阻尼

系统结构特征值和模态的求解是在无阻尼情况下得到的，而在动力学问题中，任意结构都应存在或大或小的阻尼，阻尼的大小对系统的动力学响应将产生一定的影响。本章主要讨论在动力学分析中怎样应用ABAQUS定义系统的阻尼特性。

引言

当系统作无阻尼自由振动时，由于没有能量输入与输出，系统机械能守恒，系统的振幅为常数。然而在实际结构中，这种无阻尼自由振动并不存在。结构运动时能量耗散，振幅将逐渐减小直至停止振动，这种能量耗散被称为阻尼(damping)。

通常假定阻尼为粘性的，其大小正比于速度，方向与速度相反。有阻尼结构系统的动力学方程可以写为：

&&+I−P=0 (4.1.1) Mu

& (4.1.2) I=Ku+Cu

&为结构的速度。 其中， C为结构的阻尼矩阵，u

能量耗散来源于几个因素，其中包括结构连接处的摩擦和局部材料的迟滞效应。阻尼对于表征结构吸收能量是一个很方便的方法，它包含了重要的能量吸收过程，而不需要模拟耗能的具体机制。

阻尼

在ABAQUS/Standard中，特征模态的计算是从无阻尼系统中提取出的。然而，大多数工程问题都包含某种阻尼，尽管阻尼可能很小。

对于每一模态，有阻尼固有频率和无阻尼固有频率之间的关系是：

ωd=ω1−ξ2 (4.2.1)

其中ωd是有阻尼的固有频率；ξ=尼。

当临界阻尼ξ取较小值(ξ< 0.1)时，有阻尼系统的特征频率和特征向量与无阻尼系统非常接近；随着ξ的增加，采用无阻尼系统求得的特征频率就会变得不太准确，当ξ接近1时，无阻尼特征频率和特征向量就失效了。但是，大多数用线性动力学分析的结构问题只有很小的阻尼，因而可以采用无阻尼特征频率。

当结构处于临界阻尼即ξ=1时，施加一个扰动后，结构不会振荡，而是尽可能迅速地恢复到它的初始静止构形，如图4.2.1所示。

c

为临界阻尼；c是该模态的阻尼，c0是该模态的临界阻cc

1

图4.2.1 阻尼

在ABAQUS中定义阻尼

在ABAQUS中阻尼可以应用在下面的动力学分析中： z 非线性问题直接积分求解(显式分析或者隐式分析)； z 直接法或子空间法稳态动力学分析； z 模态动力学分析(线性)。

针对模态动力学分析，在ABAQUS/Standard中可定义几种不同类型的阻尼：直接模态阻尼(Direct Modal Damping)，瑞利阻尼(Rayleigh Damping)，复合模态阻尼(Composite Modal Damping)和结构阻尼(Structure Damping)。

ABAQUS模态动力学分析中用*MODAL DAMPING选项来定义阻尼。阻尼是分析步内定义的一部分，每阶模态可以定义不同量值的阻尼。

直接模态阻尼

采用直接模态阻尼可以定义对应于每阶模态的阻尼比ξ。其典型的取值范围是在临界阻尼的1％～10％之间。直接模态阻尼允许用户精确定义系统的每阶模态的阻尼。

在分析步骤内定义直接模态阻尼。如图4.3.1所示，激活直接模态阻尼选项(Direct modal)，并在数据行内输入数据。

2

对应的ABAQUS输入文件为： *MODAL DAMPING, MODAL=DIRECT m1, m2, ξα

其中，*MODAL DAMPING选项中的 MODAL=DIRECT 参数表示被指定的直接模态阻尼，数据行输入的数据m1为起始模态序号，m2为截止模态序号，ξα为模态阻尼比。例如，对于前10阶振型的阻尼定义为4%的临界模态阻尼，11～20阶振型的阻尼为5%的临界阻尼，在分析步骤中的定义如下：

*MODAL DAMPING, MODAL=DIRECT 1，10，0.04 11，20，0.05

m1

m2

ξα 图4.3.1 直接模态阻尼定义

瑞利阻尼

在瑞利阻尼中，假设阻尼矩阵可表示为质量矩阵和刚度矩阵的线性组合，即

C=αM+βK (4.3.1)

其中，α和β是用户根据材料特性定义的常数。尽管假设阻尼正比于质量和刚度没有严格的物理基础，但是实际上我们对于阻尼分布的真实情况知之甚少，也就不能保证其它更为复杂的模型是正确的。通常，瑞利阻尼模型对于大阻尼系统，即阻尼值超过10%临界阻尼时是不可靠的。

使用瑞利阻尼有许多方便，例如系统的特征频率与对应的无阻尼系统特征值一致；相对于其它形式的阻尼，可以精确地定义系统每阶模态的瑞利阻尼；各阶模态的瑞利阻尼可转换为直接模态阻尼，在ABAQUS/Standard中将瑞利阻尼转换为直接模态阻尼进行动力学计算。

对于一个给定模态i，临界阻尼值为ξi，而瑞利阻尼系数α和β的关系为：

ξi=

αi

+2βiωi (4.3.2) 2ωi

其中ωi表示第i阶模态的固有频率。(4.3.2)式表明，瑞利阻尼的质量比例阻尼部分在系统响应的低频段起主导作用，刚度比例阻尼部分在高频段起主导作用。

ABAQUS在模态动力学分析步骤内定义瑞利阻尼。如图4.3.2所示，激活瑞利阻尼选项(Reyleigh)，并输入数据。如果需要定义多阶模态的阻尼值，则可在菜单内点击鼠标右键，通过

