初三-圆有关的性质含答案

课程主题：圆的有关性质 教学内容 知识精讲 知识点一（圆的有关性质） 【知识梳理】 基本性质 知识点1、垂径定理： 知识点2、圆心角、弧、弦的关系定理： 知识点3 （1）圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半，同弧或等弧所对的圆周角相等； （2）直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径； （3）圆内接四边形的对角互补； 【例题精讲】 考点一、垂径定理及推论 【例1】在圆柱形油槽内装有一些油．截面如图，油面宽AB为6分米，如果再注入一些油后，油面AB上升1分米，油面宽变为8分米，圆柱形油槽直径MN为( ) A．6分米 B．8分米 C．10分米 D．12分米 分析：如图，油面AB上升1分米得到油面CD，依题意得AB＝6，CD＝8，过O点作 1

1212AB的垂线，垂足为E，交CD于F点，连接OA，OC，由垂径定理，得AE＝AB＝3，CF＝CD＝4，设OE＝x，则OF＝x－1，在Rt△OAE中，OA＝AE＋OE，在Rt△OCF中，OC＝CF＋OF，由OA＝OC，列方程求x即可求得半径OA，得出直径MN. 解析：如图，依题意得AB＝6，CD＝8，过O点作AB的垂线，垂足为E，交CD于F点，连接OA，OC， 11由垂径定理，得AE＝AB＝3，CF＝CD＝4， 22设OE＝x，则OF＝x－1， 在Rt△OAE中，OA＝AE＋OE， 在Rt△OCF中，OC＝CF＋OF， ∵OA＝OC，∴3＋x＝4＋(x－1)，解得x＝4，∴半径OA＝3＋4＝5，∴直径MN＝2OA＝10(分米)．故选C. 答案：C 方法总结 有关弦长、弦心距与半径的计算，常作垂直于弦的直径，利用垂径定理和解直角三角形来达到求解的目的． 触类旁通1 如图所示，若⊙O的半径为13 cm，点P是弦AB上一动点，且到圆心的最短距离为5 cm，则弦AB的长为__________ cm. 222222222222222222 触类旁通1．24 连接OA，当OP⊥AB时，OP最短，此时OP＝5 cm，且AB＝2AP.在Rt△AOP中，AP＝OA2－OP2＝132－52＝12，所以AB＝24 cm. 考点二、圆心(周)角、弧、弦之间的关系 【例2】如图，已知A，B，C，D是⊙O上的四个点，AB＝BC，BD交AC于点E，连接CD，AD. 2

(1)求证：DB平分∠ADC； (2)若BE＝3，ED＝6，求AB的长． 解：(1)证明：∵AB＝BC， ∴ABBC.∴∠ADB＝∠BDC， ∴DB平分∠ADC. (2)由(1)知ABBC，∴∠BAE＝∠ADB. ∵∠ABE＝∠ABD，∴△ABE∽△DBA.∴＝. ∵BE＝3，ED＝6，∴BD＝9. ∴AB＝BE·BD＝3×9＝27.∴AB＝33. 方法总结 圆心角、弧、弦之间的关系定理，提供了从圆心角到弧到弦的转化方式，为我们证明角相等、线段相等和弧相等提供了新思路，解题时要根据具体条件灵活选择应用． 触类旁通2 如图，AB是⊙O的直径，C，D两点在⊙O上，若∠C＝40°，则∠ABD的度数为( ) 2ABBDBEAB A．40° B．50° C．80° D．90° 触类旁通2．B 由题意，得∠A＝∠C＝40°，由直径所对的圆周角是直角，得∠ADB＝90°，根据直角三角形两锐角互余或三角形内角和定理得∠A＋∠ABD＝90°，从而得∠ABD＝50°. 考点三、圆周角定理及推论 【例3】如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝58°，则∠BCD＝( ) 3

A．116° B．32° C．58° D．° 解析：根据圆周角定理求得，∠AOD＝2∠ABD＝116°(同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半)，∠BOD＝2∠BCD(同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半)；根据平角是180°知∠BOD＝180°－∠AOD.还有一种解法，即利用直径所对的圆周角等于90°，可得∠ADB＝90°，则∠DAB＝90°－∠ABD＝32°，∵∠DAB＝∠DCB，∴∠DCB＝32°. 答案：B 方法总结 求圆中角的度数时，通常要利用圆周角与圆心角或圆心角与弧之间的关系． 触类旁通3 如图，点A，B，C，D都在⊙O上，CD的度数等于84°，CA是∠OCD的平分线，则∠ABD＋∠CAO＝__________. 触类旁通3．48° 因为CD的度数等于84°，所以∠COD＝84°.因为OC＝OD，所以∠OCD＝48°.因为CA是∠OCD的平分线，所以∠ACD＝∠ACO＝24°，因为OA＝OC，所以∠OAC＝∠ACO＝24°，因为∠ABD＝∠ACD＝24°，所以∠ABD＋∠CAO＝48°. 【经典考题】 4

A．CM＝DM B．CDDB C．∠ACD＝∠ADC D．OM＝MD 3．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC是⊙O的直径，∠C＝50°，∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，则∠BAD的度数是( ) (第3题图) A．45° B．85° C．90° D．95° 4．工程上常用来测量零件上小圆孔的宽口，假设的直径是10 mm，测得顶端离零件表面5

的距离为8 mm，如图所示，则这个小圆孔的宽口AB的长度为__________ mm. 7．如图，A，P，B，C是半径为8的⊙O上的四点，且满足∠BAC＝∠APC＝60°. (1)求证：△ABC是等边三角形； (2)求圆心O到BC的距离OD. 1．A ∵OA⊥OB，∴∠AOB＝90°，∴∠ACB＝45°.故选A. 2．D ∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M， 6

