1.(2018理)已知抛物线C:y2=2px经过点P(1,2).过点Q(0,1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A,B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N.(1)求直线l的斜率的取值范围;
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(2)设O为原点，QM=λQO,QN=µQO，求证：+为定值.
λµ√
√x2y262.(2018文)已知椭圆M:2+2=1(a>b>0)的离心率为，焦距为22.斜率为k的直线l与椭
ab3
圆M有两个不同的交点A,B.(1)求椭圆M的方程；(2)若k=1，求|AB|的最大值;
(3)设P(−2,0).直线PA与椭圆M的另一个交点为C，直线PB与椭圆M的另一个交点为D，若C,D
()71
和点Q−,共线，求k.
42
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()1
3.(2017理)已知抛物线C:y2=2px过点P(1,1)，过点0,作直线l与抛物线C交于不同的两点M,N，
2
过点M作x轴的垂线分别与直线OP,ON交于点A,B，其中O为原点.(1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；(2)求证：A为线段BM的中点.
√34.(2017文)已知椭圆C的两个顶点分别为A(−2,0),B(2,0).焦点在x轴上，离心率为.
2
(1)求椭圆C的方程；
(2)点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M,N，过D作AM的垂线交BN
于点E.求证：△BDE与△BDN的面积之比为4:5.
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√
x2y235.(2016理)已知椭圆C：2+2=1的离心率为，A(a,0),B(0,b),O(0,0),△OAB的面积为1.
ab2
(1)求椭圆的方程；(2)设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交与点M，直线PB与x轴交与点N,求证：|AN|·|BM|为
定值.
x2y2
6.(2016文)已知椭圆C：2+2=1(a>b>0)过点A(2,0),B(0,1)两点.
ab
(1)求椭圆C的方程及离心率；
(2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求
证：四边形ABNM的面积为定值.
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√
x2y227.(2015理)已知椭圆C：2+2=1(a>b>0)的离心率为，点P(0,1)和点A(m,n)(m0)都在椭
ab2
圆C上，直线PA交x轴于点M.(1)求椭圆C的方程，并求点M的坐标(用m,n表示)；
(2)设O为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N.问：y轴上是否存在点Q，使得
∠OQM=∠ONQ?若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由.
8.(2015文)已知椭圆C：x2+3y2=3，过点D(1,0)且不过点E(2,1)的直线与椭圆C交于A，B两点，直线AE与直线x=3交于点M.(1)求椭圆C的离心率；
(2)若AB垂直于x轴，求直线BM的斜率；
(3)试判断直线BM与直线DE的位置关系，并说明理由
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9.(2014理)已知椭圆C:x2+2y2=4.(1)求椭圆C的离心率；
(2)设O为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线y=2上，且OA⊥OB，求直线AB与圆x2+y2=2
的位置关系，并证明你的结论.
10.(2014文)已知椭圆C:x2+2y2=4.
(1)求椭圆C的离心率；
(2)设O为原点，若点A在直线y=2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值.
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x2
11.(2013理)已知A、B、C是椭圆W:+y2=1上的三个点，O是坐标原点.
4
(1)当点B是W的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积；
(2)当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由.
x2
12.(2013文)直线y=kx+m(m0)与椭圆W:+y2=1相交于A，C两点，O是坐标原点.
4
(1)当点B的坐标为(0,1)，且四边形OABC为菱形时，求AC的长；
(2)当点B在W上且不是W的顶点时，证明四边形OABC不可能为菱形.
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13.(2012理)已知曲线C：(5−m)x2+(m−2)y2=8(m∈R).
(1)若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，求m的取值范围；
(2)设m=4，曲线C与y轴的交点为A，B(点A位于点B的上方)，直线y=kx+4与曲线C交于不
同的两个点M,N，直线y=1与直线BM交于点G，求证：A，G，N三点共线.
√
x2y2214.(2012文)已知椭圆C：2+2=1(a>b>0)的一个顶点为A(2,0)，离心率为，直线y=k(x−1)
ab2
与椭圆C交于不同的两点M，N.
(1)求椭圆C的方程
√10(2)当△AMN的面积为时，求k的值.
3
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x2
15.(2011理)已知椭圆G：+y2=1.过点(m,0)作圆x2+y2=1的切线I交椭圆G于A，B两点．
4
(1)求椭圆G的焦点坐标和离心率；
(2)将|AB|表示为m的函数，并求|AB|的最大值．
√
√x26y2
16.(2011文)已知椭圆C：2+2=1的离心率为，右焦点为(22,0)，斜率为1的直线l与椭圆G
ab3
交于A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(−3,2).
(1)求椭圆G的方程；(2)求△PAB的面积.
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17.(2010理)在平面直角坐标系xOy中，点B与点A(−1,1)关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP
1
的斜率之积等于−.
3
(1)求动点P的轨迹方程；
(2)设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M,N，问：是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积
相等?若存在，求出P的坐标；若不存在，说明理由.
√√
18.(2010文)已知椭圆C的左、右焦点分别是(−2,0),(2,0)，离心率是
不同的两点M、N，以线段MN为直径做圆P，圆心为P.(1)求椭圆C的方程；
(2)若圆P与x轴相切，求圆心P的坐标；
(3)设Q(x,y)是圆P上的动点，当t变化时，求y的最大值.
√6，直线y=t与椭圆C交于3
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x2y2
19.设F1,F2分别是椭圆C：2+2=1(a>b>0)的左右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直
ab
线MF1与C的另一个交点为N.
3
(1)若直线MN的斜率为，求C的离心率；
4
(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|=5|F1N|，求a,b.
√
√x2y2220.已知椭圆C：2+2=1(a>b>0)的离心率为，点(2,2)在C上.
ab2
(1)求C的方程；
(2)直线l不经过原点O，且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A,B，线段AB中点为M，证明：直
线OM的斜率与直线l的斜率乘积为定值.
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21.已知椭圆C：9x2+y2=m2(m>0)，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A,B，线
段AB的中点为M.
(1)证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；
(m)
(2)若l过点,m，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l
3
的斜率；若不能，说明理由
√x2y2
22.在平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：2+2=1(a>b>0)的右焦点的直线x+y−3=0交M
ab
1
于A,B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为.
2
(1)求M的方程；
(2)C,D为M上的两点，若四边形ABCD的对角线CD⊥AB，求四边形ABCD面积的最大值.
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23.已知圆M:(x+1)2+y2=1，圆N:(x−1)2+y2=9，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的
轨迹为曲线C.(1)求C的方程；
(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A,B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.
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24.在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,−1)，B点在直y=−3上，M点满足MBOA，MA·AB=MB·BA，
M点的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；
(2)P为C上动点，l为C在P点处的切线，求O点到l距离的最小值.
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√
√x2y2525.已知椭圆C：2+2=1(a>b>0)的一个焦点为(5,0)，离心率为.
ab3
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若动点P(x0,y0)为椭圆外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程.
x2
26.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+y2=1.斜率为k(k>0)且不过原点的直线l交
3
椭圆C于A,B两点，线段AB的中点为E，射线OE交椭圆于点G，交直线x=−3于点D(−3,m)，若
|OG|2=|OD|·|OE|，求证：直线l过定点.
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