2019备战中考数学(冀教版)巩固复习-第九章三角形(含解析)

2019备战中考数学（冀教版）巩固复习-第九章三角形（含解析）

一、单选题

1.下列说法正确的是（ ）

A. 一个钝角三角形一定不是等腰三角形，也不是等边三角形 B. 一个等腰三角形一定是锐角三角形，或直角三角形 C. 一个直角三角形一定不是等腰三角形，也不是等边三角形 D. 一个等边三角形一定不是钝角三角形，也不是直角三角形 2.下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（ ）

A. B. C. D.

3.若a、b、c是三角形三边的长，则代数式(a-b)2-c2的值是( )

A. 大于零 B. 小于零 C. 大于或等于零 D. 小于或等于零 4.一个三角形的三个内角中，至少有（ ）

A. 一个锐角 B. 两个锐角 C. 一个钝角 D. 一个直角

5.如图，B处在A处的西南方向，C处在A处的南偏东15°方向，若∠ACB=90°，则C处在B处的（ ）

A. 北偏东75°方向 B. 北偏东65°方向 C. 北偏东60°方向 D. 北偏东30°方向

6.如图，在∠1、∠2、∠3和∠4这四个角中，属于△ABC外角的有（ ）

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 7.在△ABC中，如图，CD平分∠ACB，BE平分∠ABC，CD与BE交于点F，若∠DFE=120°，

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则∠A=（ ）

A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 8.下列各组长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A. 1cm，2cm，3cm； B. 1cm，1cm，2cm； C. 1cm，2cm，2cm； D. 1cm，3cm，5cm； 9.如图，已知AB⊥BD、AC⊥CD，∠CAD=35°，则∠ADC=（ ）

A. 35° B. 65° C. 55° D. 45° 10.已知三角形三边的比为2：4：5，则对应的边上的高的比为（ ） A. 2：4：5 B. 5：4：2 C. 10：5：4 D. 4：5：10 11.如果线段a，b，c能组成三角形，那么，它们的长度比可能是（ ） A. 1∶2∶4 B. 1∶3∶4 C. 2∶3∶4 D. 3∶4∶7 12.如果三角形的三个内角的比是3∶4∶7，那么这个三角形是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 锐角三角形或钝角三角形

二、填空题

13.在△ABC中，若AB=5，BC=2，且AC的长为奇数，则AC=________． 14.△ABC中，已知∠A=100°，∠B=35°，则∠C=________．

15.如图，在一个由4×4个边长为1的小正方形组成的正方形网络，阴影部分面积是________

16.在△ABC中，∠A+∠B=150°，∠C=2∠A，则∠A=________

17.如图，在△ABC中，∠ACB=60°，∠BAC=75°，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE交于

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H，则∠CHD=________

18.三角形的线段中能将一个三角形的面积分成相等两部分的是________．

19.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D在AB边上，连接CD，将△BCD沿CD翻折得到△ECD，点B的对称点E恰好落在AC边上，若∠B=55°，则∠ADE的度数是________．

20.如图，BF、CF是△ABC的两个外角的平分线，若∠A=50°，则∠BFC=________度．

21.如图，在△ABC中，AB=2013，AC=2010，AD为中线，则△ABD与△ACD的周长 之差=________．

22.已知△ABC的三个内角分别是∠A、∠B、∠C，若∠A=30°，∠C=2∠B，则∠B=________ °．

三、计算题

23.如图，E为△ABC的边BC上一点，D在BA的延长线上，DE交AC于点F，∠B=45°，∠C=30°，

∠EFC=70°，求∠D的度数．

24.若a，b，c是△ABC的三边的长，化简|a-b-c|+|b-c-a|+|c+a-b|．

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四、解答题

25.如图，在△ABC中，∠BAC=60°，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，求∠BPC的度数．

26.如图所示．∠A=10°，∠ABC=90°，∠ACB=∠DCE，∠ADC=∠EDF，∠CED=∠FEG．求∠F

的度数．

五、综合题

27.图（1）是我们常见的“箭头图”，其中隐藏着哪些数学知识呢？下面请你解决以下问题：

（1）观察如图（1）“箭头图”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间大小的关系，并说明理由；

（2）请你直接利用以上结论，回答下列两个问题：

①如图（2），把一块三角板XYZ放置在△ABC上，使其两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C．若∠A=50°，求∠ABX+∠ACX

②如图（3），∠ABD，∠ACD的五等分线分别相交于点G1、G2、G3、G4 ， 若∠BDC=135°，∠BG1C=67°，求∠A的度数．

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28.如图，点D在AB上，点E在AC上，BE、CD相交于点O.

