以是时间的函数或常数。由式(3-13)、式(3-14)可知，质点系的动能可以表示为广义速度的二次齐次式、一次齐次式和零次齐次式的线性组合。
3.2.2.2 广义能量积分
拉格朗日函数L不显含时间t，即＝0时，拉格朗日函数就仅仅是广义坐标和广义速度的函数，于是它对时间的导数为 (A)此时，保守系统的拉格朗日方程(3-10)可改写为 (B)
式(B)代入式(A)，得
移项后，更换求和、求导的次序，有得到拉格朗日方程的又一个首次积分 (3-15)
式中E是积分常数。将拉格朗日函数表示成广义速度的函数，即 (C)或
根据欧拉齐次函数定理1① ，注意到V、A与广义速度无关，则 (D)
式(C)、式(D)代入式(3-36)，整理后，得T2–T0＋V＝E (3-16)
此式称为广义能量积分。由此可知，当拉格朗日函数不显含时间t时，对应的拉格朗日方程可以写成广义能量积分。
3.2.2.3 能量积分
如果质点系是一个定常约束的系统，即，那么，系统动能的表达式(18-13)只有第一项了，即 (E)
根据欧拉齐次函数定理， (F)
式(E)、式(F)代入式(3-15)，整理后，得T2＋V＝E (3-17)
此式称为能量积分。这就是曾经论证过的机械能守恒定律。它表明，在任一瞬时，保守系统的动能与势能之和是恒定的。
从上述推导过程看出：在定常约束的保守系统中，如果它的拉格朗日函数不显含时间t，那么，该系统就有能量积分。由于具有定常约束系统的拉格朗日函数是不显含时间t的，因此，上述结论可以简述为：如果质点系是一个定常约束的保守系统，它就有能量积分。
例3-4 试用拉格朗日方程的首次积分求解例3-3。设该系统开始运动时，其质心的速度在水平方向的分量等于零。
解：在例3-3中，已算出该系统的动能、势能和拉格朗日函数 (a) (b)
(1) 广义坐标是循环坐标，因此，由式(18-33)得到广义坐标对应的循环积分或
(c)
此式表明，该系统沿水平方向的动量是守恒的。按题意，该系统开始运动时，其质心的速度在水平方向的分量等于零，即C＝0，于是，(c)式简化为 (d)
积分，假设t＝0，＝＝0，则有
由此看出，圆柱体的转角与摆杆的转角互为反相。该系统的质心在水平方向的位置是不动的。
(2) 该系统是定常约束，因此，它有能量积分，而且系统的广义速度
的二次齐次式T2与系统的动能T相等。式(a)、式(b)代入式(18-38)， (e)
此式表明，该系统的动能与势能之和（即机械能）是守恒的。
为了便于求出该系统的固有频率，将式(d)代入式(e)，化简后，得对时间t求一次导数，整理后，得
此式与例3-3中解出的式(g)完全一样。用首次积分求解，具有明显的物理意义。
3.3 耗散力与瑞利耗散函数
前面讨论的多是主动力有势的完整系统，包括保守系统在内。所谓保守系统是力学系统中的一个重要概念，从数学上讲，系统有能量积分；从力学上讲是机械能守恒。系统的主动力有势并不是判断保守系统的依据，对非定常情况，虽然可能存在着广义能量积分，但系统的机械能并不守恒。这里将讨论拉格朗日方程应用于耗散系统中的有关问题。耗散系统的主要特征是系统在运动中有单纯的能量耗散，或者说，系统中作用有把系统的机械能转变为非机械能的力，即耗散力，使系统的机械能单调递减。应用拉格朗日方程求解耗散系统的和力学问题，主要是如何计算耗散力的广义力的问题。
在工程实际中经常遇到的耗散力多为粘性阻尼力、库伦摩擦力，可以应用近似公式表达： (3-18)
式中的vi是质点的相对速度，i为耗散系数，它或为常数或为坐标和时间的函数，m为正整数。当m = 0时，F是摩擦力，为摩擦系数；当m = 1时，F为粘性阻尼力，物体在流体介质中的低速运动所受的阻力就是这种情形；当物体在流体介质中的运动速度较大时，m可能为2、3，甚至为5。
现在求耗散力的广义力。我们知道，作用在系统上诸主动力对任何虚位移的元功之和等于诸广义力对于相应的广义坐标的虚位移之和即 由此得到
将耗散力代入上式中，得到
将式（3-2）表达的数学关系式代入上式，有上式中的二矢量的标积为因而有
令 (3-19)
于是，耗散力的广义力Qj为
(3-20)
函数D称为耗散函数。上式与式
有相同的形式，有如广义保守力可由势能函数来表达一样。式（3-19）表达的耗散函数可化简为 (3-21)
当m = 0时，对于这种摩擦力情形，耗散函数为
当m = 1时，即在介质中低速运动情形，耗散函数D为
这样，对于同时受有有势力和耗散力作用的系统，拉格朗日方程为 (3-22)
例3-5 一空间弹簧摆，质点的质量为m，弹簧的刚性系数为k，作用在质点上的耗散力F = v2，求摆的运动微分方程。
解：此摆为三个自由度，取r，、为广义坐标，系统的动能为重力与弹性力的势能为耗散函数D为由于
图3-4
于是
这样，代入拉格朗日方程，经整理后，有同理得到对应于 和 的方程：
3.4 第一类拉格朗日方程
第一类拉格朗日方程是用待定乘子法导出的，也称拉格朗日乘子法。是解决一阶线性非完整系统的简单方法。
3.4.1 第一类拉格朗日方程
设质点系由n个质点组成,且存在r个几何约束和s个线性非完整约束。可写出完整约束和线性非完整约束的统一表达式，即
(k=1,…,r+s) (3-23)
其中前r个为完整约束,后s个为线性非完整约束.各个约束加在坐标变分上的约束条件统一写作
(k=1,…,r+s) (3-24)
其中,(k=1,…,r).
