第四章现代数学的发展趋势

第四章 现代数学的发展趋势

学习要求

1．知道数学的统一性；

2．知道数学在自然科学和社会科学中的广泛应用；

3．知道数学机械化产生与发展及其意义、计算机促进计算数学的发展、计算机促进数学中新学科的发展。

主要内容指导

一、现代数学发展的特点

1．更高的抽象性

在纯粹数学领域中，集合论观点的渗透和公理化方法的运用极大地推动了纯粹数学向更高的抽象化发展。

20世纪初，康托尔创立的集合论在数学中的作用越来越明显，集合概念本身被抽象化了，例如，它可以是任意性质的元素集合，诸如函数的集合、曲线的集合等．集合论作为一种语言被应用于数学的不同领域，同时引起了数学中基本概念的深刻变革，从而导致新的数学分支的建立，实变函数和泛函分析即是明显的例子。

法国数学家勒贝格(H．Lebesgue)利用以集合论为基础的“测度”概念而建立了与柯

西和黎曼积分不同的“勒贝格积分”．在勒贝格积分的基础上，进一步推广导数等微积分基本概念，进而重建了如微积分基本定理等微积分中的基本事实，从而形成了新的数学分支——实变函数论；受集合论的影响，空间和函数这两个基本概念发生了进一步的变革，空间被理解为某种约束某类元素关系的空间结构的集合，即空间是某种结构的集合，而函数的概念则被推广为两个空间(包括一个空间到它自身)之间的元素的对应(映射)关系，其中将函数映为实数(或复数)的对应关系就是通常所称的“泛函”。实变函数和泛函分析成为现代分析学的两大支柱。

在20世纪公理化方法向各个数学领域渗透。抽象代数是应用公理化方法把代数理论进行抽象化的杰出成就．代数学中公理化方法的系统运用是在希尔伯特关于几何基础的工作出现之后，受希尔伯特的直接影响，诺特(EmmyNoether，1882～1935)及其学派确立了公理化方法在代数领域中的地位，诺特在一篇论文中用公理化方法发展了一般理想论，奠定了抽象交换环的理论基础，它是现代抽象代数开始的标志．抽象代数使代数结构成为代数学研究的中心，代数结构的研究对现代数学的发展影响深远。

2．更深入的基础探讨

随着集合论在数学各领域中的渗透和应用，它逐渐成为数学理论的坚实基础，但随后罗素悖论(通俗的形式即所谓的“理发师悖论”)的出现打破了人们对集合论作为数学基础的信任，引起了关于数学基础的一系列问题。例如：(1)如何解决已发现的悖论并进一步保证在公理系统中不出现悖论。(2)如何理解“数学的存在”。(3)有无实无限，如何理解实无限。(4)数学的基础是什么。

对这些问题的不同回答，形成了数学基础中的各种学派。其中3个学派——逻辑主义、直觉主义和形式主义，对后来数学基础的发展产生了较大的影响．对这些学派的基本观点

将在后面内容中详细介绍，这里不予赘述。三大学派在20世纪前30年间非常活跃，相互争论非常激烈。现在看来，这三大学派都未能对数学基础问题做出令人满意的解答。但他们的研究却将人们对数学基础的认识引向了空前的深度。并促使数学基础作为一门数学分支学科得到前所未有的发展，其中最重要的方向就是数理逻辑。三大学派在基础问题上积累的深刻的结果，都被纳入数理逻辑研究的范畴而极大地推动了现代数理逻辑的形成与发展。

3．更强的统一性

20世纪以来，不同学科之间的相互渗透、结合更为广泛．不同分支领域的数学思想与数学方法相互融合，导致了一系列重大发现以及数学内部新的综合交叉学科的不断兴起。

20世纪可以说既是纯粹数学的时代，又是应用数学的时代。特别是20世纪40年代以后，数学以空前的广度和深度向其他科学技术和人类知识领域渗透，加上电子计算机的推助，应用数学的蓬勃发展已成为当代数学的一股强大潮流。 应用数学的这个新时代具有以下几方面的特点。

(1)数学的应用几乎扩展到所有的知识领域

19世纪70、80年代，恩格斯曾经对数学应用状况做过这样的估计：“在固体力学中是绝对的，在气体力学中是近似的，在流体力学中已经比较困难了，在物理学中多半是尝试性的和相对的，在化学中是最简单的一次方程式，在生物学中等于零”。然而经过1世纪的发展，数学的应用远远超出了恩格斯的估计。数学正向人类的一切知识领域进军。数学在物理学中的应用经历了一系列激动人心的重大事件；现代化学为了描述化学过程已少不了微分方程和积分方程，并且有许多还是连数学家都感到棘手的非线性方程；生物学不