（1）若∠A=50°，∠BOD=70°，∠C=30°，求∠B的度数；

（2）试猜想∠BOC与∠A+∠B+∠C之间的关系，并证明你猜想的正确性. 29.实验探究： （1）动手操作：

①如图1，将一块直角三角板DEF放置在直角三角板ABC上，使三角板DEF的两条直角边DE、DF分别经过点B、C，且BC∥EF，已知∠A=30°，则∠ABD+∠ACD=________； ②如图2，若直角三角板ABC不动，改变等腰直角三角板DEF的位置，使三角板DEF的两条直角边DE、DF仍然分别经过点B、C，那么∠ABD+∠ACD=________

（2）猜想证明：

如图3，∠BDC与∠A、∠B、∠C之间存在着什么关系，并说明理由； （3）灵活应用：

请你直接利用以上结论，解决以下列问题：

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①如图4，BE平分∠ABD，CE平分∠ACB，若∠BAC=40°，∠BDC=120°，求∠BEC的度数； （4）②如图5，∠ABD，∠ACD的10等分线相交于点F1、F2、…、F9 ， 若∠BDC=120°，∠BF3C=64°，则∠A的度数为________．

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答案解析部分

一、单选题 1.【答案】D

【考点】三角形三边关系

【解析】【解答】解：A、一个钝角三角形不一定不是等腰三角形，一定不是等边三角形，故本选项错误；

B、一个等腰三角形不一定是锐角三角形，或直角三角形，故本选项错误； C、一个直角三角形不一定不是等腰三角形，一定不是等边三角形，故本选项错误； D、一个等边三角形一定不是钝角三角形，也不是直角三角形，故本选项正确； 故选D．

【分析】根据钝角三角形、锐角三角形、直角三角形、等边三角形和等腰三角形之间的关系，分别进行判断，即可求出答案． 2.【答案】C

【考点】三角形的角平分线、中线和高

【解析】【解答】解：A、B、D中线段BE不符合三角形高线的定义； C、线段BE是△ABC的高，即过点B作BE⊥AC，垂足在AC或其延长线上． 故答案为：C．

【分析】根据三角形高的定义求解。线段BE是△ABC的高，即过点B作BE⊥AC，垂足在AC或其延长线上。 3.【答案】B

【考点】三角形三边关系 【解析】

【分析】那所给代数式进行因式分解，根据各个因式的符号来确定整个代数式的符号．

【解答】a2+b2-c2-2ab=（a-b)2-c2=（a-b+c)（a-b-c)=（a+c-b)[a-（b+c)]， 在三角形中，任意两边＞第三边，∴a+c-b＞0， 在三角形中，任意两边＜第三边，∴a-（b+c)＜0，

∴代数式a2+b2-c2-2ab的值是两个异号的数的积，是负数，即代数式的值＜0． 故选B．

【点评】本题利用了三角形中三边的关系：在三角形中，任意两边之和＞第三边，任意两边

之差＜第三边 4.【答案】B

【考点】三角形内角和定理

【解析】【分析】根据三角形的内角和定理判断即可。

三角形的三个内角中至少有两个锐角，不可能有两个钝角或两个直角，如有则内角和大于180°， 故选B．

【点评】解答本题的关键是熟练掌握三角形的三个内角和是180°．

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5.【答案】A

【考点】三角形内角和定理

【解析】【解答】解：B处在A处的西南方向， A在B的东北方向， ∠BAC=45°+15°=60°，

由三角形的内角和定理，得∠ABC=180°﹣60°﹣90° =30°，

C处在B处的45°+30°=75°， 故选：A．

【分析】根据方向是相互的，可得A在B的方向角，根据角的和差，可得∠BAC，根据三角形的内角和定理，可得∠ABC，根据角的和差，可得答案． 6.【答案】A

【考点】三角形的外角性质

【解析】【分析】由外角定义可知：在∠1、∠2、∠3和∠4这四个角中，只有∠4为△ABC的外角。 故选A． 7.【答案】C

【考点】三角形内角和定理

【解析】【解答】解：∵CD平分∠ACB，BE平分∠ABC， ∴∠EBC=∠B，∠DCB=∠C， ∵四边形ADFE中，

∠A+∠ADC+∠DFE+∠AEB=360°，

即：∠A+∠ABC+∠ACB+∠ACB+∠ABC+120°=360°， 即：∠A+解得：∠A=60°， 故选C．

【分析】根据三角形的内角和得出∠B+∠C=180°﹣∠A，再利用三角形的外角性质进行计算整理即可． 8.【答案】C

【考点】三角形三边关系

【解析】【解答】根据三角形任意两边的和大于第三边， A、1+2=3，不能组成三角形，故错误， B、1+1=2，不能组成三角形，故错误，

C、1+2=3＞2，2-2=0＜1，能够组成三角形，故正确， D、1+3=4＜5，5-3=2＞1，不能组成三角形，故错误， 故选C．

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【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，即可求解．本

