相似三角形_经典例题与练习_(含答案)_生本教育强力推荐

童智教育辅导讲义

学员：方璟 年 级： 九年级 课时数 ：2 课 题 九年级 上册 相似三角形总结加强与平行向量线性运算 备课时间： 2012年10月1日 授课时间：2012年10月6日 8：00——10：00 教学目标 重、难点 1、 熟练掌握相关定义与定理； 2、 熟练应用相似三角形的性质与判定定理； 3、 熟悉常见题型和图形； 4、 熟练掌握常用解题方法与分析方法。 性质与判定定理的熟练应用 教学内容 【回顾知识要点】 1、 三角形相似判定定理； 2、 相似形定义； 3、 比例知识； 【知识点讲解及经典例题】 一、相似三角形知识要点 1. 比例线段的有关概念： 在比例式ac(a：bc：d)中，a、d叫外项，b、c叫内项，a、c叫前项，b、d叫后项，d叫第四bd比例项，如果b=c，那么b叫做a、d的比例中项。 2 把线段AB分成两条线段AC和BC，使AC=AB·BC，叫做把线段AB黄金分割，C叫做线段AB的黄金分割点。 2. 比例性质： ①基本性质：acaca±bc±dadbc ②合比性质： bdbdbd ③等比性质：acmac…ma…(bd…n≠0) bdnbd…nb 3. 平行线分线段成比例定理： ①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l1∥l2∥l3。 - 1 -

则ABDEABDEBCEF，，，… BCEFACDFACDF ②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。 ③定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。 4. 相似三角形的判定： ①两角对应相等，两个三角形相似 ②两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 ③三边对应成比例，两三角形相似 ④如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角形相似 ⑤平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似 ⑥直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似 ⑦如果一个三角形两边的比等于另一个三角形某两边的比，且它们的夹角相等，那么这两个三角形相似。 5. 相似三角形的性质 ①相似三角形的对应角相等 ②相似三角形的对应边成比例 ③相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比 ④相似三角形周长的比等于相似比 ⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方 二、典型例题分析 一、如何证明三角形相似 例1、如图：点G在平行四边形ABCD的边DC的延长线上,AG交BC、BD于点E、F，则△AGD∽ ∽ 。 A AADD2 4F 3D CBE1 BC GFECB 题1 题2 题 4 例2、已知△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是角平分线，求证：△ABC∽△BCD 例3：已知，如图，D为△ABC内一点连结ED、AD，以BC为边在△ABC外作∠CBE=∠ABD，∠BCE=∠BAD 求证：△DBE∽△ABC 例4、矩形ABCD中，BC=3AB，E、F，是BC边的三等分点，连结AE、AF、AC，问图中是否存在非全等的相似三角形？请证明你的结论。 - 2 -

二、如何应用相似三角形证明比例式和乘积式 例5、△ABC中，在AC上截取AD，在CB延长线上截取BE，使AD=BE， 求证：DFAC=BCFE E 0例6：已知：如图，在△ABC中，∠BAC=90，M是BC的中点，DM⊥BC于点E，交BAADFBKDA12BMECAE2ME的延长线于点D。求证：（1）MA=MDME；（2） 2MDAD2 例7：如图△ABC中，AD为中线，CF为任一直线，CF交AD于E，交AB于F， 求证：AE：ED=2AF：FB。 三、如何用相似三角形证明两角相等、两线平行和线段相等。 例8：已知：如图E、F分别是正方形ABCD的边AB和AD上的点，且求证：∠AEF=∠FBD 例9、在平行四边形ABCD内，AR、BR、CP、DP各为四角的平分线， 求证：SQ∥AB，RP∥BC A 例10、已知A、C、E和B、F、D分别是∠O的两边上的点，且AB∥ED，BC∥FE，求证：AF∥CD - 3 -