系统内各质点的运动必须满足动力学普遍方程,即
(3-25)
在3n个直角坐标变分(i=1,…,3n)中,由于存在r+s个约束(3-24)，只有f=3n-r-s个独立变量,至于在这3n个坐标变分中哪些是独立的，则可以
任意指定。
引入r+s个未定乘子，分别与(3-24)中标号相同的各式相乘,然后将它们的和式与式(3-25)相加,得到
(3-26)
如果选择适当r+s个未定乘子，令r+s个事先指定为不独立的坐标变分前的系数等于零，可得到r+s个方程。于是在方程(3-26)中只包含与独立坐标变分有关的f项和式。这f个坐标变分既然是独立变量，则方程(3-26)成立的充分必要条件就是各坐标变分前的系数等于零，共得到f个方程，连同已得到的r+s个方程，总共可列出f+r+s=3n个方程：
(i=1,…,3n) (3-27)
包含r+s个未定乘子的方程组(3-27)称为第一类拉格朗日方程。未定乘子(k=1,…r+s)称为拉格朗日乘子。由于方程中除待定的各质点坐标xi(i=1,…,3n)以外，又增加了待定的拉格朗日乘子(k=1,…,r+s),共有3n+r+s个未知变量，因此在具体求解时，还必须补充列出r个完整约束方程(3-27)和s个线性非完整约束方程，才能使方程组封闭。
3.4.2 拉格朗日乘子的物理意义
下面用一个具体例子说明拉格朗日乘子的物理意义。设一质点在固定曲面 上运动，其第一类拉格朗日方程为
(i=1,2,3)
或者写成
(i=1,2,3)
将上式与牛顿第二定律
(i=1,2,3)
相比较,得到
(i=1,2,3)
由此可以清楚地看出拉格朗日乘子与理想约束力之间的关系。事实上在动力学普遍方程中被消去的理想约束力，在第一类拉格朗日方程中又通过拉格朗日乘子被引回来了。在不少实际问题中，需要计算系统的约束力，第一类拉格朗日方程为用分析方法求解这类问题开辟了途径。由于采用直角坐标，又增加了未定乘子，这种方法的未知变量和方程都明显增多，增加了计算工作量。但是由于这种方法的计算过程极为程式化，因此在计算机高度发展的今天，第一类拉格朗日方程又重新受到重视，在机器、车辆等工程技术中得到实际应用。
例3-6 图示系统中，A为小球，可以视作质点，质量为m，OA为一长l，质量不计的直杆，BC=b。平衡时，OA在水平位置而BC在铅垂位置.求小球A的运动微分方程。
解：小球A具有一个自由度。设A的坐标为,,，则B的坐标为,,。由于OA,BC的长度不变，可列出两个约束方程：
(1)
小球受到的主动力为重力，沿负轴方向,即有
,
将以上三式代入第一类拉格朗日方程(3-27)，注意s = 0，r =2，，导出A的运动微分方程：
(2)
将方程(1)与(2)联立，确定A的运动规律。
不难看出，仅受到几何约束的小球A属于完整系统。因此本题也可用第二类拉格朗日方程取一个广义坐标求
解，但由于存在较复杂的约束关系(1)， 运动微分方程将十分复杂，其建立也很 困难，读者可自行试算。
习 题
3-1 一半径为r的匀质圆盘在半径 为R的固定圆柱面内运动，如题3-1图所 示。设接触处的摩擦阻力足以阻止相动图3-5滑动。写出圆盘的运动微分方程。
题3-1图 题3-2图
3-2 如题3-2图所示，半圆盘放在一光滑水平面上，写出其运动微分方程。设半圆盘对于质心C的回转半径为C。。
3-3 在题3-3图所示系统中，棱柱1、圆轮2、物块3的质量分别为m1 =10kg , m2 = 0.6 m1, m3 = 0.4 m1, = 60。轮2在平台上纯滚。不计各处摩擦和轮4质量，求运动时棱柱的加速度及它对地面的压力。
题3-3图 题3-4图
3-4 在题3-4图所示系统中，轮1在斜面上纯滚。已知m2 = m3=0.5m1, = 30，不计滑轮与绳的质量。试求圆轮中心C及物3的加速度。
题3-5图 题3-6图
3-5 题3-5图所示三角块置于光滑水平面上，重为G1。均质圆柱重为G2，弹簧刚度系数为k， 已知。若初瞬时系统静止，弹簧无变形。试求三角块的运动方程。设圆柱与斜面间无滑动。
3-6 在题3-6图所示系统中，方块A的质量为m，小车B的质量在m1，弹簧刚度系数为k，不计摩擦阻力及轮子的质量，求振动周期。
描述
[←1]
① 欧拉齐次函数定理的表述形式是：设f（q
1,q2,…,qk）是k个广义坐标的r次齐次式，则
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