题考查了能够组成三角形三边的条件，其实用两条较短的线段相加，如果大于最长那条就能够组成三角形． 9.【答案】C

【考点】三角形内角和定理 【解析】【解答】∵AC⊥CD， ∴∠C=90°，

∴∠ADC=180°-∠C-∠CAD=180°-90°-35°=55°. 故答案为：C.

【分析】由三角形内角和定理得到∠ADC=180°-∠C-∠CAD. 10.【答案】C

【考点】三角形的面积

【解析】【解答】解：根据三角形的面积不变，则三角形的三条高与三条边的比成反比， 对应的边上的高的比为 故选C．

【分析】根据三角形的面积不变，则三角形的三条高与三条边的比成反比．即可求得对应的边上的高的比． 11.【答案】C

【考点】三角形三边关系

【解析】【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析求解．

【解答】A、1+2＜4，不能组成三角形； B、1+3=4，不能组成三角形； C、2+3＞4，能够组成三角形； D、3+4=7，不能组成三角形． 故选C．

：

：

=10：5：4．

【点评】此题考查了三角形的三边关系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数

的和是否大于第三个数． 12.【答案】B

【考点】三角形内角和定理

【解析】【分析】由三角形的三个内角的比是3∶4∶7，可设这三个角分别是3x°，4x°，7x°，根据三角形的内角和为180°，即可得到关于x的方程，解出即得结果。 【解答】∵三角形的三个内角的比是3∶4∶7， ∴设这三个角分别是3x°，4x°，7x°， ∴3x+4x+7x=180

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解得x=∴7x=故选B.

∴这个三角形是直角三角形。

【点评】通过三角形的内角和180°及内角之间的关系得到关于角的度数的方程是判断三角形形状的关键。 二、填空题 13.【答案】5

【考点】三角形三边关系

【解析】【解答】解：根据题意得5﹣2＜AC＜5+2， 即3＜AC＜7， 而AC的长为奇数， 所以AC=5． 故答案为5．

【分析】根据三角形三边的关系得到3＜AC＜7，然后找出此范围内的奇数即可. 14.【答案】45°

【考点】三角形内角和定理

【解析】【解答】解：∵∠A=100°，∠B=35°， ∴∠C=180°﹣100°﹣35°=45°， 故答案为：45°．

【分析】利用三角形内角和为180°进行计算即可． 15.【答案】10

【考点】三角形的面积

【解析】【解答】解：S阴影=4×4﹣4××1×3═16﹣6=10． 故答案是：10．

【分析】阴影部分的面积等于大正方形的面积﹣4个直角三角形的面积． 16.【答案】15°

【考点】三角形内角和定理

【解析】【解答】解：∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A+∠B=150°， ∴∠C=30°， ∵∠C=2∠A， ∴∠A×30°=15°． 故答案为15°．

【分析】根据三角形内角和定理得到∠A+∠B+∠C=180°，而∠A+∠B=150°，易得∠C=30°，然后根据∠C=2∠A计算∠A的度数． 17.【答案】45°

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【考点】三角形的角平分线、中线和高

【解析】【解答】解：在△ABC中，三边的高交于一点，所以CF⊥AB，∵∠BAC=75°，且CF⊥AB，∴∠ACF=15°，

∵∠ACB=60°，∴∠BCF=45° 在△CDH中，三内角之和为180°， ∴∠CHD=45°， 故答案为∠CHD=45°

【分析】利用三角形的三条高相交于一点可得CF⊥AB，利用三内角之和为180°，可得∠CHD的度数。

18.【答案】中线

【考点】三角形的角平分线、中线和高

【解析】【解答】三角形的中线可以将三角形的面积分成相等的两部分.【分析】可以利用三角形等底同高来证明三角形中线的这一性质. 19.【答案】20°

【考点】三角形内角和定理

【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，∠B=55°， ∴∠A=90°﹣55°=35°，

∵沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处， ∴∠DEC=∠B=55°， ∵∠DEC=∠A+∠ADE， ∴∠ADE=55°﹣35°=20°． 故答案为：20°．