CEBAF1。 ABAD3AFDGEBCDRSPBQCECAOBFD

例11、直角三角形ABC中，∠ACB=90°，BCDE是正方形，AE交BC于F，FG∥AC交AB于G，求证：FC=FG D C EF AGB 例12、Rt△ABC锐角C的平分线交AB于E，交斜边上的高AD于O，过O引BC的平行线交AB于F，求证：AE=BF A 1E FO 23 CBD 三、巩固与练习 一、填空题： 1. 已知a2b9，则a：b__________ 2ab5 2. 若三角形三边之比为3：5：7，与它相似的三角形的最长边是21cm，则其余两边之和是__________cm 3. 如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BC=6，则DE=__________；△ADE与△ABC的面积之比为：__________。 题3 题7 题8 4. 已知线段a=4cm，b=9cm，则线段a、b的比例中项c为__________cm。 5. 在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，如果AD=8，DB=6，EC=9，那么AE=__________ 6. 已知三个数1，2，3，请你添上一个数，使它能构成一个比例式，则这个数是__________ 7. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，EF∥BC，若AD=12cm，BC=18cm，AE：EB=2：3，则EF=__________ 8. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，BD⊥CD，AD=6，BC=10，则梯形的面积为：__________ 二、选择题： 1. 如果两个相似三角形对应边的比是3：4，那么它们的对应高的比是__________ A. 9：16 B. 3：2 C. 3：4 D. 3：7 2. 在比例尺为1：m的某市地图上，规划出长a厘米，宽b厘米的矩形工业园区，该园区的实际面积是__________2米 104m A. ab104m2B. ababmC. 104 abm2D. 104 - 4 -

3. 已知，如图，DE∥BC，EF∥AB，则下列结论： 题3 题4 题5 ① AEBE ECFC ②ADABEFDE ③ BFBCABBC ④CEEA CFBF 其中正确的比例式的个数是__________ A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 4. 如图，在△ABC中，AB=24，AC=18，D是AC上一点，AD=12，在AB上取一点E，使A、D、E三点为顶点组成的三角形与△ABC相似，则AE的长是__________ A. 16 B. 14 C. 16或14 D. 16或9 5. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，AE⊥AD，交CB的延长线于点E，则下列结论正确的是__________ A. △AED∽△ACB B. △AEB∽△ACD C. △BAE∽△ACE D. △AEC∽△DAC 三、解答题： 1. 如图，AD∥EG∥BC，AD=6，BC=9，AE：AB=2：3，求GF的长。 2. 如图，△ABC中，D是AB上一点，且AB=3AD，∠B=75°，∠CDB=60°，求证：△ABC∽△CBD。 - 5 -

3. 如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠CAB交BC于点D，过点C作CE⊥AD于E，CE的延长线交AB于点F，过点E作EG∥BC交AB于点G，AE·AD=16，AB45。（1）求证：CE=EF。（2）求EG的长。 4. 如图，已知DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式错误的是：____________ A.ADAEABACB.CEEADEAD C.CFFBBCBDD.EFCF ABCB 5. 如图，在等边△ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD=60°， BP1，CD2，求△ABC的边长 3 6. 如图：四边形ABEG、GEFH、HFCD都是边长为a的正方形，（1）求证：△AEF∽△CEA。 （2）求证：∠AFB+∠ACB=45°。 7. 已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD交于点O，EF经过点O且和两底平行，交AB于E，交CD于F。求证：OE=OF。 - 6 -

9. 已知：如图，△ABC中，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。求证：AEAC AFAB 10. 如图，D为△ABC中BC边上的一点，∠CAD=∠B，若AD=6，AB=8，BD=7，求DC的长。 211. 如图，在矩形ABCD中，E是CD的中点，BE⊥AC于F，过F作FG∥AB交AE于G，求证：AG=AF·FC 。 12.在梯形ABCD中，AD∥BC，若∠BCD的平分线CH⊥AB于点H，BH=3AH，且四边形AHCD的面积为21，求△HBC的面积。 四、平面向量的线性运算 向量：既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模) 零向量: 长度为0的向量；其方向是任意的，记作0 a单位向量: 长度等于1的向量,叫做单位向量；一般写作e； 非零向量a的单位向量为 a - 7 -