∴M为CD的中点，即CM＝DM，选项A成立； B为CD的中点，即CB＝DB，选项B成立； 在△ACM和△ADM中， ∵AM＝AM，∠AMC＝∠AMD＝90°，CM＝DM， ∴△ACM≌△ADM(SAS)， ∴∠ACD＝∠ADC，选项C成立； 而OM与MD不一定相等，选项D不成立． 故选D. 3．B ∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°.∵∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，∴∠ABD＝45°.∵∠C＝50°，∴∠D＝50°，∴∠BAD的度数是180°－45°－50°＝85°. 4．8 如图所示，在⊙O中，连接OA，过点O作OD⊥AB于点D，则AB＝2AD. ∵的直径是10 mm， ∴的半径是5 mm. ∵顶端离零件表面的距离为8 mm， ∴OD＝3 mm. 在Rt△AOD中， ∵AD＝OA－OD＝5－3＝4(mm)． ∴AB＝2AD＝2×4＝8(mm)． 故答案为8. 5．2 ∵AB是⊙O的弦，OC⊥AB于C，AB＝23， 1∴BC＝AB＝3.∵OC＝1， 2∴在Rt△OBC中， 2222OB＝OC2＋BC2＝12＋(3)2＝2. 故答案为2. 6．150 因为∠AOC＝60°，则它所对的弧度为60°，所以∠ABC所对的弧度为300°.因为∠ABC是圆7

周角，所以∠ABC＝150°. 7．(1)证明：在△ABC中，∵∠BAC＝∠APC＝60°， ∠APC＝∠ABC，∴∠ABC＝60°， ∴∠ACB＝180°－∠BAC－∠ABC＝180°－60°－60°＝60°，∴△ABC是等边三角形． (2)解：如图，连接OB，则OB＝8，∠OBD＝30°. 1又∵OD⊥BC于D，∴OD＝OB＝4. 2 【课堂练习】 1．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB＝10，CD＝8，那么线段OE的长为( ) A．5 B．4 C．3 D．2 2．如图，直径为10的⊙A经过点C(0,5)和点O(0,0)，B是y轴右侧⊙A优弧上一点，则∠OBC的余弦值为( ) 8

1334A． B． C． D． 24253．一条排水管的截面如图所示．已知排水管的截面圆半径OB＝10，截面圆圆心O到水面的距离OC是6，则水面宽AB是( ) A．16 B．10 C．8 D．6 4．如图，小华同学设计了一个圆直径的测量器，标有刻度的尺子OA，OB在O点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O点靠在圆周上，读得刻度OE＝8个单位，OF＝6个单位，则圆的直径为( ) (第4题图) A．12个单位 B．10个单位 C．4个单位 D．15个单位 5．已知如图，在圆内接四边形ABCD中，∠B＝30°，则∠D＝__________. 9

(第5题图) 6．如图，过A，C，D三点的圆的圆心为E，过B，F，E三点的圆的圆心为D，如果∠A＝63°，那么∠DBE＝__________. (第6题图) 7．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AD⊥BC于D点，且AC＝5，DC＝3，AB＝42，则⊙O的直径等于________． (第7题图) 1．C 2．C 3．A 4．B 5．150° 6．18° 7．52 连接AO并延长交圆于点E，连接BE.(如图) 10

∵AE为⊙O的直径， ∴∠ABE＝90°. ∴∠ABE＝∠ADC. 又∵∠AEB＝∠ACD， ∴△ABE∽△ADC. ∴＝.∵在Rt△ADC中，AC＝5，DC＝3， ∴AD＝4.∴AE＝52. ABAEADAC课后作业 1．如图，以半圆的一条弦BC(非直径)为对称轴将BC折叠后与直径AB交于点D，若则CB的长为( ) A．45 B．43 C．42 D．4 AD2，且AB＝10，DB311

第1题 第2题 第4题 第5题 2．如图，△ABC内接于⊙O，D为线段AB的中点，延长OD交⊙O于点E，连接AE，BE，则下列五个结论：①AB⊥DE，②AE＝BE，③OD＝ DE，④∠AEO＝∠C，⑤AE A．2 B．3 1AEB，正确结论的个数是( ) 2 D．5 C．4 3．一个点到圆的最小距离是4cm，最大距离是9cm，则此圆的半径为( ) A．2.5cm C．6.5cm B．2.5cm或6.5cm D．5cm或13cm 4．如图，半圆O的直径AB＝7，两弦AC、BD相交于点E，弦CD＝ A．22 B．42 7，且BD＝5，则DE等于( ) 25C． 3 5D． 25．如图，△PQR是⊙O的内接正三角形，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，BC∥QR，则∠AOQ＝ ( ) 6．如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，若∠AOD＝30°，则∠BCD的度数为_______． A．60° B．65° C．72° D．75° 7．如图，⊙O的半径为1cm，弦AB、CD的长度分别为2cm，1cm，则弦AC、BD所夹的锐角a＝_______． 12

8．已知⊙O的半径为10，弦AB的长为103，点C在⊙O上，且点C到弦AB所在的直线的距离为5，则以O、A、B、C为顶点的四边形的面积为_______． 9．一批游客乘坐游轮高出水面6.6m，顶宽10.2m，赵州桥拱高CD＝7.2m，所在圆弧的半径R＝27.9m，如图． (1)此游轮能否顺利通过该桥？ (2)若在汛期河面涨高0.2m，此时该游轮是否可以通过赵州桥？河中水面至少涨高多少时，该游轮不能通过？ 1．A 2．B 3．B 4．C 5．D 6. 105° 7.75° 8. 503 9．(1)该游轮可以通过该桥．(2)游轮不能通过 0.13m

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