【分析】先根据三角形内角和定理计算出∠A的度数，再根据折叠的性质得∠DEC=∠B=55°，然后根据三角形外角性质求∠ADE的度数． 20.【答案】65

【考点】三角形内角和定理，三角形的外角性质 【解析】【解答】解：∵∠A=50°， ∴△ABC中，∠ABC+∠ACB=130°， ∴∠BCE+∠CBD=360°﹣130°=230°， ∵BF、CF是△ABC的两个外角的平分线， ∴∠CBF+∠BCF= 故答案为：65

【分析】先根据三角形内角和定理，求得∠ABC+∠ACB=130°，得到∠BCE+∠CBD=360°﹣130°=230°，再根据BF、CF是△ABC的两个外角的平分线，求得∠CBF+∠BCF，最后根据三角形内角和定理，求得∠F的度数． 21.【答案】3

【考点】三角形的角平分线、中线和高

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（∠BCE+∠CBD）=

×230°=115°，

∴△BCF中，∠F=180°﹣115°=65°．

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【解析】【解答】解：∵AD为中线， ∴BD=CD，

∴△ABD与△ACD的周长之差=（AB+AD+BD）﹣（AC+AD+CD）=AB﹣AC， ∵AB=2013，AC=2010，

∴△ABD与△ACD的周长之差=2013﹣2010=3． 故答案为：3．

【分析】根据三角形中线的定义可得BD=CD，然后根据三角形的周长公式列式计算即可得解．

22.【答案】50

【考点】三角形内角和定理

【解析】【解答】解：∵在△ABC中，∠A=30°，∠C=2∠B，∠A+∠B+∠C=180°， ∴30°+3∠B=180°， ∴∠B=50°． 故答案是：50．

【分析】根据三角形内角和是180°列出等式∠A+∠B+∠C=180°，据此易求∠B的度数． 三、计算题

23.【答案】解：∵△CEF中，∠C=30°，∠EFC=70°， ∴∠FEC=80°， ∵∠FEC是△BDE的外角，且∠B=45°， ∴∠D=∠FEC﹣∠B=80°﹣45°=35°

【考点】三角形内角和定理，三角形的外角性质

【解析】【分析】先根据三角形内角和定理，求得∠FEC的度数，再根据三角形外角性质，求得∠D的度数．

24.【答案】解：根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，得a-b-c＜0，b-c-a＜0，c+a-b＞0．

∴|a-b-c|+|b-c-a|+|c+a-b| =b+c-a+c+a-b+c+a-b =3c+a-b．

【考点】三角形三边关系

【解析】【分析】三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。根据三边关系可得a-b-c＜0，b-c-a＜0，c+a-b＞0；再根据实数的绝对值的性质即可化简。 四、解答题

25.【答案】解：∵△ABC中，∠A=60°， ∴∠ABC+∠ACB=120°．

∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，

∴∠PBC+∠PCB= （∠ABC+∠ACB）=60°．

∵∠PBC+∠PCB+∠BPC=180°，

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∴∠BPC=180°﹣60°=120°． 故答案为：120°

【考点】三角形内角和定理

【解析】【分析】先根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB的度数，再由角平分线的性质得出∠PBC+∠PCB的度数，由三角形内角和定理即可得出结论． 26.【答案】解：在△ABC中，∠A=10°，∠ABC=90°， ∴∠ACB=80°， ∵∠DCE=∠ACB=80°，

在△ACD中，∠DCE是它的一个外角， ∴∠DCE=∠A+∠ADC，

∴∠ADC=70°，∠EDF=∠ADC=70°． 在△ADE中，∠EDF是它的一个外角， ∴∠EDF=∠A+∠AED，

∴∠AED=60°，∠FEG=∠AED=60°． 在△AEF中，∠FEG是它的一个外角， ∴∠FEG=∠A+∠F，

∴∠F=∠FEG﹣∠A=60°﹣10°=50° 【考点】三角形的外角性质

【解析】【分析】根据直角三角形的两个锐角互余，得∠ACB=80°，结合已知条件和三角形的外角的性质，求得∠ADC=70°，依此类推即可求解． 五、综合题

27.【答案】（1）解：∠BDC=∠A+∠B+∠C．理由： 连接AD并延长到M．

因为∠BDM=∠BAD+∠B，∠CDM=∠CAD+∠C， 所以∠BDM+∠CDM=∠BAD+∠B+∠CAD+∠C， 即∠BDC=∠BAC+∠B+∠C．

（2）解：①由（1）知：∠BXC=∠A+∠ABX+∠ACX， 由于∠BXC=90°，∠A=50° 所以∠ABX+∠ACX =∠BXC﹣∠A =90°﹣50° =40°．