平行向量：方向相同或相反的非零向量，是平行向量；0与任一向量共线或平行 共线向量：方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量 相等向量：长度相等且方向相同的向量，是相等向量；两向量只有相等或不等，不能比大小 相反向量：长度相同且方向相反的向量，是相反向量；0的相反向量为0  向量a(a≠0)与b共线或平行的条件是存在唯一一个实数λ，使得 . 实数与向量相乘 aaa3a，那么aaa？ aa已知向量，如何求（1）aa a - 8 -

n一般的，设为正整数，a为向量，我们用na表示n个a相加；用na表示n个a相加。又当m为正整数时，nna表示与a同向且长度为a的向量. mm5已知非零向量a，求作a,3a,3a,并指出他们的长度和方向。 2 1、ka表示实数k与向量a相乘的运算，下列表示运算是否正确： （1）ka表示为k³a或者k²a （ ） （2）ka表示ak（ ） （3）ka表示ka （ ） 1a2、已知非零向量，求作4a，-2a，-a，并指出他们的长度和方向. 2 线性运算性质： 1、如果m,n是非零实数，a是非零向量，那么(mn)amana，这个等式是实数与向量相乘对于实数加法的分配律. 2、对于任意实数k和非零向量a、b，总有k(ab)kakb，这个等式是实数与向量相乘对于向量加法的分配律. 3、任意的非零实数m,n和非零向量a，总有m(na)(mn)a，这是实数与向量相乘的结合律. 求值练习： 33a(ab)(ab3c)2(a3bc) 22 平面向量的分解 从物理学的角度上面的现象 是：将一个力分解为不同方 向的两个力。 13213(ab2c)8(ab)6c3(ab)5(bx)求x 3443C O - 9 -

已知：平行四边形ABCD，点E,F在边AB上，AE=EF=FB.点P是边AD的中点，直线EG，FH都与AD平行，分别交DC于点G，H。PQPQ直线PQ与AB平行，分别交EG，FH，BC与点O，M，Q，设AE=a,AP=b。分别求AC，OC，BG关于a，b的分解式。 DPGHCOEFMBQA在三角形ABC中，已知AB=a，BC=b，G是重心，请写出AG关于a，b的分解式。 AGEBDC1．在矩形ABCD中，AB3，BC1，则向量(ABADAC)的长等于（） （A）2 （B）23（C）3 （D）4 2．下面给出四个命题： ① 对于实数m和向量a、b恒有：m(ab)mamb ② 对于实数m、n和向量a，恒有(mn)amana ③ 若mamb(mR)，则有ab ④ 若mana(m,nR,a0)，则mn 3．若a与b的方向相反，且ab，则a+b的方向与a的方向；此时abab． - 10 -

114．已知D、E、F分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，且BCa，则下列各式：①EFcb；CAb，ABc，22111②BEab；③CFab；④ADBECF0 ．其中正确的等式的个数为 A2225.若AB8,AC5,则BC的取值范围是 FD6.如图，D、E、F是ABC的边AB、BC、CA的中点，则AFDB= 7.在ABCD中，ABa,ADb,AN3NC，M为BC的中点，则MN_______。（用a、b表示） 8.如图，ABCD是一个梯形，AB∥CD，且AB=2CD，M、N分别是DC和AB的中点，已知AB=a,AD=b,试用a，b表示BC和MN． BEC 9.已知：在任意四边形ABCD中，E、F分别是AD、DC的中点． 求证：EF 课堂小结：相关定理及常见题型分析与解答方法 1(ABBC) 2【课后作业】 复习本讲义，并熟练掌握相关性质及判定定理；重新总结本讲义中例题特点及掌握其分析与解答方法。 行线性质进行证明： - 11 -

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