3

insert row before或者insert row after来增加数据行。

m1

m2

α β 图4.3.2 瑞利阻尼定义

对应的ABAQUS文件输入为： *MODAL DAMPING, RAYLEIGH m1, m2, α , β

m2的含义与直接模态阻尼定义相同。α 、 参数RAYLEIGH指定阻尼形式为瑞利阻尼， m1、

β分别为模态质量、刚度比例系数。例如，对前10阶模态定义α=0.2525和β=2.9×10−3，

对于11～20阶振型定义α=0.2727和β=3.03×10，则可以在分析步骤中定义：

*MODAL DAMPING, RAYLEIGH 1,10,0.2525,2.9E-3 11,20,0.2727,3.03E-3

−3

复合阻尼

在复合阻尼中，对应于每种材料的阻尼定义一个临界阻尼比，这样就得到了对应于整体结构的复合阻尼值。如果结构由多种材料组成，那么采用复合阻尼来描述系统的阻尼特性是非常简便有效的。

ABAQUS将材料的复合阻尼加权平均得到模态阻尼比，转换关系为：

ξα=

1MMN

φα∑(ξmMmφαN (4.3.3) )mam

mα=φαMMMNφαN (4.3.4)

其中，ξa为模态α的模态阻尼比，ξm材料m的阻尼比，Mm 为与材料m相关的质量矩阵，

MN

φαM为模态α的振型，ma为模态的α模态质量。

在ABAQUS中分两步定义复合阻尼。

第一步，在材料属性中定义与该材料对应的复合阻尼，如图4.3.3所示。

4

对应的ABAQUS输入文件为： *MATERIAL, NAME=STEEL *DAMPING, COMPOSITE=ξM 其中ξM为材料“STEEL”的临界阻尼比。

然后在分析步骤中引用复合阻尼，如图4.3.4所示。

图4.3.4 选定复合阻尼

对应的ABAQUS文件输入为： *STEP :

*MODAL DAMPING, MODAL=COMPOSITE

图4.3.3 在材料属性中定义复合阻尼

ξM

结构阻尼

系统的结构阻尼特性与结构或者材料的内摩擦机理有关。其他形式的阻尼属于粘性阻尼，即阻尼力的大小与运动速度成正比，而结构阻尼力与位移成正比。结果是结构阻尼力不会随着激振频率变化而变化。

结构阻尼力可用下式来表示：

5

FDN=isIN (4.3.5)

其中，FD阻尼力，s结构阻尼因子，I是结构的变形力，i虚数单位，i=

−1。

结构阻尼力的方向与速度方向相反，比位移滞后90°。只有当位移和速度的相位差为90°时，结构阻尼假设才能成立，因此激励必须是正弦函数。使用结构阻尼假设的动力学分析包括稳态响应分析和随机响应分析，其他如瞬态动力学分析不能直接应用结构阻尼；如果对于某些问题只能得到结构阻尼，那么必须依据一定的准则将结构阻尼转换为等效的粘性阻尼。

图4.3.5为结构阻尼定义菜单。对应ABAQUS输入文件为： *MODAL DAMPING, STRUCTURAL m1, m2, s

参数STRUCTURAL指定模态阻尼形式为结构阻尼。m1、 m2的含义与定义直接模态阻尼相同，s为结构阻尼因子。

m1

m2

s

图4.3.5 结构阻尼定义

阻尼选择

在大多数的线性动力学问题中，为了获得精确的结果，恰当地选择阻尼类型和规定阻尼系数值是十分重要的。但是在某种意义上，由于阻尼只是在结构吸收能量特性意义上的近似，而不是模拟造成这种效果的物理机制，所以确定模型中需要的阻尼数据是很困难的。在某些问题中有时不得不根据工程经验来选取适合的阻尼，偶尔也可以从动态试验中获得这些数据。但通常情况下必须通过查阅参考资料或者凭借经验获得这些数据，在这种情况下，必须十分谨慎地解释模拟结果，并通过参数分析来评估模拟对于阻尼值的敏感性。

在定义阻尼类型和选取阻尼值时需要注意以下问题： 1．

在许多实际应用中，材料阻尼是主要的。一些材料中，阻尼力在本质上是粘性的，并且与材料的刚度成正比。这种形式的阻尼可以通过瑞利阻尼选项来得到，其中α = 0和β ≠0，而β值可以通过试验数据来确定；

2． 3．

如果材料阻尼应力在本质上是摩擦力，同时需要研究系统的稳态响应，这种情况下可以应用结构阻尼。结构阻尼系数s根据摩擦应力占应力总和的百分比来确定； 有些情况下，可以在不同的频率下测量阻尼。如果这些数据是可靠，则可以将结构

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特征频率下的阻尼值作为模态阻尼来直接应用到模态动力学分析中；

4．

在少数情况下，可以从动力学试验中获得阻尼的数据。但是在多数情况下，不得不通过经验或参考资料获得数据。这时，解释结果要十分小心，应该通过参数分析来评价阻尼系数对结果的敏感性；

5．

ABAQUS中可以同时定义不同类型的阻尼，如果在分析中同时定义了多种阻尼，那么分析结果是包含了各种阻尼的综合效果。

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