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②在箭头图G1BDC中

因为∠BDC=∠G1+∠G1BD+∠G1CD， 又∵∠BDC=135°，∠BG1C=67°

∵∠ABD，∠ACD的五等分线分别相交于点G1、G2、G3、G4 ∴4（∠DBG4+∠DCG4）=135°﹣67° ∴∠DBG4+∠DCG4=17°． ∴∠ABG1+∠ACG1=17° ∵在箭头图G1BAC中

∵∠BG1C=∠A+∠G1BA+∠G1CA， 又∵∠BG1C=67°， ∴∠A=50°．

答：∠A的度数是50°．

【考点】三角形内角和定理，三角形的外角性质

【解析】【分析】第1小题，连接AD并延长到M，利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和可得∠BDC=∠BAC+∠B+∠C；第2小题，由（1）知：∠BXC=∠A+∠ABX+∠ACX，再根据已知条件可求解。

28.【答案】（1）解：∵∠A=50°，∠C=30°，∴∠BDO=80°；∵∠BOD=70°，∴∠B=30° （2）解：∠BOC=∠A+∠B+∠C.

理由：∵∠BOC=∠BEC +∠C，∠BEC=∠A+∠B， ∴∠BOC=∠A+∠B+∠C 【考点】三角形的外角性质

【解析】【分析】（1）根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，求出∠BDO的度数，再根据三角形的内角和定理求出∠B的度数；（2）根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，得到∠BOC=∠A+∠B+∠C. 29.【答案】（1）60°；60°

（2）猜想：∠A+∠B+∠C=∠BDC； 证明：连接BC，

在△DBC中，∵∠DBC+∠DCB+∠D=180°， ∴∠DBC+∠DCB=180°﹣∠BDC； 在Rt△ABC中，

∵∠ABC+∠ACB+∠A=180°，

即∠ABD+∠DBC+∠DCB+∠ACD+∠A=180°， 而∠DBC+∠DCB=180°﹣∠BDC， ∴∠A+∠ABD+∠ACD=180°﹣=∠BDC， 即：∠A+∠B+∠C=∠BDC

（3）①由（2）可知∠A+∠ABD+∠ACD=∠BDC，∠A+∠ABE+∠ACE=∠BEC， ∵∠BAC=40°，∠BDC=120°， ∴∠ABD+∠ACD=120°﹣40°=80°

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∵BE平分∠ABD，CE平分∠ACB， ∴∠ABE+∠ACE=40°， ∴∠BEC=40°+40°=80°； （4）40°

【考点】三角形内角和定理 【解析】【解答】解：（1）动手操作： ①∵BC∥EF，

∴∠DBC=∠E=∠F=∠DCB=45°，

∴∠ABD=90°﹣45°=45°，∠ACD=60°﹣45°=15°， ∴∠ABD+∠ACD=60°；

②在△DBC中，∵∠DBC+∠DCB+∠D=180°， 而∠D=90°，

∴∠DBC+∠DCB=90°； 在Rt△ABC中，

∵∠ABC+∠ACB+∠A=180°，

即∠ABD+∠DBC+∠DCB+∠ACD+∠A=180°， 而∠DBC+∠DCB=90°，

∴∠ABD+∠ACD=90°﹣∠A=60°． 故答案为60°；60°；

4）②由（2）可知：∠A+∠ABD+∠ACD=∠BDC=120°，∠ABF3+∠ACF3=∠BF3C=64°， ∵∠ABF3=

∠ABD，∠ACF3=

∠ACD，

（∠ABD+∠ACD）=64°，

∴ABD+∠ACD=120°﹣∠A，∠A+ ∴∠A+

=64°，

∴∠A=40°， 故答案为40°．

【分析】（1）在△DBC中，根据三角形内角和定理得∠DBC+∠DCB+∠D=180°，然后把∠D=90°代入计算即可；（2）根据三角形内角和定理得∠ABC+∠ACB+∠A=180°，∠DBC+∠DCB+∠D=180°，即∠ABD+∠DBC+∠DCB+∠ACD+∠A=180°，即可求得∠A+∠ABD+∠ACD=180°﹣=∠BDC，（3）应用（2）的结论即可求得．

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