用数学的时代也已一去不复返．除了自然科学，在经济学、社会学、历史学等社会科学部门中，数学方法的应用也在崭露头角。与以往时代不同的是，数学在向外渗透过程中越来越多地与其他领域相结合而形成一系列交叉学科，如数学物理、数理化学、生物数学、数理经济学、数学地质 学、数理气象学、数理语言学、数理心理学、数学考古学…；

(2)纯数学几乎所有的分支都获得了应用(其中最抽象的一些分支也参与了渗透)拓扑学是一门抽象学科，离实际应用似乎还很遥远．然而在今天的物理学、生物学和经济学中，拓扑学正在扮演重要角色．数论曾经被英国数学家哈代看成是“无用”和“清白”的学科。但1982年以来，哈代所钟爱的“清白”学问数论， 已经在密码技术、卫星信号传播、计算机科学和量子场论等许多部门发挥重要的有时是关键的作用，事实上，单就在物理学中获得应用数学而言，所涉及的抽象数学分支就包括了微分拓扑学、代数拓扑学、大范围分析、代数几何、李群与李代数、算子代数、代数数论、非交换数学等；

(3)现代数学对生产技术的应用更为直接

以往数学与生产技术的关系基本上是间接的：常常是先应用于其他科学，再由这些科学提供技术进步的基础。20世纪下半叶以来，数学科学与生产技术的相互作用逐渐加强，直接应用数学到生产技术中的例子屡见不鲜，数学在两个方面对科学技术发挥着作用。一个方面是用数学模型系统地取代了各种各样的试验，其效果是无可比拟的节省，适用于各种复杂情况，而且绝对安全．例如，要用风洞设计飞机零件，就得先到机械车间造一个模型，再送入风洞里去观测它的各种性能。而使用数学模型则只要在计算机键盘上轻轻敲击，输入各种参数就行了。今天在空中飞行的现代飞机，都是这类计算机辅助设计的产物。对于像航天飞机这样的特殊飞行，数学模型方法尤其不可缺少。要训练航天飞机飞行员，总不能随便把航天飞机发射升空，进行实际演习．所以必须采用数学模型模拟航天飞机起飞和着陆时的空气动力学方程，用超级计算机立时解出，最后由飞行员按计算机提供的情况

做灵巧控制。因此用数学模型进行这种太空试验不仅节约、有效、安全，而且是惟一的选择。这样的例子很多，如涉及原子裂变、聚变以及化学反应等，当然只能做数学模型。

另一个方面是应用数学来帮助处理大量的观测数据。例如，在天文、海洋、气象方面，每天都会产生亿万个数据，如不及时处理，就会失去时效。一个最为人们熟知的例子是“CT”扫描，即X射线分层扫描系统．这一诊断技术的关键，是将X射线透视获得的数据，用计算机加以重新处理，而用到的数学工具正是微分方程、调和分析和拉东变换。当人们在享受这些现代文明成就时，却不知道“数学，正是数学，才使这些先进技术得以实现”。

另外，在20世纪后半叶， 由于计算机的出现和广泛渗透，也使应用数学本身以及计算数学获得前所未有的发展。

二、现代计算机所具有的5个基本特点

1．运算能力

计算机内部有个承担运算的部件，叫做运算器，它是由一些数学逻辑电路构成的。由于电子速度非常快，因此计算机每秒钟能进行几十亿次乃至数万亿次加减运算。

2．计算精度

数字式电子计算机用离散的数字信号形式模拟自然界的连续物理量，这无疑存在一个精度问题。现在一般的计算机都能达到15位有效数字，通过一定的手段可以实现任何精度要求。

3．记忆能力

在计算机中有一个承担记忆智能的部件，称为存储器。计算机存储器的容量可以做得很大，能存储大量数据，除了能记住能各种数据信息外，存储器还能记住加入这些数据的程序。

4．逻辑判断能力

逻辑判断能力就是因果关系分析能力，分析命题是否成立以便作出相应对策。计算机的逻辑判断能力是通过程序实现的，可以让它做各种复杂的推理。

5．自动执行程序的能力

计算机是个自动化电子装置，在工作过程中不需人工干预，能自动执行存放在存储器中的程序。程序是人经过仔细规划事先安排好了的，一旦设计好并将程序输入计算机后，向计算机发出命令，随后，它便成为人的替身，不知疲倦地工作着。

计算机的这些特点为数学的运用和发展开拓了新的场所。如分形几何、突变数学等现代数学分支的发展和应用均离不开计算机。

思考题：现代数学有什么特点？计算机对人类社会发展的贡献是什么？